精品解析：湖南省岳阳市汨罗市第二中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

2025年5月高二下学期数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据补集的运算，求得，再结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，全集，集合，， 可得，所以. 故选：C. 2. 已知为等腰三角形，满足，，若为底上的动点，则 A. 有最大值 B. 是定值 C. 有最小值 D. 是定值 【答案】D 【解析】 【分析】设是等腰三角形的高.将转化为，将转化为，代入数量积公式后，化简后可得出正确选项. 【详解】设是等腰三角形的高，长度为.故 .所以选D. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题. 3. 如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直观图运用斜二测画法，还原原图即可解决. 【详解】因为，由直观图可知，， 所以还原平面图形中，， 在中，，则三角形的周长为． 故选：D． 4. 已知满足，，且当时，（为常数），则的值为（ ）. A. 4 B. -4 C. 6 D. -6 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，结合求得，由此求得的值. 【详解】由于满足，，所以为奇函数，由，解得，所以时，.所以 . 故选：B 【点睛】本小题主要考查函数奇偶性，考查对数运算，属于基础题. 5. 如果是空间中的两条直线，是空间中的两个平面，下列命题错误的是（ ） A. 直线与要么相交，要么不相交 B. 当直线与不相交时，与要么平行，要么异面 C. 直线平面，要么与平行，要么在内 D. 平面与要么相交，要么不相交 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间两条直线的共面或异面的位置空间及线面位置关系，两个平面的位置关系可判断各个命题的真假. 【详解】 对于AB：空间中的两条直线a，b的位置关系有共面和异面两种情况，共面时有相交和平行两种情况， 若直线与要么相交，要么不相交，故A正确； 当a与b不相交时，a与b要么平行，要么异面， 故B是正确； 对于C：直线、平面，要么与平行，要么在内,还有可能直线与平面相交，故C是错误的； 对于D：空间两个平面与的位置关系为相交或平行，空间两个平面要么相交，要么不相交，故D正确. 故选：C. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形或直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由半角公式和正弦定理得到，结合角的范围得到，，，得到答案. 【详解】， 故， 由正弦定理得， 其中， 即， 故， 因为，所以，故， 因为，所以， 的形状为直角三角形. 故选：B 7. 已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，，求得向量与的模与数量积，即可求得向量与的夹角的余弦值. 【详解】解：由，， 则，， 所以，，， 设向量与的夹角为，则. 故选：D. 8. 已知点P为△ABC的重心，，点Q是线段BP的中点，则||为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中点及重心的性质，利用基底表示,平方后根据数量积的计算求解即可. 【详解】因为点Q是线段BP的中点，P为△ABC的重心， 所以，即， 故平方可得，可得， 故选：C. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 下列选项中哪些是正确的（ ） A. B. 的最大值为1 C. D. 复数可能为纯虚数 【答案】AC 【解析】 【分析】由向量加法法则判断A；辅助角公式化简，结合正弦型函数确定最值判断B；应用二倍角正弦公式化简求值判断C；由纯虚数定义列方程组求参数即可判断D. 【详解】A：，正确； B：，故最大值为，错误； C：，正确； D：若为纯虚数，则，显然无解，错误. 故选：AC 10. 如图，正方体的棱长为a，线段上有两个动点E，F，且.则下列结论正确的是（ ） A. 当E与重合时，异面直线与所成的角为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 在平面内的射影长为 D. 当E向运动时，二面角的平面角保持不变 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：当E与重合，BD中点为O并连接，可得，即为异面直线与所成角的平面角，应用余弦定理求余弦值，即可确定大小；B：由及A到面、B到直线的距离为定值即可判断；C：在平面内的射影在上，即可求射影长；D：由二面角为二面角即可判断. 【详解】A：当E与重合时，因为，此时F为的中点，记BD中点为O，连接，由正方体性质可知，，所以四边形为平行四边形，所以，又，，，所以，错误； B：，易知点A到平面的距离和点B到直线的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，正确； C：易知，在平面内的射影在上，所以射影长为，正确； D：二面角，即为二面角，显然其平面角不变，正确. 故选：BCD 11. 在中，角，，的对边分别为，，，为边上的中线，，，以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：可证，再根据数量积的运算律判断A，根据、平面向量数量积的运算律及余弦定理可得，即可判断B，再由数量积的运算律得到，进而得到，再由基本不等式及数量积的定义判断C，由题可得，结合条件可得，结合可判断D. 【详解】因为为边上的中线，，， 对于A：若，即，又，所以， 所以，，又，所以， 即，所以，则， ， 所以，故A正确； 对于B：当，即， 是边上中线，， ， 即， 由余弦定理， 即， 所以，故B错误； 对于C： ，，又，， ， ， 若，即，，即， 由余弦定理，所以， 即，当且仅当时取等号，所以， 所以，又， 所以，故C正确； 对于D：在中，设角，，所对边为，，， ，即， 由上知， ， ，， ， 又，即， ，， ，故D正确． 故选：ACD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在中，内角的对边分别为，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合正弦定理得，再结合化简可得，即可得解. 【详解】由正弦定理及可得， 由可得， 所以即， 因为，所以，所以， 由可得. 故答案为：. 【点睛】本题考查了正弦定理和三角函数的综合问题，属于基础题. 13. 如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B的距离是84 m，则塔高CD＝________m. 【答案】 【解析】 【分析】 设塔高，利用方向角条件，在△ABD中使用余弦定理列关系求解即可. 【详解】设塔高CD＝x m， 则AD＝x m，DB＝m. 又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°， 在△ABD中，利用余弦定理，得 842＝x2＋()2－2·x2 cos 150°， 解得x＝ (负值舍去)，故塔高为 m. 故答案为：. 【点睛】本题考查了余弦定理的应用实例，属于基础题. 14. 已知三棱锥如图所示，两两垂直，且，点分别是棱的中点，点是棱上靠近点的三等分点，则空间几何体的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交于点，证明平面，分别求出三棱锥的体积，再根据即可得解. 【详解】如图，过点作，交于点， 因为，，，，平面， 所以平面，所以平面，且， 因此， 因为、分别为、的中点，所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 四、解答题（共80分） 15. 设，是不共线的两个向量. （1）若，，，求证：A，B，D三点共线； （2）若与共线，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，即可证明； （2）易知，根据共线向量可得存在实数使，结合相等向量的概念建立方程组，解之即可. 【小问1详解】 由题意知，， ∴，且有公共点B， ∴A，B，D三点共线； 【小问2详解】 ∵，不共线，∴， 又与共线， ∴存在实数，使， ∴，解得. 16. 设函数 （1）若不等式对一切实数恒成立，求取值范围； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）转化问题为恒成立，进而结合二次不等式恒成立问题求解即可； （2）不等式化简为，进而根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【小问1详解】 对一切实数恒成立，等价于恒成立. 当时，不等式可化为，不满足题意. 当，有，即，解得， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 此时，所以不等式的解集为 当时，不等式化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，延长BC至D，使，的面积为． （1）求AB的长； （2）求外接圆的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求得，从而可得为等边三角形，再利用三角形的面积公式即可得出答案； （2）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求得外接圆半径，即可得解. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 又，所以， 又因，所以为等边三角形，故， 由，可得， 故， 解得或； 【小问2详解】 解：由（1）得： 当时，， 则 ， 所以， 设外接圆的半径为， 由正弦定理可得，所以， 所以外接圆的面积为， 当时，， 则 ， 所以， 同理外接圆的面积为， 综上所述，外接圆的面积为. 18. 在单位正方体 中，O是 的中点，如图建立空间直角坐标系. （1）求证 ∥平面 ； （2）求异面直线与OD夹角的余弦值； 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)由 ，结合线面平行的判断定理即可证得结论； (2)利用空间直角坐标系可得异面直线夹角的余弦值为 . 【小问1详解】 解法一：连接,在正方体中，有. 而平面， 平面 所以平面. 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 故 设平面的一个法向量为， 由 得，令，则 所以. 又.从而 所以∥平面. 【小问2详解】 法一：由（1）知异面直线与的夹角为或其补角. 而且为中点，故， 所以两异面直线与的夹角的余弦值为. 法二：设、分别为直线与的方向向量， 则由，得. 所以两异面直线与的夹角的余弦值为, 19. 已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）求的取值范围； （3）在中，，其外接圆直径为（如图），，求和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简函数，由，得到，即可求解； （2）由（1）知，可得，求得，结合，即可求解； （3）设，圆的半径为，利用正弦定理，列出方程求得的值，结合直角三角形的性质和面积公式，即可求解. 小问1详解】 解：由函数， 因为，可得，即， 又因为，可得，所以，可得. 【小问2详解】 解：由（1）知，可得, 因为为锐角，所以，解得， 则， 因为，可得，所以， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 解：因为为圆直径，所以且 设，可得，， 设圆的半径为，在中，可得， 在中，可得， 所以，即，可得， 又因为，解得， 所以， 又由， 所以， 四边形的面积为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年5月高二下学期数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为等腰三角形，满足，，若为底上的动点，则 A. 有最大值 B. 是定值 C. 有最小值 D. 是定值 3. 如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 已知满足，，且当时，（为常数），则值为（ ）. A. 4 B. -4 C. 6 D. -6 5. 如果是空间中的两条直线，是空间中的两个平面，下列命题错误的是（ ） A. 直线与要么相交，要么不相交 B. 当直线与不相交时，与要么平行，要么异面 C. 直线平面，要么与平行，要么在内 D. 平面与要么相交，要么不相交 6. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形或直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 7. 已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点P为△ABC的重心，，点Q是线段BP的中点，则||为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 下列选项中哪些是正确的（ ） A. B. 的最大值为1 C. D. 复数可能为纯虚数 10. 如图，正方体的棱长为a，线段上有两个动点E，F，且.则下列结论正确的是（ ） A. 当E与重合时，异面直线与所成的角为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 在平面内的射影长为 D. 当E向运动时，二面角的平面角保持不变 11. 在中，角，，的对边分别为，，，为边上的中线，，，以下说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的取值范围是 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在中，内角的对边分别为，若，则______. 13. 如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B的距离是84 m，则塔高CD＝________m. 14. 已知三棱锥如图所示，两两垂直，且，点分别是棱中点，点是棱上靠近点的三等分点，则空间几何体的体积为__________. 四、解答题（共80分） 15. 设，是不共线的两个向量. （1）若，，，求证：A，B，D三点共线； （2）若与共线，求实数的值. 16. 设函数 （1）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （2）解关于的不等式：. 17. 在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，，，延长BC至D，使，的面积为． （1）求AB的长； （2）求外接圆的面积． 18. 在单位正方体 中，O是 的中点，如图建立空间直角坐标系. （1）求证 ∥平面 ； （2）求异面直线与OD夹角的余弦值； 19. 已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）求的取值范围； （3）在中，，其外接圆直径为（如图），，求和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $