第02讲 相似三角形的判定与性质（2大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025-2026学年九年级上册数学衔接讲义（沪教版）

第02讲 相似三角形的判定与性质（2大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 选择或补充条件使两个三角形相似 典型例题二 相似三角形的判定综合 典型例题三 利用相似三角形的性质求解 典型例题四 证明三角形的对应线段成比例 典型例题五 在网格中画与已知三角形相似的三角形 典型例题六 相似三角形——动点问题 典型例题七 重心的有关性质 典型例题八 相似三角形的判定与性质综合 典型例题九 相似三角形的综合问题 知识点01 相似三角形的判定 预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定1 有两个角对应相等的两个三角形相似． 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定3 三边对应成比例的两个三角形相似 直角三角形 的特殊判定 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 知识点02 相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2 相似三角形的周长比等于相似比。 ∽，则 由比例性质可得： 类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。 性质3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 性质4 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 【典型例题一 选择或补充条件使两个三角形相似】 【例1】（2025·上海闵行·模拟预测）如图，已知，添加下列各选项中的条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，已知，点，在直线上，．要得到与相似，还需要添加一个条件，添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·上海·模拟预测）如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【例4】（2025·上海松江·模拟预测）如图，已知，，请用尺规作图法在边上作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 1．（2025九年级上·全国·专题练习）在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，标记了与边、角的一些数据，如果再添加一个条件使，那么这个条件可以是 ．（只填一个即可） 3．（2025九年级上·上海闵行·专题练习）如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 4．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，过点任作一直线，过点作于点，过点作于点． （1）指出图中的一对相似三角形并证明； （2）当时，需添加一个条件，这个条件可以是___ (只要求写出一种情况即可) 【典型例题二 相似三角形的判定综合】 【例1】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（   ） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 【例2】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·上海嘉定·期末）在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【例4】（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，垂足分别为与交于点．请你在图中找出4对相似三角形（不需要写出证明过程）． 1．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海松江·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ）    A． 甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 3．（2025·上海宝山·模拟预测）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．    4．（24-25九年级上·闵行·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中画一个格点，并作直线． (2)在图②中画一个格点，点在直线上，连接，使． (3)在图③中画一个格点，点不在直线，连接、，使． 【典型例题三 利用相似三角形的性质求解】 【例1】（2025·上海静安·模拟预测）如图，，和分别是和的高，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海虹口·模拟预测）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的周长比为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是，则的面积是 ． 【例4】（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，D是边上一点，且， (1)求证：； (2)若，，的面积为9，求的面积． 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，矩形中，，，点E是边上一定点，且．在线段上找一点F，使与相似．若这样的点F恰好有3个，则m的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）两个相似三角形某一对应角的角平分线的比为，其中一个三角形的周长比另一个三角形的周长小．求这两个三角形的周长． 4．（2025·上海黄浦·模拟预测）图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在给定的网格中，分别按下列要求作图． (1)在图1中，画一条线段，将线段分为的两部分；（要求：点，均在格点上） (2)在图2中的边上找一点，在边上找一点，连接，使，且相似比为． 【典型例题四 证明三角形的对应线段成比例】 【例1】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·上海闵行·期末）在直角坐标平面内，一点光源位于处，线段垂直于x轴，D为垂足，，则的长为（    ）． A． B．3 C．4 D． 【例3】（24-25九年级上·上海嘉定·课后作业）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝ ． 【例4】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知矩形，为边上靠近点的三等分点，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作出边上靠近点的三等分点． （2）在图2中作出点关于直线的对称点． 1．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 2．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8将矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，如果AE=2AM，那么CN的长为 . 3．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，，，，．求的长．    4．（2025·上海静安·模拟预测）在下列正方形网格中，每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，用无刻度的直尺画图，保留必要的作图过程（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．并回答下列问题： （1）直接写出的形状； （2）如图，在上求作点，使平分； （3）如图，在上求作点，使；再作点关于的对称点． 【典型例题五 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【例1】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，点都是方格纸中的格点，为使（点和对应，点和对应），则点应是四点中的（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在5×5的正方形网格中，点A、B、C、E、F都在小正方形的顶点上，试在该网格中找点D，联结DE、DF，使得△DEF与△ACB相似（在图中画出符合题意的点D） 【例4】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形： (1)在图1中画，使得，且相似比为； (2)在图2中画，使得，且面积比为． 1．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·上海松江·模拟预测）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 ． 3．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）图1，图2均为由边长为1的正六边形构成的网格，每个正六边形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，称为格点三角形．请用无刻度直尺按要求画出图形． (1)在图1中画出将绕点逆时针旋转后的（保留作图痕迹并请标注字母）． (2)在图2中画出两个大小不一的格点三角形，要求与相似但不全等（请涂填阴影）． 4．（24-25九年级上·上海宝山·期中）图①、图②、图③均是的方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①，________． (2)如图②，在上找一点，使． (3)如图③，在上找一点，连接、，使． 【典型例题六 相似三角形——动点问题】 【例1】（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（     ） A． B． C．或3 D．或4 【例2】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，，，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（    ） A．1 B．4 C．7 D．4或7 【例3】（24-25九年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时， ． 【例4】（24-25九年级上·上海奉贤·期末）如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x， (1)当时，x为何值？ (2)能否与相似，若能，求出的长，若不能，请说明理由． (3)当时，求．（直接写答案） 1．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海金山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么当 ，与相似． 3．（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，，，点P从点A沿向C以的速度移动，到C即停，点Q从点C沿向B以的速度移动，到B就停 (1)若P、Q同时出发，经过几秒钟； (2)若点Q从C点出发后点P从点A出发，再经过几秒与相似． 4．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长（用含t的代数式表示）； (2)求点E落在区域（含边界）内的时长； (3)连接，当与相似时，求t的值； (4)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 【典型例题七 重心的有关性质】 【例1】（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，点G为的重心，若，则为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海·模拟预测）如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【例3】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，为的中线，G为的重心，若，则 ． 【例4】（2025·上海宝山·模拟预测）如图①，是某教材九年级上册某一页的插图，这幅插图告诉我们可以用铅笔支起一张均匀的三角形卡片．请用尺规作图法，在图②的中找到这个支点P（保留作图痕迹，不写作法）． 1．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，点D是的重心，连接并延长交于点E．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，点O是的重心，如果，则点O到边的距离是 ． 3．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，在的网格中，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺按要求在网格中作图． (1)在图1中画出线段，点D在上，使得； (2)在图2中画出的重心E． 4．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）问题呈现： 如图，是等边的中心，经过点的直线分别交边于点．设，探究的值． 问题探究： （1）如图（2），先将问题特殊化，若，求的值； （2）如图（1），在一般情形下，试判断（1）中的结果是否仍然成立？请证明你的判断； 问题拓展： （3）若，直接写出的值． 【典型例题八 相似三角形的判定与性质综合】 【例1】（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，线段，交于点，连接，．若，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海虹口·模拟预测）凸透镜成像的原理如图所示，是凸透镜的主光轴，O为凸透镜的中心，点F是焦点，，．若物距与像距之比为，测得蜡烛高，则像的长为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·上海长宁·模拟预测）如图，，，，则的长为 ． 【例4】（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知零件的外径为，现用一个交叉卡钳测量零件的内孔直径．如果，且量得，求的长及零件的厚度． 1．（2025·上海静安·模拟预测）在建筑设计的实践中，常常会遇到四边形结构的建筑框架．现有一个四边形建筑框架，其中和是两条相互平行的建筑边线，、作为两条交叉的支撑结构线，于点交汇，为整个建筑框架提供稳固的支撑．设计师在进行建筑材料分配以及装饰设计规划时，需要精准把握各个三角形区域的面积比例．已知，则当（   ）时，才能使与的面积之比为，以便为后续的建筑设计工作提供精确的数据支持． A． B． C． D． 2．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点F在上，与交于点P，与交于点Q．若，，则四边形的面积是 ． 3．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在中，，，垂足分别为，，交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（2025·上海宝山·模拟预测）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【典型例题九 相似三角形的综合问题】 【例1】 （24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（    ） A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3 【例2】 （24-25九年级上·上海崇明·课后作业）如图，已知，任取一点，连接，分别取点，使，，，连接，得到，给出下列说法：①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长比为；④与的面积比为．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】（2025·上海嘉定·模拟预测）如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与BC1、BE交于点M、N，若，则= ． 【例4】（2025九年级上上海·专题练习）如图，D、E分别AB、AC上的点 （1）如果DE∥BC，那么ADE和ABC是位似图形吗？为什么？ （2）如果ADE和ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？ 1．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·上海闵行·模拟预测）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，那么支柱的高度为 ． 3．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，已知BO是△ABC的AC边上的高，其中BO＝8，AO＝6，CO＝4，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A在线段CA上作匀速运动，同时点N以5个单位长度/秒的速度自A向B在射线AB上作匀速运动，MN交OB于点P．当M运动到点A时，点M、N同时停止运动．设点M运动时间为t． （1）线段AN的取值范围是　 　； （2）当0＜t＜2时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP与△MNA相似，求CM的长； （3）当2＜t＜5时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP是等腰三角形，求CM的长．    4．（2025·上海青浦·模拟预测）图（1）是小明同学自制的测量工具，其中，上都有相同单位的刻度，G可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度． 如图（2），小明站在自动扶梯的底部A处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点F，滑动使O ，G，P在同一条直线上，此时． 他乘坐扶梯到达顶部B处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点E， 滑动， 使在同一条直线上，此时．小明的身高，自动扶梯的高为， 水平宽为． 试根据以上数据计算出建筑物的高度．(结果精确到) 1．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，在中，于点，若，则的长为（    ） A．9 B． C．13 D．12 2．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，点在的边上，要判断与相似，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海静安·模拟预测）如图，与位似，位似中心为点，且相似比为，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．4.5s或4.8s B．3s或4.5s C．4.5s D．3s或4.8s 5．（2025·上海普陀·模拟预测）如图所示，是嘉淇所作的凸透镜成像的光路图，是蜡烛通过凸透镜所成的倒立，放大的实像．已知蜡烛的高度，物距，焦距，光线通过凸透镜的光心，折射光线通过凸透镜的右焦点，则像的高度为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 7．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，，，其中 ． 8．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲、丙、丁四点中的 ． 9．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ．（请在横线上填上符合条件的序号） 10．（24-25九年级上·上海金山·期末）如图，某综合与实践小组想要确定某池塘的长度，先在池塘的一侧取一个可以直接到达点的点，经测量得到．若在的延长线上分别取点，使，连接，测得，则该池塘的长度为 m． 11．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在中，利用尺规作图在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 12．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，在△ABC中，A，B两点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，求点B的横坐标． 13．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 14．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 15．（24-25九年级上·上海宝山·期末）综合与实践 【主题】测量旗杆的高度． 【工具】伸缩杆，平面镜，卷尺． 【步骤】 步骤1：小明在旗杆前的处放置了一根垂直于地面的伸缩杆，将伸缩杆的高度调整为米，这时地面上的点、伸缩杆的顶端和旗杆的顶端正好在同一直线上，测得米； 步骤：小明从点出发沿着方向前进米，到达点； 步骤：小明在点处放置一平面镜，小亮站在处时，恰好在平面镜中看到旗杆的顶端的像，此时测得小亮的眼睛到地面的距离为米，米． 【问题解决】 已知点、、、与旗杆的底端在同一直线上，，，，请你根据以上测量过程与数据（平面镜大小忽略不计）． (1)求证：； (2)求该旗杆的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 相似三角形的判定与性质（2大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 选择或补充条件使两个三角形相似 典型例题二 相似三角形的判定综合 典型例题三 利用相似三角形的性质求解 典型例题四 证明三角形的对应线段成比例 典型例题五 在网格中画与已知三角形相似的三角形 典型例题六 相似三角形——动点问题 典型例题七 重心的有关性质 典型例题八 相似三角形的判定与性质综合 典型例题九 相似三角形的综合问题 知识点01 相似三角形的判定 预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定1 有两个角对应相等的两个三角形相似． 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定3 三边对应成比例的两个三角形相似 直角三角形 的特殊判定 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 知识点02 相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2 相似三角形的周长比等于相似比。 ∽，则 由比例性质可得： 类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。 性质3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 性质4 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 【典型例题一 选择或补充条件使两个三角形相似】 【例1】（2025·上海闵行·模拟预测）如图，已知，添加下列各选项中的条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定方法是关键． 判定两个三角形相似的方法有：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【详解】解：∵， ∴，即， 选项A，添加，运用两角分别相等的两个三角形相似，可证． 选项B，添加，用两角分别相等的两个三角形相似，可证． 选项C，添加，运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证． 选项D，添加，两边对应成比例，但不是夹角相等，不能判定． 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，已知，点，在直线上，．要得到与相似，还需要添加一个条件，添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，则：或时，利用两角对应相等的两个三角形相似，可以得到 与相似；故A符合题意； 当或或，都无法得到与相似；故B，C，D不符合题意； 故选A． 【例3】（2025·上海·模拟预测）如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【答案】或或（任选一个） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似的判定定理即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：在和中，∵， ∴当或或时，， 故答案为：或或． 【例4】（2025·上海松江·模拟预测）如图，已知，，请用尺规作图法在边上作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用尺规作图——作一个角等于已知角，相似三角形的判定，掌握尺规作图——作一个角等于已知角是解题的关键． 根据相似三角形的判定得到，再利用尺规作图作即可． 【详解】解：如图，点P即为所求． 1．（2025九年级上·全国·专题练习）在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要使，则，即可推出，则是边的垂线即可，由此求解即可． 【详解】解：当是的垂线时，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 根据作图痕迹可知， A选项中，是的角平分线，不符合题意； B选项中，不与垂直，不符合题意； 选项中，是的垂线，符合题意； 选项中，不与垂直，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，作垂线，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，标记了与边、角的一些数据，如果再添加一个条件使，那么这个条件可以是 ．（只填一个即可） 【答案】或或 【分析】利用三角形相似的条件即可进行解答. 【详解】由图可知：，且， ∴当时，； 由图可知：，且， ∴当时，即可求得，； 由图可知：，，， ∴当，即时，； 综上所述：当或或时， 【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定条件是解题关键 3．（2025九年级上·上海闵行·专题练习）如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 【答案】不相似，可添加或或（答案不唯一）． 【详解】本题考查了相似三角形的判定，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，或“两角对应相等，两三角形相似”即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 解：不定相似，因为和不是成比例的两边的夹角。 若添加，则可根据“两角对应相等，两三角形相似”得到； 若添加，则可根据“两角对应相等，两三角形相似”得到； 若添加，则可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” 得到。 故可添加：，或或（答案不唯一）． 4．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，过点任作一直线，过点作于点，过点作于点． （1）指出图中的一对相似三角形并证明； （2）当时，需添加一个条件，这个条件可以是___ (只要求写出一种情况即可) 【答案】（1），证明见解析；（2）（答案不唯一） 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）根据相似三角形的判定定理，已知一组对应角相等，需要再添加另一组对应角相等或者夹这组角的两边对应成比例，即可得到两三角形相似． 【详解】解： 证明：于点于点 ∵BE⊥DE∴∠BEC=90°=∠ACB，再添加 根据两角对应相等的两个三角形相似，得到； ∵∠BEC=90°=∠ACB，再添加 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【典型例题二 相似三角形的判定综合】 【例1】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（   ） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判断，等腰三角形的性质．根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，故本选项不符合题意； B、有一个角相等的两个直角三角形不一定相似，故本选项不符合题意； C、有一个角是的两个等腰三角形，其三个角一定为，，，一定相似，故本选项符合题意； D、有一组角是对顶角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形判定的方法． 根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，选项错误； 选项，阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，选项错误； 选项，，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，选项错误； 选项，夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，符合题意，选项正确． 故选：． 【例3】（24-25九年级上·上海嘉定·期末）在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得：或； 故答案为或． 【例4】（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，垂足分别为与交于点．请你在图中找出4对相似三角形（不需要写出证明过程）． 【答案】，，，， 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，两组对应角对应相等的三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 1．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定定理是解题的关键． 分别根据相似三角形的判定方法进行逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴， 又∵ ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴，故该选项不符合题意； C、∵，， ∴，故该选项不符合题意； D、无法得出相似，故该选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海松江·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，根据题意得，，，，可得，，即可证得；再根据题意得，，可得，可知新矩形与原矩形不相似，即可求解． 【详解】解：甲：根据题意得，，，， ∴，， ∴， ∴甲说法正确； 乙：根据题意得，，，则，， ∴，， ∴， ∴新矩形与原矩形不相似， ∴乙说法不正确； 故选：A．    3．（2025·上海宝山·模拟预测）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．    【答案】 【分析】由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键． 4．（24-25九年级上·闵行·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中画一个格点，并作直线． (2)在图②中画一个格点，点在直线上，连接，使． (3)在图③中画一个格点，点不在直线，连接、，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）如图所示，取格点D，作直线，则直线和点即为所求； （2）如图所示，格点E即为所求； （3）如图所示，格点F即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，直线和点即为所求； 可证明，则， 可证明，则可证明； （2）解：如图所示，格点E即为所求； 可证明，再由即可证明； （3）解：如图所示，格点F即为所求； 可证明， 由勾股定理的逆定理可证明，则可证明． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【典型例题三 利用相似三角形的性质求解】 【例1】（2025·上海静安·模拟预测）如图，，和分别是和的高，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比和高之比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形的周长比和高之比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵，和分别是和的高，，， ∴， ∴， 故选：D． 【例2】（2025·上海虹口·模拟预测）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的周长比为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的周长比等于相似比得到答案． 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ，． ． ． 与的周长比为， 与的相似比为，即． ∴． 故选：C． 【例3】（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是，则的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握面积比等于位似比的平方是解题的关键．根据题意，可得位数比为，再根据位数图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：原点是和的位似中心，点与点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 12． 【例4】（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，D是边上一点，且， (1)求证：； (2)若，，的面积为9，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)27 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质． （1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定即可证明，即得出； （2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：，， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴的面积． 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键；先证得，然后根据相似三角形相似比等于周长比即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，的周长为， ∴， 解得：， 故选：A． 2．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，矩形中，，，点E是边上一定点，且．在线段上找一点F，使与相似．若这样的点F恰好有3个，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据题意画出图形，交点个数分类讨论即可解决问题． 本题考查作图—相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，延长，作点E关于的对称点，连接，交于点，连接，以为直径作交于点、，由矩形的性质可得， ∴， 由轴对称的性质可得：， ∴， 当时，∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 即图中的直径为5，作于点G， 根据垂径定理，得， ∴， ∴此时图中所作的圆心到的距离为，等于的半径， 此时重合， 此时，即当时，符合条件的F有2个，为； 当时，图中所作和相离，此时不存在了，即此时符合条件的F只有个，为， 当时，且时， ∴， 设， ∵， ，， ∴， ∴， 整理，得， 解得； 当时， ∴， 设， ∵， ，， ∴， ∴， 解得， 故时，符合题意的点F有两个， 故当且有3个， 故答案为：且． 3．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）两个相似三角形某一对应角的角平分线的比为，其中一个三角形的周长比另一个三角形的周长小．求这两个三角形的周长． 【答案】这两个三角形的周长为和 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，对应角的角平分线的比等于相似比求解即可． 【详解】解：设较小的三角形的周长为，则较大的三角形的周长为， ∵两个相似三角形对应角平分线的比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴两个相似三角形的周长比为，     ∴， 解得，则， 故这两个三角形的周长为和． 4．（2025·上海黄浦·模拟预测）图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在给定的网格中，分别按下列要求作图． (1)在图1中，画一条线段，将线段分为的两部分；（要求：点，均在格点上） (2)在图2中的边上找一点，在边上找一点，连接，使，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了格点作图，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）在上取格点，使得，在格点B正上方取格点N，使得，连接交于点，根据，证，推出，即可解答． （2）利用网格线的特点取格点，连接交于点E，使得，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，为所求； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图2，为所求； ∵， ∴， ∴，即相似比为． 【典型例题四 证明三角形的对应线段成比例】 【例1】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A，B，C正确,D错误 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·上海闵行·期末）在直角坐标平面内，一点光源位于处，线段垂直于x轴，D为垂足，，则的长为（    ）． A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合图形，利用相似三角形△的性质解答． 【详解】∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， C点坐标为， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】此题考查了平面直角坐标系的知识，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·上海嘉定·课后作业）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝ ． 【答案】4． 【分析】根据相似三角形性的性质得到对应边成比例，列式求出AD的长． 【详解】∵△ABC∽△ACD，∴， ∵AB＝9，AC＝6，∴，解得：AD＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 【例4】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知矩形，为边上靠近点的三等分点，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作出边上靠近点的三等分点． （2）在图2中作出点关于直线的对称点． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）根据矩形中心对称的性质画图即可； （2）根据三角形相似比画图即可． 【详解】（1）如图，点F就是所求的点， ； （2）如图，点M就是所求的点， ． 【点睛】本题考查了作图，理解矩形的性质和三角形相似比是解题关键． 1．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【分析】过E作EF⊥CG于F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可． 【详解】过E作EF⊥CG于F， 设投射在墙上的影子DE长度为x,由题意得：△GFE∽△HAB， ∴AB:FE=AH:(GC−x)， 则240:150=160:(160−x)， 解得：x=60. 故选B. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题突破口是过E作EF⊥CG于F. 2．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8将矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，如果AE=2AM，那么CN的长为 . 【答案】 【分析】如图，过N作NF⊥AD于F，可得NF=AB，根据矩形的性质和折叠的性质可得∠MEN=∠B=90°，EN=BN，根据直角三角形两锐角互余的性质及平角的定义可得∠AME=∠NEF，进而可证明△AEM∽△FNE，根据AE=2AM可求出EF的长，在Rt△FNE中，利用勾股定理可求出EN的长，进而可求出CN的长. 【详解】如图，过N作NF⊥AD于F， ∵四边形ABCD是矩形，AB=6， ∴NF=AB=6， ∵矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处， ∴EN=BN，∠MEN=∠B=90°， ∴∠AEM+∠NEF=90°， ∵∠AEM+∠AME=90°， ∴∠AME=∠NEF， 又∵∠A=∠EFN=90°， ∴△AEM∽△FNE， ∴， ∵AE=2AM，NF=6， ∴EF=3， ∴BN=EN===， ∵BC=8， ∴CN=BC-BN=8-， 故答案为：8- 【点睛】本题考查矩形的性质、增大的性质及相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 3．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，，，，．求的长．    【答案】． 【分析】利用相似三角形的性质和判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定及其应用． 4．（2025·上海静安·模拟预测）在下列正方形网格中，每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，用无刻度的直尺画图，保留必要的作图过程（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．并回答下列问题： （1）直接写出的形状； （2）如图，在上求作点，使平分； （3）如图，在上求作点，使；再作点关于的对称点． 【答案】（1）直角三角形；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可． （2）取格点，连接交于点，射线即为所求作． （3）利用平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）如图1中，射线即为所求作． （3）如图2中，点，点即为所求作． ． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理的逆定理，轴对称的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【典型例题五 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【例1】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第2个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第3个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第4个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 综上所述， 故选：D．正确的画法有4个． 【例2】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，点都是方格纸中的格点，为使（点和对应，点和对应），则点应是四点中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图形可知△ABC的边AB=4，AC=6 DE=2，当△DEM∽△ABC时，AB和DE是对应边，相似比是1：2，则AC的对应边是3，则点M的对应点是H． 【详解】解：根据题意， ∵△DEM∽△ABC，AB=4，AC=6 DE=2 ∴DE：AB=DM：AC ∴DM=3 ∴M点的对应点应是H 故选C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等. 【例3】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在5×5的正方形网格中，点A、B、C、E、F都在小正方形的顶点上，试在该网格中找点D，联结DE、DF，使得△DEF与△ACB相似（在图中画出符合题意的点D） 【答案】见解析 【分析】利用相似三角形的判定方法——“两组对边成比例且夹角相等”作图即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1， 则，，， 利用格点作， 若△DEF与△ACB相似，则， 即， 解得， 因此在DF上取点D使得即可． 如图所示，△DEF与△ACB相似． 【点睛】本题主要考查画相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【例4】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形： (1)在图1中画，使得，且相似比为； (2)在图2中画，使得，且面积比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作相似三角形， （1）根据相似比得出各边均扩大2倍，通过计算求出扩大后三角形三边长再连接各点即可； （2）由面积的比得两三角形相似比为，画出所有对应边为原来倍的三角形即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． ； （2）解：如图：即为所求． ． 1．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理与网格，根据相似三角形的性质画出图形,即可求解． 【详解】解：如图所示， ，，，，，， ， ， ，，，，， ， ， 综上所述，与相似（但不全等）的格点三角形的个数是2个 故选：B． 2．（2025·上海松江·模拟预测）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 ． 【答案】5 【分析】根据相似三角形的性质确定两直角边的比值为1：2，以及6×6网格图形中，最长线段为6，进行尝试，可确定、、为边的这样一组三角形满足条件． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC=1，BC=2， ∴AB=，AC：BC=1：2， ∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2， 若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE=，EF=2，DF=5的三角形， ∵===， ∴△ABC∽△DEF， ∴∠DEF=∠C=90°， ∴此时△DEF的面积为：×2÷2=10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 3．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）图1，图2均为由边长为1的正六边形构成的网格，每个正六边形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，称为格点三角形．请用无刻度直尺按要求画出图形． (1)在图1中画出将绕点逆时针旋转后的（保留作图痕迹并请标注字母）． (2)在图2中画出两个大小不一的格点三角形，要求与相似但不全等（请涂填阴影）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定，正多边形与圆，相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，正确画出图形． （1）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，即可； （2）根据相似三角形的判定画出三角形即可（答案不唯一）． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，，即为所求（答案不唯一）． 4．（24-25九年级上·上海宝山·期中）图①、图②、图③均是的方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①，________． (2)如图②，在上找一点，使． (3)如图③，在上找一点，连接、，使． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质解答； （2）根据相似三角形的性质画出图形，作出点； （3）根据全等三角形的性质、相似三角形的性质解答． 【详解】（1）解：∵， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）解：如图②，点即为所求； （3）解：如图③，点即为所求 【典型例题六 相似三角形——动点问题】 【例1】（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（     ） A． B． C．或3 D．或4 【答案】C 【分析】首先由∠ACD=∠ABC，得出∠A=∠DCE，然后由相似三角形的性质得出或，代入即可得解. 【详解】∵∠ACD=∠ABC， ∴∠A=∠DCE， ∵△DCE和△ABC相似， ∴或 ∵AC=6，AB=4，CD=2， ∴或 ∴CE的长为或3 故选：C. 【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解决此问题要注意分类讨论. 【例2】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，，，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（    ） A．1 B．4 C．7 D．4或7 【答案】D 【分析】求出，分两种情况：当和，利用30°角直角三角形的性质求解即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 分两种情况： ①当时， ， ∴， ∵D为BC的中点， ∴E为的中点， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∵D为BC的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为4或7， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论． 【例3】（24-25九年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的和性质，理解运动中线段的数量关系，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意可得，，，由，得到，由此即可求解． 【详解】解：点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【例4】（24-25九年级上·上海奉贤·期末）如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x， (1)当时，x为何值？ (2)能否与相似，若能，求出的长，若不能，请说明理由． (3)当时，求．（直接写答案） 【答案】(1) (2)能，的长为或 (3) 【分析】本题考查了几何中的动点问题，涉及了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据平行线分线段成比例得即可求解； （2）根据，分类讨论，即可求解； （3）根据题意可得，，进而求得，；推出，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， （2）解：存在．理由如下： ， ， 时： ． 即： 解得：， ∴ 时： ， 即： 解得：（舍去） ， ∴的长为或 （3）解：∵， ，， ∴ ∴， ∴，， ∴ ∴ 1．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象．熟练掌握勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角形面积公式，二次函数的图象和性质，是解决问题的关键． 当时，根据，得出；当时，过点P作于点H，证，得出，根据，即可得出． 【详解】∵在中，，，， ∴， 当时， ， ∴， ∴图象为开口向上的抛物线； 当时， 过点P作于点H，如下图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图象为开口向下的抛物线． 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海金山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么当 ，与相似． 【答案】或 【分析】本题是相似三角形动点问题，相似三角形的性质．先由，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，用t表示出的长，再由时，，时，，分别得出及，最后求解即可； 【详解】解：，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动， ， ∵点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动， ， 若时，，即， 整理得：， 解得：， 则当时，与相似； 若时，，即， 解得：， 则当时，与相似； 综上所述：当秒或秒时，与相似， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，，，点P从点A沿向C以的速度移动，到C即停，点Q从点C沿向B以的速度移动，到B就停 (1)若P、Q同时出发，经过几秒钟； (2)若点Q从C点出发后点P从点A出发，再经过几秒与相似． 【答案】(1)秒或秒 (2)秒或秒 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，一元二次方程的应用，掌握相似三角形即可． （1）首先设经过时间为秒钟，根据题意列出关于t的一元二次方程，解出t值即可； （2）先设点从点出发后，再经过秒与相似，有两种情形，一种是当时分析求值，一种是当时分析解决即可． 【详解】（1）解：设经过秒钟， 由题意得，， 由题意得，， 整理得，， 解得，或， 则同时出发，经过秒或秒钟； （2）解：设点从点出发后，再经过秒与相似，有两种情形， 由题意得，，则， ①当时，， 即， 解得，， ②当时，， 即， 解得，， 综上所述，点从点出发后点从点出发，再经过秒或秒与相似． 4．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长（用含t的代数式表示）； (2)求点E落在区域（含边界）内的时长； (3)连接，当与相似时，求t的值； (4)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 【答案】(1) (2)秒 (3)的值为或1 (4)1或 【分析】（1）由题意可知，得，由此可知，代入相关数据即可求解； （2）找到临界位置，当点在上时，和重合，在的边界上，若再继续向点运动，则点不在内，再此时证明，可知，据此列出方程即可求解； （3）由（1）可知，，，则，则，分两种情况：当时，；当时，，即：，分别求解即可； （4）由题意得，若将的面积分成两部分，可知或，分两种情况：当时，，当时，，结合面积列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，，则， ∴； （2）由勾股定理可知，， 当点在上时，和重合，在的边界上，若再继续向点运动，则点不在内， 此时，，，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，则， ∴， ∴，即：，解得：， 即：点落在区域（含边界）内的时长为秒； （3）由（1）可知，，，则， 则， ∵， ∴当时，，即：，解得：； 当时，，即：，解得：； 综上，当与相似时，的值为或1； （4）， 若将的面积分成两部分， 则或， 当时，， ∴，解得：， 此时，，，则， ∴点在线段上，则， 即：点到的距离为1； 当时，， ∴，解得：， 此时，，，则， ∴点在射线上，则， 即：点到的距离为； 综上，点到的距离为1或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、列代数式、方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 【典型例题七 重心的有关性质】 【例1】（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，点G为的重心，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的重心，三角形的重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，然后根据求出的值即可，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键. 【详解】解：为的重心， ， ，， ，即， ， ． 故选：B． 【例2】（2025·上海·模拟预测）如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的性质．根据的两条中线，相交于点，得到点O是的重心，即，然后表示出，即可得解． 【详解】解：∵的两条中线，相交于点， ∴点O是的重心， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，为的中线，G为的重心，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了三角形的重心定理，掌握三角形的重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果． 【详解】解：∵为的中线，G为的重心， ∴， ∴， 故答案为：9． 【例4】（2025·上海宝山·模拟预测）如图①，是某教材九年级上册某一页的插图，这幅插图告诉我们可以用铅笔支起一张均匀的三角形卡片．请用尺规作图法，在图②的中找到这个支点P（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．作和的垂直平分线得到三角形的两条中线，它们的交点为P． 【详解】解：如图，点P即为所求． 1．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，点D是的重心，连接并延长交于点E．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的重心是指三角形的三条中线的交点，由三角形重心的定义可得为的中线，即可得解． 【详解】解：∵点D是的重心，连接并延长交于点E． ∴为的中线， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，点O是的重心，如果，则点O到边的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 连接并延长交于点E，作于点F，证明得，由点O是的重心得，，代入比例式即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点E，作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点O是的重心，， ∴，， ∴， ∴，即点O到边的距离是2． 故答案为：2． 3．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，在的网格中，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺按要求在网格中作图． (1)在图1中画出线段，点D在上，使得； (2)在图2中画出的重心E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点P，Q连接交于点D，连接，根据相似三角形的性质即可解答； （2）根据重心即为三角形中线的交点，作直线，交于点E，点E即为所求． 【详解】（1）解：取格点P，Q连接交于点D，连接； 易知：，且，， ， ， ， 如图1中，点D即为所求； （2）解：作直线，交于点E， 如图2中，点E即为所求． 4．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）问题呈现： 如图，是等边的中心，经过点的直线分别交边于点．设，探究的值． 问题探究： （1）如图（2），先将问题特殊化，若，求的值； （2）如图（1），在一般情形下，试判断（1）中的结果是否仍然成立？请证明你的判断； 问题拓展： （3）若，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）连接，并延长交于点，由是的中心，可得，再由可得，再求解即可； （2）过点作交的延长线于点，连接，并延长交于点，连接并延长交于点，取的中点，连接．先证明，可得．再由是的中位线，可得，再证得，再求解即可； （3）过点作交的延长线于点，连接，并延长交于点，连接并延长交于点，取的中点，连接．设，先证得，可得，再证得是等腰直角三角形，可得，从而得出，再求解即可． 【详解】（1）解：连接，并延长交于点． 是的中心， ， ， ； （2）一般情形下，（1）中结论仍然成立． 证明：过点作交的延长线于点，连接，并延长交于点，连接并延长交于点，取的中点，连接． ， ． 是的中点， ． 是的中位线， ． 是的中心，， ， ， ． 即； （3）解：过点作交的延长线于点，连接，并延长交于点，连接并延长交于点，取的中点，连接． 设， 是的中心， ，，，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 由（2）得， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的重心，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形的重心，相似三角形的判定与性质，行线分线段成比例性质及三角形中位线的性质是解决本题的关键． 【典型例题八 相似三角形的判定与性质综合】 【例1】（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，线段，交于点，连接，．若，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，对顶角相等，由，，则，所以，然后代入求值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【例2】（2025·上海虹口·模拟预测）凸透镜成像的原理如图所示，是凸透镜的主光轴，O为凸透镜的中心，点F是焦点，，．若物距与像距之比为，测得蜡烛高，则像的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是理解相似三角形对应边成比例．证明，得出，即可解答． 【详解】解：根据题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， 即，解得． 故选：C． 【例3】（2025·上海长宁·模拟预测）如图，，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知零件的外径为，现用一个交叉卡钳测量零件的内孔直径．如果，且量得，求的长及零件的厚度． 【答案】的长为，零件的厚度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，证明．根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为，即可求得零件的厚度． 【详解】解：， ． ． ． ． 答：的长为，零件的厚度为． 1．（2025·上海静安·模拟预测）在建筑设计的实践中，常常会遇到四边形结构的建筑框架．现有一个四边形建筑框架，其中和是两条相互平行的建筑边线，、作为两条交叉的支撑结构线，于点交汇，为整个建筑框架提供稳固的支撑．设计师在进行建筑材料分配以及装饰设计规划时，需要精准把握各个三角形区域的面积比例．已知，则当（   ）时，才能使与的面积之比为，以便为后续的建筑设计工作提供精确的数据支持． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，证明，根据与的面积之比为，得出，从而得，设，则，，证明，即可得， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与的面积之比为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点F在上，与交于点P，与交于点Q．若，，则四边形的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，证明，得出，证明，得出，求出，，，，则可得出答案． 【详解】解：∵四边形、四边形、四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，，，， ∴，，， ∴． 故答案为：6． 3．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在中，，，垂足分别为，，交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据相似三角形的判定和性质得出，，再由全等三角形的判定即可证明； （2）由（1）中全等三角形的性质得出，结合图形即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）由（1）得， ∵， ∴． 4．（2025·上海宝山·模拟预测）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典型例题九 相似三角形的综合问题】 【例1】 （24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（    ） A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3 【答案】B 【分析】根据两三角形相似，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与位似，点O是它们的位似中心，且相似比为， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【例2】 （24-25九年级上·上海崇明·课后作业）如图，已知，任取一点，连接，分别取点，使，，，连接，得到，给出下列说法：①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长比为；④与的面积比为．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据位似图形与相似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意，得与是位似图形， ∴与是相似图形，故①②正确； ∵，，， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， 与的面积比为，故③正确，④错误， 故选C． 【点睛】本题考查了位似图形与相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的性质及位似图形与相似图形的关系． 【例3】（2025·上海嘉定·模拟预测）如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与BC1、BE交于点M、N，若，则= ． 【答案】 【分析】根据题意，设，，由，分别得到，，进而得到，再由列式求出x的值，代入即可得到的值． 【详解】根据题意，设， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴或 ∴（由图可知） ∴当时， 当时，（舍） 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定及性质，熟练掌握相似的证明方法是解决本题的关键． 【例4】（2025九年级上上海·专题练习）如图，D、E分别AB、AC上的点 （1）如果DE∥BC，那么ADE和ABC是位似图形吗？为什么？ （2）如果ADE和ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？ 【答案】（1）是位似图形，见解析；（2）平行，见解析 【分析】（1）根据DE∥BC，可得，则有，根据点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，可得和是位似图形； (2) 根据和是位似图形，可得，则有∠ADE=∠B，可得． 【详解】解：(1)和是位似图形． 理由是：, ∴，， ∴， ∴． 又∵点A是和的公共点，点和点是对应点，点和点是对应点，直线与交于点， ∴和是位似图形． (2) ． 理由是：∵和是位似图形， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了位似图形的判定和平行线的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 1．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质，根据位似图形的性质、相似多边形的性质判断即可；掌握位似图形的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，位似中心为， ∴ ∴与的相似比为，，故①正确，②错误； ∴，，故③正确，④错误． 故正确的个数是个， 故选：B． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，那么支柱的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解图示，掌握相似相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意，可得，，由此即可求解． 【详解】解：∵支柱经过的中点， ∴， 当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，如图所示，点与点对应，点与点对应，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，已知BO是△ABC的AC边上的高，其中BO＝8，AO＝6，CO＝4，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A在线段CA上作匀速运动，同时点N以5个单位长度/秒的速度自A向B在射线AB上作匀速运动，MN交OB于点P．当M运动到点A时，点M、N同时停止运动．设点M运动时间为t． （1）线段AN的取值范围是　 　； （2）当0＜t＜2时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP与△MNA相似，求CM的长； （3）当2＜t＜5时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP是等腰三角形，求CM的长．    【答案】（1）O＜AN＜25；（2）①见解析；②；（3）①见解析；②． 【分析】（1）首先求出点M运动时间，再求出点N运动的路程即可． （2）如图1中，①过点N作NH⊥AC于点H，设AN＝5k，CM＝2k，用k的代数式表示MN、NP即可解决问题． ②只可能是∠MNB＝∠MNA＝90°，△MNP∽△MNA∽△BOA，路程比例式即可解决问题． （3）如图2中，当2＜t＜5时，①方法和前面类似． ②当点M在OA上时，BN＝5k﹣10．由PO∥HN，得，得到PO＝，根据BP＝BN，列出方程即可解决． 【详解】解：（1）∵AC＝OC+AO＝10， 点M运动的速度为2单位长度/秒， ∴t＝＝5，∵5×5＝25， ∴0＜AN＜25． 故答案为0＜AN＜25． （2）如图1中，当0＜t＜2时， ①过点N作NH⊥AC于点H，设AN＝5k，CM＝2k，    ∵NH∥BO， ∴， ∴AH＝3K，OH＝6﹣3k，OM＝4﹣2k，MH＝10﹣5k， ∵PO∥NH， ∴＝＝ ②只可能是∠MNB＝∠MNA＝90°， △MNA∽△BOA， ∴， ∴＝， ∴k＝， ∴CM＝． （3）如图2中，当2＜t＜5时，    ①过点N作NH⊥AC于点H，设AN＝5k，CM＝2k， 则OH＝3k﹣6，OM＝2k﹣4， ∴MH＝5k﹣10， ∵PO∥NH， ∴＝＝． ②当点M在OA上时，BN＝5k﹣10． ∵PO∥HN， ∴， ∴PO＝， 若BP＝BN，则8﹣＝5k﹣10， ∴k＝， ∴CM＝， 若PB＝PN或BN＝NP， ∵∠PBN＞90°， ∴不成立， ∴若△BNP是等腰三角形，CM的长为． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用参数表示相应的线段，把几何问题转化为代数问题． 4．（2025·上海青浦·模拟预测）图（1）是小明同学自制的测量工具，其中，上都有相同单位的刻度，G可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度． 如图（2），小明站在自动扶梯的底部A处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点F，滑动使O ，G，P在同一条直线上，此时． 他乘坐扶梯到达顶部B处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点E， 滑动， 使在同一条直线上，此时．小明的身高，自动扶梯的高为， 水平宽为． 试根据以上数据计算出建筑物的高度．(结果精确到) 【答案】建筑物的高度约为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，，列出比例式，代入题中数据，即可求解． 【详解】解：设，则， 根据题意可得， ∴ 即， ∴ 同理可得 ∴ 即 ∴ 解得： ∴ 答：建筑物的高度约为． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，在中，于点，若，则的长为（    ） A．9 B． C．13 D．12 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式求出的长，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选C． 2．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，点在的边上，要判断与相似，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：∵是公共角， ∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求； 当时，（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求； 时，不是夹角，故不能判定与相似，故C错误，符合题意要求． 故选：C． 3．（2025·上海静安·模拟预测）如图，与位似，位似中心为点，且相似比为，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的周长比等于相似比，熟练掌握是解答本题的关键．根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：与位似，位似中心为点，且相似比为， 与的周长之比是， 故选：A． 4．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．4.5s或4.8s B．3s或4.5s C．4.5s D．3s或4.8s 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 5．（2025·上海普陀·模拟预测）如图所示，是嘉淇所作的凸透镜成像的光路图，是蜡烛通过凸透镜所成的倒立，放大的实像．已知蜡烛的高度，物距，焦距，光线通过凸透镜的光心，折射光线通过凸透镜的右焦点，则像的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明四边形是矩形，可得，，再结合，，再建立方程组解题即可． 【详解】解：由题意得，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，即①， ∵， ， ， ， ∴②， 由①②得： ， 故选：A． 6．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 是的一个外角， ， 即，且， ， 当时，；或当时，；或当时，； 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 7．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，，，其中 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似比等于面积比的平方，得出，结合即可作答． 【详解】解：∵，且 ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲、丙、丁四点中的 ． 【答案】丙 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似． 令每个小正方形的边长为1，分别求出的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点R对应的位置． 【详解】解：令每个小正方形的边长为1， ∴， 要使， ∴，即 ∴ ∵点P到甲的距离为，点P到乙的距离为，点P到丙的距离为，点P到丁的距离为， ∴点R应是甲、丙、丁四点中的丙． 故答案为：丙． 9．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ．（请在横线上填上符合条件的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； ④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似． 故答案为：①②④． 10．（24-25九年级上·上海金山·期末）如图，某综合与实践小组想要确定某池塘的长度，先在池塘的一侧取一个可以直接到达点的点，经测量得到．若在的延长线上分别取点，使，连接，测得，则该池塘的长度为 m． 【答案】 【分析】根据相似三角形的判定与性质解答即可． 本题考查了相似三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在中，利用尺规作图在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，相似三角形的判定， 以点A为圆心以为半径画弧，同样以点B为圆心，以为半径画弧，再以点E为圆心以为半径画弧，交前弧于点H，作交于点D，则点D即为所求作的点.由，可得. 【详解】解：如图所示：点即为所求． 12．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，在△ABC中，A，B两点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，求点B的横坐标． 【答案】点B的横坐标为－. 【分析】过B和B'向x轴引垂线,构造相似比为1:2的相似三角形,那么利用相似比和所给B'的横坐标即可求得点B的横坐标 【详解】分别过点B，B′作BD⊥x轴于点D，B′E⊥x轴于点E， ∴∠BDC＝∠B′EC＝90°. ∵△ABC的位似图形是△A′B′C， ∴点B，C，B′在一条直线上， ∴∠BCD＝∠B′CE，∴△BCD∽△B′CE， ∴. 又∵，∴. ∵点B′的横坐标是2，点C的坐标是(－1，0)， ∴CE＝3， ∴CD＝ ，∴OD＝ ， ∴点B的横坐标为－. 【点睛】此题考查相似三角形的性质和位似变换，解题关键在于做辅助线 13．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，相似三角形的性质，解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题． （1）由点，点的运动速度和运动时间，又知的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （2）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出； （3）应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 【详解】（1）解：由题意得， 则， ∴的面积为； （2）解：由题意得， 则， 当秒时，， 在中，由勾股定理得； （3）解：由题意得， 则， ∵． ∴①当时，， 即， 解得秒； ②当时，， 即， 解得秒． ∴秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似． 14．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 15．（24-25九年级上·上海宝山·期末）综合与实践 【主题】测量旗杆的高度． 【工具】伸缩杆，平面镜，卷尺． 【步骤】 步骤1：小明在旗杆前的处放置了一根垂直于地面的伸缩杆，将伸缩杆的高度调整为米，这时地面上的点、伸缩杆的顶端和旗杆的顶端正好在同一直线上，测得米； 步骤：小明从点出发沿着方向前进米，到达点； 步骤：小明在点处放置一平面镜，小亮站在处时，恰好在平面镜中看到旗杆的顶端的像，此时测得小亮的眼睛到地面的距离为米，米． 【问题解决】 已知点、、、与旗杆的底端在同一直线上，，，，请你根据以上测量过程与数据（平面镜大小忽略不计）． (1)求证：； (2)求该旗杆的高度． 【答案】(1)证明见解析 (2)米 【分析】本题考查了相似三角形的的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （）证明即可求证； （）设米，得米，由得，即得，由得，即得，进而即可求解； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：设米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∵米，米， ∴， ∴米 ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴米， 答：旗杆的高度为米． 学科网（北京）股份有限公司 $$