专题3.2 导数与函数单调性（五类重难点题型精练）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点题型】精练（新教材新高考）

专题3.2 导数与函数的单调性 目录●重难点题型分布 重难点题型1 利用导函数与原函数的关系确定图像 1．（2025·河北·模拟预测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ） A．B． C． D． 2．（2025·山东济南·模拟预测）已知在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2022高三·全国·专题练习）函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的极大值点 B．函数在区间上单调递增 C．是函数的最小值点 D．曲线在处切线的斜率小于零 6．（21-22高二下·黑龙江牡丹江·开学考试）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．当时，函数取得极小值 B．函数在区间上是单调递增的 C．当时，函数取得极大值 D．函数在区间上是单调递增的 7．（2025·海南海口·模拟预测）（多选题）是定义在区间上的函数，其导函数的图象如图所示，则在区间内（   ） A．函数有三个极值点 B．函数的单调增区间为 C．函数的最大值可能为 D．函数的最小值可能为 8．（24-25高三下·重庆·开学考试）（多选题）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（   ） A．在处取最大值 B．是的极大值点 C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点 重难点题型2 求函数的单调区间（不含参数） （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 1．（24-25高三上·甘肃定西·阶段练习）若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·吉林·模拟预测）（多选题）已知函数，则（   ） A．当时，函数的单调递减区间是 B．当时，函数的单调递增区间是 C．是函数的极大值 D．函数有且只有一个零点 4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 . 5．（2025·福建南平·三模）已知函数，其导函数为. (1)求的单调区间； (2)证明：. 6．（2025·河北·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 7．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知， (1)求的单调递增区间； (2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围. 8．（2025·安徽·模拟预测）已知函数. (1)求的单调区间； (2)将的图象绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，求的取值范围. 重难点题型3 已知含参数函数的单调区间，求参数的取值范围 1．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广西玉林·二模）若函数在上为增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·山东菏泽·二模）已知函数在上单调递增，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 5．（2025·安徽·模拟预测）（多选题）已知函数，则（   ） A．，使得为单调函数 B．，的图象恒有对称中心 C．当时， D．若，，是方程的三个不同的根，则 6．（2025·新疆·模拟预测）（多选题）若函数是区间上的单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 8．（2024·河南·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为 . 重难点题型4 求函数的单调性(含有参数) （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 考向1 类一次函数类型（大于0、小于0与等于0） 1．（2025·甘肃白银·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围． 2．（24-25高二下·四川资阳·期中）已知函数，． (1)若的最大值是0，求的值； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（a为常数）. (1)求函数的单调区间； (2)若存在两个不相等的整数，满足，求证：. (3)若有两个零点，，证明：. 4．（2025·江西·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)证明：． 考向2 类 二次函数类型（可分解因式） 5．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数． (1)设，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有唯一零点，求实数的取值范围． 6．（2025·河南·二模）已知函数. (1)讨论的单调性. (2)若存在两个不同的，满足，证明：. 7．（2025·湖北·模拟预测）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，在恒成立，求的取值范围. 8．（2025·山东临沂·二模）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设函数，已知有两个极值点． ①求的取值范围； ②求证：． 考向3 类二次函数类型（不可分解因式） 9．（2025·天津河西·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)已知，证明：（其中是自然对数的底数）. 10．（22-23高三下·河北石家庄·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求证：． 11．（2024·山东枣庄·一模）已知. (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 12．（2024·青海海西·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)令，若恒成立，求实数a的取值范围. 重难点题型5 挑战压轴题 1．（2025·四川成都·三模）若，，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·全国·一模）（多选题）设a，b为正数，若函数在区间上有且仅有两个零点，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 4．（2025·北京丰台·一模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②对任意实数a，都没有最小值； ③当时，设的零点从大到小依次为，，，，则对任意正整数i，都有； ④对任意实数a，m，存在实数，当时，恒有. 其中所有正确结论的序号为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 导数与函数的单调性 目录●重难点题型分布 重难点题型1 利用导函数与原函数的关系确定图像 1．（2025·河北·模拟预测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】求导可得，再由二次函数的图象性质即可判断. 【详解】， 如图：因为的图象是开口向上的抛物线，所以； 应为函数图象关于轴对称，即为偶函数，所以； 因为有两根且互为相反数，所以. 综上：. 故选：B． 2．（2025·山东济南·模拟预测）已知在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系 【分析】首先分析哪一个函数图象为、的图象，再根据导数的运算法则求出选项中的导函数，最后分析其正负，即可判断其单调性. 【详解】如图，不妨令上面的曲线为，与的轴交点横坐标分别为，， 下面的曲线为，与的轴交点横坐标为， 由的图象可知，当时函数值小于，当时函数值大于，且的图象从左至右呈上升趋势； 由的图象可知，当时函数值小于，当或时函数值大于，且的图象从左至右呈先下降，后上升趋势； 又这两个函数图象为函数及其导函数的图象， 所以对应的是，对应的是； 所以当时，单调递减，且， 当时，单调递增，且当时，当时； 对于A、B：由，所以， 显然，当时，所以，则在上单调递减， 当时，所以，则在上单调递增，故A、B错误； 对于C、D：，则， 显然，且当时，即， 所以，所以在区间上单调递增，故C正确，D错误. 故选：C 3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【解析】结合的图象，利用导数的正负与函数的单调性间的关系求解. 【详解】由的图象可知：当或时，函数递减； 当时，，函数递增； 故选：B 【点睛】本题主要考查导数的正负与函数的单调性间的关系，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 4．（2022高三·全国·专题练习）函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】本题利用导函数的性质，便可以解题.，函数为增函数，，函数为减函数，根据导函数图形找到对应区间就可以得出答案. 【详解】由图象知，当或时，，函数为增函数，当或时，，函数为减函数，对应图象为A. 故选：A． 5．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的极大值点 B．函数在区间上单调递增 C．是函数的最小值点 D．曲线在处切线的斜率小于零 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】根据导函数的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断； 【详解】解：由导函数的图象可知，当时，当时，当时，当或时，则在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值即最小值，所以是函数的极小值点与最小值点，因为，所以曲线在处切线的斜率大于零， 故选：B 6．（21-22高二下·黑龙江牡丹江·开学考试）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．当时，函数取得极小值 B．函数在区间上是单调递增的 C．当时，函数取得极大值 D．函数在区间上是单调递增的 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】通过导函数的正负情况判断原函数的单调性，进而得到极值. 【详解】由图像可知， 时，，所以单调递减，故B错误； 时，，所以单调递增， 所以当时，函数取得极小值，故A正确； 当时，函数取得极大值，不是的极值，故C错误； 导函数在区间上存在使得， 所以函数在区间上是先减后增，故D错误； 故选：A. 7．（2025·海南海口·模拟预测）（多选题）是定义在区间上的函数，其导函数的图象如图所示，则在区间内（   ） A．函数有三个极值点 B．函数的单调增区间为 C．函数的最大值可能为 D．函数的最小值可能为 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数最值与极值的关系辨析、函数极值点的辨析 【分析】利用导数图象分析函数的单调性，结合极值与最值与导数的关系逐项判断即可. 【详解】对于AB选项，由图象可知，当或时，，当时，. 所以，函数的减区间为、，增区间为， 所以，函数只有两个极值点，A错， 函数的单调增区间为，B对； 对于CD选项，函数的最大值可能为，C对， 因为函数在上单调递减，则，故函数的最小值不可能为，D错. 故选：BC. 8．（24-25高三下·重庆·开学考试）（多选题）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（   ） A．在处取最大值 B．是的极大值点 C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数（导函数）图象与极值的关系、由导数求函数的最值（不含参）、函数极值点的辨析 【分析】根据的图象，先分析出的正负性，即可得的单调性，从而可判断A，B，C，再由和时，，而不一定等于0，可判断D. 【详解】当时，， 函数单调递增， 同理可得：当时，，函数单调递减， 所以为函数的极大值， 当时，，函数单调递减， 当时，函数单调递减， 所以函数在上单调递减， 从而在处取最大值，且没有极小值点，故A,C正确，B错误； 又和时，， ，而在时等于0，所以不一定等于0， 当时，是导函数的极大值点， 当时，不是导函数的极大值点，所以D正确. 故选：ACD. 重难点题型2 求函数的单调区间（不含参数） （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 1．（24-25高三上·甘肃定西·阶段练习）若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求函数的导数，利用导数小于零并结合定义域得出结果. 【详解】函数，定义域为， 由，令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 2．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导，根据导数为负即可求解. 【详解】的定义域为， ， 令，解得， 故的单调递减区间为， 故选：B 3．（2025·吉林·模拟预测）（多选题）已知函数，则（   ） A．当时，函数的单调递减区间是 B．当时，函数的单调递增区间是 C．是函数的极大值 D．函数有且只有一个零点 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数的单调区间求参数、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】当时，利用导数求函数的单调性，判断AB；分和研究函数的单调性和最值，从而判断CD. 【详解】当时，, 则， 当时，， 则函数的单调递减区间是和， 当时，，则函数的单调递增区间是， 故A错误，B正确； 因为，则， 当时，当时，， 则函数的单调递减区间是和， 当时，，则函数的单调递增区间是， 所以是函数的极大值点，极大值为， 当时，当时，， 则函数的单调递增区间是和， 当时，，则函数的单调递减区间是， 所以是函数的极大值点，极大值为，故C正确； 根据上面研究，当时，函数的单调递减区间是和， 单调递增区间是，且，所以当时，， 当时，，所以函数只有一零点， 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，且，所以当时，， 当时，，所以函数只有一零点，D正确. 故选：BCD 4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 . 【答案】（写成，，，同样给分） 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据导数和函数单调性的关系，即可求解. 【详解】因为，， 令，得，解得， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 5．（2025·福建南平·三模）已知函数，其导函数为. (1)求的单调区间； (2)证明：. 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为； (2)证明见解析. 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）利用导数工具研究函数导函数的值的正负情况即可得解； （2）利用导数工具二次求导研究函数的单调性即可得证. 【详解】（1）由题函数定义域为R，，令， 所以当时，， 当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）证明：由（1）， 所以在上恒成立， 所以函数即在上单调递增，又， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以，即. 6．（2025·河北·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)递增区间为和，递减区间为和 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求出导函数，计算出，，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）令即可求出函数的单调递增区间，令即可求出函数的单调递减区间. 【详解】（1）由题意知， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 由（1）知， 令得或；令得，且， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和. 7．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知， (1)求的单调递增区间； (2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，由求解即可； （2）求导，分析函数的单调性，进而结合题意求解即可. 【详解】（1）的定义域为， ， 令，得， 的单调递增区间是. （2）由已知得， 则， ，则当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，， ， 若在上有两个零点，则， ，即， 即实数的取值范围为. 8．（2025·安徽·模拟预测）已知函数. (1)求的单调区间； (2)将的图象绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.15 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、极坐标与直角坐标的互化、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）首先对函数求导，然后分情况讨论的不同取值范围下，函数的单调性从而得到函数的单调区间. （2）利用函数图像旋转后仍是函数图像的条件，转化为斜率的问题进行求解.可先取曲线上一点，利用该点旋转前后的坐标，列出关系式，构造函数，对函数的单调性进行讨论，进而求出的取值范围. 【详解】（1）由，得 当时，为常数函数，无单调区间 当时，在上单调递减，在上单调递增 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）法一：旋转+函数定义 设为的图象上任意一点， 绕原点逆时针旋转后点对应点为， 设与轴正半轴夹角为， 可得：化简可得 令，则，所以 令， 要使函数图象绕原点逆时针旋转后仍为某函数的图象， 则为单调函数，即恒成立，或恒成立 因为，又，故不恒成立， 所以恒成立，当时，；当时，，得. 令，则， 易得当时，单调递增，当时，单调递减， ，故 当时，，得 令，则， 在单调递增，的值域为 综上： 法二：旋转+导函数值域 当时，绕原点逆时针旋转后 得到是函数图象，符合题意； 当时，由，得，由，得， 在单调递增，在单调递减， 其图象如图1所示绕原点逆时针旋转后，得到的曲线不是任何函数的图象； 当时，由，得，由，得， 在单调递减，在单调递增，其图象如图2所示绕原点逆时针旋转后，得到的曲线要是函数的图象，必有， 即在上恒成立，令，则 时，单调递减，时，单调递增， ，故— 综上：. 重难点题型3 已知含参数函数的单调区间，求参数的取值范围 1．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，， 变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：D． 2．（2023·广西玉林·二模）若函数在上为增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】对函数求导，根据题意可得对恒成立，列出不等式组，解之即可求解. 【详解】依题意得对恒成立， 即对恒成立． 因为y＝ax＋a＋1的图象为直线， 所以，解得． 故选：B. 3．（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、利用函数单调性求最值或值域、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数值恒大于或等于0，再利用分离参变量思想即可求解. 【详解】求导得， 要满足函数在区间上单调递增， 则，即， 因为，所以，即， 故选：B. 4．（2025·山东菏泽·二模）已知函数在上单调递增，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据函数在单调递增，即在恒成立，解得，再构造函数，通过导数求单调性即可求解. 【详解】由题意，函数 的定义域为， 导函数为， 因为函数在单调递增， 所以在恒成立， 所以，即， 故， 令，则， 令，则， 令，则， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 所以的最小值为. 故选：B. 5．（2025·安徽·模拟预测）（多选题）已知函数，则（   ） A．，使得为单调函数 B．，的图象恒有对称中心 C．当时， D．若，，是方程的三个不同的根，则 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、根据函数零点的个数求参数范围、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】A对函数求导，假设函数单调，并结合二次函数性质列不等式求参数范围，即可判断；B由，再结合即可判断；C应用特殊值判断；D由并展开，结合已知表达式，即可判断. 【详解】A：由题设，所以是开口向上的抛物线， 要使为单调函数，只需恒成立，即，得， 所以，使得为单调函数，对； B：对于， 所以，即恒关于点对称，对； C：由题设，若，显然，错； D：由题设， 又，则，对. 故选：ABD 6．（2025·新疆·模拟预测）（多选题）若函数是区间上的单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数求出函数的增区间和减区间，结合题意可得出区间的包含关系，可求出实数的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】因为，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为和，减区间为， 若函数在上单调递减，则， 且成立，则，无解； 若函数在上单调递增， 则或， 即或，解得或， 故选：ACD． 7．（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】由题意，设，利用导数可得在上单调递减，由，进而可得在区间上单调递增，在区间上单调递减，进而可得. 【详解】， 设，则， 故在上单调递减，又，可知在区间上单调递增， 在区间上单调递减，故，的取值范围是. 故答案为： 8．（2024·河南·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为 . 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由的解集，求出的值. 【详解】的解集为， 即的解集为，所以， 解得. 故答案为：. 重难点题型4 求函数的单调性(含有参数) （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 考向1 类一次函数类型（大于0、小于0与等于0） 1．（2025·甘肃白银·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先对函数求导得，再根据的取值范围讨论导数正负.确定函数的单调区间. （2）把恒成立转化为.令，对其求导得，根据导数正负确定单调性，求出最大值，进而得到的取值范围. 【详解】（1）， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由得，由得，所以函数在，上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）恒成立等价于，即． 令，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即． 所以的取值范围为． 2．（24-25高二下·四川资阳·期中）已知函数，． (1)若的最大值是0，求的值； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求得，分和，两种讨论，函数的最大值，从而求解； （2）根据题意，转化为分离参数得在上恒成立，设函数，利用导数，求得函数的最小值，进而的取值范围． 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且． 若，则，在定义域内单调递增，无最大值，不符合题意，舍去； 若，则当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值， 其最大值为，解得， 显然符合题意，所以的值为1． （2）解：对任意，恒成立，即在上恒成立， 设，可得， 设，可得， 所以在上单调递增，且，， 所以有唯一零点，且， 所以， 构造函数，则． 又由函数在上是增函数，所以， 由在上单调递减，在上单调递增， 可得， 所以，解得，所以的取值范围是. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（a为常数）. (1)求函数的单调区间； (2)若存在两个不相等的整数，满足，求证：. (3)若有两个零点，，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、对数不等式 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （2）利用对数均值不等式（，，）即可得证. （3）由题意得，要证，只需证：，利用换元，令，只需证：，由对数均值不等式即得. 【详解】（1）由，得函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得；令，得； 所以，的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由，得， 故欲证，只需证：，即证， 又，，， 不妨设，，等价于，令（）， 等价于（）， ，所以在单调递增，而， 所以，当时，恒成立. 所以， 所以. （3）函数有两个零点，，所以，， 不妨设，， 即，要证：， 需证： 只需证：，只需证：， 只需证：，只需证：， 令，只需证：， 令，， 所以在上单调递减，所以，即， 故. 也可由对数均值不等式（），即， 令（），则，即， 所以. 4．（2025·江西·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)当时， 单调递增；当时，单调递减 (2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导后，令导数等于0即可得出函数的单调区间； （2）只需证明函数的最大值即可，从而可以构造一个关于的函数，结合导数来证明即可. 【详解】（1），，令，得． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. （2）． 设，则， 令，得 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以，即， 由（1）知，，得证． 考向2 类 二次函数类型（可分解因式） 5．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数． (1)设，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）首先求出函数解析式，然后通过求导可以求出切线斜率，进而能够求出切线方程. （2）首先求出函数的导函数，然后分三种情况讨论的不同范围下（）函数的单调区间. （3）基于（2）中分情况讨论的函数的单调性，依然要分三种情况（）讨论使得有唯一零点的的取值范围. 【详解】（1）因为，所以函数. 对函数求导得：. 因为点在曲线上，所以曲线在点处的切线斜率为-1， 故曲线在点处的切线方程为， 即. （2）因为，所以. 令，则. 当时，或时，;时，. 此时，的单调递增区间是，，单调递减区间是. 当时，或时，;时，. 此时，的单调递增区间是，，单调递减区间是. 当时，，此时函数在上单调递增. 综上所述，当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是； 当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是； 当时，函数在上单调递增. （3）当时，，令， 解得，此时，有唯一零点，符合题意. 当时，由（2）知，的单调递增区间是，，单调递减区间是. 此时函数的极大值为，极小值为. 因为当时，；当时，. 因为有唯一零点，所以极大值，解得， 此时的取值范围为. 当时，由（2）知，的单调递增区间是，，单调递减区间是. 此时函数的极小值为，极大值为. 因为当时，；当时，. 因为有唯一零点，所以极大值，解得， 此时的取值范围为. 综上，实数的取值范围为. 6．（2025·河南·二模）已知函数. (1)讨论的单调性. (2)若存在两个不同的，满足，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）先求得导函数，再按实数分类讨论函数的单调性即可； （2）结合（1）讨论可得当且仅当时有两个零点，令，求导研究函数的单调性，进而证得结果. 【详解】（1）的定义域为，且， ①当时，由，得，由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时，恒成立，故函数在上单调递增； ③当时，由，得，由，得或， 所以函数在上单调递减，在，上单调递增； ④当时，由，得，由，得或， 所以函数在上单调递减，在，上单调递增； 综上：当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在，上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在，上单调递增. （2）由（1）知，当时，，所以不可能有两个零点； 当时，，所以不可能有两个零点； 当时，在上单调递增，所以不可能有两个零点； 若要有两个零点，当时，，此时（舍），，不符合题意故舍去，当且仅当，所以， 设，令， 则， 所以在上单调递减，则，即， 所以，又，所以， 因为，，由（1）知在上单调递增， 所以，即. 7．（2025·湖北·模拟预测）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，在恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数讨论含参函数的单调性，令、即可求解； （2）由（1）可得，利用二阶导数讨论可知在上单调递减，且，解不等式即可求解. 【详解】（1）由，，， 求导得. 当，由，解得或；由，解得. 当时，恒成立. 当时，由，解得或；由，解得. 综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，的在单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，函数在单调递减，在单调递增， 所以. 令，，得. 令，，得， 所以在单调递减，得， 所以.所以在上单调递减. 因为且，所以， 则，所以a的取值范围为. 8．（2025·山东临沂·二模）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设函数，已知有两个极值点． ①求的取值范围； ②求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明过程见解析 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、根据极值点求参数 【分析】（1）求导，根据导数零点大小对分类讨论即可得解； （2）①根据分离参数即可求解；②理由韦达定理将转换为的函数，利用导数研究函数的单调性即可得证. 【详解】（1）对函数求导得，， 若，则， 若，，此时在定义域上单调递增， 若，则，当或时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减， 若，则，当或时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，若，则在定义域上单调递增； 若，则在上单调递增，在上单调递减； 若，则在上单调递增，在上单调递减. （2）①， 求导得， 因为有两个极值点，所以有两个“变号”零点， 即有两个零点， 令，是一一对应的， 从而有两个零点， 设，该二次函数开口向下，对称轴是， 注意到，所以， 即的取值范围是； ②由（2）①不妨设，即， 等价于， 由韦达定理有，， ， 令，， 所以单调递增， 从而. 考向3 类二次函数类型（不可分解因式） 9．（2025·天津河西·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)已知，证明：（其中是自然对数的底数）. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式计算可得； （2）求出函数的定义域与导函数，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调性； （3）依题意即证，当恒成立，当时，只需证，即证，分别构造函数，利用导数求出，，即可得证. 【详解】（1）当时，，， 当时，，， 切线方程为，整理得， 所以曲线在处的切线方程为. （2）函数的定义域为，， 对于关于的方程，有， 当时，，则恒成立，在上单调递减； 当时，方程有两根，， 若，则，， 当时，，所以在上单调递增； 时，，所以在上单调递减； 若，则， 当和时，，当时，； 即在与上单调递减，在上单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在与上单调递减， 在上单调递增. （3）要证，即证， 因为，，所以， 当时，不等式显然成立； 当时，因为，则， 所以只需证，即证， 令，，则， 由得；由，得， 则在上为单调递增，在上单调递减，故； 令，，则， 所以当时，，当时，， 所以在上为单调递减，在上为单调递增， 所以， 所以恒成立，即. 10．（22-23高三下·河北石家庄·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）对函数求导，构造，讨论参数a，结合二次函数性质判断导数符号，进而确定单调区间； （2）由（1）知有，取得，取则，两侧累加即可证结论. 【详解】（1）， 令，则． 当，即时，即恒成立，则在上单调递增；     当时，、在上均单调递增，所以在上单调递增； 当时，由得，， 则在和上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，的单调递增区间是，无递减区间； 当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是． （2）由（1）知，当时，在上单调递增， 若，则，即， 取，则， 即，取，则， 于是有，，…，，， 所以， 即， 整理得． 【点睛】关键点点睛：第二问，根据有，取得到不等式恒成立，应用换元法、累加证结论. 11．（2024·山东枣庄·一模）已知. (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导得，分，两种情况，求方程的解，分析的符号，进而可得的单调性． （2）化简不等式，证明，函数有唯一零点，由此证明，证明时，满足条件，时不满足条件即可. 【详解】（1）由题意知定义域为， 且. 令， ①当时，，所以在上单调递增. ②当时，，记的两根为， 则，且. 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减. 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2），化简得. 设，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，当且仅当取等号， 令，因为在上单调递增， 所以在上单调递增. 又因为， 所以存在唯一，使得①， 所以，当且仅当时取等号. ①当时，成立. ②当时，由①知. 所以与恒成立矛盾，不符合题意. 综上. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：若有最值. （1）恒成立⇔；（2）恒成立⇔. 12．（2024·青海海西·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)令，若恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导得，利用判别式分类讨论可求单调区间； （2），可得，进而证明时恒成立，利用放缩法与构造函数法可求解. 【详解】（1）由，， ①当时，，可得，此时函数在R上单调递增； ②当时，，关于x的一元方程的两根为， 此时函数的减区间为，增区间为，； （2）若恒成立，必有，可得， 下面证明时恒成立. 由及，有， 要证不等式，只需证， 又由，只需证， 令， 有， 令，有， ①当时，，， 有； ②当时，，， 有． 由①②可知，故函数单调递增， 又由，可知当时，即； 当时，即，可得函数的减区间为，增区间为， 有． 由上知，若恒成立，则实数a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 重难点题型5 挑战压轴题 1．（2025·四川成都·三模）若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.15 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较函数值的大小关系、比较对数式的大小 【分析】通过对已知等式进行变形，构造，利用函数单调性来比较变量之间的大小关系，结合特殊值法，逐个判断. 【详解】已知，将等式进行移项可得. 根据对数运算法则，进一步变形为. 因为，则， 所以， 令，对求导可得，所以在上单调递增. 因为，，， 所以， 根据的单调性可知，即， 再根据对数函数的性质，所以，C错，D对； 若，此时，且， 而， 所以，则，此时，排除A， 若，此时，且， 若时，，必有，排除B； 故选：D. 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.15 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较正弦值的大小、比较余弦值的大小 【分析】构造函数并利用导函数判断函数的单调性，然后分三种情况讨论，然后根据三角函数的单调性即可得 【详解】令，得， 若，则 所以在上单调递增， 当时，则， 所以， 又在上单调递增，所以，， 当时，， 又在上单调递增，所以，不合题意； 当时，， 所以， 又在上单调递增， 所以，所以，， 综上可得， 故选：A 【点睛】关键点点睛：构造判断单调性，然后分类讨论，利用放缩法对变形，结合正余弦函数的单调性即可得. 3．（2025·全国·一模）（多选题）设a，b为正数，若函数在区间上有且仅有两个零点，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【难度】0.15 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用不等式求值或取值范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、基本不等式求和的最小值 【分析】对于AB，由的零点题意可得，对应范围，然后由不等式性质可判断选项正误；对于C，注意到，由AB分析结合导数知识可判断选项正误；对于D，由基本不等式结合基本不等式取等条件及题意可判断选项正误. 【详解】对于A，由，可得或，. 则或，. 因a，b为正数，且函数在区间上有且仅有两个零点， 则或或，其中. 当时，可得； 当时，类似可得； 当时，类似可得. 综上可得有最小值，无最大值，故A错误，B正确； 对于C，注意到，又由AB分析知， 当时，， ，则此时； 当时，同理可得：， 其中.令，则，， 构造函数，则， 即在上单调递增， 则； 当时，同理可得：， 其中.令，则，， 构造函数，则， 即在上单调递增，则； 因，综上可知，的最小值为，故C正确； 对于D，由以上分析可知，由基本不等式，， 当且仅当时取等号，此时，为，因， 则此时只有一个零点，不满足题意，则取等条件不成立， 则，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题涉及三角函数的零点，所涉情况较多，故适当分组，分组讨论解决问题；C选项中，若难以注意到，可由待定系数法确定相关系数； 要使用基本不等式，需满足一正，二定，三相等，三个条件缺一不可. 4．（2025·北京丰台·一模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②对任意实数a，都没有最小值； ③当时，设的零点从大到小依次为，，，，则对任意正整数i，都有； ④对任意实数a，m，存在实数，当时，恒有. 其中所有正确结论的序号为 . 【答案】②④ 【难度】0.15 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】①取特殊值，根据导数与函数的单调性的关系即可判断； ②对进行分类讨论，即可判断； ③结合①②的情况进行判断即可. 【详解】对于①，当时，，则，存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时，，则在上单调递增； 当时，,,,则在上没有最小值； 当时，,,,则在上没有最小值； 故②正确； 对于③，结合①②，当时，在的零点，最大的①中的，， 当时， 当时，存在零点， 所以这两个零点距离大于，故③错误； 对于④，， 因为是对勾函数，可以取到，，所以可以取到,故④正确. 故答案为：②④. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$