专题04：幂的运算 讲义 2025--2026学年沪教版七年级数学上册暑假班预修提升课程

2025年新七年级上（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题04 幂的运算 知识点01同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 注意： ①底数必须相同，如23与25，（x﹣y）2与（x﹣y）3等； ②a可以是单项式，也可以是多项式； ③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． 知识点02幂的乘方 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意： ①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点03积的乘方 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意： ①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用； ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 题型1：同底数幂相乘 【名师点拨】在计算时，一定要注意“同底数”这个条件,当底数不同时，要先转化为相同的底数，再运用运算性质进行计算,在转化过程中，要注意符号问题. 【例1】计算下列各式，结果用幂的形式表示： ； 答案： 答案： 答案： 【例2】在下列各小题的横线上，填上适当的正负号： 从上述练习中你能得到什么规律？ 答案： 规律：负数的偶次幂为正数 【例3】计算： ； ； ； ； ； . 答案： 【例4】计算： （3）（m是正整数）． 答案： 或 或 （3）因为m是正整数，所以2m为偶数， 【跟踪训练】 1．下列计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握法则是解题的关键． 3.计算：（1） （2） 答案： 4.在下列各小题的横线上，填上适当的正负号： ； ； ； ． 答案： 5.把下列各式化成的形式： ； ； ； ； ； 。 答案： 答案： 答案： 题型2：同底数幂乘法的逆用 【名师点拨】题干条件如果出现指数和的形式,考虑逆用同底数幂的乘法 【例5】已知，求 ． 【答案】6 【分析】根据同底数幂乘法的逆运用，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运用，熟练掌握同底数幂乘法的逆运用法则是解题的关键． 【跟踪训练】 1.若，，则 ． 【答案】 【分析】根据同底数幂逆运算进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟知同底数幂乘法运算法则为：底数不变，指数相加；是解本题的关键． 2.若＝m，＝n（a、b都是正整数），则用含m、n的式子表示＝ ． 【答案】mn 【分析】直接利用同底数幂的乘法的逆运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵＝m，＝n（a、b都是正整数）， ∴＝×＝mn． 故答案为：mn． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 3.若，则 ． 【答案】8 【知识点】同底数幂相乘 【分析】此题考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据同底数幂的乘法得到，然后得到求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：8． 题型03：用科学记数法表示数的乘法 【名师点拨】用科学记数法表示数的方法： (1)用科学记数法把一个绝对值较大的数(绝对值大于10)表示成的形式时,其中,是正整数,原数的整数位数. (2) 用科学记数法把一个绝对值较小的非零数(绝对值小于1)表示成的形式时,其中,是正整数,原数中第一个不等于0的数字前面的0的个数(包括小数点前面的一个0) 【例6】一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【详解】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了科学记数法，单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【跟踪训练】 1.用科学记数法表示： ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则求解，然后用科学记数法表示即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，科学记数法，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 2.一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【详解】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 3.用四舍五入法把精确到千万位的近似数为 用科学记数法表示． 计算： 结果用科学记数法表示 【答案】 【分析】本题考查了近似数和科学记数法；熟知“科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数”是解题的关键． 先将原数精确到千万位，再用科学记数法表示为的形式即可求解；先计算，然后用科学记数法表示为的形式即可求解． 【详解】解：用四舍五入法把精确到千万位的近似数为； ． 故答案为：；． 4.光速约为米/秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为 米． 【答案】 【分析】用速度乘以时间求出距离，用科学记数法进行表示即可． 【详解】解：米； 故答案为： 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 题型4：幂的乘方 【名师点拨】1.幂的乘方法则可推广为 2.幂的乘方法则的逆用: 【例7】计算：（1）； （2）； （3）[]； （4）[] 解：（1）。 （2）。 （3） (4 ) 【例8】计算； （1） ； （2）； （3） （4） （5） （6） 解：（1） （2） （3） （4） （5） =； （6）= 【例9】把下列各式写成或的形式： （1） （2）[] 解：（1） （2）[ 【例10】计算： (1) (2) 答案：（1）； （2） 【跟踪训练】 1.计算下列各题 （1）、 （2）、 答案：（1）； （2） 2.计算： （1）（2） （3） 【答案：（1）（2）（3）】 3.计算： 【答案：】 4.计算: (1) (2) 答案：（1） （2） 题型5：幂的乘方的逆用 【名师点拨】 【例11】已知，则的值是（　　） A．24 B．31 C．108 D．6 【答案】C 【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法的逆运算，进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 【例12】已知求的值． 【答案】 【分析】根据幂的乘方以及整体思想，将转化成同底数幂的乘法和乘方公式进行计算． 【详解】解：∵ ∴， 又∵ ∴原式 【点睛】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法，整体思想，熟练掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法是解题的关键． 【例13】已知，用的代数式表示 【答案：】 【跟踪训练】 1.若，则 . 【答案】8 【分析】利用幂的乘方法则进行计算. 【详解】解： 故答案为8. 【点睛】掌握幂的乘方法则是本题的解题关键. 2.已知：，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方的逆运算计算即可得出答案． 【详解】∵，， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是幂的运算公式，需要熟练掌握四个幂的运算公式及其逆运算． 3. 已知，求（1）的值；（2）的值 答案：（1） （2） 4.已知，则 ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 5．已知，则 . 【答案】 【分析】根据题意得到，根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则得到，代入即可求出结果. 本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 题型6：利用幂的乘方比较大小 【名师点拨】两种比较幂的大小的方法 对于底数、指数同为正的幂的大小的比较，一般有两种方法: (1)底数比较法，可先逆用幂的乘方的运算性质把底数不同、指数不同的幂转化为指数相同的幂，再比较大小,当幂的指数相同时，底数越大幂越大 (2)指数比较法，可先运用幂的乘方的运算性质把底数不同、指数不同的幂转化为底数相同的幂，再比较大小.当幂的底数相同且都大于1时，指数越大幂越大;当幂的底数相同且都大于0小于1时，指数越大幂越小 【例14】阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方，有理数大小比较，解题的关键是明确有理数大小的比较方法及幂的乘方运算法则． （1）根据材料一的结论解答本题； （2）根据材料二的结论解答本题． 【详解】（1）∵，，， ∵， ∴； （2）∵，，， ∵， ∴． 【例15】如，，是比较，大小（    ） A． B． C． D．、大小不能正确 【答案】C 【分析】先运用幂的乘方的运算性质先把A和B进行转化变成同底数幂的形式，再进行比较即可． 【详解】解：∵A=， ， ∴A=B； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数． 【跟踪训练】 1．已知，，，试比较a，b，c的大小并用“”把它们连接起来： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 2．已知，，，试比较a，b，c的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，解题的关键是根据幂的乘方运算法则，将，，都变形为底数为2的的幂，然后进行比较大小即可． 【详解】解：，，， ∵, ∴， 即． 3.阅读探究题： 【阅读材料】 比较两个底数大于的正数幂的大小，可以在底数或指数相同的情况下，比较指数或底数的大小， 如：，． 在底数或指数不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与， 解：， ， ． ． (1)上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质（______ ） A．同底数幂的乘法   B．同底数幂的除法   C．幂的乘方   D．积的乘方 (2)类比解答：比较，的大小． (3)拓展提高：比较，，的大小． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】根据幂的乘方运算法则判断即可； 根据幂的乘方运算法则解答即可； 根据幂的乘方运算法则解答即可． 【详解】（1）上述求解过程中，运用了幂的乘方的运算性质， 故答案为：； （2），， ， ； （3），，， ， ． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． 4.若，，比较，大小关系的方法：因为，，32>27，所以，所以．已知，，则，的大小关系是 （填“<”或“>”）． 【答案】< 【详解】解：参照题目中比较大小的方法可知， ，，， ， ， 故答案为：<． 【点睛】本题考查利用幂的乘方比较未知量的大小，熟练掌握幂的乘方的运算法则（底数不变，指数相乘）是解题的关键． 题型7：积的乘方 【名师点拨】 【例16】计算： （1） 　（2） 　　（3） 　（4） 解:（1） 　 （2） （3） （4） 【例17】用简便方法计算： 【答案】；； 【分析】先将式子拆分成同次数的形式，再利用进行求解即可． 【详解】解：（1）原式＝ ＝ ＝ ＝ （2）原式＝ ＝ ＝ ＝ （3）原式＝＝＝＝ 【点睛】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用． 【例18】用简便方法计算： 【答案】 【分析】先将式子拆分成同次数的形式，再利用进行求解即可． 【详解】解：（1）原式＝ ＝ ＝ ＝ 【点睛】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用． 【跟踪训练】 1.计算： （1）（2） （2） （4）； （5）； 【答案：（1）（2）（3） （4） （5）0】 2.计算：（1）（2） 【答案：（1）（2）】 3.用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先将小数化为分数，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （3）根据乘法结合律和积的乘方逆运算，先计算后两项乘积，再求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的简便运算，解题的关键是掌握有理数范围内依旧适用各个运算律，以及熟练运用同底数幂的运算法则． 4.用简便方法计算：（1）（2） 【详解】（1）原式＝ ＝ ＝ ＝ （2）原式 【点睛】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用． 题型8：幂的运算综合 【名师点拨】 【例19】计算： (1)． 2)； (3)． 【详解】（1）解： ． （2） ； （3） ． 【点睛】此题主要考查了单项式乘单项式以及积的乘方运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【例20】已知：求证： 【答案】证明见解析 【分析】要证明，就要证明，即，因x、y为指数，故运用同底数幂乘法让左右两边同时乘以，然后再利用已知等式进行变形转化即可得到结果. 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，（x、y均不可能为0） ∴，即. 【点睛】本题考查同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的应用，将要证明的等式进行转化，出现指数相加、相乘是解题的关键. 【跟踪训练】 1.计算：． 【答案】 【分析】分别按照幂的乘方，积的乘方，单项式乘单项式的运算法则进行计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了整式的乘法运算．用到的知识点有幂的乘方，积的乘方，单项式乘单项式．幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的因式相乘；单项式乘单项式，把他们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母和字母指数不变，作为积的因式． 2.计算：． 【答案】0 【分析】根据积的乘方，单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键. 3．若． (1)猜想与的大小关系； (2)证明你的猜想． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是积的乘方和幂的乘方，掌握积的乘方法则和幂的乘方法则是解题的关键． （1）根据题意猜想即可； （2）根据题意得到①，②，两式相乘即可得到答案． 【详解】（1）； （2）， ①， 又， ②， ①②得到， 即， 故． 题型9：新定义问题 【例21】定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)的值为 ； (2)若，求的值； 【答案】(1)96 (2)22 【分析】（1）根据新运算规则计算，即可求解； （2）根据新运算规则原式可变形为，再由幂的乘方和同底数幂的逆运算计算，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ； 故答案为：96 （2）解：∵， 【点睛】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的逆运算，利用新运算规则是解题的关键． 【例22】如果，那么我们规定：，例如，因为，那么我们就说，； (1)请根据上述定义，填空： ______；______；______； (2)已知，，，且，求的值． 【答案】(1)2，6，4； (2)． 【分析】（1）根据有理数的乘方和新定义即可得出答案； （2）根据新定义可得，，，然后利用同底数幂的乘法法则求出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ， 故答案为：2，6，4； （2）解：∵，，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了有理数的乘方、新定义、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则，正确理解新定义是解题的关键． 【例23】规定两数，之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故， 则，即． (1)根据上述规定，填空：_________；_________；_________． (2)计算___________，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数都成立． 【答案】(1)2；0；3 (2),理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）由于，，根据“雅对”的定义可得； （2）设，利用新定义得到，根据同底数幂的乘法得到，然后根据“雅对”的定义得到，从而得到； （3）设：，利用新定义得到，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立． 【详解】（1）∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵ ， ∴ 故答案为：2；0；3； （2）； 理由如下： 设，则， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （3）设， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即，对于任意自然数n都成立． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即 是正整数）． 一、选择题 1.（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）代数式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．先利用同底数幂的乘法法则，再利用求相同加数的和的简便算法得结论． 【详解】解： ． 故选：C 2．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，同底数幂的乘法，先把原式变形为，进而得到． 【详解】解： ， 故选C． 3．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）已知，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用幂的乘方、同底数幂的乘法公式，将变形为，整体代入求解即可． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题考查幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4.（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，则（         ） A．24 B．27 C．54 D．81 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法．先求得，进而根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求得答案． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 5．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，，，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的乘方，先根据幂的乘方化成底指数相同的幂，再进行比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∴， 故选：C． 6．（23-24七年级上·上海普陀·期中）的计算结果是（    ） A．； B．； C．1； D．． 【答案】D 【分析】先把原式化为，再利用积的乘方运算的逆运算进行计算即可得到答案． 【详解】解： ； 故选D 【点睛】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键． 二、填空题 7.（24-25七年级上·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握计算公式是解题的关键． 根据同底数幂的乘法计算公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8.（2024七年级上·上海·专题练习）计算： （结果用幂的形式表示）． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9.（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 10.（23-24七年级上·上海青浦·期末） ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方运算和幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方计算即可； 【详解】解：原式= 故答案为： ． 12.（24-25七年级上·上海闵行·期末）计算： ． 【答案】/ 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题主要考查积的乘方与幂的乘方，运用相关运算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13.（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算： ．（n是整数） 【答案】/ 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂乘法计算，先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 14.（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据同底数幂乘法的逆用将改写成，再根据积的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若，，则 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方计算，先求出的值，再根据进行计算求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）比较大小： ．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，幂的乘方的逆运算．根据幂的乘方计算法则得到，，，再由即可得到答案． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】/ 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查的就是同底数幂的乘法计算法则．本题首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 18.若，则的值为 ． 【答案】9 【分析】由幂的乘方进行化简，然后把代入计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：9． 【点睛】本题考查了幂的乘方的运算法则，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简． 3、 解答题 19.计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式． 【总结】本题主要考查同底数幂相乘的计算，底数不变，指数相加；同时涉及到多重负号的化简，看“”号的个数决定运算结果的符号，奇负偶正． 20、计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）0；（4）． 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【总结】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方综合运算，熟练运算法则． 21、用简便方法计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）9；（2）；（3）1；（4）． 【解析】（1）原式=； （2） 原式=； （3） 原式=； （4） 原式=． 【总结】主要根据积的乘方逆运算法则和同底数幂的乘法，将底数变成易于计算的数字． 22.（2024七年级上·上海·专题练习）已知，求的值． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【详解】本题考查同底数幂乘法的逆用，根据求解即可． 【分析】解：∵ 又∵， ∴ ∴ 解得 故答案为： 23.（24-25七年级上·上海·期中）若，用a，b的代数式表示． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了幂的运算法则，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键； 将转化为以2为底的幂的形式，然后代入求值即可 【详解】解： ， ，， ． 24．（2024存志中学月考）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)__________________； (2)若，求m的值； (3)比较大小：，，，，则a，b，c，d的大小关系是什么？ 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）逆运积的乘方公式进行计算即可解答； （2）将原式转化为同底数幂进行计算，然后列出关于m的一元一次方程求解即可； （3）将各式转化为指数相同，然后比较底数的大小即可解答． 【详解】（1）解：． 故答案为1． （2）解：∵， ， ，解得． （3）解：，，，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，灵活逆用幂的乘方、积的乘方的公式是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新七年级上（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题04 幂的运算 知识点01同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 注意： ①底数必须相同，如23与25，（x﹣y）2与（x﹣y）3等； ②a可以是单项式，也可以是多项式； ③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． 知识点02幂的乘方 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意： ①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点03积的乘方 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意： ①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用； ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 题型1：同底数幂相乘 【名师点拨】在计算时，一定要注意“同底数”这个条件,当底数不同时，要先转化为相同的底数，再运用运算性质进行计算,在转化过程中，要注意符号问题. 【例1】计算下列各式，结果用幂的形式表示： ； 【例2】在下列各小题的横线上，填上适当的正负号： 从上述练习中你能得到什么规律？ 【例3】计算： ； ； ； ； ； . 【例4】计算： （3）（m是正整数）． 【跟踪训练】 1．下列计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2.计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 3.计算：（1） （2） 4.在下列各小题的横线上，填上适当的正负号： ； ； ； ． 5.把下列各式化成的形式： ； ； ； ； ； 。 题型2：同底数幂乘法的逆用 【名师点拨】题干条件如果出现指数和的形式,考虑逆用同底数幂的乘法 【例5】已知，求 ． 【跟踪训练】 1.若，，则 ． 2.若＝m，＝n（a、b都是正整数），则用含m、n的式子表示＝ ． 3.若，则 ． 题型03：用科学记数法表示数的乘法 【名师点拨】用科学记数法表示数的方法： (1)用科学记数法把一个绝对值较大的数(绝对值大于10)表示成的形式时,其中,是正整数,原数的整数位数. (2) 用科学记数法把一个绝对值较小的非零数(绝对值小于1)表示成的形式时,其中,是正整数,原数中第一个不等于0的数字前面的0的个数(包括小数点前面的一个0) 【例6】一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （用科学记数法表示） 【跟踪训练】 1.用科学记数法表示： ． 2.一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 3.用四舍五入法把精确到千万位的近似数为 用科学记数法表示． 计算： 结果用科学记数法表示 4.光速约为米/秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为 米． 题型4：幂的乘方 【名师点拨】1.幂的乘方法则可推广为 2.幂的乘方法则的逆用: 【例7】计算：（1）； （2）； （3）[]； （4）[] 【例8】计算； （1） ； （2）； （3） （4） （5） （6） 【例9】把下列各式写成或的形式： （1） （2）[] 【例10】计算： (1) (2) 【跟踪训练】 1.计算下列各题 （1）、 （2）、 2.计算： （1）（2） （3） 3.计算： 4.计算: (1) (2) 题型5：幂的乘方的逆用 【例11】已知，则的值是（　　） A．24 B．31 C．108 D．6 【例12】已知求的值． 【例13】已知，用的代数式表示 【跟踪训练】 1.若，则 . 2.已知：，，则 ． 3. 已知，求（1）的值；（2）的值 4.已知，则 ． 5．已知，则 . 题型6：利用幂的乘方比较大小 【名师点拨】两种比较幂的大小的方法 对于底数、指数同为正的幂的大小的比较，一般有两种方法: (1)底数比较法，可先逆用幂的乘方的运算性质把底数不同、指数不同的幂转化为指数相同的幂，再比较大小,当幂的指数相同时，底数越大幂越大 (2)指数比较法，可先运用幂的乘方的运算性质把底数不同、指数不同的幂转化为底数相同的幂，再比较大小.当幂的底数相同且都大于1时，指数越大幂越大;当幂的底数相同且都大于0小于1时，指数越大幂越小 【例14】阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 【例15】如，，是比较，大小（    ） A． B． C． D．、大小不能正确 【跟踪训练】 1．已知，，，试比较a，b，c的大小并用“”把它们连接起来： ． 2．已知，，，试比较a，b，c的大小． 3.阅读探究题： 【阅读材料】 比较两个底数大于的正数幂的大小，可以在底数或指数相同的情况下，比较指数或底数的大小， 如：，． 在底数或指数不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与， 解：， ， ． ． (1)上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质（______ ） A．同底数幂的乘法   B．同底数幂的除法   C．幂的乘方   D．积的乘方 (2)类比解答：比较，的大小． (3)拓展提高：比较，，的大小． 4.若，，比较，大小关系的方法：因为，，32>27，所以，所以．已知，，则，的大小关系是 （填“<”或“>”）． 题型7：积的乘方 【例16】计算： （1） 　（2） 　　（3） 　（4） 【例17】用简便方法计算： 【例18】用简便方法计算： 【跟踪训练】 1.计算： （1）（2） （2） （4）； （5）； 2.计算：（1）（2） 3.用简便方法计算： (1)； (2)． 4.用简便方法计算：（1）（2） 题型8：幂的运算综合 【例19】计算： (1)． 2)； (3)． 【例20】已知：求证： 【跟踪训练】 1.计算：． 2.计算：． 3．若． (1)猜想与的大小关系； (2)证明你的猜想． 题型9：新定义问题 【例21】定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)的值为 ； (2)若，求的值； 【例22】如果，那么我们规定：，例如，因为，那么我们就说，； (1)请根据上述定义，填空： ______；______；______； (2)已知，，，且，求的值． 【例23】规定两数，之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故， 则，即． (1)根据上述规定，填空：_________；_________；_________． (2)计算___________，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数都成立． 一、选择题 1.（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）代数式可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）的计算结果是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）已知，，那么（    ） A． B． C． D． 4.（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，则（         ） A．24 B．27 C．54 D．81 5．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，，，则有（　　） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·上海普陀·期中）的计算结果是（    ） A．； B．； C．1； D．． 二、填空题 7.（24-25七年级上·上海松江·期末）计算： ． 8.（2024七年级上·上海·专题练习）计算： （结果用幂的形式表示）． 9.（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 10.（23-24七年级上·上海青浦·期末） ． 11．（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算： ． 12.（24-25七年级上·上海闵行·期末）计算： ． 13.（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算： ．（n是整数） 14.（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 15．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若，，则 ． 16．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）比较大小： ．（填“＞”、“＝”或“＜”） 17．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 18.若，则的值为 ． 3、 解答题 19.计算： （1）； （2）； （3）． 20、计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 21、用简便方法计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 22.（2024七年级上·上海·专题练习）已知，求的值． 23.（24-25七年级上·上海·期中）若，用a，b的代数式表示． 24．（2024存志中学月考）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)__________________； (2)若，求m的值； (3)比较大小：，，，，则a，b，c，d的大小关系是什么？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$