精品解析：2025年江苏省泰州市高新（高港）区 中考二模数学试题

2025年高新（高港）区中考适应性考试九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 在悠久的数学发展历程中，诞生了许多杰出的数学成果．下列与数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则与的大小关系是（ ） A. B. C D. 无法比较 4. 如图，在中，点、分别在、上，，与四边形的面积比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 小明为了解水温变化规律，测量并记录了一杯开水在室温下的温度变化情况，如下表：下列说法合理的有（ ） 时间 温度 ①水温是时间的函数；②随着时间推移，水温不断下降；③室温约为；④这杯水温下降到恰好需要． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 如图，在平面直角坐标系中，顶点、分别在反比例函数（）和（）的图像上，点、在轴上，与轴交于点，点，点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 7. 在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就．某大数据中心存储约58000000000本电子书籍，将58000000000用科学记数法表示应为________． 8. 16的平方根是______． 9. 计算＝_________． 10. 生态学家用“捉放捉”的方法（也称为标记重捕法）估计某池塘中鲫鱼数量．先捕捉60条鲫鱼，分别给它们做上记号，然后放回；一段时间后，重新捕捉一些鲫鱼作为样本．多次这样捕捉到的鲫鱼中平均每50条有10条带有记号．该池塘中鲫鱼的总数约为_________条． 11. 已知正n边形的每一个内角为，则_____． 12. 如图，平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，折射光线与经过光心O的光线相交．若，则_________． 13. 《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：“有人合伙购物，如果每人出8钱，会多3钱；如果每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数和物价分别为人，钱，则可列方程组为_________． 14. 如图，在中，，点是边上一个动点，点关于的对称点是点．动点从点运动到点时，点的路径长为_________． 15. 在平面直角坐标系中，∵抛物线：，双曲线：，过点P作x轴的垂线，交于点M，交于点N，q为点M与点N纵坐标中的较大值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点组成的图形记为图形T．若直线y=n与图形T恰好有3个公共点，则n的取值范围是_________． 16. 如图，矩形中，，点E是边上动点，点F在边上，．连接，则的最小值为_________． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程为．该汽车租赁公司有A、B、C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 （1）在A型纯电动汽车满电续航里程扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为 ； 【分析数据】 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） A 400 400 410 B 432 m 440 C 453 450 n （2）由上表填空： ， ； 【判断决策】 （3）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 19. 甲、乙、丙三位同学参加学校演讲比赛，三人通过抽签决定比赛顺序． （1）甲抽中1号签的概率是 ． （2）请用列表法或画树状图法求甲、乙、丙三位同学恰好分别抽中1号签、2号签、3号签的概率． 20. 如图，在中，连接对角线，分别作和的中线、． （1）求证：； （2）从下列条件中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． ①；②． 我选择的条件： ，（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数）的图像交于，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）延长交反比例函数图像于点C，点D在x轴正半轴上，，求的面积． 22. 美丽的凤栖湖畔坐落着恢弘的圣寿寺塔，小明与同学借助工具测量塔高．如图，在点处用距离地面高度为的测角器测出塔顶端的仰角为，然后沿方向走到达点，用同样高度的测角器测出塔顶端的仰角为．根据小明的测量数据求塔高．（精确到） 参考数据：，，，，， 23. 如图，学校有一面长8米的墙，生物兴趣小组打算用总长16米的篱笆在墙前面的空地上围成两个矩形分别饲养小兔和小鸡，矩形一边靠墙． （1）要使小兔和小鸡活动区域总面积为21平方米，垂直于墙的边AB长为多少？ （2）若小鸡活动区域为正方形，设计方案使得小兔活动区域面积最大． 24. 如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，点A，B均在格点上，以为直径画半圆O，格点C在半圆O上．请仅用无刻度的直尺画图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图1中作的平分线，交于点D； （2）在图2中的半圆弧上确定点E，使得平分． 25. 如图，正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，连接交于点G． （1）求证：； （2）取的中点P，求证：点B、P、D在同一条直线上； （3）在（2）的条件下， ①当点G是中点时， ； ②当点E是中点时，求的值． 26. 已知二次函数，一次函数，其中，为常数且． （1）求证：二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上； （2）当时，，求，的值； （3）点、分别在二次函数和一次函数图像上． ①当，时，求； ②若抛物线上存在两个不同点，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高新（高港）区中考适应性考试九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义．根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. 在悠久的数学发展历程中，诞生了许多杰出的数学成果．下列与数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 3. 已知，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解此题的关键．根据不等式的基本性质可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 4. 如图，在中，点、分别在、上，，与四边形的面积比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形相似判定与性质，涉及平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．根据平行线的性质得到，从而得到，再由相似三角形性质：面积比等于相似比的平方得到，从而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 与四边形的面积的比为， ，解得． 故选：D． 5. 小明为了解水温变化规律，测量并记录了一杯开水在室温下的温度变化情况，如下表：下列说法合理的有（ ） 时间 温度 ①水温是时间的函数；②随着时间推移，水温不断下降；③室温约为；④这杯水温下降到恰好需要． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用表格表示变量间的关系，解题的关键是根据表格中的数据逐项判断即可． 【详解】解：①∵每个时间对应唯一温度， ∴水温是时间的函数，该说法合理； ②∵到分钟时，水温稳定在，之后不再下降， ∴随着时间推移，水温不断下降，该说法不合理； ③∵水温稳定在， ∴室温约为，该说法合理； ④这杯水温下降到可能需要， 故原说法不合理； ∴说法合理的有个． 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、分别在反比例函数（）和（）的图像上，点、在轴上，与轴交于点，点，点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、求反比例函数的解析式，根据点、的坐标可证，利用可证，根据全等三角形的性质可求出点的坐标是，从而可得，根据平行四边形的性质可以求出点的坐标是，把点的坐标，代入即可求出的值． 【详解】解：如下图所示， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ，， ， 在和中，， ， ， 点的坐标是， 又点的坐标是， ， 四边形是平行四边形， ， 点的横坐标是，纵坐标是， 点的坐标是， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 7. 在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就．某大数据中心存储约58000000000本电子书籍，将58000000000用科学记数法表示应为________． 【答案】5.8×1010 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：将58000000000用科学记数法表示应为5.8×1010． 故答案为：5.8×1010． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 8. 16的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的意义是解题关键． 根据平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：16的平方根是， 故答案为：． 9. 计算＝_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法，单项式乘单项式，整式的乘方等知识点，解题的关键是熟练掌握整式乘法运算的法则． 根据整式的乘法，整式的乘方，单项式乘单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 生态学家用“捉放捉”的方法（也称为标记重捕法）估计某池塘中鲫鱼数量．先捕捉60条鲫鱼，分别给它们做上记号，然后放回；一段时间后，重新捕捉一些鲫鱼作为样本．多次这样捕捉到的鲫鱼中平均每50条有10条带有记号．该池塘中鲫鱼的总数约为_________条． 【答案】300 【解析】 【分析】本题考查是通过样本去估计总体，需将样本“成比例地放大”为总体即可．用样本频率估计总体频率计算解答即可． 【详解】解：根据题意，得（条）． 故答案为300． 11. 已知正n边形的每一个内角为，则_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，根据正多边形内角和公式列出等量关系求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得： 故多边形是12边形． 故答案为：12． 12. 如图，平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，折射光线与经过光心O的光线相交．若，则_________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等．设交于点G，根据平行线的性质，可得，再由三角形外角的性质，可得，然后根据对顶角相等，即可解答． 【详解】解：如图，设交于点G， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：25 13. 《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：“有人合伙购物，如果每人出8钱，会多3钱；如果每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数和物价分别为人，钱，则可列方程组为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 设人数和物价分别为人，钱，根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱”即可得出关于，的方程组． 【详解】解：设人数和物价分别为人，钱， 根据题意，得：， 故答案为：． 14. 如图，在中，，点是边上的一个动点，点关于的对称点是点．动点从点运动到点时，点的路径长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，弧长的计算，理解折叠的性质，掌握弧长的计算公式是关键． 根据题意可得，当动点从点运动到点时，保持，则点在以点圆心，以为半径的圆弧上运动，点与点重合，如图所示，结合弧长公式计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设交于点， ∵点关于的对称点是点， ∴垂直平分， ∴，， 当动点从点运动到点时，保持，则点在以点圆心，以为半径的圆弧上运动，点与点重合，如图所示， ∴， ∴， ∴点的路径长为， 故答案为： ． 15. 在平面直角坐标系中，∵抛物线：，双曲线：，过点P作x轴垂线，交于点M，交于点N，q为点M与点N纵坐标中的较大值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点组成的图形记为图形T．若直线y=n与图形T恰好有3个公共点，则n的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题需要先求出点、的纵坐标，进而确定图形的构成，再通过分析直线与图形的公共点个数来确定的取值范围．本题主要考查了二次函数与反比例函数的性质，通过比较两个函数值大小确定图形的组成．解题关键在于准确分析两个函数值的大小关系，以及理解直线与所构成图形公共点个数和函数值之间的联系，通过对函数图象的分析来确定参数的取值范围． 【详解】解：∵过点作轴的垂线，交于点， ∴将代入，可得； ∵过点作轴的垂线，交于点， ∴将代入，可得（）． ∴ 为与中较大值，即． 令，即，解得． 当时，对与作差：， ∵， ∴，，， ∴，即，此时． 当时，，． 当时，，，， ∴，即，此时． 当时，，， ∴，此时． ∴图形是与以及点组成． 是一个开口向上，顶点在原点的抛物线（去掉原点）；是反比例函数在的部分． 当时，直线与（或）以及（）有个公共点； 当时，直线与（有两个值满足）和（有一个值满足）有个公共点． ∴的取值范围是． 16. 如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，再由轴对称的性质可得，易知，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，然后证明四边形为矩形，结合矩形的性质以及勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴此时，即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）2；（2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，解分式方程，掌握特殊角的三角函数值，零次幂，解分式方程的步骤是关键． （1）分别算出特殊角的三角函数值，零次幂，绝对值化简的结果，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据解分式方程的方法，去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1，检验根的步骤计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 检验：当时，， ∴是增根，原方程无解． 18. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程为．该汽车租赁公司有A、B、C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 （1）在A型纯电动汽车满电续航里程扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为 ； 【分析数据】 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） A 400 400 410 B 432 m 440 C 453 450 n （2）由上表填空： ， ； 【判断决策】 （3）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 【答案】（1）；（2）430，450；（3）B型，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，众数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．掌握定义是解题的关键． （1）先求出总数，然后用乘续航里程为的占比即可； （2）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （3）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可． 【详解】解：（1）（辆）， 在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为：， 故答案为：； （2）由题意得，． 故答案为：430，450； （3）小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于420，不符合要求； B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电动汽车较为合适． 19. 甲、乙、丙三位同学参加学校演讲比赛，三人通过抽签决定比赛顺序． （1）甲抽中1号签的概率是 ． （2）请用列表法或画树状图法求甲、乙、丙三位同学恰好分别抽中1号签、2号签、3号签的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵抽签时有1号签、2号签、3号签3种签， ∴甲抽中1号签的概率是， 故答案：． 【小问2详解】 解：画树状图得： 由图可知，抽签所有可能的情况有6种，甲、乙、丙三位同学恰好分别抽中1号签、2号签、3号签的情况有1种， 所以甲、乙、丙三位同学恰好分别抽中1号签、2号签、3号签的概率为． 20. 如图，在中，连接对角线，分别作和的中线、． （1）求证：； （2）从下列条件中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． ①；②． 我选择的条件： ，（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定、菱形的判定、斜边中线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，，由中线的定义得到，，得出，再利用平行四边形的性质与判定即可证明； （2）根据矩形、菱形的判定即可解答． 【小问1详解】 证明：， ，， 、分别是和的中线， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ． 【小问2详解】 解：若选择条件①，则四边形是矩形．理由如下： ，是的中线， ， ， 由（1）得，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形； 若选择条件②，则四边形是菱形．理由如下： ，是的中线， ， 由（1）得，四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数）的图像交于，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）延长交反比例函数图像于点C，点D在x轴正半轴上，，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，正确理解交点坐标的意义，是解题的关键． （1）利用待定系数法列式求解即可求出两个函数解析式即可； （2）根据三角形的面积公式，以为底边计算即可． 【小问1详解】 ∵点在反比例函数的图象上， 将代入得 ， ∴反比例函数表达式为． 把代入反比例函数， 则，即． 把，代入一次函数，得 ． 解得． ∴一次函数表达式为． 【小问2详解】 ∵，延长交反比例函数图象于点， ∴与关于原点对称， ∴． ∵， ∴． ∵，且在轴正半轴， ∴． 过作轴于，过作轴于， 则，． ． ，． ∴． 22. 美丽的凤栖湖畔坐落着恢弘的圣寿寺塔，小明与同学借助工具测量塔高．如图，在点处用距离地面高度为的测角器测出塔顶端的仰角为，然后沿方向走到达点，用同样高度的测角器测出塔顶端的仰角为．根据小明的测量数据求塔高．（精确到） 参考数据：，，，，， 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，在中，，可得，在中，，可得，根据，可得，可求米，根据测角仪的高度是米，可以求出塔的高度． 【详解】解：连接并延长，交于点， ，， 四边形和四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 米， 塔高约为56.5米． 23. 如图，学校有一面长8米的墙，生物兴趣小组打算用总长16米的篱笆在墙前面的空地上围成两个矩形分别饲养小兔和小鸡，矩形一边靠墙． （1）要使小兔和小鸡活动区域总面积为21平方米，垂直于墙的边AB长为多少？ （2）若小鸡活动区域为正方形，设计方案使得小兔活动区域面积最大． 【答案】（1）3米 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程和二次函数在几何图形面积问题中的应用．解题关键在于根据几何图形的边长关系设未知数，利用面积公式建立方程或函数表达式，同时要注意结合实际条件（如墙长对边长的限制）来确定未知数的取值范围，进而求解问题． （1）本题通过设未知数来建立方程求解．设，由于篱笆总长为，且边有段（两个矩形），所以平行于墙的边长为．根据矩形面积公式长宽，总面积为平方米，得到方程．求解方程得到两个根， ．又因为墙长米，即，解这个不等式得到，所以舍去，确定． （2）同样先设，因为小鸡活动区域为正方形，所以 ，根据矩形面积公式得到小兔活动区域面积矩形 ，这是一个二次函数．对于二次函数（），当时，图象开口向下，在对称轴处取得最大值．这里，对称轴为 ，且由墙长限制，即，在这个范围内，随的增大而减小，所以当时，取得最大值 ，进而得出米，米时，小兔活动区域面积最大． 【小问1详解】 解：设，根据题意得， 解得，， ∵，， ∴ 答：垂直于墙的边长为3米． 【小问2详解】 解：设，则，根据题意得， ， 当时，随的增大而减小 ∵，， ∴当时，最大 答：当米，米时，小兔活动区域面积最大． 24. 如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，点A，B均在格点上，以为直径画半圆O，格点C在半圆O上．请仅用无刻度的直尺画图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图1中作的平分线，交于点D； （2）在图2中的半圆弧上确定点E，使得平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，平行线的性质与判定，等边对等角，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点G，连接并延长交于F，连接交于D，点D即为所求； （2）取格点H，连接并延长交于E，则点E即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，取格点G，连接并延长交于F，连接交于D，点D即为所求； 由网格的特点可证明，则， 由等边对等角可得 ，则； 【小问2详解】 解：如图所示，取格点H，连接并延长交于E，则点E即为所求； 可证明，则， 再由可得． 25. 如图，正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，连接交于点G． （1）求证：； （2）取的中点P，求证：点B、P、D在同一条直线上； （3）在（2）的条件下， ①当点G是中点时， ； ②当点E是中点时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）①2；② 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质即可证明； （2）作于点，作于点，连接，根据等腰直角三角形的性质以及点P是的中点得出，，通过证明，推出，得到点P在的平分线上，再根据正方形的性质即可证明； （3）①连接，利用相似三角形的性质与判定即可求解；②作、，垂足分别为、，设正方形的边长为，先证明，得到，，利用正方形的判定推出四边形是正方形，再通过证明得到，利用线段和差求出的长，即可求解． 【小问1详解】 证明：正方形， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 证明：如图，作于点，作于点，连接， ，， 是等腰直角三角形， 点P是的中点， ，， ， ，， ， 又， 四边形是矩形， ， ， ，即， ， ， 点P在平分线上， 正方形， 点D在的平分线上， 点B、P、D在同一条直线上． 【小问3详解】 解：①如图，连接， 由（2）得，点B、P、D在同一条直线上， 点G是中点， ， 正方形， ，， ， ． 故答案为：2； ②如图，作、，垂足分别为、，则， 设正方形的边长为， 则， 点E是中点， ， ，，， ， ，， ， ， 又， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、角平分线的判定定理、相似三角形的性质与判定，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 26. 已知二次函数，一次函数，其中，为常数且． （1）求证：二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上； （2）当时，，求，的值； （3）点、分别在二次函数和一次函数图像上． ①当，时，求； ②若抛物线上存在两个不同的点，求的范围． 【答案】（1）见解析 （2）或 （3）①或1；② 【解析】 【分析】（1）配方得抛物线顶点，将此点代入一次函数解析式，即可求解； （2）由得当时，图像关于直线对称，①当时，时，，时，； ②当时，时，，时，，即可求解； （3）①分别将代入解析式得，即可求解； ②，由抛物线上存在两个不同的点得方程有两个不相等的实数根，由根的判别式，即可求解； 【小问1详解】 证明：， 抛物线顶点， 把代入一次函数，得， 二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上； 【小问2详解】 解：由（1）可知，抛物线对称轴为直线， ， 当时，图像关于直线对称． ①当时， 时，， 时，， ， 解得； ②当时， 时，， 时，， ， 解得：； 故：或； 【小问3详解】 解：①当，时， ， ， 分别将代入得， ， 解得：或1； ②由题意得 ， 整理得， 抛物线上存在两个不同的点， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题，一元二次方程根的判别式；能熟练利用待定系数法，二次函数的性质进行求解，并能将二次函数与一次函数交点问题转化为一元二次方程根的判别式问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$