第12讲 对数函数讲义-2026届高三数学一轮复习

对数函数 1．对数函数的概念 一般地,函数称为对数函数，其中是常数，且． 对数函数的定义是形式上的定义，其函数解析式的结构具有非常明显的特征，如下： （1）真数中只有一个自变量，而不是含自变量的多项式； （2）的系数必须为1，不能是其它的数字，也不能含有自变量； （3）底数必须满足且的一个常数． 例如：函数，均为对数函数． 2．对数函数的图象与性质 底数 图象 （在轴右方） 定义域 值域 R 定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上为增函数 在上为减函数 函数值 的正负 当时,； 当时，． 当时,； 当时，． 3．底数对对数函数图象的影响 观察在同一平面直角坐标系在，分别画出函数,,和的图象，如图所示，体会底数对对数函数图象的影响． 结论：第一象限，从左到右，底数变大 考点一 对数函数的概念 【例1】1．给出下列函数:①； ②； ③； ④.其中是对数函数的有 ． 【训练1】1．若函数是对数函数，则 ． 2．已知为对数函数，，则 ． 考点二 对数函数的图像 【例2】在同一直角坐标系中，与的图像可能是（ ） A． B． C． D． 【训练2】1．函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 2．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(x＋2)(a>0，且a≠1)的图象大致为( ) 3．函数的大致图象为（ ） A．B．C．D． 4．函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 考点三 由对数函数的图像求参数的范围 【例3】1．图中曲线分别表示的图像，，的关系是（ ） A． B． C． D． 【训练3】1．小华同学作出的时的对数函数的图象如图所示，则对应于的的值分别为( ) A． B． C． D． 2．如图为函数的图象，其中、为常数，则下列结论正确( ) A．， B．， C．， D．， 3．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是( ) A． B． C．(1，) D．(，2) 考点四 过定点问题 【例4】1．函数（且）的图象恒过点( ) A． B． C、 D． 【训练4】1．函数（且）的图象恒过定点( ) A． B． C． D． 2．已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A也在函数的图象上，则( ) A．0 B．1 C．2 D．3 3．函数（且）的图象必经过的点是( ) A． B． C． D． 4．已知且,且,如果无论在给定的范围内取任何值时,函数与函数的图象总经过同一个定点，则实数的值为__________． 考点五 对数函数的解不等式 【例5】1．如果＜＜0，那么( ) A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x 2．若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【训练5】1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝( ) A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2] 2．若实数满足,则的取值范围为__________． 3．已知,若≤,则实数的取值范围为__________． 4．若，求的取值范围． 5．已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若＞1 ，则（ ） A． B． C． D． 6．（同构）若，则（ ） A.． B． C． D． 7．（同构）正数满足，则a与大小关系为______． 考点六 对数函数的定义域 【例6】1．求函数的定义域． 2．已知函数的定义域为,求函数的定义域． 【训练6】1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 4．若函数的定义域为R，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．≥2 5．已知函数的定义域为,则函数的定义域为__________． 考点七 对数函数的值域一 【例7】1．函数的值域为__________． 2．已知函数，若，，且，则= ． 【训练7】1．求下列函数的值域： （1）；（2）． 2．已知函数在上的最大值与最小值之和为,则的值为（ ） A． B． C．2 D．4 3．已知函数,则_________，的最小值是_________． 4．若函数（且）的值域为，则实数的取值范围为__________． 5．若函数（且）的定义域和值域都是，则__________． 6．已知函数. （1）若的定义域为R，求的取值范围； （2）若的值域为R，求的取值范围． 考点八 对数函数的值域二 【例8】1．求函数的值域． 2．函数的值域为（ ） A．R B． C． D． 【训练8】1．函数（）的值域为（ ） A． B． C． D． 2．已知，，则的值域为（ ） A． B． C． D． 3．求函数在2≤≤4时的值域. 4．函数的最小值为__________． 考点九 对数函数的单调性 【例9】函数的单调递增区间（ ） A． B． C． D． 【训练9】1．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间是______． 3．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为R,则的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 5．若函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为( ) A． B． C． D． 考点十 由对数函数的单调性求参数的范围 【例10】1．函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是 ． 2．函数f(x)＝loga(ax－3)在上单调递增，则a的取值范围是 ． 3． 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【训练10】1．已知f(x)＝loga[(3－a)x－a]是其定义域上的增函数，那么a的取值范围( ) A．(0,1) B．(1,3) C．(0,1)∪(1,3) D．(3，＋∞) 2．函数（，）在上是减函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．函数在单调递增，求a的取值范围（ ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上的减函数，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（24新高考一）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（ ） A． B． C． D． 考点十一 对数函数比较大小 （找各个数的与特殊值0或1的大小关系；或换成同底数，利用单调性比较） 【例11】1．若a＝30．6，b＝log30.2，c＝0.63，则( ) A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a 2．已知，，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【训练11】1．设，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 3．已知奇函数在上是增函数．若，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 5．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ） A． B． C． D． 6．设，，，则（ ） A． B． C． D． 7．已知，，，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（24天津）若，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 考点十二 指数对数互换 表达形式 名称 指数式 底数 指数 幂 对数式 底数 对数 真数 【例12】1．若，则（ ） A． B． C．1 D． 2．若,则等于（ ） A．3 B．5 C．7 D．10 【训练12】1．已知，且，则的值为 ． 2．已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________． 3．若,则__________． 4．已知,则_________． 5．设，则（ ） A． B． C． D． 6．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 7．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 8．已知，则（ ） A．25 B．5 C． D． 9．（24北京）记水的质量为，并且d越大，水质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（ ） A． B． C．若，则；若，则； D．若，则；若，则； 考点十三 对数函数综合 【例13】1．已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为（ ） A．4 B．－4 C．6 D．－6 2．设函数，则f(x)（ ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 3．写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ． ① ；②当时，单调递减； ③为偶函数． 【训练13】1．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝log3(1＋x)，则f(－2)＝( ) A．－1 B．－3 C．1 D．3 2．已知函数，则( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 3．已知是奇函数，且当时，.若，则__________． 4．（23新高考二）若为偶函数，则（ ） A． B．0 C． D．1 5．设函数，其中． （1）证明：是上的减函数； （2）若，求的取值范围． 6．已知函数． （1）判断奇偶性并证明你的结论； （2）解方程． 7．已知函数（，且）在上的最大值为2． （1）求的值； （2）若，求使得成立的的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 对数函数 1．对数函数的概念 一般地,函数称为对数函数，其中是常数，且． 对数函数的定义是形式上的定义，其函数解析式的结构具有非常明显的特征，如下： （1）真数中只有一个自变量，而不是含自变量的多项式； （2）的系数必须为1，不能是其它的数字，也不能含有自变量； （3）底数必须满足且的一个常数． 例如：函数，均为对数函数． 2．对数函数的图象与性质 底数 图象 （在轴右方） 定义域 值域 R 定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上为增函数 在上为减函数 函数值 的正负 当时,； 当时，． 当时,； 当时，． 3．底数对对数函数图象的影响 观察在同一平面直角坐标系在,分别画出函数,,和的图象，如图所示，体会底数对对数函数图象的影响． 结论：第一象限，从左到右，底数变大 考点一 对数函数的概念 【例1】1．给出下列函数：①； ②； ③； ④.其中是对数函数的有 ． 【答案】④ 【解析】对于①②，因为对数函数的真数只能是自变量，不能是含自变量的表达式，所以它们都不是对数函数，而是对数函数型函数；对于③,因为对数函数的底数是一个大于0且不等于1的常数,包含自变量，所以它不是对数函数.对于④，符合对数函数的定义.故对数函数只有一个． 【训练1】1．若函数是对数函数，则 ． 【答案】0 【解析】由函数是对数函数得，解得，当， 满足底数大于0，且不等于1，成立．当时，不符合题意，舍掉，∴ 2．已知为对数函数，，则 ． 【答案】 【解析】设，带入，可得，解得，即， ∴． 考点二 对数函数的图像 【例2】1．在同一直角坐标系中，与的图像可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为的图象为过点的递增的指数函数图象，故排除选项； 的图象为过点的递减的函数图象，故排除选项，故选B． 【训练2】1．函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于函数是偶函数，图象关于y轴对称． 当时，，是减函数． 当时，，是增函数． 再由图象过可得，应选A． 2．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(x＋2)(a>0，且a≠1)的图象大致为( ) 【答案】A 【解析】若0<a<1，令f(x)＝2－ax＝0，则x＝>2，选项C、D不满足．当a>1时，由2－ax＝0， 得x＝<2，且g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，排除B，只有A满足． 3．函数的大致图象为（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】因为，所以函数的定义域为，即图象在时无值，排除B、D选项；当时，，所以A选项正确．故选：A 4．函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D.故选：B. 考点三 由对数函数的图像求参数的范围 【例3】1．图中曲线分别表示的图像，，的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，因为，所以． 故选：C 【训练3】1．小华同学作出的时的对数函数的图象如图所示，则对应于的的值分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令得，如图可得的的值为从小到大的顺序，即，故选：C 2．如图为函数的图象，其中、为常数，则下列结论正确（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】根据图像可知：函数是减函数，所以又当时，故选D 3．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是( ) A． B． C．(1，) D．(，2) 【答案】B 【解析】易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则由题意可知只需满足loga＞4， 解得a＞，∴＜a＜1，故选B . 考点四 过定点问题 【例4】1．函数（且）的图象恒过点( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令,则,∴函数的图象恒过点. 【训练4】1．函数（且）的图象恒过定点( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令,则,∴函数的图象恒过定点. 2．已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A也在函数的图象上，则( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】令,则,，∴， 把代入得：,解之得：. 3．函数（且）的图象必经过的点是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令,则,. ∴该函数的图象必经过点. 4．已知且,且,如果无论在给定的范围内取任何值时,函数与函数的图象总经过同一个定点,则实数的值为__________． 【答案】3 【解析】令,则,∴定点的坐标为， ∴函数的图象恒过点，令,则，符合题意. ∴实数的值是3. 考点五 对数函数的解不等式 【例5】1．如果＜＜0，那么( ) A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x 【答案】D 【解析】∵＜＜log1，又y＝是(0，＋∞)上的减函数，∴x＞y＞1. 2．若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时,,符合题意； 当时,,∴.综上所述,的取值范围是. 【训练5】1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝( ) A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2] 【答案】D 【解析】0＜log4x＜1，即log41＜log4x＜log44，∴1＜x＜4， ∴集合A＝{x|1＜x＜4}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．D 2．若实数满足，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由得:；由得:∴，∴的取值范围为. 3．已知,若≤，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】∵,∴.∵≤,∴≤. ∴≥,解之得:≤或≥1.∴实数的取值范围为. 4．若,求的取值范围． 【答案】 【解析】.当时,,符合题意; 当时,则有,解之得:，∴. 综上所述,的取值范围为. 5．已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若＞1，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵a，b>0，且a≠1，b≠1，且＞1， 当a>1时，＞1，∴b>a；∴，即，∴； 当1>a>0时，＞1，∴a>b>0；∴，∴．故选D． 6．（同构）若，则（ ） A.． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得：，令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，， ，，，则A正确，B错误； 与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A. 7．（同构）正数满足，则a与大小关系为______． 【答案】/ 【解析】因为， 所以， 设，则，所以， 又因为与在上单调递增，所以在上单调递增， 所以.故答案为：. 考点六 对数函数的定义域 【例6】1．求函数的定义域． 【答案】 【解析】由题意可知:,解之得:且. ∴该函数的定义域为. 2．已知函数的定义域为,求函数的定义域． 【答案】 【解析】∵函数的定义域为∴0≤≤1,∴≤≤. ∴≥≥,解之得：2≤≤.∴函数的定义域为. 【训练6】1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：，解之得：4≤.∴该函数的定义域为． 2．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知:,即,∴.∴该函数的定义域为. 3．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，即，解得.故选：A. 4．若函数的定义域为R,则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．≥2 【答案】B 【解析】由题意可知:,且.∵函数的定义域为R∴在R上恒成立∴，解之得：.∴,且. 5．已知函数的定义域为,则函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】∵,∴,∴. ∴函数的定义域为.∴≤2,∴≤4,解之得：≤2. ∴函数的定义域为 考点七 对数函数的值域一 【例7】1．函数的值域为__________． 【答案】 【解析】该函数的值域为R.∵,∴∴，即. ∴函数的值域为. 2．已知函数，若，，且，则= ． 【答案】1 【解析】由，可得，∴由图像翻折变换得，即， 即，即． 【训练7】1．求下列函数的值域： （1）；（2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意可知,该函数的定义域为R.设，则， ∴≥∴该函数的值域为； （2）设,则,∵,∴≤4. ∵函数在≤4时为减函数∴≥∴该函数的值域为. 2．已知函数在上的最大值与最小值之和为，则的值为（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】∵函数与在具有相同的单调性， ∴函数在为增函数或减函数，具有单调性， ∴函数的最大值与最小值在的端点处取得． ∴,解之得：． 3．已知函数,则_________，的最小值是_________． 【答案】0； 【解析】∵∴. 当≥1时,在上为减函数,在上为增函数， ∴;当时,∴.， 综上所述,的最小值是. 4．若函数（且）的值域为，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由题意可知:,解之得:≤2.∴实数的取值范围为. 5．若函数（且）的定义域和值域都是,则__________． 【答案】2 【解析】（1）设,则.∵,∴. 当时,函数在上为增函数,∵且其值域为∴，解之得:； 当时,函数在上为减函数∴，无解.综上所述， 6．已知函数. （1）若的定义域为R，求的取值范围； （2）若的值域为R，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）∵的定义域为R∴在R上恒成立. 当时,在R上不恒成立,舍去； 当时,则有,解之得:.∴的取值范围是； （2）若的值域为R,则的值域应包含（即取遍全体正数）. 当时,R,满足题意; 当时,则有,解之得:≤1.综上所述,的取值范围为. 考点八 对数函数的值域二 【例8】1．求函数的值域． 【答案】 【解析】，.函数的定义域为. 设R,则.∴该函数的值域为. 2．函数的值域为（ ） A．R B． C． D． 【答案】C 【解析】 ∵∴，∴，故选C． 【训练8】1．函数（）的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，由，可得则 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当t=1时，函数 取得最小值3；而当t=0时，，当t=3时，，7>4，函数取得最大值是7，所以函数（）的值域是.故选：C. 2．已知，，则的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以的定义域为， 解得，所以该函数的定义域为；所以， 所以 （），所以（）， 当时，，当时，，所以；所以函数的值域是． 3．求函数在2≤≤4时的值域． 【答案】 【解析】设,则.∵2≤≤4,∴≤≤,即 ∵函数在上为减函数∴,.∴该函数的值域为. 4．函数的最小值为__________． 【答案】 【解析】, 函数的定义域为设R,则. ∴该函数的最小值为. 考点九 对数函数的单调性 【例9】1．函数的单调递增区间（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得或，所以函数的定义域为， 因为是由和复合而成，因为单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为，选：C. 【训练9】1．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，可知：对于A：很明显是偶函数，所以排除A； 对于B：在其定义域内是减函数，所以排除B； 对于C：不是奇函数，所以排除C； 对于D：，由幂函数的性质可知是增函数， ∵，∴是奇函数．故选：D． 2．函数的单调递减区间是______． 【答案】 【解析】设，，（）因为是增函数，要求原函数的递减区间， 只需求（）的递减区间，由二次函数知，故填． 3．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解不等式，解得：或，所以函数的定义域为. 设函数，可知为二次函数，且开口向上，则函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，而对数函数在上为减函数，由复合函数单调性“同增异减”可知，函数的单调递减区间为.故选：D. 4．函数的定义域为R，则的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵函数的定义域为R∴在R上恒成立， 且,.∴,解之得:.∴.∴的单调递增区间即函数的单调递减区间,为,或. 5．若函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5。二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝2. 由复合函数单调性可得函数f(x)＝log (－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2,5)． 要使函数f(x)＝log (－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，只需 解得≤m＜2. 考点十 由对数函数的单调性求参数的范围 【例10】1．函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于a＞0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数， 因此a＞1，又u＝ax－3在[1,3]上恒为正，∴a－3＞0，即a＞3．答案a＞3． 2．函数f(x)＝loga(ax－3)在上单调递增，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于a＞0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)为增函数， 则f(x)＝logau必为增函数，因此a＞1，又u＝ax－3在上恒为正，∴a－3≥0，即a≥3．答案a≥3． 3． 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若函数在上单调递减，则， 得.故选：B. 【训练10】1．已知f(x)＝loga[(3－a)x－a]是其定义域上的增函数，那么a的取值范围( ) A．(0,1) B．(1,3) C．(0,1)∪(1,3) D．(3，＋∞) 【答案】B 【解析】记u＝(3－a)x－a，当1＜a＜3时，y＝logau在(0，＋∞)上为增函数， u＝(3－a)x－a在其定义域内为增函数，∴此时f(x)在其定义域内为增函数，符合要求． 当a＞3时，y＝logau在其定义域内为增函数，而u＝(3－a)x－a在其定义域内为减函数， ∴此时f(x)在其定义域内为减函数，不符合要求．当0＜a＜1时，同理可知f(x)在其定义域内是减函数， 不符合题目要求．故选B． 2．函数（，）在上是减函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∴在上单调递减，由复合函数单调性可知：在上单调递增 由定义域可知：当时，，综上所述：本题正确选项：A 3．函数在单调递增，求a的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，二次函数抛物线的对称轴方程为，由复合函数的单调性可知，.又在上恒成立，所以，即，所以， 解可得，．故选：C 4．已知是定义在上的减函数，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因函数是定义在上的减函数，则有， 解得，所以的取值范围是.故选：D 5．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因函数在R上单调递增，则有在上递增，在上也递增，根据增函数图象特征知，点不能在点上方， 于是得 ，解得，所以实数a的取值范围是.选：A 6．（24新高考一）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得，即a的范围是.故选：B. 考点十一 对数函数比较大小 （找各个数的与特殊值0或1的大小关系；或换成同底数，利用单调性比较） 【例11】1．若a＝30．6，b＝log30.2，c＝0.63，则( ) A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a 【答案】A 【解析】30.6＞1，log30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a＞c＞b，选A． 2．已知，，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， ，故，所以．故选A． 【训练11】1．设，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，， ，，，.故选：D. 2．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 【答案】D 【解析】a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72， 则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a＞b＞c． 3．已知奇函数在上是增函数．若，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵函数为奇函数，∴， ∵，且函数在上是增函数，∴，选C． 4．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】则．故选B． 5．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】是R的偶函数，． ，又在(0，+∞)单调递减， ∴，，故选C． 6．设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以.选：A. 7．已知，，，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，即.故选：C. 8．（24天津）若，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上递增，且，所以， 所以，即，因为在上递增，且， 所以，即，所以，故选：B 考点十二 指数对数互换 表达形式 名称 指数式 底数 指数 幂 对数式 底数 对数 真数 【例12】1．若，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】，， 故选：C. 2．若,则等于（ ） A．3 B．5 C．7 D．10 【答案】B 【解析】∵,∴,∴. ∴. 【训练12】1．已知，且，则的值为 ． 【答案】 【解析】已知，∴，∴， 又∵，∴，∴． 2．已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________． 【答案】12 【解析】am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝2·an＝22×3＝12. 3．若,则__________． 【答案】 【解析】∵,∴,即,∴.∴. 4．已知,则_________． 【答案】 【解析】∵,∴.∴. 5．设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由可得，所以，所以有，故选：B 6．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 【答案】C 【解析】，所以，则， 所以，，解得.故选：C. 7．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 【答案】C 【解析】由，当时，，则. 8．已知，则（ ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【解析】因为，，即，所以．选：C. 9．（24北京）记水的质量为，并且d越大，水质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（ ） A． B． C．若，则；若，则； D．若，则；若，则； 【答案】C 【解析】由题意可得，解得，若，则，可得，即；若，则，可得；若，则，可得，即；结合选项可知C正确，ABD错误；故选：C. 考点十三 对数函数综合 【例13】1．已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为（ ） A．4 B．－4 C．6 D．－6 【答案】B 2．设函数，则f(x)（ ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】D 【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B；当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D. 3．写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ． ① ；②当时，单调递减； ③为偶函数． 【答案】（不唯一） 【解析】性质①显然是和对数有关，性质②只需令对数的底即可，性质③只需将自变量加绝对值即变成偶函数，故答案为：（不唯一） 【训练13】1．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝log3(1＋x)，则f(－2)＝( ) A．－1 B．－3 C．1 D．3 【答案】A 【解析】f(－2)＝－f(2)＝－log33＝－1． 2．已知函数，则( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】f(x)＋f(－x)＝ln(－3x)＋ln(＋3x)＋2＝ln(1＋9x2－9x2)＋2＝ln 1＋2＝2， 由上式关系知f(lg 2)＋f＝f(lg 2)＋f(－lg 2)＝2. 3．已知是奇函数，且当时，.若，则_________． 【答案】-3 【解析】因为奇函数，且当时，．又因为，，所以，两边取以为底的对数得，所以，即． 4．（23新高考二）若为偶函数，则（ ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【解析】因为 为偶函数，则 ，解得， ，，解得或，则其定义域为或， 关于原点对称．， 故此时为偶函数.故选：B. 5．设函数，其中． （1）证明：是上的减函数； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）:设,任取,且,则有 . ∵,且,且∴ ∴∴在上是增函数 ∵∴是上的减函数; （2） ∵,∴∵∴,解之得:. ∴的取值范围是. 6．已知函数． （1）判断奇偶性并证明你的结论； （2）解方程． 【答案】(1)见证明；(2) 【解析】（1）根据题意，为奇函数；证明：，所以定义域为，关于原点对称；任取，则 ．则有，为奇函数； （2）由（1）知，，即， ，即，或， 又由，则有，综上，不等式解集为 7．已知函数（，且）在上的最大值为2． （1）求的值； （2）若，求使得成立的的取值范围． 【答案】（1）或；（2）. 【解析】（1）由题意，当时，函数在上单调递增，因此，解得；当时，函数在上单调递减，因此，解得.综上可知：或. （2）由不等式，即， 又，根据对数函数的性质，可得，即，解得. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$