第02讲 整式的加减与合并同类项（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新七年级数学衔接讲义（沪教版2024）

第02讲 整式的加减与合并同类项（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 合并同类项 典型例题二 去括号与添括号 典型例题三 整式的加减运算 典型例题四 整式的加减中的化简求值 典型例题五 整式加减中的无关型问题 典型例题六 带有字母的绝对值化简问题 典型例题七 整式加减的应用 知识点01 合并同类项 1.同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项， -a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和- ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同， a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。 2.合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3.合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 要点诠释： (1) 注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。 (2) 字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。 (3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。 知识点02 整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 要点诠释： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。 （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。 (3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数。 【典型例题一 合并同类项】 【例1】（24-25七年级上·上海松江·期末）下面计算正确的是（       ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海青浦·期末）下列各式中，可以直接跟相加减的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·上海长宁·模拟预测）化简： ． 【例4】（24-25七年级上·上海虹口·期中）化简： ． 【例5】（24-25七年级上·上海静安·期末）化简： 1．（24-25七年级上·上海青浦·期中）下列合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期中）如图， 数轴上两点分别对应实数， 则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）若与是同类项，则合并后的结果为 ． 4．（24-25七年级上·上海闵行·期中）（1）计算：； （2）合并同类项：． 5．（2024七年级上·上海静安·专题练习）学科素养•阅读理解规定一种运算：，等号右边是我们学过的加减运算，按前面的规定把展开，并合并同类项． 【典型例题二 去括号与添括号】 【例1】（24-25七年级上·上海闵行·期中）下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海=松江·期末）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）去括号： ． 【例4】（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）去括号法则： 括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都 ； 括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都 ． 【例5】（24-25七年级上·上海·期末）计算：． 1．（2024七年级上·上海青浦·模拟预测）已知，则括号里的式子是（　　） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·上海虹口·模拟预测）下列变形中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海普陀·期末）若（★），则“★”处应填上 . 4．（2024七年级上·上海宝山·专题练习）先去括号，再合并同类项． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读材料： 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并； （2）已知，求的值； 拓展应用： （3）已知，，，求的值． 【典型例题三 整式的加减运算】 【例1】（2025·上海松江·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）有依次排列的2个整式：，用这两个整式的和除以2，得到的结果放在这两个整式之间，就可以产生第1个整式串：，称为第1次操作；将第1个整式串中任意相邻的两个整式按上述方式进行第2次操作，可以得到第2个整式串．以此类推，下列说法： ①第2个整式串为：，，a，，； ②第4个整式串中，从左往右第2个整式乘以从右往左第2个整式的积为； ③第2025个整式串中，所有整式的和为． 其中正确的个数是 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例3】（2025·上海奉贤·模拟预测）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 【例4】（24-25七年级上·上海崇明·期中）化简： 【例5】（24-25七年级上·上海宝山·期中）化简： (1)； (2)； (3)． 1．（2025·上海普陀·模拟预测）要使的化简结果为单项式，则括号内的整式可以是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·上海培杨浦·模拟预测）对两个整式，，进行如下操作：记，称为第一次操作；记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作……下列说法中错误的个数是（   ） ①； ②若，则； ③若，则不存在正整数m，使得是10的倍数． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25七年级上·上海松江·期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，记： ， ． 同学们，通过以上材料的阅读，请回答下列问题： 若对于任意x都存在，则代数式的值为 ． 4．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算： (1) (2) 5．（2025·上海闵行·模拟预测）在数学活动课上，杨老师设计了一个游戏活动．如图所示的，，，分别 代表一种运算，可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序． 根据以上规则，解答下列问题： (1)计算经过的顺序所得式子的运算结果； (2)若经过的顺序所得的结果记为，经过的顺序所得的结果记为，发现无论取何值时，的值均为非负数，请说明理由． 【典型例题四 整式的加减中的化简求值】 【例1】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）已知，则的值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·期中）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·上海奉贤·期末）已知，则 ． 【例4】（2024七年级上·上海宝山·模拟预测）若，则的值为 ． 【例5】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知， (1)化简； (2)若，求的值． 1．（24-25七年级上·上海青浦·期中）已知，，则式子的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海松江·期中）在如图所示，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，已知，那么 ． 4．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中与互为相反数； (2)已知，求的值． 5．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【简单应用】 ①已知，则_____； ②已知，求的值； (2)【拓展提高】 已知，，求式子的值． 【典型例题五 整式加减中的无关型问题】 【例1】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）多项式中不含项，则a的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）关于的二次三项式，关于的代数式，下列说法：①当为关于的二次三项式时，则；②当多项式A与3B的差中不含项时，则；③当时，的值总是正数．其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【例3】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）当 时，多项式中不含有项． 【例4】（24-25七年级上·上海松江·期中）如果整式和整式的和为一个常数，我们称、为常数的“和谐整式”．例如：和为数的“和谐整式”．若关于的整式与为常数的“和谐整式”．则常数的值是 ． 【例5】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）课堂上李老师出了一道整式求值的题目，李老师把要求的整式写完后让王红同学顺便给出一组，的值，老师自己说答案，当王红说完“，”后，李老师不假思索，立刻就说出答案“3”．同学们觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误．”亲爱的同学你相信吗？你能说出其中的道理吗？ 1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）若多项式化简后不含y项，则a的值为（  ） A．2 B． C．0 D．1 2．（24-25七年级上·上海闵行·期末）已知，，，为常数，，，若的取值与无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．已知多项式（a为常数），，M是N的“雅常式”，则M关于N的“雅常值”为 ． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A，B，其中，试求．这位同学把误看成了，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)当x取任意有理数时，的值是一个定值，求y的值． 【典型例题六 带有字母的绝对值化简问题】 【例1】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）若，，且异号，则的值为（   ） A．7或3 B．3或 C．3 D．7 【例2】（24-25七年级上·上海静安·期末）有理数a，b，c在数轴上位置如图，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·上海松江·期中）如果a是不等于零的有理数，那么化简的结果是 ． 【例4】（24-25七年级上·宝山·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则 【例5】（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 1．（24-25七年级上·上海闵行·期中）若，且，以下结论：①；②；③；④的所有可能取值为和；其中正确结论是（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）已知，试求的值是（ ） A． B． C．或 D．或或 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列说法：①若满足，则； ②若，则； ③若，则是正数； ④若三个有理数，，满足，则， 其中正确的是有 （填序号）． 4．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）（1）在，，，中任选3个代数式求和；    （2）用简便方法计算：． 5．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）（2）（3），从而化简代数式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解． 【典型例题七 整式加减的应用】 【例1】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）飞机无风时的速度是，风速为，飞机顺风飞行小时比无风飞行小时多飞的航程为（       ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海宝山·模拟预测）如图，嘉淇将一正方形纸片裁剪成①，②，③，④四块，其中①～③是三块小矩形，④是一块小正方形．若已知矩形②和③的周长和为20，则正方形与正方形④的周长和为（   ） A．20 B．30 C．35 D．40 【例3】（24-25七年级上·上海松江·期末）某同学在做计算时，误将“”看成了“”，求得的结果是，已知，则的正确答案为 ． 【例4】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）如图，四边形的面积为，五边形的面积为，两个图形不重合部分的面积分别为，，则的值为 ． 【例5】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如图甲，小红制作靠垫面子，其四周是由图乙剪出的四块相同的长方形布料拼接而成，正中间是一块正方形布料． (1)求正中间这块正方形布料的面积． (2)小明发现，若知道图乙大长方形布料的周长为，就可以求出图甲靠垫面子的总面积．你同意他的说法吗？若同意，请求出靠垫面子的面积；若不同意，请说明理由． 1．（2025·宝山·模拟预测）已知多项式，当时，多项式的值为；当时，多项式的值为，则下列说法正确的是（   ） A．存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．取任意实数，都有 D．取任意实数，都有 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）左图是2025年1月份的日历，用右图所示的“九方格”框住左图中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d．则代数式的值是（   ） A． B．2 C． D．不确定 3．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图A、B、C、D四个车站的位置顺次在一条直线上，A，C两站之间的距离，B，C两站之间的距离，B，D两站之间的距离．若A，B两站之间的距离，则C，D两站之间的距离为 ． 4．（2025七年级上·上海静安·模拟预测）一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 观察：1，，，… (1)猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被_______整除． (2)若这个“对称数”是979，请通过计算验证上述猜想是否成立． (3)请你证明上述猜想是正确的． 5．（24-25七年级上·上海松江·期末）如图，某影厅共有16排座位，第1排有m个座位，第2排比第1排多6个座位，第3排及后面每排座位数相同，都比第2排多n个座位． (1)用含m，n的式子表示该影厅所有的座位数； (2)图中的阴影区域为居中区域，仔细观察图形，若，，求该影视厅的居中区域的座位数． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）整式减去后，若不含与，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）对于四个整式：、、、，任选其中2个整式并改变其每一项的符号，再把4个整式求和，称这种操作为“半负求和操作”．例如：，则下列说法正确的个数为（   ） ①存在一种“半负求和操作”使其结果是一个单项式； ②所有的“半负求和操作”共有6种不同结果； ③所有“半负求和操作”的结果的和与的取值无关． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25七年级上·上海松江·期中）定义，如果（，，，为常数），（，，，为常数），满足，，，，则A和B互为“兄弟式”，下列结论正确的有（  ）个 ①代数式的“兄弟式”为； ②若两个关于x的代数式与互为“兄弟式”，则； ③的值与x的取值无关； ④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25七年级上·静安·阶段练习）将（1）和（2）两张正方形纸片按图示两种方式放置在同一个长方形中．图（1）中阴影部分的周长和为，图（2）中阴影部分的周长和为，且，若，，则正方形①的边长为（   ）    A．3 B． C．2 D． 6．（2025·上海闵行·模拟预测）计算的结果为 ． 7．（2024七年级上·上海杨浦·专题练习）去括号： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 8．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）单项式与是同类项，则这两个单项式的和是 ．（结果不能含有字母m、n） 9．（24-25七年级上·上海长宁·期末）给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数、为“相伴有理数对”，记为．如：，所以数对是“相伴有理数对”． （1）数对，中，是“相伴有理数对”的是 ； （2）若是“相伴有理数对”，则 ． 10．（24-25七年级上·上海闵行·期中）将图1中周长为a的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 ． 11．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）先去括号，再合并同类项： (1) (2) 12．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）定义一种新运算“◎”：，比如． (1)求的值； (2)求． 13．（2025·上海闵行·模拟预测）如图 (1)求整式； (2)若，求当时整式的值． 14．（2025·上海松江·模拟预测）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 15．（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读以下材料，解决问题： 小明向Ai智能对话助手DeepSeek提问“什么是数字黑洞”，得到如下回答：“数字黑洞”是指一类特殊的数学现象，通过特定的运算规则对数字进行反复操作，最终会陷入一个或几个固定的数值或循环中，无法逃脱，类似宇宙中的黑洞． 活动一：卡普雷卡尔常数（6174） 条件：各位数字不全相同的四位数（如2025） 步骤： 1．将四位数的数字重新排列，得到一个最大数和一个最小数（若出现数字0，则0排在第一位，）； 2．用最大数减去最小数，得到新数； 3．对新数重复以上步骤，最终会得到数字6174并循环（，，，，，⋯⋯）． 由上述过程可知，四位数的卡普雷卡尔常数为6174． 小明仿照活动一进行操作：任意写下一个数字（各数位上的数字不全相同），重新排列数字，分别得到一个最大数和一个最小数，用最大数减较小数得到新数，再对新数重复上述步骤． (1)如果小明写下的是一个两位数，请通过整式的运算说明得到的新数是9的倍数； (2)对三位数（各数位上的数字不全相同）按如上步骤进行，请描述每次做差后的新数的特征，并写出三位数的卡普雷卡尔常数； (3)在阅读材料里，四位数2025经过六步操作得到卡普雷卡尔常数（6174），四位数8442也是经过六步操作得到卡普雷卡尔常数．已知任一个四位数（各数位上的数字不全相同）最多经过七步可得到卡普雷卡尔常数，请写出一个需要七步才能得到卡普雷卡尔常数的四位数并验证． 备注：将一个“排序→做差”的过程称为一次“操作”． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 整式的加减与合并同类项（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 合并同类项 典型例题二 去括号与添括号 典型例题三 整式的加减运算 典型例题四 整式的加减中的化简求值 典型例题五 整式加减中的无关型问题 典型例题六 带有字母的绝对值化简问题 典型例题七 整式加减的应用 知识点01 合并同类项 1.同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项， -a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和- ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同， a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。 2.合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3.合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 要点诠释： (1) 注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。 (2) 字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。 (3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。 知识点02 整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 要点诠释： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。 （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。 (3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数。 【典型例题一 合并同类项】 【例1】（24-25七年级上·上海松江·期末）下面计算正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据合并同类项的结果，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·上海青浦·期末）下列各式中，可以直接跟相加减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查合并同类项，根据题意得到能够直接跟相加减的是的同类项，根据同类项的定义进行判断即可． 【详解】解：A、与是同类项，可以直接跟相加减，符合题意； B、不能直接跟相加减，不符合题意； C、不能直接跟相加减，不符合题意； D、不能直接跟相加减，不符合题意； 故选A 【例3】（2025·上海长宁·模拟预测）化简： ． 【答案】 【分析】根据合并同类项的基本计算解答即可． 本题考查了合并同类项，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·上海虹口·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项的法则，系数相加作为系数，字母和字母的指数不变，根据法则求解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·上海静安·期末）化简： 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项，根据合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解： ． 1．（24-25七年级上·上海青浦·期中）下列合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查合并同类项，正确判断同类项，掌握合并同类项的法则是解题的关键，根据合并同类项法则解答． 【详解】解：A.，故不符合题意； B.，故不符合题意； C.，故不符合题意； D.，故符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期中）如图， 数轴上两点分别对应实数， 则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上表示的数，绝对值的意义，有理数加法和合并同类项，解题关键是根据数轴上点的位置，确定这些点表示数的正负和绝对值大小，再结合绝对值的意义进行化简．根据数轴上的位置确定的正负，再根据有理数加法减法法则确定和的正负，再根据绝对值的意义化简即可． 【详解】解：根据数轴所示可知，， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）若与是同类项，则合并后的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，利用同类项是字母相同且相同字母的指数也相同得出a、b的值是解题的关键． 根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得a、b的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得：，． 故原式为：与 +． 故答案为． 4．（24-25七年级上·上海闵行·期中）（1）计算：； （2）合并同类项：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查有理数的混合运算、合并同类项法则，正确掌握运算法则是解题关键． （1）先算乘方，再计算乘除，最后计算加法； （2）直接利用合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 【详解】解：（1） ； （2） ． 5．（2024七年级上·上海静安·专题练习）学科素养•阅读理解规定一种运算：，等号右边是我们学过的加减运算，按前面的规定把展开，并合并同类项． 【答案】 【分析】本题考查的是定义新运算，同时用到了整式的加减运算.仔细观察新运算：所反映出的整式的加减运算规则，根据规定的运算法则可得展开原式. 【详解】解：原式 . 故答案为： 【典型例题二 去括号与添括号】 【例1】（24-25七年级上·上海闵行·期中）下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号和添括号，根据去括号和添括号法则运算即可判断求解，掌握去括号和添括号法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形正确，符合题意； 故选：． 【例2】（24-25七年级上·上海=松江·期末）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，根据去括号的法则以及合并同类项的法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，不符合题意； B、不是同类项，不能合并，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B 【例3】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）去括号： ． 【答案】 【分析】本题考查了去括号法则，如果括号前是正号，去掉括号和括号前面的正号，括号里面各项符号不变；如果括号前是负号，去掉括号和括号前面的负号，括号里面各项符号改变．解决本题的关键是根据去括号的法则去括号即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）去括号法则： 括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都 ； 括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都 ． 【答案】 不变 改变 【分析】本题考查去括号法则，括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都不变；括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都改变． 【详解】括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都不变； 括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都改变； 故答案为：不变；改变． 【例5】（24-25七年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了去括号、合并同类项，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是解题的关键．根据去括号、合并同类项的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 1．（2024七年级上·上海青浦·模拟预测）已知，则括号里的式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添括号法则，解答此题的关键是熟练掌握添括号法则：添的括号前是正数时，被括到括号里的各项的符号都不变，添的括号前是负数时，被括到括号里的各项的符号都改变． 根据添括号法则解答即可，注意符号变化． 【详解】解：根据题意将添括号，， 故选：C． 2．（2024七年级上·上海虹口·模拟预测）下列变形中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了去括号和添括号法则，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号；当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号；当括号前是“”时，添加括号后，括到括号内的各项不变号；当括号前是“”时，添加括号后，括到括号内的各项都要变号，据此解答即可求解，掌握去括号和添括号法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，不合题意； 、，该选项错误，符合题意； 、，该选项正确，不合题意； 、，该选项正确，不合题意； 故选：． 3．（24-25七年级上·上海普陀·期末）若（★），则“★”处应填上 . 【答案】b-2 【分析】根据去括号和添括号法则,即可得出答案. 【详解】∵a-2b+4=a-（2b-4）=a-2（b-2） 因此★处应填上b-2. 【点睛】本题考查的是去括号和添括号，注意去括号和添括号时每一项都要乘以括号外面的系数. 4．（2024七年级上·上海宝山·专题练习）先去括号，再合并同类项． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算．解决本题的关键是根据去括号的法则去括号，然后再根据合并同类项的法则合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读材料： 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并； （2）已知，求的值； 拓展应用： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键． （1）利用整体的思想进行合并即可； （2）由可得，再对进行变形，然后整体代入即可； （3）先去括号，再添括号，然后整体代入即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴ ； （3）∵，，， ∴ ； 【典型例题三 整式的加减运算】 【例1】（2025·上海松江·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减．根据合并同类项法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）有依次排列的2个整式：，用这两个整式的和除以2，得到的结果放在这两个整式之间，就可以产生第1个整式串：，称为第1次操作；将第1个整式串中任意相邻的两个整式按上述方式进行第2次操作，可以得到第2个整式串．以此类推，下列说法： ①第2个整式串为：，，a，，； ②第4个整式串中，从左往右第2个整式乘以从右往左第2个整式的积为； ③第2025个整式串中，所有整式的和为． 其中正确的个数是 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算法则，平方差公式．根据整式的加减运算法则，平方差公式进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴第2个整式串为：，，a，，，故①正确； 根据题意得：第3个整式串为：，，，，a，，，，， 第4个整式串从左往右第2个整式为：，从右往左第2个整式为， ∴第4个整式串中，从左往右第2个整式乘以从右往左第2个整式的积为 ，故②正确； 根据题意得： 第1个整式串所有整式的和为； 第2个整式串所有整式的和为； 第3个整式串所有整式的和为， ……， 第n个整式串所有整式的和为， ∴第2025个整式串中，所有整式的和为，故③错误． 故选：C 【例3】（2025·上海奉贤·模拟预测）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算．根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：依题意这个多项式为： ， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·上海崇明·期中）化简： 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： 【例5】（24-25七年级上·上海宝山·期中）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减运算，其实质是去括号，合并同类项，掌握去括号与合并同类项法则是解题的关键． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 1．（2025·上海普陀·模拟预测）要使的化简结果为单项式，则括号内的整式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，单项式的定义，根据整式的加减运算法则，先去括号，再合并同类项即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，不是单项式，故选项不符合题意； B、，不是单项式，故选项不符合题意； C、，不是单项式，故选项不符合题意； D、，是单项式，故选项符合题意； 故选：D． 2．（2025·上海培杨浦·模拟预测）对两个整式，，进行如下操作：记，称为第一次操作；记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作……下列说法中错误的个数是（   ） ①； ②若，则； ③若，则不存在正整数m，使得是10的倍数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了整式的加减及数字类变化规律，根据题意找到规律是解题的关键．先分别计算出，再对各个说法分别分析并判断即可得出结论． 【详解】解:∵，， ∴， ∴， ∴，故①错误； 当时，，， ∵记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作…… ∴，故②错误； 当时，，， ， ， ∴存在正整数，使得是的倍数；故③错误． 综上，错误的说法有个， 故选：D． 3．（24-25七年级上·上海松江·期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，记： ， ． 同学们，通过以上材料的阅读，请回答下列问题： 若对于任意x都存在，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，根据定义进行计算，根据多项式相等得出的值，进而代入代数式即可求解． 【详解】解：∵=， 根据二次项系数可得， ∴， 整理得：， ∴，， ∴ ， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减混合运算，掌握整式加减混合运算步骤是解题的关键． （1）进行整式加减运算，即可求解； （2）先去括号，再进行整式加减运算，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．（2025·上海闵行·模拟预测）在数学活动课上，杨老师设计了一个游戏活动．如图所示的，，，分别 代表一种运算，可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序． 根据以上规则，解答下列问题： (1)计算经过的顺序所得式子的运算结果； (2)若经过的顺序所得的结果记为，经过的顺序所得的结果记为，发现无论取何值时，的值均为非负数，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列出运算式子，然后根据有理数的混合运算法则求解即可； （2）依题意得到，，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：依题意经过的顺序所得式子的运算结果为； （2）证明：依题意得，，， 无论取何值时，的值均为非负数． 【典型例题四 整式的加减中的化简求值】 【例1】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）已知，则的值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，先去括号合并同类项，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选A． 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·期中）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式去括号合并后，将已知等式整体代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 ． 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·上海奉贤·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减与化简求值；利用非负数的性质求出与的值，将原式去括号合并得到最简结果，将与的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【例4】（2024七年级上·上海宝山·模拟预测）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的加减混合运算法则．先根据整式的加减混合运算法则将原式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式， 故答案为：64． 【例5】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知， (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则． （1）根据整式的加减运算法则进行化简， （2）根据题意可求出与的值，然后将与的值代入中即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ，， 当，时， ， ， ． 1．（24-25七年级上·上海青浦·期中）已知，，则式子的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先把第二个等式两边乘以2，再用第一个等式减去第二个等式两边乘以2后的结果即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的化简求值、绝对值的非负性，先根据绝对值的非负性求出x和y的值，再进行整式的加减运算，最后将x和y的值代入求解． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选B． 3．（24-25七年级上·上海松江·期中）在如图所示，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，已知，那么 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出。进而根据依题意得，由此可得的值． 【详解】解：∵， ∴中间正方形四个顶点上的数字之和为：， 又∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴， ∴， ∴． 故答案为：14． 4．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中与互为相反数； (2)已知，求的值． 【答案】(1)，1 (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，根据相反数的定义和非负数的性质求出的值，再代值计算即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项化简，再利用整体代入法代值计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵和互为相反数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 当，时，原式． （2）解： ， ∵， ∴原式． 5．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【简单应用】 ①已知，则_____； ②已知，求的值； (2)【拓展提高】 已知，，求式子的值． 【答案】(1)①2025；② (2) 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，代数式求值，掌握整式的加减-化简求值的运算法则以及整体代入思想是关键． （1）①把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； ②把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （2）将代数式变形为，再化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ， 故答案为： 2025； ②， ． （2）解：∵， ． 【典型例题五 整式加减中的无关型问题】 【例1】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）多项式中不含项，则a的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减无关型问题，熟练运用合并同类项的法则，“多项式中不含某一项即合并同类项后某项的系数为零”是解题的关键．先去括号，合并同类项，然后令项的系数为0，即可求解． 【详解】解: ， ∵多项式中不含项， ∴， ∴． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）关于的二次三项式，关于的代数式，下列说法：①当为关于的二次三项式时，则；②当多项式A与3B的差中不含项时，则；③当时，的值总是正数．其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】此题考查了整式的加减混合运算．将整理成，得到，即可判断说法①；将整理成，令，解方程即可判断说法②；当时，求得，即可判断说法③． 【详解】解：① ， ∵为关于的二次三项式， ∴， 解得，故说法①正确； ② ， ∵多项式A与3B的差中不含项， ∴， 解得，故说法②正确； ③ ， 当时，，故说法③正确； 综上，说法①②③都正确； 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）当 时，多项式中不含有项． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的加减，熟知不含某项，说明整理后的这项的系数之和为0是解答的关键．据此求解即可． 【详解】解： ， ∵该多项式不含项， ∴，解得， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·上海松江·期中）如果整式和整式的和为一个常数，我们称、为常数的“和谐整式”．例如：和为数的“和谐整式”．若关于的整式与为常数的“和谐整式”．则常数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是理解和谐整式的概念，正确计算．根据题意得，则，解得，，将代入，进行计算即可得． 【详解】解：∵关于x的整式与为常数k的“和谐整式”， ∴， ， 则 解得，， ∴， 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）课堂上李老师出了一道整式求值的题目，李老师把要求的整式写完后让王红同学顺便给出一组，的值，老师自己说答案，当王红说完“，”后，李老师不假思索，立刻就说出答案“3”．同学们觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误．”亲爱的同学你相信吗？你能说出其中的道理吗？ 【答案】相信，道理见解析 【分析】原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据结果为常数进行分析说明．本题考查整式的加减—化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键． 【详解】解：相信，道理如下： ． ∵结果为常数3， ∴原式的结果与字母a，b的取值无关， ∴李老师能够准确地说出代数式的值为3． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）若多项式化简后不含y项，则a的值为（  ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项,先去括号，再合并同类项，再根据化简后不含y项，即可求出a的值． 【详解】解： ， ∵化简后不含y项， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期末）已知，，，为常数，，，若的取值与无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值，解决本题的关键是求出、．根据题意，求出，且的取值与无关，所以，，即，；，因为是不含的多项式，所以，即；因为，将、、代入到式子中，可得，即，因为式子恒成立，所以，即，将、、、代入求出． 【详解】解：因为，， 所以 ， 因为的取值与无关， 所以，， 得：，； ； 因为是不含的多项式， 所以， 即， 因为， 即， ， 因为该式子恒成立， 所以， 即， ． 故选：A． 3．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．已知多项式（a为常数），，M是N的“雅常式”，则M关于N的“雅常值”为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可．计算，令含未知数的项的系数为零即可求解． 【详解】解： ， M是N的“雅常式”， ， ， ， ∴M是N的“雅常式”是4． 故答案为：4． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，多项式的概念，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据去括号和合并同类项法则将多项式化简，再根据不含三次项可知，三次项的系数为0，即可求出m的值； （2）由（1）可得，该多项式为，再整体代入计算求值即可． 【详解】（1）解：， 该多项式不含三次项， ， ； （2）解：由（1）可得，该多项式为， 当，时， ． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A，B，其中，试求．这位同学把误看成了，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)当x取任意有理数时，的值是一个定值，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）根据，结合整式的加减计算法则求解即可； （2）根据，结合整式的加减计算法则求出的结果，再根据题意的值与x的取值无关，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴          ； （2）解： ，      ∵当x取任意有理数，的值是一个定值， ∴的值与x的取值无关， ∵， ∴， ∴． 【典型例题六 带有字母的绝对值化简问题】 【例1】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）若，，且异号，则的值为（   ） A．7或3 B．3或 C．3 D．7 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的减法运算，先根据题意，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵m，n异号， ∴，，或，， ∴或； 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·上海静安·期末）有理数a，b，c在数轴上位置如图，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，化简绝对值的知识，利用绝对值的意义去掉绝对值是解题的关键． 根据有理数a，b，c在数轴上的位置可得到：，再利用绝对值的意义去掉绝对值符号，然后即可求解． 【详解】解：由图可得：， ∴，， ∴，， ∴； 故选：B 【例3】（24-25七年级上·上海松江·期中）如果a是不等于零的有理数，那么化简的结果是 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了绝对值的化简．分和两种情形计算即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 故答案为：0或1． 【例4】（24-25七年级上·宝山·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，以及合并同类项．根据数轴得出，，的符号，再去绝对值即可． 【详解】解：由数轴得， ∴，，， ∴． 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)1； (2)或． 【分析】此题考查了代数式求值，化简绝对值，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先化简绝对值得到，，然后由，，求出，，然后代入求解即可； （2）根据分两种情况讨论：，或，，然后分别代入求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵若，， ∴， ∴； （2）∵若， ∴，或， ∴当，时，； 当，时，． 1．（24-25七年级上·上海闵行·期中）若，且，以下结论：①；②；③；④的所有可能取值为和；其中正确结论是（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法法则、绝对值的性质、有理数的乘方，根据几个不相等的数的和为可知正确，根据任何数的平方都是非负数可知故正确，根据绝对值的性质可以判断错误． 【详解】解：，且， 有可能，， 故正确； ， ， ， ， 故正确； ，且， 当、时， ， 当、时， ， 的值只能为， 故错误． 故正确结论是． 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）已知，试求的值是（ ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的化简，有理数的乘法，根据正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它相反数化简即可． 【详解】解：当、，则，原式； 当、，则，原式； 当、，则，原式； 当、，则，原式； 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列说法：①若满足，则； ②若，则； ③若，则是正数； ④若三个有理数，，满足，则， 其中正确的是有 （填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了绝对值，关键是熟悉①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．如果用字母表示有理数，则数 绝对值要由字母本身的取值来确定：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零．依此即可求解． 【详解】解：①若满足，则， 则， 当时，， 故①的说法是错误的； ②若，则， ∴， 故②的说法是正确的； ③当时，分四种情况讨论： 当，且时，，则是正数， 当，且时，，则是正数， 当，且时，，则是正数， 当，且时，，则是正数， 故③的说法是正确的； ④当、、三个都是正数时，则，不符合题意； 当、、有两个正数，一个负数时，不妨设、为正，则， ； 当、、有两个负数，一个正数时，不妨设、为负，则，不符合题意； 当、、三个都是负数时，则，不符合题意； 当三个有理数，，满足，则， 故④的说法是错误的； 故答案为：②③ 4．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）（1）在，，，中任选3个代数式求和；    （2）用简便方法计算：． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查含乘方，绝对值的混合运算，分配律进行简便计算． （1）从中任选3个，根据乘方，绝对值，四则混合运算法则进行计算即可； （2）运用分配律进行简便计算． 【详解】解：（1）①若选择，，，它们的代数和为 ； ②若选择，，，它们的代数和为 ； ③若选择，，，它们的代数和为 ； ④若选择，，，它们的代数和为 ． （2） ． 5．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）（2）（3），从而化简代数式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解． 【答案】(1)和的零点值分别是和 (2)当时，；当时，；当时， (3)整数解为，，，，，， 【分析】本题考查了化简含有绝对值的代数式，解题的关键是理解材料内容； （1）根据材料例题进行操作即可； （2）利用分内讨论的思想，当时；当时，；当时，进行讨论； （3）先求出，再取整数解即可． 【详解】（1）解：， ，， 和； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； （3）解：， ， 整数解为：，，，，，，． 【典型例题七 整式加减的应用】 【例1】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）飞机无风时的速度是，风速为，飞机顺风飞行小时比无风飞行小时多飞的航程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意可得顺风飞行的速度为，根据路程等于速度乘以时间，分别计算出顺风飞行的路程和无风飞行的路程，二者相减即可得到答案． 【详解】解：， ∴飞机顺风飞行小时比无风飞行小时多飞的航程为， 故选：A． 【例2】（2025·上海宝山·模拟预测）如图，嘉淇将一正方形纸片裁剪成①，②，③，④四块，其中①～③是三块小矩形，④是一块小正方形．若已知矩形②和③的周长和为20，则正方形与正方形④的周长和为（   ） A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减的应用，依题意，设长方形②的宽为b，长为a，则长方形③的长为a，设长方形③的宽为c，根据图形可得，进而得出正方形④的周长为，正方形的周长为，根据整式的加减即可求解． 【详解】解：依题意，设长方形②的宽为b，长为a，则长方形③的长为a，设长方形③的宽为c， ∵长方形②与③的周长和为， ∴， ∴， ∴， ∵④是正方形， ∴正方形④的周长为，正方形的周长为， ∴两个正方形的周长和为： ， 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·上海松江·期末）某同学在做计算时，误将“”看成了“”，求得的结果是，已知，则的正确答案为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，根据题意，因为，，所以，然后求出即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∴； 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）如图，四边形的面积为，五边形的面积为，两个图形不重合部分的面积分别为，，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的加减的应用，设重叠部分面积为 ， 可理解为 ，即两个多边形面积的差． 【详解】解：设重叠部分面积为 ， ， 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如图甲，小红制作靠垫面子，其四周是由图乙剪出的四块相同的长方形布料拼接而成，正中间是一块正方形布料． (1)求正中间这块正方形布料的面积． (2)小明发现，若知道图乙大长方形布料的周长为，就可以求出图甲靠垫面子的总面积．你同意他的说法吗？若同意，请求出靠垫面子的面积；若不同意，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，正确理清图形面积与边长的关系是解题的关键． （1）中间小正方形的边长等于图乙中小长方形的长减去宽，据此求出变成即可求出面积； （2）根据周长计算公式可求出a的值，进而可求出图甲靠垫面子的边长，进而可求出面积． 【详解】（1）解：由题意得，中间正方形的边长为， ∴正中间这块正方形布料的面积为； （2）解：同意，理由如下： ∵图乙大长方形布料的周长为 ∴， ∴， ∴靠垫面子的边长为， ∴靠垫面子的面积为． 1．（2025·宝山·模拟预测）已知多项式，当时，多项式的值为；当时，多项式的值为，则下列说法正确的是（   ） A．存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．取任意实数，都有 D．取任意实数，都有 【答案】C 【分析】本题主要考查了整数运算，正确理解题意是解题关键．根据题意，可知，，然后逐项分析判断即可． 【详解】解：根据题意，当时，可有， 当时，则有， ∵， ∴， ∴，，故选项A、B错误，不符合题意； ∵， ∴，故选项C正确，符合题意； ∵，故选D错误，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）左图是2025年1月份的日历，用右图所示的“九方格”框住左图中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d．则代数式的值是（   ） A． B．2 C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减的应用，数字规律，设正中间的数字为，则可利用日历表示出，再代入求值即可，正确理解日历中的数字规律是解题的关键． 【详解】解：设右图所示的“九方格”中正中间的数字为， 则， 则代数式， 故选：B． 3．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图A、B、C、D四个车站的位置顺次在一条直线上，A，C两站之间的距离，B，C两站之间的距离，B，D两站之间的距离．若A，B两站之间的距离，则C，D两站之间的距离为 ． 【答案】269 【分析】本题考查了整式加减的应用，首先根据题意表示出，，然后根据求解即可． 【详解】A，B两站之间的距离； ， ， ， ． 答：C，D两站之间的距离是． 故答案为：269． 4．（2025七年级上·上海静安·模拟预测）一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 观察：1，，，… (1)猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被_______整除． (2)若这个“对称数”是979，请通过计算验证上述猜想是否成立． (3)请你证明上述猜想是正确的． 【答案】(1)9 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了整式的加减，有理数的混合运算，分配律的应用； （1）根据题意，举出两个对称数并进行计算验证即可； （2）根据题意，先计算，再判断即可； （3）设三位数，则去括号合并化简即可说明猜想是正确的． 【详解】（1）解：∵，，． ∴猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除 ； （2）解：， 故将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除； （3）解：设这个对称数为，则， 为整数， 能被9整除， “对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除． 5．（24-25七年级上·上海松江·期末）如图，某影厅共有16排座位，第1排有m个座位，第2排比第1排多6个座位，第3排及后面每排座位数相同，都比第2排多n个座位． (1)用含m，n的式子表示该影厅所有的座位数； (2)图中的阴影区域为居中区域，仔细观察图形，若，，求该影视厅的居中区域的座位数． 【答案】(1)个 (2)该影视厅的居中区域的座位数为214个 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、列代数式及代数式求值，能根据题意用，表示出每排的座位数是解题的关键． （1）根据所给座位的个数关系，先得出第2排的座位数，再进一步得出第3排的座位数，即可求解； （2）用表示出图中阴影部分座位数的个数，再将的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1排有个座位，第2排比第1排多6个座位， 所以第2排的座位个数为个． 又因为第3排及后面每排座位数相同，都比第2排多个座位， 所以第3至16排的座位个数为个． ， 所以影厅所有的座位数有个； （2）解：由阴影部分可知， 第1排阴影部分中的座位个数为个， 第2排阴影部分中的座位个数为个， 第3至16排阴影部分中每排的座位个数都为个， 所以阴影部分中的座位总个数为：（个， 当时，（个， 即该影视厅的居中区域的座位数为214个． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减法运算中的合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项的法则． 根据合并同类项的法则，对每个选项逐一进行分析判断． 【详解】A、与是同类项，根据合并同类项法则，同类项的系数相加，字母和指数不变，，该选项正确． B、与是同类项，合并同类项可得，该选项错误． C、3a与是同类项，合并同类项可得，该选项错误． D、与，相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，该选项错误． 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）整式减去后，若不含与，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，先计算两个整式的差，根据结果不含与，即这两项系数为0，即可求出 【详解】解： ， 因为它们的差不含与， 所以，， ∴，， 故选B． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）对于四个整式：、、、，任选其中2个整式并改变其每一项的符号，再把4个整式求和，称这种操作为“半负求和操作”．例如：，则下列说法正确的个数为（   ） ①存在一种“半负求和操作”使其结果是一个单项式； ②所有的“半负求和操作”共有6种不同结果； ③所有“半负求和操作”的结果的和与的取值无关． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，正确理解新定义，准确列出所有的操作是解题的关键． 根据新定义，列出所有的“半负求和操作”，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，对、、、进行“半负求和操作”如下： 1．， 2．， 3． 4．， 5． 6．， 所有“半负求和操作”的结果的和为：， ∴①存在两种“半负求和操作”使其结果是0，是一个单项式，故①说法错误，不符合题意； ②所有的“半负求和操作”共有5种不同结果，故②说法错误，不符合题意； ③所有“半负求和操作”的结果的和是常数0，与x的取值无关，故③说法正确，符合题意， ∴①②说法都错误，③说法正确，说法正确的共有1个数． 故选：B． 4．（24-25七年级上·上海松江·期中）定义，如果（，，，为常数），（，，，为常数），满足，，，，则A和B互为“兄弟式”，下列结论正确的有（  ）个 ①代数式的“兄弟式”为； ②若两个关于x的代数式与互为“兄弟式”，则； ③的值与x的取值无关； ④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减和多项式的相关知识，正确理解代数式互为“兄弟式”的定义是关键． 根据“兄弟式”的定义即可判断①，根据题意可得，求出，即可判断②；根据题意可得，即可判断③，根据得到，求出，即可判断④． 【详解】解：①∵， ∴代数式的“兄弟式”为；故①正确； ②∵两个关于的代数式与互为“兄弟式”， ，即， ， ∴，故②错误； ③∵， ， ∴， ∴的值与x的取值有关，故③错误； ④∵， ， 当时，， ， ， ∴，故④正确， 综上可知，①④正确． 故选：B． 5．（24-25七年级上·静安·阶段练习）将（1）和（2）两张正方形纸片按图示两种方式放置在同一个长方形中．图（1）中阴影部分的周长和为，图（2）中阴影部分的周长和为，且，若，，则正方形①的边长为（   ）    A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的加减，设，正方形①边长为a，正方形②边长为b，表示出图（1）中阴影部分的周长和m及图（2）中阴影部分的周长和n，根据题意列方程即可解决． 【详解】解：设，正方形①边长为a，正方形②边长为b， ∵， 则图（1）中阴影部分的周长和为 ， ∵， 图（2）中阴影部分的周长和为 ， ∵， ， 解得：， 则正方形①的边长为， 故选：B． 6．（2025·上海闵行·模拟预测）计算的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减．先去括号，再合并同类项，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（2024七年级上·上海杨浦·专题练习）去括号： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【答案】 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．根据去括号的方法进行解答即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：； （4）； 故答案为：； （5） ． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）单项式与是同类项，则这两个单项式的和是 ．（结果不能含有字母m、n） 【答案】/ 【分析】本题考查同类项定义以及单项式乘单项式，同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项．由同类项定义求出a，b的值，再求单项式的和即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， 解得，， ∴单项式的和为， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海长宁·期末）给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数、为“相伴有理数对”，记为．如：，所以数对是“相伴有理数对”． （1）数对，中，是“相伴有理数对”的是 ； （2）若是“相伴有理数对”，则 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了整式的化简求值和新定义，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，正确理解新定义的含义． （1）根据“相伴有理数对”的定义对这两个数对进行计算，然后判断即可； （2）先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后把整体代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解：（1），， ，， ， 成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”， ∴是“相伴有理数对”的有； （2）∵是“相伴有理数对”， ， ， 故答案为：， 10．（24-25七年级上·上海闵行·期中）将图1中周长为a的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减的混合运算，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 设1号正方形的边长为号正方形的边长为，则3号正方形的边长为号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为，可得，再由图2中长方形的周长为，可得，即可求解． 【详解】解：设1号正方形的边长为号正方形的边长为， 则3号正方形的边长为号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， ∵图1中长方形的周长为， ， 解得：， 如图，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长， ∵图2中长方形的周长为， ， ， ∴没有覆盖的阴影部分的周长为， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）先去括号，再合并同类项： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了去括号，合并同类项，熟练掌握去括号，合并同类项法则是解决此题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可求出答案； （2）先去括号，再合并同类项即可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）定义一种新运算“◎”：，比如． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义运算列出算式，去括号合并同类项即可 【详解】（1）解：， ； （2） ． 13．（2025·上海闵行·模拟预测）如图 (1)求整式； (2)若，求当时整式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减法的运算法则是解答关键． （1）根据题意列式计算求解； （2） 根据题意先列式求出的代数式，再将代入求解． 【详解】（1）解：根据题意可知 ． （2）解：当时， 解得， ． 当时， ． 14．（2025·上海松江·模拟预测）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）运用合并同类项法则进行计算即可； （2）判断，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，且的值和的取值无关， ∴，． ∴，． ∴． 15．（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读以下材料，解决问题： 小明向Ai智能对话助手DeepSeek提问“什么是数字黑洞”，得到如下回答：“数字黑洞”是指一类特殊的数学现象，通过特定的运算规则对数字进行反复操作，最终会陷入一个或几个固定的数值或循环中，无法逃脱，类似宇宙中的黑洞． 活动一：卡普雷卡尔常数（6174） 条件：各位数字不全相同的四位数（如2025） 步骤： 1．将四位数的数字重新排列，得到一个最大数和一个最小数（若出现数字0，则0排在第一位，）； 2．用最大数减去最小数，得到新数； 3．对新数重复以上步骤，最终会得到数字6174并循环（，，，，，⋯⋯）． 由上述过程可知，四位数的卡普雷卡尔常数为6174． 小明仿照活动一进行操作：任意写下一个数字（各数位上的数字不全相同），重新排列数字，分别得到一个最大数和一个最小数，用最大数减较小数得到新数，再对新数重复上述步骤． (1)如果小明写下的是一个两位数，请通过整式的运算说明得到的新数是9的倍数； (2)对三位数（各数位上的数字不全相同）按如上步骤进行，请描述每次做差后的新数的特征，并写出三位数的卡普雷卡尔常数； (3)在阅读材料里，四位数2025经过六步操作得到卡普雷卡尔常数（6174），四位数8442也是经过六步操作得到卡普雷卡尔常数．已知任一个四位数（各数位上的数字不全相同）最多经过七步可得到卡普雷卡尔常数，请写出一个需要七步才能得到卡普雷卡尔常数的四位数并验证． 备注：将一个“排序→做差”的过程称为一次“操作”． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9941，9831，9721，9611，8830，8720，8610，8500等均是经过七次操作得到卡普雷尔常数的四位数，验证过程见解析 【分析】本题考查了整式的加减，有理数的混合运算． （1）设小明写的两位数十位数字为，个位数字为，且，推出最大数为，最小数为，作差，利用整式的加减运算计算判断； （2）取三位数：352，按照例题操作，即可求解； （3）以9941为例，按照例题操作，即可求解． 【详解】（1）解：设小明写的两位数十位数字为，个位数字为，且，则这个两位数为． 重新排列后：最大数为，最小数为， 用最大数减最小数可得： 所以小明写下的两位数是9的倍数； （2）解：取三位数：352， 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：； 第五步：． ∴三位数的卡普雷卡尔常数495； 特征：①中间这个是数都是9；②三个数字的和是18； （3）解：9941，9831，9721，9611，8830，8720，8610，8500等均是经过七次操作得到卡普雷尔常数的四位数，验证过程如下（以9941为例）： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：； 第五步：； 第六步：； 第七步：． 学科网（北京）股份有限公司 $$