第01讲 整式（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025－2026学年七年级上册数学衔接讲义（沪教版2024）

第01讲 整式（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 单项式的系数、次数 典型例题二 多项式的项、项数或次数 典型例题三 多项式系数、指数中字母求值 典型例题四 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 典型例题五 整式的判断 典型例题六 单项式规律问题 典型例题七 数字类规律探索 典型例题八 图形类规律探索 知识点01 单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 要点诠释： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算。 知识点02 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 知识点03 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 要点诠释： （1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 【典型例题一 单项式的系数、次数】 【例1】（24-25七年级上·上海奉贤·期末）单项式的系数和次数分别是（    ） A．，3 B．，4 C．，4 D．，4 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的次数和系数，根据单项式的数字因数是单项式的系数，字母的次数之和为单项式的次数，进行作答即可． 【详解】解：单项式的系数和次数分别是，3， 故选：A 【例2】（24-25七年级上·上海长宁·期末）已知关于的多项式与的次数相同、那么的值是（   ） A． B． C．12 D．27 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数，乘方运算，理解多项式的次数的确定方法是解题的关键． 根据多项式次数“多项式中最高次项的次数即为多项式的次数”的确定方法得到，代入计算即可． 【详解】解：的次数为， ∴， ∴， 故选：C ． 【例3】（24-25七年级上·上海普陀·期末）单项式的次数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是单项式的概念，掌握单项式的次数的定义是解题的关键．单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数． 【详解】解：单项式的次数是， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·上海宝山·期中）单项式的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的相关概念，由数与字母的积和字母与字母的积组成的代数式叫做单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，由此即可得解． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为：． 【例5】（2024七年级上·上海金山·专题练习）用单项式填空，并指出它们的系数和次数： (1)若三角形的一条边长为，这条边上的高为，则这个三角形的面积为________； (2)一个长方体包装盒的长、宽、高分别为，，，则这个长方形体包装盒的体积为________； (3)有理数的相反数是________； (4)《北京2022年冬奥会——冰上运动》是为了纪念北京2022年冬奥会冰上运动发行的邮票．邮票1套共5枚，价格为6元，其中一种版式为一张10枚（2套）．某中学举行冬奥会有奖问答活动，买了张这种版式的邮票作为奖品，共花费________元； (5)《中华人民共和国国旗法》规定，国旗旗面为红色长方形，其长与高之比为，有五种通用尺度（即尺寸规格）．若一种尺度的国旗的长为，则这种尺度的国旗旗面的面积为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】此题考查了单项式，以及列代数式，列出正确的代数式是解本题的关键．各项列出代数式，判断单项式的系数与次数即可． 【详解】（1）解：由题意得，，它的系数是，次数是2； （2）解：由题意得，，它的系数是1，次数是3； （3）解：由题意得，，它的系数是，次数是1； （4）解：由题意得，，它的系数是12，次数是1； （5）解：由题意得，，它的系数是，次数是2． 1．（24-25七年级上·上海松江·期末）下列代数式是一次式的是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式，熟练掌握单项式、多项式的次数的定义是解题的关键． 根据单项式、多项式的次数的定义判断即可． 【详解】解：A、4的次数是0，故此选项不符合题意； B、的次数是1，故此选项符合题意； C、的次数是2，故此选项不符合题意； D、不是整式，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海静安·期末）下图为小亮某次测试的答卷，每小题25分，他的得分应是（   ） 填空： （1） 4 （2）的次数是 4 （3）的系数是 （4），，则 A．100分 B．75分 C．50分 D．25分 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方、单项式的系数与次数“单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数”、等角的余角相等，熟练掌握各运算法则和定义是解题关键．根据有理数的乘方法则、单项式的系数与次数的定义、等角的余角相等求解即可得． 【详解】解：（1），则此题得分为0分， （2）的次数是，则此题得分为25分， （3）的系数是，则此题得分为0分， （4），，则，则此题得分为25分， 所以他的得分应是（分）， 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）单项式的系数是 ．次数是 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 根据单项式系数、次数的定义即可解答． 【详解】解：单项式的系数是．次数是． 故答案为：，6． 4．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）已知单项式的次数为5，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的次数，代数式求值．熟练掌握单项式的次数，整体代入是解题的关键． 由题意知，，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵单项式的次数为5， ∴． ∴， ∴的值为． 5．（2024七年级上·上海闵行·专题练习）列出单项式，并指出它们的系数和次数． (1)某班总人数为m人，女生人数是男生人数的，那么该班男生人数为多少？ (2)长方形长为x，宽为y，则长方形的面积为多少？ (3)一台彩电原价a元，现按原价9折出售，那么这台彩电现在的售价为多少？ 【答案】(1)男生人数为人，系数是，次数是1 (2)面积是，系数是1，次数是2 (3)彩电现在售价是元，系数是，次数是1 【分析】该题主要考查了列代数式，单项式的系数和次数，解题的关键是理解题意，掌握单项式的相关定义． （1）将题中的单项式表示出来，再根据单项式系数、次数的定义求解即可． （2）将题中的单项式表示出来，再根据单项式系数、次数的定义求解即可． （3）将题中的单项式表示出来，再根据单项式系数、次数的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得出该班男生人数是总人数的， ∴男生人数为人，故系数是，次数是1． （2）解：根据题意得长方形的面积为，的系数是1，次数是2， （3）解：根据题意得彩电现在售价是元，的系数是，次数是1． 【典型例题二 多项式的项、项数或次数】 【例1】（2025·上海崇明·模拟预测）若有一组按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的规律探索，根据前几个多项式找到规律是解题的关键； 根据前几个多项式的构成可以发现：第个多项式的第1项是，第2项是，即可得到答案. 【详解】解：因为第1个多项式是， 第2个多项式， 第3个多项式是， 第4个多项式是， …， 可以发现：第个多项式的第1项是，第2项是， 则第个多项式是； 故选：C. 【例2】（24-25七年级上·上海松江·期末）若多项式是关于x的五次三项式，则m的值是（     ） A．5 B． C． D．5或 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，熟知相关定义是解题的关键：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．根据多项式次数和项的定义进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·上海闵行·期中）是 次 项式． 【答案】 四 四 【分析】本题考查了多项式的概念，熟练掌握多项式的定义是解题的关键； 几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，据此解答即可． 【详解】解：是四次四项式； 故答案为：四，四． 【例4】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）多项式的最高次项是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．直接利用多项式的次数确定项得出答案． 【详解】解：多项式的最高次项是：， 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）已知整式． (1)若该整式的次数是1，求a的值并写出常数项； (2)若该整式的常数项是0，求的值． 【答案】(1)，常数项为 (2) 【分析】本题考查了多项式的次数，常数项，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为整式的次数是1，则，即可作答． （2）因为整式的常数项为0，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵整式的次数是1， ∴， 即， 故常数项为； （2）解：∵整式的常数项为0， 则， 即． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）下列说法中正确的是（   ） A．的系数是，次数是 B．单项式的系数是，次数是 C． 是二次四项式 D．多项式的次数是，项数是 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式与多项式的有关概念，分别根据单项式中的数字因数是单项式的系数，单项式所有字母的指数和为单项式的次数，多项式中次数最高项的次数是多项式的次数，进而得出答案，正确把握相关定义是解题的关键． 【详解】解：、的系数是，次数是，原说法不正确，不符合题意； 、单项式的系数是，次数是，原选项说法不正确，不符合题意； 、 是二次三项式，原选项说法不正确，不符合题意； 、多项式的次数是，项数是，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知整式，其中为自然数，为正整数，、均为整数，若．下列说法正确的个数有（   ） ①满足条件的整式共有12个； ②所有满足条件的多项式中，没有三项式和四项式； ③当或时，所有满足条件的整式的和为4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了整式的相关知识点，分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别求解并逐项分析即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，，此时或， ∵为正整数， ∴，即整式为，共1个， 当时，，此时， 若，则，整式为， 若，则，整式为或， 若，则，整式为或，共5个； 当时，，此时， 若，则，整式为， 若，则， ∴，或，， 整式为，，，，共5个； 当时，，此时， ∵为正整数， ∴，，整式为，共个， ∴满足条件的整式共有种，故①正确； 所有满足条件的多项式中，没有三项式和四项式，故②正确； 当时，所有多项式的和为之和，为， 当时，当时，和为，当时，和为，当时，和为， 当时，和为，总计为，故③正确； 综上所述，正确的有①②③，共个， 故选：D． 3．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）下列说法中：①是五次单项式；②单项式的系数是，次数5；③是四次三项式；④是二次二项式；⑤各项次数都是5的关于a，b的多项式最多有六项．其中正确的序号为 ． 【答案】③⑤ 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．根据定义求解即可。 【详解】解：①是三次单项式；故不符合题意； ②单项式的系数是，次数6；故不符合题意； ③是四次三项式；故符合题意； ④不是多项式；故不符合题意； ⑤各项次数都是5的关于a，b的多项式项数最多时为：；有六项．故符合题意； ∴正确的有：③⑤， 故答案为：③⑤ 4．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）已知多项式是五次四项式． (1)求出m的值． (2)单项式的次数与已知多项式的次数相同，求n的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了多项式的次数和单项式的次数，关键是根据多项式的次数和单项式的次数解答． （1）根据多项式的次数得出m的值． （2）由（1）可知：，把代入单项式，再根据单项式的次数也是5即可得出，进而可求出n的值． 【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式， ∴， （2）解：由（1）可知：， ∴单项式为， ∵单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴， ∴ 5．（24-25七年级上·上海松江·期中）如图是某居民小区的一块长为a米，宽为米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为b米的扇形花台，然后在花台内种花，其余种草．已知建造花台及种花的费用为每平方米100元，种草的费用为每平方米50元．解答下列问题： (1)花台（空白部分）的面积可以用一个单项式表示为__________平方米，这个单项式系数是__________；草地（阴影部分）的面积可以用一个多项式表示为__________平方米，这个多项式的次数是__________； (2)当，，取3时，美化这块空地共需多少元？ 【答案】(1)；；；2 (2)2000元 【分析】此题考查了列代数式和代数式求值在几何图形问题中的应用； （1）四个花台的面积为一个圆的面积，种草部分的面积为长方形的面积减去四个花台的面积，据此求出草地和花台的面积，再根据单项式系数和多项式次数的定义可得答案； （2）根据（1）所求先计算出花台和草地的费用之和，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵一个花台的面积为半径为b米的圆的面积的四分之一， ∴四个花台的面积和为半径为b米的圆的面积，即平方米， 单项式的系数为； 草地（阴影部分）的面积可以用一个多项式表示为平方米，这个多项式的次数是2； 故答案为：；；；2； （2）解：依题意，美化这块空地共需费用：元； 当，，取时，（元）； 答：美化这块空地共需元． 【典型例题三 多项式系数、指数中字母求值】 【例1】（24-25七年级上·上海静安·期中）如果多项式是关于，的五次三项式，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中字母的指数总和的最大值即为多项式的次数．根据多项式的相关概念进行解答即可． 【详解】解：∵多项式是关于，的五次三项式， ∴，， ∴． 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·上海宝山·课后作业）已知关于x的多项式不含三次项和二次项，则（        ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据多项式不含三次项和二次项，得出，，求出m、n的值即可． 【详解】解：∵关于x的多项式不含三次项和二次项， ∴，， 解得：，，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多项式不含某项的问题，解题的关键是列出关于m、n的方程，准确计算． 【例3】（2025·上海徐汇·模拟预测）若关于的多项式的各项系数之和是1，则“●”代表的数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式，根据题意直接列式，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：2． 【例4】（2024七年级上·上海杨浦·专题练习）已知，若是关于的四次三项式，又是关于的二次三项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的概念，解题的关键是熟练运用多项式概念．根据多项式的概念即可求出m，n的值，然后代入求值． 【详解】解：因为是关于的四次三项式， 所以且，，解得，． 又因为是关于的二次三项式， 所以，0，解得． 所以． 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）对于多项式（其中是大于的整数）． (1)若，且该多项式是关于的三次三项式，求的值； (2)若该多项式是关于的五次三项式，则、要满足什么条件？ 【答案】(1)1 (2)且 【分析】本题考查多项式，理解多项式的相关定义是解答的关键． （1）利用多项式的定义，得出的次数进而得出答案； （2）利用多项式的定义，得出的次数与系数进而得出答案． 【详解】（1）解：时，原多项式变为， ∵该多项式是关于的三次三项式， ∴，解得，即的值为1； （2）解：由题意得：且，即且． 1．（2024七年级上·上海松江·专题练习）多项式是关于x的二次三项式，则m的值为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式．正确利用多项式次数与系数的定义得出m的值是解题关键． 直接利用二次三项式的次数与项数的定义列方程，求出m的值． 【详解】由题意知且， ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期中）关于x的三次三项式（其中a、b、c、d均为常数），关于x的二次三项式（e、f均为非零常数），下列说法正确的个数是（　　） ①当是关于x的三次三项式时，则； ②当中不含x3时，则； ③当时，；当时，，则，； ④； ⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】计算，令常数项为0可判断①；计算，令x3项系数为0可判断②；由当时，；当时，列出方程组可解得e和f的值，从而判断③；用特殊值法可求出d和的值，可判断④和⑤． 【详解】解：＝ ＝， ∵是关于x的三次三项式，， ∴， 解得，故①正确； ＝， ∵中不含， ∴， ∴，故②正确； ∵时，；当时，， ∴， 解得，，故③正确； 在中，令得： ， ∴，故④正确； 在中，令得： ， ∵， ∴，故⑤正确， ∴正确的有①②③④⑤，共5个， 故选：D． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算相关法则． 3．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）若多项式是关于的三次多项式，则多项式的值为 ． 【答案】3或5或1 【分析】本题考查了多项式的定义．分类讨论，根据多项式的次数为三次，超过三次的项的系数为0，即可求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵多项式是关于的三次多项式， 当时，，此时或6，则， ∴， ∴或1； 当，，此时，则， ∴， ∴； 故答案为：3或5或1． 4．（24-25七年级上·上海金山·期中）已知关于的多项式不含三次项和一次项． (1)求、的值 (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，代数式求值．熟练掌握整式加减中的无关型问题，代数式求值是解题的关键． （1）由题意知，，计算求出； （2）把、的值代入求解即可． 【详解】（1）解：关于的多项式不含三次项和一次项， ∴， 解得：， （2）解：∵， ∴， ∴的值为． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，如图所示的数轴上A，B两点对应的数分别为a，b． (1)______，_______； (2)若数轴上有一点C，点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，求点C在数轴上对应的数n的值； (3)有一动点G从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时动点H从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上做同方向运动，设运动时间为秒．点D到点G的距离与点D到点B的距离相等，点F到点D的距离与点F到点H的距离相等（D为线段的中点，F为线段的中点），请直接写出点F在数轴上对应的数．（用含t的式子表示） 【答案】(1)；20； (2)10或50； (3)． 【分析】本题考查多项式和数轴，多项式的概念，根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是解题关键． （1）由题意直接求解即可； （2）注意分情况讨论，①当点C在之间时，②当点C在B右侧时，分别计算的长，可得结论； （3）本题有两个动点G和H，根据速度和时间可得点G表示得数为：，点H表示的数为：，根据中点的定义得点D和点F表示的数． 【详解】（1）解：∵多项式是关于x的二次多项式， ， ∴， ∵二次项系数为b， ∴； 故答案为：，20； （2）解：分两种情况： ①当点C在之间时，如图， ∵， ∴， ∴； ②当点C在B右侧时，如图， ∵， ∴， ∴． 综上可知，点C在数轴上对应的数n的值为10或50； （3）由题意得，点G表示的数为，点H表示的数为， ∵， ∴点G在线段之间， ∵D为中点， ∴点D表示的数为：， ∵F是中点， ∴点F表示的数为：． 【典型例题四 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例1】（24-25七年级上·上海奉贤·期末）把多项式按的升幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．根据x的次数从小到大排列即可． 【详解】解：多项式按的升幂排列为． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·上海长宁·期中）对于多项式，下列结论正确的是（    ） A．这个多项式的项为，， B．这个多项式是二次三项式 C．这个多项式的常数项为5 D．这个多项式按a的降幂排列是 【答案】D 【分析】本题考查了将多项式按某个字母升幂（降幂）排列，与多项式相关的概念：多项式的次数、项、常数项及项的系数，几个单项式的和叫做多项式，组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数；根据这些知识去判断即可． 【详解】解：多项式的项分别是，，，故A选项不符合题意； 多项式是三次三项式，故B选项不符合题意； 多项式这个多项式的常数项为，故C选项不符合题意； 这个多项式按a的降幂排列是，故D选项符合题意； 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）将整式按x降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键．先分清各项，再根据多项式幂的排列的定义解答． 【详解】解：按x降幂排列：． 故答案为：． 【例4】（2025·上海奉贤·模拟预测）写出一个同时满足下列条件的二次三项式： 只含有字母和；每一项的次数都是；按字母的降幂排列． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式的概念，多项式的次数、项数的概念，按某字母降幂排列，熟记多项式的次数，项数概念是解题的关键． 根据多项式次数，项数的定义，降幂排列求解即可． 【详解】解：∵二次三项式满足：只含有字母和；每一项的次数都是；按字母的降幂排列， ∴这个多项式可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 【例5】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）在下列代数式中： ①，②，③，④，⑤，⑥a，⑦，⑧， 单项式有： ；多项式有： ．（只填序号） 把整式按字母x的降幂排列是 ． 【答案】①②④⑥；③⑤⑧； 【分析】本题考查了整式的定义，单项式和多项式统称整式；‌单项式‌是由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也称为单项式；几个单项式的和（或者差），叫做多项式，根据单项式，多项式的定义进行选择，按某个字母降幂排列的知识解决即可． 【详解】解：单项式有：①②④⑥；多项式有：③⑤⑧； 整式按字母x的降幂排列是， 故答案为：①②④⑥；③⑤⑧；． 1．（24-25七年级上·上海青浦·期末）已知多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的四次三项式，则的值为（   ） A． B．3或 C．或4 D．或4 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式及降幂排列的定义可得，，即可求解m，n的值，再分别代入计算可求解． 【详解】解：由题意得：，， 所以，或，， 当，时，； 当，时，． 故选：C． 2．（23-24七年级上·上海青浦·阶段练习）下列说法①与的值相等，②多项式按升幂排列为：，③一定是负数，④单项式的次数是5，⑤已知，且，，则数，在数轴上距离原点较近的是．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据本题考查了绝对值，多项式升幂排列，单项式的次数，数轴上的点，对各说法进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，①错误，故不符合要求； 多项式按降幂排列为：，②错误，故不符合要求； 一定非正数，③错误，故不符合要求； 单项式的次数是，④错误，故不符合要求； ∵，且，， ∴数，在数轴上距离原点较近的是，⑤正确，故符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值，多项式升幂排列，单项式的次数，数轴上的点．熟练掌握绝对值，多项式升幂排列，单项式的次数，数轴上的点是解题的关键． 3．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是 ； （2）当时，多项式前100项的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式中的规律探究．解题的关键是得到多项式按照的升幂排列，第项为． （1）由多项式的构成，可知第项为，进而得到第5项即可； （2）当时，得到和为：，进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意，可知：多项式按照的升幂排列，第项为， ∴它的第5项是； 故答案为：； （2）当时，多项式前100项的和为 ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海虹口·期末）已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求的值，并将多项式按x的降幂排列． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了多项式的概念，单项式的概念，解一元一次方程等知识点， （1）根据题意得出，，求出m、n的值，进而代入代数式计算即可； （2）由（1）得出原多项式为：，再重新排列即可得到答案； 熟练掌握几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数是解此题的关键． 【详解】∵多项式是六次四项式， ∴，解得：， ∵单项式与该多项式的次数相同， ∴，解得：， 将，代入得， ∴， ∴这个多项式按按x的降幂排列为：． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知关于x、y的多项式 是五次四项式（m、n为有理数），且单项式 的次数与该多项式的次数相同． (1)求m、n的值； (2)将这个多项式按x的降幂排列． (3)若 ，求该多项式的值． 【答案】(1)  ， (2) (3) 【分析】（1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得，再求解即可； （2）按x的指数从大到小排列即可． （3）根据非负数的性质可得，，再代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴，， 解得：，． （2）解：由（1）可知，这个多项式为， 将这个多项式按x的降幂排列为． （3）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴ ； 【点睛】本题考查多项式的项与次数，单项式的次数，求解代数式的值，非负数的性质．掌握基础概念是解本题的关键． 【典型例题五 整式的判断】 【例1】（24-25七年级上·上海宝山·期末）下列各式中不是整式的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了整式的概念．根据单项式与多项式统称为整式，对各个选项逐个分析，即可完成解答． 【详解】解：A、是单项式，是整式，故本选项不符合题意； B、中分母含有字母，不是整式，故本选项符合题意； C、是单项式，是整式，故本选项不符合题意； D、0是单项式，是整式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·上海松江·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中整式的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式的定义，正确把握定义是解题关键．利用整式包括单项式和多项式求解即可． 【详解】解：下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥ 其中整式有①；②；③；⑤；共4个． 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·上海闵行·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中整式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了整式的定义，单项式与多项式统称为整式，据此即可判断求解，掌握整式的定义是解题的关键． 【详解】解：下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中整式有①，④，⑤，共个， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·上海静安·期中）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别将序号填入所属的括号中． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：（                                       ）； 多项式：（                                       ）； 整式：（                                         ）． 【答案】①②⑦⑨；③④⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨ 【分析】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式．单项式与多项式统称整式，据此求解即可． 【详解】解：单项式：（①②⑦⑨）； 多项式：（③④⑤⑧）； 整式：（①②③④⑤⑦⑧⑨）． 故答案为：①②⑦⑨；③④⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨． 【例5】（23-24七年级上·上海闵行·课后作业）把下列式子按要求分类：，，，，，，5，，． 写出其中的单项式、多项式和整式． 【答案】见解析 【分析】根据单项式，整式和多项式的定义求解即可． 【详解】解：单项式有，，，5，； 多项式有，，； 整式有，，，，，，5，． 【点睛】本题考查了单项式，整式和多项式的定义，能熟记单项式和多项式的定义是解此题的关键，注意：表示数与数或数与字母的积，叫单项式，单独一个数或字母也是单项式，两个或两个以上单项式的和，叫多项式，单项式和多项式统称整式． 1．（23-24七年级上·上海闵行·期中）在下列各式中，整式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的定义，直接利用整式的定义分析得出答案． 【详解】中整式有，共4个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）下列式子：，，，，，中，整式的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式的概念，根据整式的定义从给出的式子中找出整式的个数即可，正确把握定义是解题关键． 【详解】解：是单项式，属于整式， 是分式， 是单项式，属于整式， 是分式， 是单项式，属于整式， 是单项式，属于整式， ∴根据整式的定义可知，共有个， 故选：． 3．（23-24七年级上·上海长宁·期中）下列式子中，整式有 （填写序号） ①  ②0  ③  ④  ⑤  ⑥ 【答案】①②③④⑤ 【分析】此题主要考查了整式的定义，直接利用单项式和多项式统称为整式，进而判断得出答案． 【详解】解：①是单项式，也是整式； ②0是单项式，也是整式； ③是多项式，也是整式； ④是单项式，也是整式； ⑤是多项式，也是整式； ⑥分母中有字母，不是整式； 故答案为：①②③④⑤． 4．（23-24七年级上·上海嘉定·课后作业）把下列式子按单项式，多项式，整式，二项式进行分类：（只写序号） ①；②；③；④；⑤0； ⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】单项式：④⑤；多项式：①③⑥⑩；整式：①③④⑤⑥⑩；二项式：③⑥⑩． 【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式。 多项式：若干个单项式的代数和组成的式子。 多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。 不含字母的项叫做常数；整式：单项式和多项式统称为整式。二项式是只有两项的多项式，即两个单项式的和． 【详解】解：单项式：，0 多项式：，，， 整式：，，，0，， 二项式：，， ，，是分式；是不等式，都不属于整式； 故答案为：单项式：④⑤；多项式：①③⑥⑩；整式：①③④⑤⑥⑩；二项式：③⑥⑩． 【点睛】本题考查整式、单项式、多项式、二项式的概念，解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念，紧扣概念作出判断． 5．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）若将边长为 a  、b 的正方形 ABCD 按图 ① 中的比例进行分割，可以拼成一个长方形A1 B1C1D1 不重叠、无缝隙），如图②所示. （1）根据图①可以拼成图②的面积关系，请写出 a 、b 之间存在的关系式； （2）已知图③中，四边形 QMNG 与四边形EFGH 分别是以 a 、b 长为边的正方形与图①中的 a  、b  相同），在图 3  已有的四边形中，面积相等的四边形有几组？请分别写出. 【答案】(1) (2)2组，矩形的面积=正方形的面积和矩形的面积=正方形的面积 【分析】(1)根据正方形、矩形的面积公式计算； (2)根据(1)的结论得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：(1)由题意可得： ； (2)由(1)可知,， ， 矩形的面积， 正方形的面积， 矩形的面积=正方形的面积， 则矩形的面积=正方形的面积。 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题关键在于对于图形面积的结合，利用面积相等去写出等式即可. 【典型例题六 单项式规律问题】 【例1】（2025·上海宝山·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，…．则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式规律问题，分别从单项式的系数的绝对值，符号，单项式的字母部分分析总结规律，从而可得答案． 【详解】解：：，，，，，…． ∵各单项式的系数的符号为：−，+，−，+，…， ∴各单项式的系数的符号可利用来确定； ∵各单项式的系数为：2，3，4，5， ∴各单项式的系数可利用来确定； ∵各单项式含字母的部分为：，，，， ∴ 各单项式含字母的部分规律为：； ∴第个单项式为：． 故选：． 【例2】（24-25七年级上·上海奉贤·期末）观察一组单项式：，，，，，…，根据你发现的规律，第10个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式规律题，理解题意找到式子的规律是解题的关键．根据题意，可以发现第个单项式的规律为，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， 第5个单项式为， …… 第个单项式为， 当时，， 第10个单项式是． 故选：D． 【例3】（2024七年级上·上海普陀·专题练习）有一列单项式按规律排成，，，， （1）请写出第10个单项式： ． （2）请写出第个单项式（为正整数）： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的规律探究；根据单项式可知它们的系数的分母是从3开始的连续奇数，系数的分子是从2开始的连续偶数，的指数是系数的分子、分母的和，得出第10个单项式以及第个单项式，即可求解． 【详解】解：（1）根据单项式可知它们的系数的分母是从3开始的连续奇数，系数的分子是从2开始的连续偶数，的指数是系数的分子、分母的和， 故第10个单项式为， 故答案为：． （2）由（1）可得第个单项式为． 故答案为：． 【例4】（2024七年级上·上海虹口·专题练习）观察下列排列的单项式的规律： ，，，，⋯ (1)请按照此规律写出第10个单项式； (2)试猜想写出第个单项式，并写出其系数和次数． 【答案】(1) (2)第个单项式为：，系数为：，次数为： 【分析】本题考查了单项式规律探究，解题的关键是根据已知单项式得出规律． （1）根据已知单项式可得符号的规律：为奇数时，单项式为正号，为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第个对应的系数的绝对值是．字母都是，的指数都是2，的指数是从1开始的连续的整数，据此即可得出第10个单项式； （2）根据解析（1）得出的规律，写出第个单项式即可． 【详解】（1）解：第10个单项式为：； （2）解：第个单项式为：，系数为：，次数为：． 【例5】（24-25七年级上·上海青浦·期中）有一列单项式：，…，，…． (1)请直接写出第2024个单项式； (2)请直接写出第n个单项式； (3)写出第1个单项式至第100个单项式的和，并求出当时此整式的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)；． 【分析】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键． （1）根据题目中的单项式，可以发现单项式的变化特点，即可求出； （2）根据题目中的单项式，可以发现单项式的变化特点，即可求出； （3）根据题意，可以写出所求式子，然后将代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，第2024个单项式为：； （2）解：根据题意，第n个单项式为：或； （3）解： 第1个单项式至第100个单项式的和为 ． 当时， 原式． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的规律探寻，判断出单项式的次数，系数与序号之间的关系是解决本题的关键．分别分析a的系数与次数的变化规律，写出第n个单项式的表达式． 【详解】解：， ， ， ， ， …… ∴第个单项式是， 故选：D． 2．（2025·上海松江·模拟预测）已知第一个有序单项式串：1，x，y，将该单项式串中所有相邻的两个单项式求乘积后，放到原来两个相邻单项式的中间，可以得到第二个单项式串：1，x，x，，y，对得到的新单项式串重复这样的操作……以此类推，关于操作后的单项式串．给出下列说法：①第四个单项式串中，次数最高的单项式的次数为5；②若x，y均为整数，且使得第二个单项式串的和等于5，那么满足条件的x，y一共有7种；③若y=1，第2025个单项式串中，有4049个x和4046个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律类，单项的次数，单项式乘单项式等知识，掌握数字规律是解题的关键． 由规律得出每个单项式串次数最高的单项式的次数是前两次操作的最高次数之和，可判断①，由第二个单项式串的和等于5，得，，为整数时，，那么满足条件的x，y一共有8种；可判断②，写出前几个单项式串，总结出规律可判断③．即可得解． 【详解】解：①第1个单项式串：1，x，y，(最高次数为1)， 第2个单项式串：1，x，x，，y，(最高次数为2)， 第3个单项式串1，x，x，，x，，，，y， (最高次数为3)， 第4次个单项式串：1，x，x，，x，，，，x，，，，，，，，y， (最高次数为5)； 由上可知，每次操作后次数最高的单项式的次数是前两次操作的最高次数之和，第四个单项式串中，次数最高的单项式的次数为：5，故①符合题意， ②若x，y均为整数，且使得第二个单项式串的和等于5，则，，，为整数时，，那么满足条件的x，y一共有8种；故②不符合题意， 第1个单项式串：1，x，1，(1个x和0个)， 第2个单项式串：1，x，x，x，1，(3个x和0个)， 第3个单项式串1，x，x，，x，，x，x，1， (5个x和2个)， 第4个单项式串：1，x，x，，x，，，，x，，，，x，，x，x，1，（7个x和4个）； 由上可知，第n个单项式串：个x和个， 第2025个单项式串中，有个x和个． 故③符合题意， 综上．符合颗意的有①③．共2个， 故答案为：C． 3．（24-25七年级上·上海金山·期末）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为 ，从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有 个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出 a … 【答案】 1350 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，单项式的规律探究，通过观察输出结果，得到当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数，再由，即可求解． 【详解】解：输入1，得到a， 输入2，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入3，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入4，得到，项的系数与次数均为奇数， 输入5，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入6，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入7，得，项的系数与次数均为奇数， 输入8，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入9，得，项的系数与次数均为奇数， …… ∴当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数， ∵， ∴从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有1350个， 故答案为：，1350． 4．（24-25七年级上·上海闵行·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)， 【分析】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案； （2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案； （3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可． 【详解】（1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，， 可以发现，其符号规律是正负交替，即：， 其绝对值规律是，，，，，即：， 故答案为：，； （2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，， 其规律是：从开始的连续自然数，即：， 故答案为：； （3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：， 故答案为：； （4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是： ， ， 故答案为：，． 5．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）观察下列单项式： 第1个单项式：． 第2个单项式：． 第3个单项式：． 第4个单项式：． …… (1)第5个单项式为______． (2)第n个单项式为______（用含有n的式子表示）． (3)前3个（第1个到第3个）单项式中字母a，b的所有指数之和为，求前10个（第1个到第10个）单项式中字母a，b的所有指数之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数规律探索等知识点，准确发现其规律是解决此题的关键． (1)观察单项式的系数和次数的规律，可以发现系数是序号的2倍，字母的次数不变，字母的次数是序号的2倍减1即可得解； (2)由(1)的规律即可得解； (3)根据规律计算前10个单项式中字母的所有指数之和即可得解． 【详解】（1）解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， …… 观察单项式的系数和次数的规律，可以发现系数是序号的2倍，字母的次数不变，字母的次数是序号的2倍减1， ∴第5个单项式为， 故答案为：； （2）解：由(1)的规律知，第n个单项式为， 故答案为：； （3）根据规律，前10个单项式中字母的所有指数之和为． 【典型例题七 数字类规律探索】 【例1】（24-25七年级上·上海普陀·期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图中的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据图中的规律，若，则（　　）    A．64 B． C．56 D． 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律探究，分别令和，求出代数式的值，两式相加，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时：； 当时：， 两式相加，得：， ∴； 故选B． 【例2】（2025·上海青浦·模拟预测）密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．英语字母表中字母的顺序：，将这26个英文字母依次对应自然数1，2，3，…，26． 密文 密文与明文之间的关系 明文 7  18  38  19  30  17  50 当密文中的数字为奇数时，明文对应的序号为； 当密文中的数字为偶数时，明文对应的序号为 ？ 将密文破译成用英文字母表示的明文，则明文对应的学科是（    ） A．语文 B．历史 C．英语 D．物理 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字变化的规律．根据题中所给密文与明文之间的对应关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 当“密文”为7时，， 所以“密文”数字7对应的“明文”为“h”； 同理可得，“密文”数字18对应的“明文”为“i”； “密文”数字38对应的“明文”为“s”； “密文”数字19对应的“明文”为“t”； “密文”数字30对应的“明文”为“o”； “密文”数字17对应的“明文”为“r”； “密文”数字50对应的“明文”为“y”； 所以“明文”为即历史． 故选：B． 【例3】（2025·上海嘉定·模拟预测）计算的结果的末位数字是 ． 【答案】2 【分析】本题考查乘方有关的规律，先根据已知条件，找出题中的规律，即可求出的末位数字． 【详解】解：， ∵末位数字是，末位数字是，末位数字是，末位数字是，末位数字是， ∴的末位数字是，，，四个数字循环， ∵， ∴末位数字是， 即的结果的末位数字是， 故答案为：． 【例4】（2025·上海金山·模拟预测）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和，两种取法，即；当时，可得……若，则的值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查数字变化规律，当时，从1，2，3⋯⋯9中，取两个数的和大于9，由列举法找到规律可得． 【详解】解：这两个数分别是： ，，，，，，，共8种； ，，，，，共6种； ，，，共4种； ，共2种； ∴； 故答案为：20． 【例5】（24-25七年级上·上海长宁·期末）在等差数列中，已知，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合是等差数列，，得，再结合，则，即； （2）先得出，再整理得以及，计算化简得，即可作答． 【详解】（1）解：∵是等差数列，， ∴设， 则， ∵， ∴， ∴． 依题意，，，…… 以此类推得， ∴； （2）解：∵，且由（1）得， ∴， 当时，则； 当时，则； 当时，则； ……， ∴， 则 ， 则 ， 即． 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（   ） 求的值 解：令， 则 故， 因此 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字规律类探索，含乘方的有理数的混合运算，设，则，用即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意， 设， ∴， 得：， ∴， 故选：A． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）天干地支纪年法是指中国传统纪年历法，是自上古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法对应的规律如表， 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 … 干支纪年 甲子年 乙丑年 丙寅年 丁卯年 戊辰年 己巳年 庚午年 辛未年 壬申年 癸酉年 甲戌年 乙亥年 丙子年 … 已知今年是乙巳年，则下列历史事件与时间对应错误的是（   ） A．庚子赔款——1900年 B．辛酉政变——1861年 C．丁巳京察——1617年 D．壬寅宫变——1543年 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究，根据天干以10年为一个周期，地支以12年为一个周期，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知：天干以10年为一个周期，地支以12年为一个周期， ∵年是乙巳年，且，， ∴天干的确定方法为年份减去3后再除以10取余，地支的确定方法为：年份减去3后再除以12取余； ∴，， ∴1900年为庚子年，故A正确；不符合题意； ∴，， ∴1861年为辛酉年，故B正确；不符合题意； ∴，， ∴1617年为丁巳年，故C正确；不符合题意； ∴，， ∴1543年为癸卯年，故D错误；符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级上·上海崇明·期末）我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”，图中两线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则值 ． 【答案】88 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题关键是根据相邻第几个数就是从小到大几个连续正整数的和求解． 【详解】解：因为：，，，，， ， 故答案为：88． 4．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）观察下列等式：，把以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想： ； (2)规律应用：计算； (3)拓展提高：计算 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数混合运算，根据已知等式得出一般规律是解题关键． （1）根据已知等式分析即可； （2）根据（1）所得规律裂项计算即可； （3）根据裂项计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解： ； （3）解：， 则 5．（24-25七年级上·上海松江·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律，写出的展开式：_____． (2)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了杨辉三角问题，解题关键是理解题意，发现规律，并正确运用该知识点解决问题． （1）找出系数规律，再按照的次数由大到小的顺序排列即可； （2）将a看成3，b看成，利用公式求解即可． 【详解】（1）解：按照规律，展开式中的系数排列应为1，5，10，10，5，1， ∴， 故答案为：； （2）解： ． 【典型例题八 图形类规律探索】 【例1】（2025·上海徐汇·模拟预测）小贤用长度相同的木棒按如图所示的规律拼摆图形，第6个图形所需木棒的根数为（    ） A．32 B．30 C．27 D．37 【答案】A 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知第一个图形有7根木棒组成，后一个图形比前一个图形多5根木棒，得到规律，进行求解即可． 【详解】解：观察可知第一个图形有7根木棒组成，后一个图形比前一个图形多5根木棒， ∴第6个图形所需木棒的根数为； 故选A． 【例2】（2025·上海宝山·模拟预测）用圆按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个圆，第②个图案中有7个圆，第③个图案中有9个圆，···，按此规律，第12个图案中圆的个数是（   ） A．23 B．25 C．27 D．29 【答案】C 【分析】本题考查找规律的数学问题，解题的关键是通过分析前几个图案中圆的个数，找出其数量变化的规律，进而得出第个图案中圆的个数的表达式，再代入求解． 先观察前几个图中圆的个数，找出规律得到通项公式，再将代入通项公式计算． 【详解】第（1）个图案中有个圆； 第（2）个图案中有个圆； 第（3）个图案中有个圆； …… 以此类推，可得出第个图案中圆的个数为， 当时，把代入， 可得（个）， 所以第12个图案中圆的个数是27个． 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）观察图形的规律，第①个图形中共有3个小黑点，第②个图形中共有9个小黑点，第③个图形中共有18个小黑点，按照此规律第⑥个图形中共有 个小黑点． 【答案】 【分析】本题考查了探索图形规律问题，总结出图形的变化规律是解题的关键． 根据所画出的图形中小黑点的个数，按照规律即可得到第⑥个图形中小黑点的个数． 【详解】解：由图形①、②、③可以看出， 第①个图形小黑点的个数：； 第②个图形小黑点的个数：； 第③个图形小黑点的个数：； ∴第⑥个图形小黑点的个数：． 故答案为：． 【例4】（2025·上海崇明·模拟预测）按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭2025个这样的小正方形需要小棒 ． 【答案】6076 【分析】本题考查了规律型图形的变化，解题的关键是发现各个正方形的联系，找出其中的规律，要细心观察，难度适中，是中考的常见题型．观察图形寻找规律，每增加一个小正方形，需要三根小棒，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可． 【详解】解：依题意，搭2个小正方形需要根小棒； 搭3个小正方形需要根小棒； 搭4个小正方形需要根小棒； …… 以此类推：搭n个小正方形需要根小棒； ∴搭2025个小正方形需要根小棒； 故答案为：． 【例5】（2025·上海杨浦·模拟预测）在一个AI智能教育中心，小学员们正在参与一个名为“火柴棒项目”的智能编程．如图所示，小学员们需要使用火柴棒来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律； (1)若拼成的图形中含有4个三角形，则需要________根火柴棒； (2)若拼成的图形中含有n个三角形，则需要________根火柴棒；（用含有n的式子表示） (3)若每根火柴棒的长为1cm，且拼成的图形中所有火柴棒的长度和为，则拼成的图形中含有多少个三角形？ 【答案】(1) (2) (3)个 【分析】本题考查了用代数式表示图形的变化规律，根据图形找到图形之间的联系是解题的关键． （1）根据图形即可求解； （2）根据前几个图形找到规律，进而求解； （3）由（2）找到的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：当图形中含有1个三角形时，需要（根）； 当图形中含有2个三角形时，需要（根）； 当图形中含有3个三角形时，需要（根）； 当图形中含有4个三角形时，需要（根）； 故答案为：； （2）解：当图形中含有个三角形，需要根； 故答案为：； （3）解：由题意得：， 解得：． 1．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）桥梁工程中需要制作一个具有特殊构造的工件，工件的特征如图所示．按照这样的规律，若第个图案中“”的个数是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的规律变化，一元一次方程的应用，由已知图形可得第个图案中有个正方形，进而可得方程，解方程即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知，第个图案中有个正方形， 第个图案中有个正方形， 第个图案中有个正方形， ， ∴第个图案中有个正方形， 当若第个图案中正方形的个数为时，则， 解得， 故选：． 2．（24-25七年级上·上海虹口·期末）有一串白黑相间的珠子，按如图所示的规律排列（即每相邻两个黑色珠子之间有且只有两个白色珠子），自左至右用正整数列对每个珠子进行标记，凡白色珠子标数符号取正；凡黑色珠子标数符号取负．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若第（为正整数）个珠子是黑色珠子，则它的标数为； 结论Ⅱ：当取第个，第个，第个三个珠子（为正整数）时，它们标数之和能被整除． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【答案】A 【分析】本题考查图形的变化类，掌握图形的摆放规律是正确解答的关键． 结论Ⅰ：利用列举法，发现规律进而得出结论； 结论Ⅱ：求出这三个珠子上标数的和，再判断是否是3的倍数即可． 【详解】解：结论Ⅰ：第1个黑色的珠子上的标数是，第2个黑色的珠子上的标数是，第3个黑色的珠子上的标数是，第4个黑色的珠子上的标数是，……第m个黑色的珠子上的标数是， 因此结论Ⅰ是正确的； 结论Ⅱ：∵ ∴第个，第个，第个三个珠子（k为正整数）时，它们标数之和能被3整除． 因此结论Ⅱ正确； 故选：A． 3．（24-25七年级上·上海长宁·期中）如图为“盘长如意”花窗，中间图案是由若干个小平行四边形按一定规律组成，其中第1个图形共有8个小平行四边形，第2个图形共有15个小平行四边形，第3个图形共有22个小平行四边形，…，则第10个图形中共有 个小平行四边形． 【答案】71 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现小平行四边形的个数依次增加7是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中小平行四边形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图形中小平行四边形的个数为：； 第2个图形中小平行四边形的个数为：； 第3个图形中小平行四边形的个数为：； …， ∴第n个图形中小平行四边形的个数为个． 当时， 个， 即第10个图形中小平行四边形的个数为71个． 故答案为：71． 4．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）． (1)如图1所示，图中共有_____对对顶角； (2)如图2所示，图中共有_____对对顶角； (3)如图3所示，图中共有_____对对顶角； (4)研究（1）（3）题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有条直线相较于一点，则可形成_____对对顶角； (5)若有2020条直线相交于一点，则可形成_____对对顶角． 【答案】(1)2 (2)6 (3)12 (4) (5)4078380 【分析】本题考查对顶角，解答的关键是明确若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角． 由图示可得，（1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角； （2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角， （3）4条直线相交于一点，形成12对对顶角； （4）依次可找出规律，若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角； （5）将代入，可得2020条直线相交于一点可形成的对顶角的对数． 【详解】（1）解：如图1，图中共有对对顶角， 故答案为：2； （2）解：如图2，图中共有对对顶角， 故答案为：6； （3）解：如图3，图中共有对对顶角， 故答案为：12； （4）解：研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系， 若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角， 故答案为：； （5）解：若有2020条直线相交于一点，则可形成对对顶角， 故答案为：4078380． 5．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）问题解决策略：归纳 活动一：在城市规划中，街道的设计需要考虑到交通流量和交汇点的管理．每条街道可以看作平面上的一条直线，街道的交汇点即直线与直线的交点．通过计算交汇点数量的最大值，可以帮助优化交通网络的设计，提高交通效率．探究小组设计了一个数学活动，模拟了某个城市街道交汇点数量的最大值的问题． 【特例研究】如图1，若长方形内有2条直线，则最多可以得到1个交点． 如图2，若长方形内有3条直线，根据交点个数的不同，有如图四种情况，请在图中作出第四种情况． 【类比发现】 请类比上面的分析过程，将你得到的数据填入下表中． 长方形内直线的条数 2 3 4 5 … 最多的交点个数 1 … 【猜想分析】若该城市某片区有10条街道，假设10条街道为10条直线，则这10条直线最多有______个交汇点； 活动二： （1）探究小组用归纳分析的方法研究课本95页的第12题，题目如下：对于，可以用10个手指直观地展示出来：如图3，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“”的结果．类似地，，，，…，也可以用手指直观的展示出来．用数学语言揭示原理：从左数起，设弯下的手指为第n根手指，便可以用一个含n的等式来表示这个规律，请填写这个等式：(______)+(______)； （2）探究小组还发现，用9根小木棒也能展示从，，，…，的乘法运算．如图4，往下移动第3根木棒，则左边的两根木棒可表示2个9，右边的6根表示6个1，则类似地，请用一个含未知数的等式来揭示原理，过程如下：设______，则表示这个规律的等式为______． 【答案】活动一：特例研究：见解析；类比发现：见解析；猜想分析：45；活动二：（1），；（2）从左数起，往下移动的为第x根小棒；． 【分析】特例研究：根据题意可知第四种情况为三条直线两两相交，有3个交点，据此画图即可； 类比发现：根据分析可知n条直线最多有n条直线最多有个交点，运用结论求解即可； 猜想分析：根据类比发现的结论求解即可； 活动二： （1）根据材料观察分析可知当弯下的手指为第n根手指，左边剩根手指，右边还剩根手指，进而得解； （2）同（1）思路求解即可． 本题主要考查了规律的图形变化、有理数的运算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：特例研究：第四种情况如图所示： 类比发现： 由题意得，2条直线最多只有1个交点， 3条直线最多有个交点， 4条直线最多有个交点， 以此类推可知，5条直线最多有个交点， 补全表格如图， 长方形内直线的条数 2 3 4 5 … 最多的交点个数 1 3 6 10 … 猜想分析： 由类比发现的结论可知：n条直线最多有个交点， 10条直线最多有个交点， 故答案为：45； 活动二： （1）当弯下的手指为第n根手指，则左边还剩根手指，即十位是， 右边还剩根手指，即个位是， ∴， 故答案为：，； （2）根据材料可发现与（1）思路基本一致， 设从左数起，往下移动的为第x根小棒，则左边还剩木棒，右边还剩木棒， 因此规律为： 故答案为：从左数起，往下移动的为第x根小棒：． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）代数式，，，，，中，单项式的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式．根据单项式的概念找出单项式的个数． 【详解】解：代数式，，，，，中， 单项式有：，，，共个． 故选：A． 2．（23-24七年级上·上海静安·阶段练习）如果多项式是关于x的二次二项式，那么a,b的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多项式的定义，多项式的项的定义及次数的定义，由此多余的项的系数应为0，据此解答． 【详解】∵多项式是关于x的二次二项式， ∴ 得 故选C． 3．（2024七年级上·上海闵行·专题练习）在式子，，，，，0中，下列结论正确的是（   ） A．有3个单项式，3个多项式 B．有5个单项式，1个多项式 C．有4个单项式，2个多项式 D．有5个整式 【答案】D 【分析】本题考查单项式和多项式定义，整式的定义．单独的一个数或字母为单项式，由2个及以上单项式相加或相减的形式为多项式．继而选出答案． 【详解】解：∵单项式：，，0， 多项式：，， ∴整式共有5个， 故选：D． 4．（23-24七年级上·上海宝山·期中）李颖的答卷如图所示，她的得分应是（　　） 姓名：李颖 得分？ 填空（每小题2分，共10分） （1）比较大小：． （2）倒数等于本身的数是1． （3）多项式按字母的降幂排列为． （4）多项式的次数是1． （5）整式去括号后是． A．4分 B．6分 C．8分 D．10分 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的法则，倒数的意义，多项式降幂排列的方法，多项式的次数的定义和去括号的法则．利用有理数比较大小的法则，倒数的意义，多项式降幂排列的方法，多项式的次数的定义和去括号的法则对每个小题进行判断即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴（1）的解答正确； （2）∵倒数等于本身的数是1或， ∴（2）的解答不正确； （3）∵多项式按字母的降幂排列为：， ∴（3）的解答不正确； （4）∵多项式的次数是1， ∴（4）的解答正确； （5）∵整式去括号后是， ∴（5）的解答正确． 综上，解答正确的个数为3，她的得分应6． 故选：B． 5．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）一个小正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，将它按如图所示的方式顺时针滚动，每滚动算一次，则滚动第2025次时，小正方体朝下一面标有的数字是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据滚动方式可得滚动时，小正方体朝下一面标有的数字是以为一个循环往复的，由此即可得． 【详解】解：滚动第1次时，小正方体朝下一面标有的数字是2， 滚动第2次时，小正方体朝下一面标有的数字是3， 滚动第3次时，小正方体朝下一面标有的数字是5， 滚动第4次时，小正方体朝下一面标有的数字是4， 滚动第5次时，小正方体朝下一面标有的数字是2， 归纳类推得：滚动时，小正方体朝下一面标有的数字是以为一个循环往复的， ∵， ∴滚动第2025次时，小正方体朝下一面标有的数字与滚动第1次时，小正方体朝下一面标有的数字相同，即为2， 故选：A． 6．（24-25七年级上·上海青浦·期中）下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式、多项式、整式的概念，解题的关键是准确理解并依据这些概念来对给定式子进行分类． ①依据单项式的定义找出单项式； ②依据多项式的定义找出多项式； ③根据整式包含单项式和多项式确定整式． 【详解】①单项式是数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式， 是单独的数，是数与字母的积，是单独的数，是数5与字母x，y的积，是数2与字母x，y的积，所以单项式是； ②几个单项式的和叫做多项式，是单项式与的和，所以多项式是，故（2）处填； ③整式为单项式和多项式的统称，所以整式是， 故答案为：① ② ③ 7．（2024七年级上·上海普陀·专题练习）请你写出一个含有字母a，b的单项式，使它的系数为5，次数为3，这个单项式是 ． 【答案】(答案不唯一，也可以是) 【分析】本题考查的是单项式，熟知一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键． 根据单项式次数的定义解答即可． 【详解】解：一个只含有字母a、b的单项式，使它的系数为5、次数为3的单项式为：； 故答案为：(答案不唯一，也可以是)． 8．（24-25七年级上·上海长宁·期中）规定：对于两个一元多项式（含字母x）来说，当x任取一个数时，这两个多项式的值都相等，那么就称这两个一元多项式是恒等的．例如：如果两个一元多项式与（a、b是常数）是恒等的，那么，；如果（a、b是常数）与恒等，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，代数式求值，掌握两个多项式恒等，相同项的系数相等是解题的关键． 根据题意，得出，由相同项的系数相等得出a，b，c，d的值，然后再分别代入计算即可． 【详解】解：∵（a、b是常数）与恒等， ∴ ∴，，，， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海宝山·期末）用长度相同的火柴棒按如图所示的方式摆图形，其中第（1）个图形用了6根火柴棒，第（2）个图形用了11根火柴棒，第（3）个图形用了16根火柴棒，按照这样的规律继续摆下去，第10个图形需要 根火柴棒． 【答案】51 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律型问题，列代数式等知识点，根据后一个图形的木棒比前一个图形的木棒多5根，即可得到答案，找到“后一个图形的木棒比前一个图形的木棒多5根”这个规律，是解题的关键. 【详解】解：搭第1个图形需要：， 搭第2个图形需要：， 搭第3个图形需要：， ………， 搭第个图形需要的木棒的根数是：， 搭第个图形需要的木棒的根数是：， 故答案为：． 10．（2025·上海闵行·模拟预测）著名数学家华罗庚曾经谈到我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是其中一例．该三角形中的数据排列有着一定的规律，按此规律排列下去，第行的左边第个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列规律，找到每行第三个数的规律是解题的关键．通过观察发现，从第三行开始，每行的第三个数是 ，由此求解即可． 【详解】解：第三行的第三个数是， 第四行的第三个数是， 第五行的第三个数是， ， 第行的第三个数是 第行的第三个数是， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海松江·期中）请把下列各式的序号填入相应的集合中． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整式集合：{                     …}； 单项式集合：{                     …}； 多项式集合：{                     …}． 【答案】①②③⑤⑦ ①②⑦ ③⑤ 【分析】本题主要考查了整式的定义，单项式和多项式的判定，单项式的定义，由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式，再逐一判断即可； 【详解】解：整式集合：{①，②，③，⑤，⑦ …}； 单项式集合：{①，②，⑦  …}； 多项式集合：{③，⑤   …} 12．（24-25七年级上·上海青浦·期中）若是关于x，y的单项式，且系数为，次数是3，求a和b的值． 【答案】，或 【分析】本题主要考查单项式次数和系数的问题，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x，y的单项式，且系数为，次数是3， ∴， ∴ ∴或． 13．（24-25七年级上·上海闵行·假期作业）写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】本题考查了单项式，利用单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和． （1）直接利用单项式的定义分析得出答案； （2）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案； （3）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，，，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 14．（23-24七年级上·上海松江·期中）在数轴上，点A表示数，点表示数，点表示数，并且是多项式的二次项系数，是绝对值最小的数，是单项式的次数，请求出，，的值，并在数轴上把点A，，表示出来． 【答案】，，，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了单项式的系数、单项式的次数、绝对值最小的数、用数轴表示数等知识点，掌握相关知识是解题关键． 根据多项式中次数为2的单项式中的数字因数得出，根据绝对值最小的数是0得出，根据单项式的次数是所有字母的指数和，得出，再把各数在数轴上表示即可． 【详解】解：∵是多项式的二次项系数， ∴， ∵b是绝对值最小的数， ∴， ∵c是单项式的次数． ∴， 将各数在数轴上表示如下： ． 15．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，，以此类推，第幅图中★的个数为．则： (1)_____，_____； (2)求的值． 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，能够根据题意找出规律是解题的关键． （1）根据题意找到规律第n幅图有个★； （2）裂项后计算即可． 【详解】（1）解：第1幅图有个★， 第2幅图有个★， 第3幅图有个★， 第4幅图有个★， ……， 以此类推，第n幅图有个★， 故答案为：2，； （2）解：由（1）知，第幅图中★的个数为， ， ， ， ， 以此类推，可知， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 整式（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 单项式的系数、次数 典型例题二 多项式的项、项数或次数 典型例题三 多项式系数、指数中字母求值 典型例题四 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 典型例题五 整式的判断 典型例题六 单项式规律问题 典型例题七 数字类规律探索 典型例题八 图形类规律探索 知识点01 单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 要点诠释： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算。 知识点02 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 知识点03 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 要点诠释： （1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 【典型例题一 单项式的系数、次数】 【例1】（24-25七年级上·上海奉贤·期末）单项式的系数和次数分别是（    ） A．，3 B．，4 C．，4 D．，4 【例2】（24-25七年级上·上海长宁·期末）已知关于的多项式与的次数相同、那么的值是（   ） A． B． C．12 D．27 【例3】（24-25七年级上·上海普陀·期末）单项式的次数是 ． 【例4】（24-25七年级上·上海宝山·期中）单项式的系数是 ． 【例5】（2024七年级上·上海金山·专题练习）用单项式填空，并指出它们的系数和次数： (1)若三角形的一条边长为，这条边上的高为，则这个三角形的面积为________； (2)一个长方体包装盒的长、宽、高分别为，，，则这个长方形体包装盒的体积为________； (3)有理数的相反数是________； (4)《北京2022年冬奥会——冰上运动》是为了纪念北京2022年冬奥会冰上运动发行的邮票．邮票1套共5枚，价格为6元，其中一种版式为一张10枚（2套）．某中学举行冬奥会有奖问答活动，买了张这种版式的邮票作为奖品，共花费________元； (5)《中华人民共和国国旗法》规定，国旗旗面为红色长方形，其长与高之比为，有五种通用尺度（即尺寸规格）．若一种尺度的国旗的长为，则这种尺度的国旗旗面的面积为________． 1．（24-25七年级上·上海松江·期末）下列代数式是一次式的是（    ） A．4 B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海静安·期末）下图为小亮某次测试的答卷，每小题25分，他的得分应是（   ） 填空： （1） 4 （2）的次数是 4 （3）的系数是 （4），，则 A．100分 B．75分 C．50分 D．25分 3．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）单项式的系数是 ．次数是 ． 4．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）已知单项式的次数为5，求的值． 5．（2024七年级上·上海闵行·专题练习）列出单项式，并指出它们的系数和次数． (1)某班总人数为m人，女生人数是男生人数的，那么该班男生人数为多少？ (2)长方形长为x，宽为y，则长方形的面积为多少？ (3)一台彩电原价a元，现按原价9折出售，那么这台彩电现在的售价为多少？ 【典型例题二 多项式的项、项数或次数】 【例1】（2025·上海崇明·模拟预测）若有一组按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海松江·期末）若多项式是关于x的五次三项式，则m的值是（     ） A．5 B． C． D．5或 【例3】（24-25七年级上·上海闵行·期中）是 次 项式． 【例4】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）多项式的最高次项是 ． 【例5】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）已知整式． (1)若该整式的次数是1，求a的值并写出常数项； (2)若该整式的常数项是0，求的值． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）下列说法中正确的是（   ） A．的系数是，次数是 B．单项式的系数是，次数是 C． 是二次四项式 D．多项式的次数是，项数是 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知整式，其中为自然数，为正整数，、均为整数，若．下列说法正确的个数有（   ） ①满足条件的整式共有12个； ②所有满足条件的多项式中，没有三项式和四项式； ③当或时，所有满足条件的整式的和为4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）下列说法中：①是五次单项式；②单项式的系数是，次数5；③是四次三项式；④是二次二项式；⑤各项次数都是5的关于a，b的多项式最多有六项．其中正确的序号为 ． 4．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）已知多项式是五次四项式． (1)求出m的值． (2)单项式的次数与已知多项式的次数相同，求n的值． 5．（24-25七年级上·上海松江·期中）如图是某居民小区的一块长为a米，宽为米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为b米的扇形花台，然后在花台内种花，其余种草．已知建造花台及种花的费用为每平方米100元，种草的费用为每平方米50元．解答下列问题： (1)花台（空白部分）的面积可以用一个单项式表示为__________平方米，这个单项式系数是__________；草地（阴影部分）的面积可以用一个多项式表示为__________平方米，这个多项式的次数是__________； (2)当，，取3时，美化这块空地共需多少元？ 【典型例题三 多项式系数、指数中字母求值】 【例1】（24-25七年级上·上海静安·期中）如果多项式是关于，的五次三项式，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【例2】（24-25七年级上·上海宝山·课后作业）已知关于x的多项式不含三次项和二次项，则（        ） A．， B．， C．， D．， 【例3】（2025·上海徐汇·模拟预测）若关于的多项式的各项系数之和是1，则“●”代表的数是 ． 【例4】（2024七年级上·上海杨浦·专题练习）已知，若是关于的四次三项式，又是关于的二次三项式，则的值为 ． 【例5】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）对于多项式（其中是大于的整数）． (1)若，且该多项式是关于的三次三项式，求的值； (2)若该多项式是关于的五次三项式，则、要满足什么条件？ 1．（2024七年级上·上海松江·专题练习）多项式是关于x的二次三项式，则m的值为（   ） A．2 B． C． D．3 2．（24-25七年级上·上海闵行·期中）关于x的三次三项式（其中a、b、c、d均为常数），关于x的二次三项式（e、f均为非零常数），下列说法正确的个数是（　　） ①当是关于x的三次三项式时，则； ②当中不含x3时，则； ③当时，；当时，，则，； ④； ⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）若多项式是关于的三次多项式，则多项式的值为 ． 4．（24-25七年级上·上海金山·期中）已知关于的多项式不含三次项和一次项． (1)求、的值 (2)求的值． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，如图所示的数轴上A，B两点对应的数分别为a，b． (1)______，_______； (2)若数轴上有一点C，点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，求点C在数轴上对应的数n的值； (3)有一动点G从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时动点H从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上做同方向运动，设运动时间为秒．点D到点G的距离与点D到点B的距离相等，点F到点D的距离与点F到点H的距离相等（D为线段的中点，F为线段的中点），请直接写出点F在数轴上对应的数．（用含t的式子表示） 【典型例题四 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例1】（24-25七年级上·上海奉贤·期末）把多项式按的升幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海长宁·期中）对于多项式，下列结论正确的是（    ） A．这个多项式的项为，， B．这个多项式是二次三项式 C．这个多项式的常数项为5 D．这个多项式按a的降幂排列是 【例3】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）将整式按x降幂排列为 ． 【例4】（2025·上海奉贤·模拟预测）写出一个同时满足下列条件的二次三项式： 只含有字母和；每一项的次数都是；按字母的降幂排列． 【例5】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）在下列代数式中： ①，②，③，④，⑤，⑥a，⑦，⑧， 单项式有： ；多项式有： ．（只填序号） 把整式按字母x的降幂排列是 ． 1．（24-25七年级上·上海青浦·期末）已知多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的四次三项式，则的值为（   ） A． B．3或 C．或4 D．或4 2．（23-24七年级上·上海青浦·阶段练习）下列说法①与的值相等，②多项式按升幂排列为：，③一定是负数，④单项式的次数是5，⑤已知，且，，则数，在数轴上距离原点较近的是．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是 ； （2）当时，多项式前100项的和为 ． 4．（24-25七年级上·上海虹口·期末）已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求的值，并将多项式按x的降幂排列． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知关于x、y的多项式 是五次四项式（m、n为有理数），且单项式 的次数与该多项式的次数相同． (1)求m、n的值； (2)将这个多项式按x的降幂排列． (3)若 ，求该多项式的值． 【典型例题五 整式的判断】 【例1】（24-25七年级上·上海宝山·期末）下列各式中不是整式的是（   ） A． B． C． D．0 【例2】（24-25七年级上·上海松江·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中整式的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【例3】（24-25七年级上·上海闵行·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中整式有 个． 【例4】（24-25七年级上·上海静安·期中）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别将序号填入所属的括号中． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：（                                       ）； 多项式：（                                       ）； 整式：（                                         ）． 【例5】（23-24七年级上·上海闵行·课后作业）把下列式子按要求分类：，，，，，，5，，． 写出其中的单项式、多项式和整式． 1．（23-24七年级上·上海闵行·期中）在下列各式中，整式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）下列式子：，，，，，中，整式的个数是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海长宁·期中）下列式子中，整式有 （填写序号） ①  ②0  ③  ④  ⑤  ⑥ 4．（23-24七年级上·上海嘉定·课后作业）把下列式子按单项式，多项式，整式，二项式进行分类：（只写序号） ①；②；③；④；⑤0； ⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 5．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）若将边长为 a  、b 的正方形 ABCD 按图 ① 中的比例进行分割，可以拼成一个长方形A1 B1C1D1 不重叠、无缝隙），如图②所示. （1）根据图①可以拼成图②的面积关系，请写出 a 、b 之间存在的关系式； （2）已知图③中，四边形 QMNG 与四边形EFGH 分别是以 a 、b 长为边的正方形与图①中的 a  、b  相同），在图 3  已有的四边形中，面积相等的四边形有几组？请分别写出. 【典型例题六 单项式规律问题】 【例1】（2025·上海宝山·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，…．则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海奉贤·期末）观察一组单项式：，，，，，…，根据你发现的规律，第10个单项式是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2024七年级上·上海普陀·专题练习）有一列单项式按规律排成，，，， （1）请写出第10个单项式： ． （2）请写出第个单项式（为正整数）： ． 【例4】（2024七年级上·上海虹口·专题练习）观察下列排列的单项式的规律： ，，，，⋯ (1)请按照此规律写出第10个单项式； (2)试猜想写出第个单项式，并写出其系数和次数． 【例5】（24-25七年级上·上海青浦·期中）有一列单项式：，…，，…． (1)请直接写出第2024个单项式； (2)请直接写出第n个单项式； (3)写出第1个单项式至第100个单项式的和，并求出当时此整式的值． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海松江·模拟预测）已知第一个有序单项式串：1，x，y，将该单项式串中所有相邻的两个单项式求乘积后，放到原来两个相邻单项式的中间，可以得到第二个单项式串：1，x，x，，y，对得到的新单项式串重复这样的操作……以此类推，关于操作后的单项式串．给出下列说法：①第四个单项式串中，次数最高的单项式的次数为5；②若x，y均为整数，且使得第二个单项式串的和等于5，那么满足条件的x，y一共有7种；③若y=1，第2025个单项式串中，有4049个x和4046个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25七年级上·上海金山·期末）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为 ，从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有 个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出 a … 4．（24-25七年级上·上海闵行·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 5．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）观察下列单项式： 第1个单项式：． 第2个单项式：． 第3个单项式：． 第4个单项式：． …… (1)第5个单项式为______． (2)第n个单项式为______（用含有n的式子表示）． (3)前3个（第1个到第3个）单项式中字母a，b的所有指数之和为，求前10个（第1个到第10个）单项式中字母a，b的所有指数之和． 【典型例题七 数字类规律探索】 【例1】（24-25七年级上·上海普陀·期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图中的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据图中的规律，若，则（　　）    A．64 B． C．56 D． 【例2】（2025·上海青浦·模拟预测）密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．英语字母表中字母的顺序：，将这26个英文字母依次对应自然数1，2，3，…，26． 密文 密文与明文之间的关系 明文 7  18  38  19  30  17  50 当密文中的数字为奇数时，明文对应的序号为； 当密文中的数字为偶数时，明文对应的序号为 ？ 将密文破译成用英文字母表示的明文，则明文对应的学科是（    ） A．语文 B．历史 C．英语 D．物理 【例3】（2025·上海嘉定·模拟预测）计算的结果的末位数字是 ． 【例4】（2025·上海金山·模拟预测）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和，两种取法，即；当时，可得……若，则的值为 ． 【例5】（24-25七年级上·上海长宁·期末）在等差数列中，已知，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（   ） 求的值 解：令， 则 故， 因此 A． B． C． D． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）天干地支纪年法是指中国传统纪年历法，是自上古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法对应的规律如表， 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 … 干支纪年 甲子年 乙丑年 丙寅年 丁卯年 戊辰年 己巳年 庚午年 辛未年 壬申年 癸酉年 甲戌年 乙亥年 丙子年 … 已知今年是乙巳年，则下列历史事件与时间对应错误的是（   ） A．庚子赔款——1900年 B．辛酉政变——1861年 C．丁巳京察——1617年 D．壬寅宫变——1543年 3．（23-24七年级上·上海崇明·期末）我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”，图中两线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则值 ． 4．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）观察下列等式：，把以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想： ； (2)规律应用：计算； (3)拓展提高：计算 5．（24-25七年级上·上海松江·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律，写出的展开式：_____． (2)利用上面的规律计算：． 【典型例题八 图形类规律探索】 【例1】（2025·上海徐汇·模拟预测）小贤用长度相同的木棒按如图所示的规律拼摆图形，第6个图形所需木棒的根数为（    ） A．32 B．30 C．27 D．37 【例2】（2025·上海宝山·模拟预测）用圆按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个圆，第②个图案中有7个圆，第③个图案中有9个圆，···，按此规律，第12个图案中圆的个数是（   ） A．23 B．25 C．27 D．29 【例3】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）观察图形的规律，第①个图形中共有3个小黑点，第②个图形中共有9个小黑点，第③个图形中共有18个小黑点，按照此规律第⑥个图形中共有 个小黑点． 【例4】（2025·上海崇明·模拟预测）按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭2025个这样的小正方形需要小棒 ． 【例5】（2025·上海杨浦·模拟预测）在一个AI智能教育中心，小学员们正在参与一个名为“火柴棒项目”的智能编程．如图所示，小学员们需要使用火柴棒来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律； (1)若拼成的图形中含有4个三角形，则需要________根火柴棒； (2)若拼成的图形中含有n个三角形，则需要________根火柴棒；（用含有n的式子表示） (3)若每根火柴棒的长为1cm，且拼成的图形中所有火柴棒的长度和为，则拼成的图形中含有多少个三角形？ 1．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）桥梁工程中需要制作一个具有特殊构造的工件，工件的特征如图所示．按照这样的规律，若第个图案中“”的个数是，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海虹口·期末）有一串白黑相间的珠子，按如图所示的规律排列（即每相邻两个黑色珠子之间有且只有两个白色珠子），自左至右用正整数列对每个珠子进行标记，凡白色珠子标数符号取正；凡黑色珠子标数符号取负．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若第（为正整数）个珠子是黑色珠子，则它的标数为； 结论Ⅱ：当取第个，第个，第个三个珠子（为正整数）时，它们标数之和能被整除． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 3．（24-25七年级上·上海长宁·期中）如图为“盘长如意”花窗，中间图案是由若干个小平行四边形按一定规律组成，其中第1个图形共有8个小平行四边形，第2个图形共有15个小平行四边形，第3个图形共有22个小平行四边形，…，则第10个图形中共有 个小平行四边形． 4．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）． (1)如图1所示，图中共有_____对对顶角； (2)如图2所示，图中共有_____对对顶角； (3)如图3所示，图中共有_____对对顶角； (4)研究（1）（3）题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有条直线相较于一点，则可形成_____对对顶角； (5)若有2020条直线相交于一点，则可形成_____对对顶角． 5．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）问题解决策略：归纳 活动一：在城市规划中，街道的设计需要考虑到交通流量和交汇点的管理．每条街道可以看作平面上的一条直线，街道的交汇点即直线与直线的交点．通过计算交汇点数量的最大值，可以帮助优化交通网络的设计，提高交通效率．探究小组设计了一个数学活动，模拟了某个城市街道交汇点数量的最大值的问题． 【特例研究】如图1，若长方形内有2条直线，则最多可以得到1个交点． 如图2，若长方形内有3条直线，根据交点个数的不同，有如图四种情况，请在图中作出第四种情况． 【类比发现】 请类比上面的分析过程，将你得到的数据填入下表中． 长方形内直线的条数 2 3 4 5 … 最多的交点个数 1 … 【猜想分析】若该城市某片区有10条街道，假设10条街道为10条直线，则这10条直线最多有______个交汇点； 活动二： （1）探究小组用归纳分析的方法研究课本95页的第12题，题目如下：对于，可以用10个手指直观地展示出来：如图3，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“”的结果．类似地，，，，…，也可以用手指直观的展示出来．用数学语言揭示原理：从左数起，设弯下的手指为第n根手指，便可以用一个含n的等式来表示这个规律，请填写这个等式：(______)+(______)； （2）探究小组还发现，用9根小木棒也能展示从，，，…，的乘法运算．如图4，往下移动第3根木棒，则左边的两根木棒可表示2个9，右边的6根表示6个1，则类似地，请用一个含未知数的等式来揭示原理，过程如下：设______，则表示这个规律的等式为______． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）代数式，，，，，中，单项式的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24七年级上·上海静安·阶段练习）如果多项式是关于x的二次二项式，那么a,b的值可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·上海闵行·专题练习）在式子，，，，，0中，下列结论正确的是（   ） A．有3个单项式，3个多项式 B．有5个单项式，1个多项式 C．有4个单项式，2个多项式 D．有5个整式 4．（23-24七年级上·上海宝山·期中）李颖的答卷如图所示，她的得分应是（　　） 姓名：李颖 得分？ 填空（每小题2分，共10分） （1）比较大小：． （2）倒数等于本身的数是1． （3）多项式按字母的降幂排列为． （4）多项式的次数是1． （5）整式去括号后是． A．4分 B．6分 C．8分 D．10分 5．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）一个小正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，将它按如图所示的方式顺时针滚动，每滚动算一次，则滚动第2025次时，小正方体朝下一面标有的数字是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（24-25七年级上·上海青浦·期中）下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ． 7．（2024七年级上·上海普陀·专题练习）请你写出一个含有字母a，b的单项式，使它的系数为5，次数为3，这个单项式是 ． 8．（24-25七年级上·上海长宁·期中）规定：对于两个一元多项式（含字母x）来说，当x任取一个数时，这两个多项式的值都相等，那么就称这两个一元多项式是恒等的．例如：如果两个一元多项式与（a、b是常数）是恒等的，那么，；如果（a、b是常数）与恒等，那么 ． 9．（24-25七年级上·上海宝山·期末）用长度相同的火柴棒按如图所示的方式摆图形，其中第（1）个图形用了6根火柴棒，第（2）个图形用了11根火柴棒，第（3）个图形用了16根火柴棒，按照这样的规律继续摆下去，第10个图形需要 根火柴棒． 10．（2025·上海闵行·模拟预测）著名数学家华罗庚曾经谈到我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是其中一例．该三角形中的数据排列有着一定的规律，按此规律排列下去，第行的左边第个数是 ． 11．（24-25七年级上·上海松江·期中）请把下列各式的序号填入相应的集合中． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整式集合：{                     …}； 单项式集合：{                     …}； 多项式集合：{                     …}． 12．（24-25七年级上·上海青浦·期中）若是关于x，y的单项式，且系数为，次数是3，求a和b的值． 13．（24-25七年级上·上海闵行·假期作业）写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 14．（23-24七年级上·上海松江·期中）在数轴上，点A表示数，点表示数，点表示数，并且是多项式的二次项系数，是绝对值最小的数，是单项式的次数，请求出，，的值，并在数轴上把点A，，表示出来． 15．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，，以此类推，第幅图中★的个数为．则： (1)_____，_____； (2)求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$