第02讲 一元二次方程根的判别式与系数关系（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025-2026学年八年级上册数学衔接讲义（沪教版）

第02讲 一元二次方程根的判别式与系数关系（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 一元二次方程的根与系数的关系 典型例题二 根据判别式判断一元二次方程根的情况 典型例题三 根据一元二次方程根的情况求参数 典型例题四 利用根与系数的关系求代数式的值 典型例题五 构造一元二次方程求代数式的值 典型例题六 由两根关系求方程字母系数 典型例题七 根与系数关系的新定义问题 典型例题八 一元二次方程根与系数关系多结论问题 典型例题九 一元二次方程根与系数的关系综合 知识点01 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 知识点02 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点03 一元二次方程根的判别式关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【典型例题一 一元二次方程的根与系数的关系】 【例1】 （2025·上海松江·模拟预测）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（　　） A． B． C．1 D．2 【例2】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知方程的两个实数根分别为，．则等于（    ） A．1 B．3 C． D． 【例3】（2025·上海嘉定·模拟预测）一元二次方程的两个根分别为，，则 ． 【例4】（24-25八年级上·上海松江·期中）关于x的一元二次方程：有一个根是3，求它的另一个根和k的值． 1．（2025·上海虹口·模拟预测）如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 2．（2025·上海宝山·模拟预测）已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）已知一元二次方程的两根分别为和， (1)求和的值； (2)求的值． 4．（24-25八年级上·上海宝山·期末）【阅读材料】若关于x的一元二次方程的两根为、，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】 一元二次方程的两根为、，则________，________； (2)【类比运用】已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为、，满足，求k的值． (3)【思维拓展】已知实数m，n，满足，，且，求的值． 【典型例题二 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）下列方程没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海徐汇·模拟预测）下列关于的一元二次方程有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（2025·上海宝山·模拟预测）一元二次方程（，，为常数，）根的判别式．若此方程的一个根，则其另一个根 ． 【例4】（24-25八年级上·上海金山·期中）已知关于x的一元二次方程． 求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程的根的判别式的值为1，若，，则P，Q的数量关系是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·上海金山·模拟预测）定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是 ． 3．（24-25八年级上·上海虹口·期末）已知关于x的一元二次方程，试判断此一元二次方程根的情况，并说明理由． 4．（24-25八年级上·上海青浦·期中）课本知识，关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： (1)初步探究：判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； (2)拓展应用：求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【典型例题三 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例1】（2025·上海杨浦·模拟预测）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海宝山·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·上海松江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ． 【例4】（2025·上海静安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有实根． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数时，求该方程的两个根． 1．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）对于任意实数，规定，例如，，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 2．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）若关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的一元二次方程有两个实数根，则符合条件的所有整数m的和为 ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期末）关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值． 4．（24-25八年级上·上海静安·期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值． 【典型例题四 利用根与系数的关系求代数式的值】 【例1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若，方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．7 B．12 C．14 D．15 【例2】（2025·上海宝山·模拟预测）已知a，b是关于x的一元二次方程的两个不等的实数根，则代数式 的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【例3】（24-25八年级上·上海静安·期中）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 【例4】（24-25八年级上·上海松江·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根： (1)填空：_____； _____． (2)求代数式的值． 1．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）若方程的根是2和3，那么代数式可分解因式为(    ) A．(x-2)(x-3) B．(x+2)(x+3) C．(x+2)(x-3) D．(x-2)(x+3) 2．（24-25八年级上·上海普陀·期中）已知方程的两个实数根为、，求下列代数式的值． ① ；     ② ；     ③ ；     ④ ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）若、是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2) 4．（24-25八年级上·上海普陀·期中）阅读材料：设一元二次方程的两个根分别为，，则，．例如设一元二次方程两个根分别为，，则，． (1)设一元二次方程的两个根分别为，，则________，________． (2)设一元二次方程的两个根分别为，，若，，则________，________． (3)设一元二次方程的两个根分别为，，求代数式的值． 【典型例题五 构造一元二次方程求代数式的值】 【例1】（24-25八年级上·上海青浦·期中）若方程的两根分别为和，则代数式：的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海长宁·模拟预测）已知是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（   ） 淇淇： ①韦达定理求出，的值； ②化简； ③将步骤①中的，的值代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为 嘉嘉： ①解方程； ②化简； ③将步骤①中的解，代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为 A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对 【例3】（24-25八年级上·上海静安·期中）已知一元二次方程的两个实数根分别为、，则代数式的值为 ． 【例4】（24-25八年级上·上海闵行·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为，所以．所以当时，有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为； (2)求代数式的最大或最小值． 1．（2025八年级上·上海宝山·专题练习）已知实数x满足，则代数式的值为（　　） A．7 B． C．7或 D．或1 2．（24-25八年级上·上海金山·期中）若代数式的值与代数式的值相等，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）“” 这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，．．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：因为（，所以当___________时，代数式有最__________）（填“大”或“小”）值，这个最值为_________． (2)比较代数式与的大小． 【典型例题六 由两根关系求方程字母系数】 【例1】（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、2且a、b是关于x的一元二次方程的两根，求m的值（   ） A．9 B．10 C．9或10 D． 【例2】（24-25八年级上·上海闵行·期末）已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【例3】（2025·上海松江·模拟预测）一元二次方程的两根为m，n，且，其中“□”表示一个数，则“□”为 ． 【例4】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）关于的一元二次方程的两根，满足，求的值． 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）一个等腰三角形的三边长分别为m，n，3，且m，n是关于x的一元二次方程的两根，则t的值为（   ） A．16 B．18 C．16或17 D．18或19 2．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）阅读材料:设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系：，．根据该材料填空:已知，是方程的两实数根，则的值为： ． 3．（24-25八年级上·上海普陀·期中）已知：关于x的一元二次方程. (1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两根为，，且满足，求的值. 4．（2025·上海金山·模拟预测）若一元二次方程（，，是常数，且）的两根分别是，，根据求根公式可以推出，． (1)运用：若一元二次方程的两根分别是，，则 ． (2)类比探究：小芳同学发现． 请你试证明：． (3)若，是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【典型例题七 根与系数关系的新定义问题】 【例1】（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）定义运算：a*b＝a（1﹣b），若a、b是方程（m＜0）的两根，则b*b﹣a*a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．与m有关 【例2】（2025·长宁·模拟预测）定义运算：x※y=（x-y）（x-y+1）+1，如3※2=（3-2）×（3-2+1）+1=3，则方程x※2=0根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【例3】（2025八年级上·上海静安·模拟预测）定义新运算：，若方程的解为a、b，则的值为 ． 【例4】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 1．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）对于实数a，b，如果定义新运算，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③若是一元二次方程的两个根，且，则m的值为3或． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）对于任意实数a，b，定义：．若方程的两根记为m，n，则 ． 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”．    4．（24-25八年级上·上海松江·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【典型例题八 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 【例1】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）设关于的方程的两个实数根为、，现给出三个结论：①；  ②；  ③． 则正确结论的个数是 （   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【例2】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）方程；，其中，则以下四个结论： ①若，则方程有两个不相等的实数根；②若方程有两个不相等的实数根，则方程必定也有两个不相等的实数根；③若5是方程P的一个根，则是方程的一个根；④若方程P和方程有相同的根，则． 正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）已知关于x的方程，、是此方程的两个实数根，现给出三个结论： （1）；（2）；(3 ) 则正确结论的序号是 ．（在横线上填上所有正确结论的序号）． 【例4】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求m与n的关系； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明， 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，关于x的方程的根为，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是（    ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若关于x的一元二次方程各项系数满足，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的序号是 ． 3．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）阅读理解． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“密友方程”，例如：方程的“密友方程”是． (1)写出一元二次方程的“密友方程”是________． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“密友方程”的两根为，，则________，________．根据以上结论，猜想的两根、，与其“密友方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． (3)已知关于x的方程的两根是，，可应用（2）中的结论，解关于x的方程． 4．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）【回归课本】设一元二次方程有两个根，，则方程可化为：，即，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：，． （1）利用上式结论解题：已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． ①直接写出实数k的取值范围________________； ②是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由； 【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，． （2）利用上式结论解题：已知关于x的一元三次方程有三个根，，，求的最小值； 【典型例题九 一元二次方程根与系数的关系综合】 【例1】（24-25八年级上·上海黄浦·阶段练习）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海静安·模拟预测）已知关于y的一元二次方程的两根分别为，，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D．方程有两个实数根 【例3】（2025年江苏省南京市联合体中考模拟预测数学试卷）若关于的方程的两个根分别为1和，则 ， . 【例4】（2025·上海·模拟预测）已知一元二次方程的求根公式为，当是一元二次方程的两根时，则有：①；②． 【结论证明】请在中选择一个结论进行证明； 【知识应用】若是一元二次方程的两个根，不解方程，求的值； 【类比拓展】若是一元三次方程的三个根，则原方程可变形为，则有：，，，．已知一元三次方程的三个根分别为，求的值． 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）整式：，其中，，，，为整数．下列说法正确的个数为（   ） ①若，，，，均为自然数且，则满足条件的整式M共有21个； ②当，，，，均为自然数时，，，，，必有两个数的差是4的倍数； ③当时，该方程存在4个实数根记为，，，，若存在整数n，使为正整数，则． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）若关于的一元二次方程． （1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）； （2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值； (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 4．（24-25八年级上·上海静安·期中）若，是一元二次方程的两根，则有，，由此可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系．若，是方程的两根，记，，，． (1)求： ； ．（直接写出所求数值） (2)当为不小于的整数时，求证：； (3)利用（2）中所证明的结论，求的值． 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·上海闵行·模拟预测）关于x的一元二次方程在实数范围内有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，关于的方程中的三个符号，改变其中的两个（“”变为“”或“”变为“”），使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．以上选项均不成立 4．（2025·上海静安·模拟预测）已知，是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（   ） 嘉嘉：解方程；将步骤中的解，代入到代数式中，解得代数式的值为． 淇淇：根据根与系数关系求出，的值；化简；将步骤中的，的值代入到步骤化简后的结果中，解得代数式的值为． A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对 5．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，电路中有三个定值电阻 ，且的阻值（单位：Ω）满足方程，．若闭合开关S后，电流表的读数为 ，则电源的电压是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·上海虹口·模拟预测）一元二次方程根的情况是 ． 7．（2025·上海青浦·模拟预测）方程 的两个根分别为和，则 ． 8．（24-25八年级上·上海闵行·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 9．（2025八年级上·上海普陀·专题练习）有四组一元二次方程：和；和；和；和．这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程： ． 10．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；现有下列结论： （1）若关于x的方程是倍根方程，； （2）方程是倍根方程； （3）若关于x的方程，（）是倍根方程，则； （4）若，则关于x的方程（）是倍根方程． 其中正确的结论有 ．（写出所有正确说法的序号） 11．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知关于的一元二次方程． (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求的值． 12．（2025·上海崇明·模拟预测）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)若方程有一个根为2，求的值； (2)敏敏求出，老师说敏敏的这个答案一定有误，你同意老师的观点吗？并给出理由． 13．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）阅读下面的材料：根与系数的关系 的根为， ∴    综上得，设的两根为、，则有 请利用上述结论解决下列问题： 问题：若方程的根是和，且满足和．求的值． 14．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值. 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴ ，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_____，_____； (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足，，且，求的最大值． 15．（24-25八年级上·上海长宁·期中）阅读与思考 下面是小华同学的数学日记，请认真阅读并完成相应的任务． ×年×月×日　星期二 一元二次方程中特殊根与系数之间的关系 今天，学习完一元二次方程的知识后，我知道了一元二次方程中根与系数之间有一定的关系，这引发了我的思考：如果一元二次方程有两个不为零的实数根，且其中一个根为另一个根的整数倍，那么这样的一元二次方程中的系数又有怎样特殊的关系呢？于是我展开了以下探究． 特例分析： ①当一元二次方程的两个不为零的实数根是1倍关系（即相等）时，系数之间满足的关系式是． ②当一元二次方程的两个不为零的实数根是2倍关系时，系数之间满足的关系式是什么？ 设一元二次方程的其中一个根为，则另一个根为． 根据题意，得，即．， 把代入，得． 当一元二次方程的两个不为零的实数根是2倍关系时，系数之间满足的关系式是． ③当一元二次方程的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数之间满足的关系式是什么？… 一般探究： 当一元二次方程的两个不为零的实数根是倍关系时，系数，之间满足的关系式是什么？．．．．． 任务： (1)请仿照小华同学的推理过程，推导出当一元二次方程的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数之间满足的关系式． (2)请直接写出当一元二次方程的两个不为零的实数根是倍关系时，系数之间满足的关系式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一元二次方程根的判别式与系数关系（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 一元二次方程的根与系数的关系 典型例题二 根据判别式判断一元二次方程根的情况 典型例题三 根据一元二次方程根的情况求参数 典型例题四 利用根与系数的关系求代数式的值 典型例题五 构造一元二次方程求代数式的值 典型例题六 由两根关系求方程字母系数 典型例题七 根与系数关系的新定义问题 典型例题八 一元二次方程根与系数关系多结论问题 典型例题九 一元二次方程根与系数的关系综合 知识点01 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 知识点02 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点03 一元二次方程根的判别式关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【典型例题一 一元二次方程的根与系数的关系】 【例1】 （2025·上海松江·模拟预测）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知关于的一元二次方程：，是解本题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系可知，即可得出答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， 解得：， ∴方程的另一个根是1， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知方程的两个实数根分别为，．则等于（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数；据此即可求解． 【详解】解：∵方程的两个实数根分别为， ∴． 故选：D． 【例3】（2025·上海嘉定·模拟预测）一元二次方程的两个根分别为，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·上海松江·期中）关于x的一元二次方程：有一个根是3，求它的另一个根和k的值． 【答案】方程另一个根为1，的值为1． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据一元二次方程根与系数的关系即可得． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则， 解得， ∴方程另一个根为1，的值为1． 1．（2025·上海虹口·模拟预测）如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练的构建一元二次方程的解本题的关键． 由，可得，可得，可得，是方程的两个根，，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，而，， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴； 故选：C． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由根于系数的关系得，即可求解；掌握、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键． 【详解】解：设其中一个根为，另一个根为， ， 解得：， 故答案为：4． 3．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）已知一元二次方程的两根分别为和， (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题． （1）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）将变形后再代入即可求得结果． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根分别为和， ，； （2）解：， ， ， 4．（24-25八年级上·上海宝山·期末）【阅读材料】若关于x的一元二次方程的两根为、，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】 一元二次方程的两根为、，则________，________； (2)【类比运用】已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为、，满足，求k的值． (3)【思维拓展】已知实数m，n，满足，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系直接计算即可； （2）根据根与系数的关系求出，，再代入，解一元二次方程即可得到答案； （3）由题意：可看成方程的两个根，利用根与系数的关系，并把式子变形后即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由题意可得：，， ， ， 解得； （3）解：由题意：可看成方程的两个根， ， ． 【典型例题二 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）下列方程没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的根与判别式的关系求解即可． 【详解】解：A、中，， 即方程有两个相等的实数根，不符合题意； B、中，， 即方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、中，， 即方程有两个相等的实数根，不符合题意； D、中，， 即方程没有实数根，符合题意． 故选：D． 【例2】（2025·上海徐汇·模拟预测）下列关于的一元二次方程有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：A、由题意得，，则原方程没有实数根，不符合题意； B、由题意得，，则原方程没有实数根，不符合题意； C、由题意得，，则原方程没有实数根，不符合题意； D、由题意得，，则原方程有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 【例3】（2025·上海宝山·模拟预测）一元二次方程（，，为常数，）根的判别式．若此方程的一个根，则其另一个根 ． 【答案】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，由一元二次方程根的判别式，进而即可得出方程有两个相等的实数根，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴； 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·上海金山·期中）已知关于x的一元二次方程． 求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根． 【答案】见解析 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 计算一元二次方程根的判别式，通过配方法得出判别式大于等于0即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ； ∵不论m为何值， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程的根的判别式的值为1，若，，则P，Q的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根的判别式为． 先利用根的判别式的意义得到，则，所以，然后计算，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：∵关于x的方程的根的判别式的值为1， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 故选：B． 2．（2025·上海金山·模拟预测）定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不等实数根 【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，理解新定义的运算，得出方程是解题的关键． 先利用新定义得到，再把方程化为一般式，进而判断判别式的符号，求解即可． 【详解】解：∵， ， 即， ∵ ∴ ∴方程有两个不等实数根， 故答案为：有两个不等实数根． 3．（24-25八年级上·上海虹口·期末）已知关于x的一元二次方程，试判断此一元二次方程根的情况，并说明理由． 【答案】当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程无实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号即可． 【详解】解：， ， ①当时，，即， 此一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，，即， 此一元二次方程无实数根； 综上所述，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程无实数根． 4．（24-25八年级上·上海青浦·期中）课本知识，关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： (1)初步探究：判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； (2)拓展应用：求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)过程见解析 【分析】本题考查了“勾系一元二次方程”，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点，读懂题意是解题的关键． （1）根据“勾系一元二次方程”的定义直接判断即可； （2）根据及根的判别式，再利用完全平方的非负性来判断即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， 方程是“勾系一元二次方程”； （2）证明：是关于的“勾系一元二次方程”， ， 关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【典型例题三 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例1】（2025·上海杨浦·模拟预测）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键． 由于方程有两不相等的实数根，则根的判别式，由此建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围． 【详解】∵方程有两个不相等实数根， ∴， ∴． 解得：． 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·上海宝山·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立；利用判别式，根据不等式即可解决问题． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且， ∴且． 故选B． 【例3】（2025·上海松江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，， ∴． 故答案为： 【例4】（2025·上海静安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有实根． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数时，求该方程的两个根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程． （1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可； （2）由（1）求出k，代入原方程，解方程即可． 【详解】（1）解：一元二次方程有实根， ， 即， ， ； （2）解：取最大整数， ， 原方程为， ∴， 解得：． 1．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）对于任意实数，规定，例如，，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，先根据新定义得到，再把方程化为一般式，根据题意得到且，解不等式即可，根据题意得到关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 整理得， 关于的方程有两个不相等的实数根， 且， 解得且． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）若关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的一元二次方程有两个实数根，则符合条件的所有整数m的和为 ． 【答案】20 【分析】此题考查了解一元一次不等式组以及一元二次方程的根的情况，解题的关键是熟练掌握各自运算方法． 表示出不等式组的解集，由不等式有且只有3个整数解确定出的取值，再由关于y的一元二次方程有两个实数根，求出满足题意整数的值，进而求出和． 【详解】解：， 由①得， 由②得． ∴原不等式组的解集为 方程组有且只有3个整数解， ∴可取5、4、3． ， ． 关于y的一元二次方程有两个实数根， 且， 解得且， 且， 整数的取值为5，7，8 所有整数的和为． 故答案为：20． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期末）关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及方程根的应用．解题的关键是利用判别式确定参数的取值范围，并通过代入相同根求解方程中的未知参数，同时要注意一元二次方程二次项系数不为零的条件． （1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，，分别代入一元二次方程求出对应的m，同时满足即可． 【详解】（1）解：x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵； ∴k的最大整数为2， 方程则为， 解得，， ∵与方程有一个相同的根， ∴当时，， 解得； 当时，， 解得， 而， ∴m的值为． 4．（24-25八年级上·上海静安·期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值． 【答案】任务1：；任务2： 【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式，解一元一次不等式及解一元二次方程，解题的关键是理解题目给定的求解方式，并利用解不等式和解方程的思想进行作答． 任务 1：根据材料设，利用判别式解答即可； 任务 2：根据材料令，利用判别式解答即可 【详解】解：任务1：令， ． ． 解得：， ∴的最小值为． 任务2：由题意，令， ． ． 解得：， 又最小值为， ∴， 解得：． 【典型例题四 利用根与系数的关系求代数式的值】 【例1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若，方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．7 B．12 C．14 D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，代入计算可得． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，即， ∴    ． 故选：D． 【例2】（2025·上海宝山·模拟预测）已知a，b是关于x的一元二次方程的两个不等的实数根，则代数式 的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，由根与系数的关系得，将分式变形，然后代入求解，即可求解；掌握根与系数的关系：“、是一元二次方程的两个根，则有”是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：C． 【例3】（24-25八年级上·上海静安·期中）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根， ，， 原式． 故答案为：7． 【例4】（24-25八年级上·上海松江·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根： (1)填空：_____； _____． (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系求值，熟知这些知识点是正确解题的关键． （1）由，是一元二次方程的两个实数根，则根据，求值即可． （2）将化成，即可求解． 【详解】（1）由一元二次方程可知， ， ． （2）． 1．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）若方程的根是2和3，那么代数式可分解因式为(    ) A．(x-2)(x-3) B．(x+2)(x+3) C．(x+2)(x-3) D．(x-2)(x+3) 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出p，q，然后代入分解因式即可． 【详解】解：∵方程的根是2和3 ∴，， ∴ ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系求出p，q是解本题的关键． 2．（24-25八年级上·上海普陀·期中）已知方程的两个实数根为、，求下列代数式的值． ① ；     ② ；     ③ ；     ④ ． 【答案】 /0.5 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，． 根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，然后代入和变形后的式子计算求解． 【详解】解：方程的两个实数根为、， ∴，，， ∴，， ∴， ． 故答案为：①，②，③，④． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）若、是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系得到和的值．再将通分，然后把和的值代入其中即可求出代数式的值． （2）将写成，然后把和的值代入其中即可求出代数式的值． 本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根为和，则，．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：，是方程的两个根， ，． ； （2） ． 4．（24-25八年级上·上海普陀·期中）阅读材料：设一元二次方程的两个根分别为，，则，．例如设一元二次方程两个根分别为，，则，． (1)设一元二次方程的两个根分别为，，则________，________． (2)设一元二次方程的两个根分别为，，若，，则________，________． (3)设一元二次方程的两个根分别为，，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系；熟记一元二次方程的两个根分别为，，则，是解本题的关键； （1）由根与系数的关系：，可得答案； （2）由根与系数的关系：，，再建立方程即可得答案； （3）由根与系数的关系：，，结合：可得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根分别为，， 则，； （2）解：设一元二次方程的两个根分别为，，若，， ∴，， ∴，； （3）解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴，， ∴ ； 【典型例题五 构造一元二次方程求代数式的值】 【例1】（24-25八年级上·上海青浦·期中）若方程的两根分别为和，则代数式：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对变形为，再由韦达定理即可求解． 【详解】解：由韦达定理可知：，， 由题意得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程中韦达定理，根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解决本题的关键． 【例2】（2025·上海长宁·模拟预测）已知是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（   ） 淇淇： ①韦达定理求出，的值； ②化简； ③将步骤①中的，的值代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为 嘉嘉： ①解方程； ②化简； ③将步骤①中的解，代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为 A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系，若是一元二次方程的两个根，则有，，根据根与系数的关系求解即可得出答案． 【详解】淇淇的解法： 根据韦达定理：，， ； 嘉嘉的解法： ， ， 解得：， ， ，， 原式， 嘉嘉，淇淇都对， 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·上海静安·期中）已知一元二次方程的两个实数根分别为、，则代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为、， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【例4】（24-25八年级上·上海闵行·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为，所以．所以当时，有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为； (2)求代数式的最大或最小值． 【答案】(1) (2)最大值为10 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法，以及完全平方的非负性，是解题的关键： （1）仿照题干的方法进行求解即可； （2）仿照题干的方法进行求解即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ∴， ∴当时，有最小值为； （2） ； ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为10． 1．（2025八年级上·上海宝山·专题练习）已知实数x满足，则代数式的值为（　　） A．7 B． C．7或 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，将看作一个整体，再用换元法解方程求出的值即可，解题的关键是掌握换元法解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得； 当时，，即，，原方程没有实数根，故不合题意，舍去； 当时，，即，，故的值为6； ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海金山·期中）若代数式的值与代数式的值相等，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键； 根据题意列方程，利用因式分解法解一元二次方程即可求解； 【详解】根据题意得： 解得：， 故答案为：或 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明． 【答案】(1)c的值为2 (2)的值为0 (3)证明见解析 【分析】本题考查了倍增方程的问题，掌握根与系数的关系、解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据“倍根方程”和根与系数之间的关系可直接求解． （2）根据倍根方程的定义找出，之间的关系，进行分类讨论即可求解； （3）设与是方程的解，根据根与系数之间的关系消去即可得出答案． 【详解】（1）解：∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴令， ，， ∴，， 解得：，， ； （2）解：是“倍根方程”， 且该方程的两根分别为和， 或， 当时，即， ， 当时，即， ， 综上：； （3）解：设与是方程的解， ，， 消去得：． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）“” 这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，．．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：因为（，所以当___________时，代数式有最__________）（填“大”或“小”）值，这个最值为_________． (2)比较代数式与的大小． 【答案】(1)，，，小， (2) 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是利用作差法比较大小． （1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答； （2）利用求差法和配方法解答即可． 【详解】（1）解： 时，代数式有最小值，这个最小值为； 故答案为：，，，小， （2）解： ， 【典型例题六 由两根关系求方程字母系数】 【例1】（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、2且a、b是关于x的一元二次方程的两根，求m的值（   ） A．9 B．10 C．9或10 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，构成三角形的条件．分当2为腰长时，当2为底边长时，利用根与系数的关系得到，，进而求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可． 【详解】解：当2为腰长时，假设此时， ∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∴， ∴此时等腰三角形的三边长为，，，不能构成三角形，不符合题意； 当2为底边长时，则， ∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴， ∴此时等腰三角形的三边长为，，，能构成三角形，符合题意，， ∴， ∴， 综上所述，的值为10． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·上海闵行·期末）已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若是一元二次方程的两根，则，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴， 故选：B 【例3】（2025·上海松江·模拟预测）一元二次方程的两根为m，n，且，其中“□”表示一个数，则“□”为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据一元二次方程的两根为m，n，得到，结合得到，解答即可． 【详解】解：由一元二次方程的两根为m，n， 故， 又， 故， 解得． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）关于的一元二次方程的两根，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系与根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与根的判别式是解题的关键；由题意易得，，然后根据可建立方程进行求解 【详解】解：由题意知，，． 因为， 所以． 解得，． 因为， 所以． 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）一个等腰三角形的三边长分别为m，n，3，且m，n是关于x的一元二次方程的两根，则t的值为（   ） A．16 B．18 C．16或17 D．18或19 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形定义，以及一元二次方程根的判别式，根据等腰三角形的三边长分别为m，n，3，分以下两种情况讨论，①当时，②当或，再利用m，n是关于x的一元二次方程的两根，建立等式求解，即可解题． 【详解】解：等腰三角形的三边长分别为m，n，3，且m，n是关于x的一元二次方程的两根， ①当时， 有， 即，整理得，解得； ②当或， 将代入一元二次方程中， 有，解得； 综上所述，t的值为17或． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）阅读材料:设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系：，．根据该材料填空:已知，是方程的两实数根，则的值为： ． 【答案】 【分析】先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 3．（24-25八年级上·上海普陀·期中）已知：关于x的一元二次方程. (1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两根为，，且满足，求的值. 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明即可． （2）首先利用根与系数的关系可以得到，，接着利用根与系数的关系得到关于的方程，解方程即可解决问题． 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 原方程必有两不等实数根． （2）解：∵方程的两根为，， ，， ， 即：， 解得：． 4．（2025·上海金山·模拟预测）若一元二次方程（，，是常数，且）的两根分别是，，根据求根公式可以推出，． (1)运用：若一元二次方程的两根分别是，，则 ． (2)类比探究：小芳同学发现． 请你试证明：． (3)若，是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式变形，解一元二次方程； （1）利用根与系数的关系可求出的值； （2）根据，代入求值即可； （3）先利用根与系数的关系可求出，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根分别是，，则， 故答案为：； （2）证明：由题意可得，， ∴； （3）解：∵，是关于的方程的两个实数根， ∴，，， ∴，， 整理得， 解得， ∴． 【典型例题七 根与系数关系的新定义问题】 【例1】（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）定义运算：a*b＝a（1﹣b），若a、b是方程（m＜0）的两根，则b*b﹣a*a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．与m有关 【答案】B 【分析】由根与系数的关系可找出a+b＝1，根据新运算找出b*b﹣a*a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论． 【详解】解：∵a，b是方程（m＜0）的两根， ∴a+b＝1， ∴b*b﹣a*a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a）＝b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）＝ab﹣ab＝0． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，新定义下的实数运算，解题的关键是找出a+b＝1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键． 【例2】（2025·长宁·模拟预测）定义运算：x※y=（x-y）（x-y+1）+1，如3※2=（3-2）×（3-2+1）+1=3，则方程x※2=0根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】D 【分析】根据新运算化简得到，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程的根的情况． 【详解】解：根据题意得， 化简得， ， 方程无实数根． 故选D． 【点睛】本题主要考查了新运算、一元二次方程的根与系数的关系． 【例3】（2025八年级上·上海静安·模拟预测）定义新运算：，若方程的解为a、b，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后根据新定义可进行求解． 【详解】解：∵a、b是方程的解， ∴， ∴ ； 故答案为0． 【例4】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了新定义、一元二次方程根与系数的关系以及实数的运算： （1）根据题目已知定义计算即可； （2）先根据一元二次方程根的定义得到，再根据新定义化简原式，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1） ； ； （2）是一元二次方程的根， ， 根据根与系数的关系得， ． 1．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）对于实数a，b，如果定义新运算，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③若是一元二次方程的两个根，且，则m的值为3或． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据新定义进行运算，整式的混合运算及一元二次方程根与系数的关系，即可一一判定． 【详解】解：，故①正确； 当时，即时，， 当时，即时，，故②正确； ∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴，解得：； 当时，， ∵， ∴或，解得：或； 综上所述：m的值为3或，故③错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数及整式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系，理解题意，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 2．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）对于任意实数a，b，定义：．若方程的两根记为m，n，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义可得出m，n为方程的两个根，利用根与系数的关系可得出和的值，变形后利用整体代入得方法进行计算． 【详解】由题意得，整理得 ∵方程的两根记为m，n， ∴m，n为方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题的关键． 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 【答案】(1) (2)或 【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【详解】（1）解：解 得， 则，       所以一元二次方程的“再生韦达方程”为， 即； （2）解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求“原生方程”为；           当，则所求“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 4．（24-25八年级上·上海松江·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【详解】（1）解：方程的倒方程是； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ （3）由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 【典型例题八 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 【例1】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）设关于的方程的两个实数根为、，现给出三个结论：①；  ②；  ③． 则正确结论的个数是 （   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据根的判别式即可判断①；根据根与系数的关系得到，即可判断②；根据完全平方公式的变形得到即可判断③． 【详解】解：由题意得： ， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，故①正确； 由根与系数的关系可得， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． 【例2】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）方程；，其中，则以下四个结论： ①若，则方程有两个不相等的实数根；②若方程有两个不相等的实数根，则方程必定也有两个不相等的实数根；③若5是方程P的一个根，则是方程的一个根；④若方程P和方程有相同的根，则． 正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据  一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根，据此可判断①和②；③如果5是方程P的一个根，反代回方程，通过变形得，据此可判断③；解方程 ，解方程可判断④． 【详解】解：①若，则方程中，则方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②由①如果方程P有两个不相等的实数根，则，则方程的根的判断式，则方程必定也有两个不相等的实数根，故②正确； ③如果5是方程P的一个根，那么， 方程两边同时除以25，得 ，即， ∴是方程Q的一个根，故③正确； ④如果方程P和方程Q有一个相同的根，那么 ， 解得：，则，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故答案为：D． 【例3】（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）已知关于x的方程，、是此方程的两个实数根，现给出三个结论： （1）；（2）；(3 ) 则正确结论的序号是 ．（在横线上填上所有正确结论的序号）． 【答案】（1）（3） 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系， 利用一元二次方程根的判别式即可判断①；利用一元二次方程根与系数的关系即可判断②；利用一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式进行变形运算即可判断③． 【详解】（1）∵关于x的方程， ∴恒大于零，即， ∴方程有两个不相等的实数根，故（1）正确； （2）∵ ∴ ∴，即，故（2）不正确； （3）∵ ∴，， ∴ ，即，故（3）正确． 故答案为：（1）（3）． 【例4】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求m与n的关系； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明， 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”的意义，理解“倍根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键． （1）设方程的两个根为，，由倍根方程的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值； （2）根据倍根方程的定义即可找出，之间的关系； （3）设与是方程的解，根据根与系数之间的关系消去即可得出答案． 【详解】（1）解：设方程的两个根为，， ∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵方程的一个根为2， 则另一个根为1或4， 当另一个根为1时，则， ∴，即：， 当另一个根为4时，则， ∴，即：； （3）解：设与是方程的解， ，， 消去得：． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，关于x的方程的根为，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是（    ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式及根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系表示出，，再用b，c表示出，进而得出，，之间的关系，据此进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：因为关于x的方程有两个不相等的实数根，， 所以，， 则， 又因为关于x的方程的根为， 所以， 则， 所以，， 则当时，，， 所以； 当时，，， 所以； 当，且时，，， 所以； 当，且时，，， 所以． 综上所述，所有可能正确的结论是①；③． 故选：C 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若关于x的一元二次方程各项系数满足，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系．①②通过根的判别式进行判断，③④结合根与系数的关系得结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程各项系数满足， ∴， ∴ ． 当时，，方程有两个相等的实数根，故①错②正确； 当a，c同号时，方程两根的积为，两根的和为． ∴方程有两个正的实数根，故③正确； 当a，b同号时，两根的和为，两根的积为 ∴方程有两个异号实数根，故④正确． ∴正确的结论是②③④， 故答案为：②③④． 3．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）阅读理解． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“密友方程”，例如：方程的“密友方程”是． (1)写出一元二次方程的“密友方程”是________． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“密友方程”的两根为，，则________，________．根据以上结论，猜想的两根、，与其“密友方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． (3)已知关于x的方程的两根是，，可应用（2）中的结论，解关于x的方程． 【答案】(1) (2)，；关系为：，，证明见解析 (3)， 【分析】本题主要考查新定义下一元二次方程根与系数的关系，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“密友方程”的定义写出对应的“密友方程”即可； （2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“密友方程”的根得出规律，即可求解； （3）根据题意可得的两根，进而得到，进而求解； 【详解】（1）解：一元二次方程， ，，， 其“密友方程”是； （2）解：该一元一次方程的“密友方程”是； 解得：，； 关系为：， 或者叙述为：原方程的两根分别与“密友方程”的两根互为倒数． 证明：的两根为、， 设，则，整理的 ，即方程两根为、 原方程的两根与“密友方程”的两根分别互为倒数． 即，； 故答案为：，；， （3）解：已知关于的方程的两根是，， 的两根为， 方程即为，两根设为、 ， ，． 4．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）【回归课本】设一元二次方程有两个根，，则方程可化为：，即，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：，． （1）利用上式结论解题：已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． ①直接写出实数k的取值范围________________； ②是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由； 【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，． （2）利用上式结论解题：已知关于x的一元三次方程有三个根，，，求的最小值； 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元三次方程根与系数的关系； （1）①利用根的判别式建立不等式求解即可；②利用根与系数的关系建立等式进行解方程即可； （2）利用材料中的根与系数的关系得到，然后利用配方法求最值就可． 【详解】解：（1）①解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ， ∴， ∴； 故答案为 ②解：∵，是原方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得或； 又∵， ∴ （2）∵一元三次方程有三个根，，， ，，， ，， ， ∵，即的最小值为． 【典型例题九 一元二次方程根与系数的关系综合】 【例1】（24-25八年级上·上海黄浦·阶段练习）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：A． 【例2】（2025·上海静安·模拟预测）已知关于y的一元二次方程的两根分别为，，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D．方程有两个实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系．由题意可知，，，由此即可判断各个选项的正误． 【详解】解：∵关于y的一元二次方程的两根分别为，， ∴， 即方程有两个不相等的实数根， ∴，故A、D正确， 由根与系数的关系可知，，， 故C正确，B不正确， 故选：B 【例3】（2025年江苏省南京市联合体中考模拟预测数学试卷）若关于的方程的两个根分别为1和，则 ， . 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．由题意已知两个根，利用根与系数的关系，进行分析求解． 【详解】解：∵的两个根分别为1和， ∴，， ∴，． 故答案为：；． 【例4】（2025·上海·模拟预测）已知一元二次方程的求根公式为，当是一元二次方程的两根时，则有：①；②． 【结论证明】请在中选择一个结论进行证明； 【知识应用】若是一元二次方程的两个根，不解方程，求的值； 【类比拓展】若是一元三次方程的三个根，则原方程可变形为，则有：，，，．已知一元三次方程的三个根分别为，求的值． 【答案】[结论证明]见解析；[知识应用]47；[类比拓展]4 【分析】本题考查根与系数的关系，高次方程，乘法完全平方公式，代数式求值，根据所给的结论，能够灵活应用结论是解题的关键． [结论证明]求出两个根，分别求和与积即可； [知识应用]利用根与系数的关系可得，再由代入求值即可； [类比拓展]根据已知可得，再求 【详解】解：[结论证明]，， ， ； [知识应用] ， ， ； [类比拓展] ， ， ． 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）整式：，其中，，，，为整数．下列说法正确的个数为（   ） ①若，，，，均为自然数且，则满足条件的整式M共有21个； ②当，，，，均为自然数时，，，，，必有两个数的差是4的倍数； ③当时，该方程存在4个实数根记为，，，，若存在整数n，使为正整数，则． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了整数的混合运算，代数式求值，方程的解，正确计算是解此题的关键．根据，，，，的特征判断各个选项即可． 【详解】解：①或，前者显然只有一种情况，后者考虑不为0的两个字母，有10种组合，每个组合中有2种情况，即一个字母为1，另一个为2，共20种，两者加起来一共21种， 故①正确； ②5个自然数中一定有两个数的差是4的倍数， 故②正确； ③当时，该方程存在4个实数根记为，，，， ∴， ∴当时可得，即， 又∵为正整数， ∴， ∴， ∴整数时，为正整数2，即， 所以， 故③正确． 故选 A． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）若关于的一元二次方程． （1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）； （2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为 ． 【答案】 两个不相等实根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等．熟记相关结论是解题关键． （1）根据根的判别式即可进行判断； （2）根据根与系数的关系，，可得：，进一步可寻找的规律，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴故该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． （2）设方程的两个根为：， 则，， ∴， ∴ ∴ 故答案为． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值； (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)③ (2)或 (3)，见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“邻根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系即可得到，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得：，， ， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得：， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：设的两个根为，， 由韦达定理得，． ∵为“邻根方程”， ∴，可得， 即， 代入得． 4．（24-25八年级上·上海静安·期中）若，是一元二次方程的两根，则有，，由此可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系．若，是方程的两根，记，，，． (1)求： ； ．（直接写出所求数值） (2)当为不小于的整数时，求证：； (3)利用（2）中所证明的结论，求的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键． （1）根据根与系数的关系，写出，的值，然后运用完全平方公式进行计算，求出，的值； （2）由，是方程的根，得到，进行证明； （3）根据（1）中的结论得到：． 【详解】（1）解：，是方程的两根， ，， ，， 故答案为：，； （2）证明：，是方程的根， ，， ， （3）解：由（1）（2）有：． 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．根据题意可得出，进而可求出，结合选项即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， ∴， 故选：A． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）关于x的一元二次方程在实数范围内有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据关于x的一元二次方程在实数范围内有实数根，方程的根的判别式且即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵方程，，关于x的一元二次方程在实数范围内有实数根， ∴且， ∴且， 故选：A． 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，关于的方程中的三个符号，改变其中的两个（“”变为“”或“”变为“”），使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．以上选项均不成立 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，分别计算原方程根的判别式，改变①②、①③、②③处符号时对应的根的判别式，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴原方程有两个不等的实数根， 改变①②处符号时，原方程为， ∴， ∴方程没有实数根， 改变①③处符号时，原方程为， ∴， ∴方程有两个不等的实数根， 改变②③处符号时，原方程为， ∴， ∴方程没有实数根， ∴改变①③处符号时，方程的实数根的个数不变， 故选：B， 4．（2025·上海静安·模拟预测）已知，是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（   ） 嘉嘉：解方程；将步骤中的解，代入到代数式中，解得代数式的值为． 淇淇：根据根与系数关系求出，的值；化简；将步骤中的，的值代入到步骤化简后的结果中，解得代数式的值为． A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，先解方程，然后代入化简后的代数式即可判断嘉嘉做法；利用根与系数的关系即可判断淇淇做法，解题的关键是主要是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：嘉嘉：， ∴，或，， ∴当，时， 原式 ； 当，时， 原式 ，故嘉嘉解法正确； 淇淇：∵， ∴，， ∴ ，故淇淇解法正确； 故选：． 5．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，电路中有三个定值电阻 ，且的阻值（单位：Ω）满足方程，．若闭合开关S后，电流表的读数为 ，则电源的电压是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，正确理解是解题的关键． 先求得，，再代入求得，电后由电源的电压求解即可． 【详解】解：∵的阻值（单位：Ω）满足方程， ∴，， 设并联部分的电阻为， ∵ ∴， ∴电源的电压， 故选：B． 6．（2025·上海虹口·模拟预测）一元二次方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此即可求解． 求出的值，再判断符号即可． 【详解】解：一元二次方程，， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 7．（2025·上海青浦·模拟预测）方程 的两个根分别为和，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求出，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵方程 的两个根分别为和， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·上海闵行·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式得出，即，然后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴ ． 故答案为：4． 9．（2025八年级上·上海普陀·专题练习）有四组一元二次方程：和；和；和；和．这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的判别式，掌握相关知识并且理解题中定义的“相关方程”是解题的关键． 根据题中“相关方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“相关方程”，从而得解． 【详解】解：根据题中“相关方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“相关方程”，再根据条件“有两个不相等实数根”可知，是满足条件的一元二次方程， 故答案为：（答案不唯一）． 10．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；现有下列结论： （1）若关于x的方程是倍根方程，； （2）方程是倍根方程； （3）若关于x的方程，（）是倍根方程，则； （4）若，则关于x的方程（）是倍根方程． 其中正确的结论有 ．（写出所有正确说法的序号） 【答案】（1）（3） 【分析】本题考查了新定义方程，一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程，再求出方程的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （2）求出方程的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （3）由，解得，，由方程是“倍根方程”，得到，，即可求解； （4）把代入原方程中，求解即可判断． 【详解】解：（1）当时，， 解得：，， ∴是“倍根方程”， 当时，， 解得：，， ∴是“倍根方程”，故（1）符合题意； （2）方程， 解得：，， ∴方程不是“倍根方程”，故（2）不符合题意； （3）， ∴，， ∵方程是“倍根方程”， ∴或， ∴，， ∴，故（3）符合题意； （4）∵，， ∴方程， ∴， ∴，， ∴不是“倍根方程”，故（4）不符合题意； ∴符合题意的有（1）（3）， 故答案为：（1）（3）． 11．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知关于的一元二次方程． (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求的值． 【答案】(1)方程有两个不相等的根 (2) 【分析】此题考查根的判别式及一元二次方程的解结合运用，解题关键在于通过判别式判断根的情况． （1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负判断根的情况即可； （2）将代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值． 【详解】（1）解：由题意可得： 故方程有两个不相等的根； （2）根据题意，将代入方程得： ∴． 12．（2025·上海崇明·模拟预测）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)若方程有一个根为2，求的值； (2)敏敏求出，老师说敏敏的这个答案一定有误，你同意老师的观点吗？并给出理由． 【答案】(1) (2)同意老师的观点，见解析 【分析】本题考查一元二次方程的根的概念以及根与系数的关系，解题的关键是将根代入方程求解参数，利用根与系数的关系建立等式并分析等式是否成立． （1）通过将已知根代入方程求解的值． （2）先利用根与系数的关系得到的值，再结合敏敏的结论联立方程求出关于的表达式，最后根据判断是否存在． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得； （2）解：同意老师的观点．理由如下： 由题意可知，若，又， 则可解得，． ， ， ． 由于，故不存在这样的，使得． 13．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）阅读下面的材料：根与系数的关系 的根为， ∴    综上得，设的两根为、，则有 请利用上述结论解决下列问题： 问题：若方程的根是和，且满足和．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，先根据，可求出，再求出，然后将待求式整理代入即可． 【详解】∵， ∴． ∵方程的根是， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值. 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴ ，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_____，_____； (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足，，且，求的最大值． 【答案】(1)，； (2)； (3)的最大值为． 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根则；当方程有两个相等的实数根则；当方程没有实数根则，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）根据根与系数的关系进行求解即可； （）根据根与系数的关系可得，，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； （）由 ，，将看作是方程的两实数根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴ ，， ∵， ∴原式； （3）解：∵ ，， ∴将看作是方程的两实数根， ∴， ∵， ∴， 则， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 15．（24-25八年级上·上海长宁·期中）阅读与思考 下面是小华同学的数学日记，请认真阅读并完成相应的任务． ×年×月×日　星期二 一元二次方程中特殊根与系数之间的关系 今天，学习完一元二次方程的知识后，我知道了一元二次方程中根与系数之间有一定的关系，这引发了我的思考：如果一元二次方程有两个不为零的实数根，且其中一个根为另一个根的整数倍，那么这样的一元二次方程中的系数又有怎样特殊的关系呢？于是我展开了以下探究． 特例分析： ①当一元二次方程的两个不为零的实数根是1倍关系（即相等）时，系数之间满足的关系式是． ②当一元二次方程的两个不为零的实数根是2倍关系时，系数之间满足的关系式是什么？ 设一元二次方程的其中一个根为，则另一个根为． 根据题意，得，即．， 把代入，得． 当一元二次方程的两个不为零的实数根是2倍关系时，系数之间满足的关系式是． ③当一元二次方程的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数之间满足的关系式是什么？… 一般探究： 当一元二次方程的两个不为零的实数根是倍关系时，系数，之间满足的关系式是什么？．．．．． 任务： (1)请仿照小华同学的推理过程，推导出当一元二次方程的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数之间满足的关系式． (2)请直接写出当一元二次方程的两个不为零的实数根是倍关系时，系数之间满足的关系式． 【答案】(1)，过程见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程中根与系数之间的关系： （1）设其中一个根为，则另一个根为．参照题干中的计算方法即可求解； （2）设其中一个根为，则另一个根为．参照题干中的计算方法即可求解； 【详解】（1）解：设一元二次方程的其中一个根为，则另一个根为． 根据题意，得，即． 把代入，得． 当一元二次方程的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数之间满足的关系式是． （2）解：设一元二次方程的其中一个根为，则另一个根为． 根据题意，得，即． 把代入，得． 当一元二次方程的两个不为零的实数根是n倍关系时，系数之间满足的关系式是． 学科网（北京）股份有限公司 $$