2025年九年级中考数学（培优辅差）基础知识专题训练二：方程(组)与不等式(组)

九年级中考数学（培优辅差）基础知识专题训练 专题二 方程(组)与不等式(组) 基础点9 一次方程(组)的解法 1.下列等式的变形中，正确的是 ( ) A. 若(a-c=b-c, 则a=b B. 若|a|=|b|,则a=b C. 若 则b=c D. 若 则3a=4b 2.将等式3a-4b=a-4b进行变形，最后得到一个明显错误的结论，则下列说法正确的是 ( ) A.第一步错误 B.第二步错误 C.第三步错误 D.三步都正确，原等式错误 3.解二元一次方程组 用代入消元法消去y，得到的方程是 ( ) A. 5x=-5 B. 5x=-17 C. 4x=-5 D. 4x=-17 4. 若关于x，y的二元一次方程组 的解为 则多项式A 可以是 .(写出一个即可) 5.解方程. (1)8(3x-1)=2x+3; 6.解下列方程组. 基础点 10 分式方程及其解法 1.解分式方程 时，去分母变形正确的是 ( ) A. 2x+(x-1)=1 B. 2x-(x-1)=1 C. 2x-1=1 D. 2x-1=-1 2.若 则x的值是 ( ) A. 0 B. - 1 C. 1 D.0或1 3.已知关于x的分式方程 有增根，则增根是 . 4.解分式方程. 5. 已知关于x的分式方程 (1)当 时，甲同学的解题过程如下： 解：(第一步)去分母，得： (第二步)去括号，得： (第三步)移项、合并同类项，得： (第四步)系数化为1，得： (第五步)检验：当 时， 所以. 1是增根， (第六步)所以原分式方程无解. 甲同学从第 步开始出现错误，请你写出正确的解法； (2)若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值. 学科网（北京）股份有限公司 基础点 11 一元二次方程的解法 1.用配方法解一元二次方程 配方后正确的是 ( ) 2.方程 的根是 ( ) 3.若直角三角形的两直角边长是方程 的两根，则直角三角形的面积为 . 4.用合适的方法解下列方程. 5.下面是小雨同学解方程( 的过程： 解：原方程可变形为 ∴x+6=±3,即x+6=3或: 解得 (1)上述解方程的方法是通过添项构造 (填“平方差公式”或“完全平方公式”)； (2)结合题中的方法，请你写出一种其他的构造方法并解答. 学科网（北京）股份有限公司 基础点12 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数m的值为 ( ) A. - 36 B. - 9 C. 9 D. 36 2.关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ( ) 3.已知关于x的一元二次方程 的一个根为-1，则另一个根为 ( ) A. - 2 B. 2 C. 1 D. 4 4.已知关于x的一元二次方程 有实数根，则m的值可以是 (写出一个即可). 5.已知实数x₁，x₂是关于x的方程 的两个实数根，则代数式 的值为 . 6.已知实数x₁，x₂是关于x的方程. 的两个实数根，若 则m的值为 . 7.已知关于x的方程 (1)求证：当n=m-2时，方程总有两个实数根； (2)若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根. 学科网（北京）股份有限公司 基础点13 一次不等式(组)的解法及解集表示 1.用不等式的性质说明图中的事实，正确的是 ( ) A. 若a+c<b+c,则a<b B. 若a>b,则a+c<b+c C. 若a-c<b-c,则a<b D. 若 ab< bc,则a<b 2. x-3≥0的解集在数轴上表示正确的是 ( ) 3.关于x的一元一次不等式组 的解集为 ( ) A. 2<x≤8 B. 2≤x<8 C. x≤2 D. x>8 4.对于任意实数a，b均有( ，不等式4※x≥3的解为 . 5.新考法 数学文化 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图所示的程序进行计算，规定从“输入一个值x”到“结果是否>37”为一次程序操作，已知某同学输入x后经过了两次程序操作输出结果，则x的取值范围为 . 6.解不等式组 请按下列步骤完成解答： (1)解不等式①,得 ; (2)解不等式②,得 ; (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集是 . 7. 新考法 解题策略开放已知三个一元一次不等式： 2x-1.请从中选择你喜欢的两个不等式，组成一个不等式组，并求出这个不等式组的解集. 学科网（北京）股份有限公司 基础点 14 方程(组)与不等式的实际应用 考法1 一次方程(组)的实际应用 1.幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图.若将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为 . 2.某市很多小区都设置了智能垃圾回收机，居民按要求分类投递垃圾，就能获取可提现的“环保金”.已知某小区智能垃圾回收机的塑料和纸垃圾“环保金”发放标准为0.7元/kg，纺织物为0.2元/kg，新手注册赠送2.88元环保金.李阿姨注册后的一周内分别投递了塑料和纸垃圾以及纺织物垃圾共7.5kg，共得环保金6.18元.若设李阿姨投递的塑料和纸垃圾质量为 xkg，则x满足的方程为 . 3.溶液的浓度是指一定量的溶液中所含溶质的量，可以用百分数表示.一次化学实验课上，老师给同学们提供了两种不同浓度的氯化钠溶液，A种氯化钠溶液的氯化钠含量为25%，B种氯化钠溶液的氯化钠含量为10%，老师要求同学们用这两种氯化钠溶液配制出氯化钠含量为20%的氯化钠溶液150克，求A，B两种氯化钠溶液各取多少克? 考法2 分式方程的实际应用 4.为进一步健全城市公园体系，某省大力倡导“口袋公园”建设，即在主城区道路与建筑连接处、交叉口的边角地带，通过留白增绿、破硬植绿等方式，打造群众身边的“微景观”.某城区要建设A，B两个口袋公园，公园A的面积与公园B的面积相等，公园A的造价为200万元，公园B的造价为180万元，已知公园A平均每平方米的造价比公园B平均每平方米的造价多0.02万元，求口袋公园A平均每平方米的造价为多少万元? 学科网（北京）股份有限公司 5. “孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站15km的书院参观，学生们步行出发，1h后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行速度的1.5倍，若孔子和学生们同时到达书院，求学生步行的速度. 考法3 一元二次方程的实际应用 6.据了解某家电公司2024年的利润为6 600万元，受市场波动影响，2024年利润增长率为2023年利润增长率的一半，若该公司2022年的利润为5 000万元，则该公司2024年利润增长率为 ( ) A. 5% B. 10% C. 15% D. 20% 7.造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明.这些发明对人类文明发展产生了深远的影响.某校科技节活动中，计划在如图所示的长85cm，宽40cm的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为 ，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为 x cm的彩色纸带，求彩色纸带的宽度. 学科网（北京）股份有限公司 考法4 不等式的实际应用 8. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期.某商店以240元/套的价格购进一批“文房四宝”套装，再以320元/套的价格出售.国庆期间，该店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则每套“文房四宝”最多可降价 元. 9.甲、乙两种作物的单位面积产量之比为1∶2，现有一块长300m、宽150m的长方形土地，需要被划分为两块小长方形土地，分别用于种植甲、乙这两种作物.通过计算，请你写出一种划分方式来划分这块土地，以确保甲、乙两种作物的产量之比大于1：3. 考法5 方程组与不等式的综合应用 10.某水果店购进A种水果和B种水果若干千克，第一天售出A种水果30千克，B种水果50千克，共收入470元；第二天售出A种水果40千克，B种水果70千克，共收入640元.(售价不变) (1)求A，B两种水果每千克的售价； (2)为了保持所售卖水果的新鲜，该水果店老板每天购进A，B两种水果共90千克，由于B种水果的销量更高，若当天水果全部售出，则老板在每天总收入不低于540元的情况下，最多可以购进B 种水果多少千克? 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 基础点9 一次方程(组)的解法 1. A 【解析】A.等式a-c=b-c的两边同时加上c,等式仍成立,即a=b,变形正确,符合题意;B.如果|a|=|b|,那么a=±b，变形不正确，不符合题意；C.如果 且a=0时，那么b=c不成立，变形不正确，不符合题意；D.如果 那么3b=4a，变形不正确，不符合题意. 2. C 【解析】∵3a-4b=a-4b,∴3a-4b+4b=a-4b+4b,∴3a=a,∴3a-a=0,∴2a=0,∴a=0,∴第三步错误. 3. A 【解析】令 由②得y=x-2,将y=x-2代入①得2x+3(x-2)=-11,去括号、移项、合并同类项得5x=-5. 4. 7x-2y(答案不唯一) 【解析】只需将 代入结果为1 即可，∴多项式A可以是7x-2y.(答案不唯一) 5. 解:(1)去括号,得24x-8=2x+3, 移项,得24x-2x=3+8, 合并同类项,得22x=11, 系数化为1，得 (2)去分母、得2(3x+1)=3(x-2)-6. 去括号,得6x+2=3x-6-6、 移项、得6x-3x=-6-6-2. 合并同类项,得3x=-14、 系数化为Ⅰ.得 6. 解:(1)令 将①变形为2x+y=4③, ③-②,得x=1, 把x=1代入②,得1+y=3,解得yy=2, ∴原方程组的解为 (2)将原方程组化简整理得 ①×2+②,得13x=13, 解得x=1, 把x=1代入①,得5-y=2, 解得y=3, ∴原方程组的解为 基础点10 分式方程及其解法 1. B 2. C 3. x=3 4. 解:(1)去分母,得4x+5=2(x-2), 去括号,得4x+5=2x-4, 移项、合并同类项，得2x=-9， 系数化为1，得 检验：当 时,2(x-2)≠0, ∴原分式方程的解是 (2)去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得-3x=6， 系数化为1,得x=-2, 检验:当x=-2时,(x-3)(x+3)≠0, ∴原分式方程的解是x=-2. 5. 解:(1)一; 正确的解法如下： 去分母,得5x-(1-3x)=3(x-1), 去括号,得5x-1+3x=3x-3, 移项、合并同类项，得5x=-2， 系数化为1，得 、 验：当 时,x-1≠0, ∴原分式方程的解是 (2)去分母,得 ax-(1-3x)=3(x-1), ∵原方程有增根， ∴x-1=0,即x=1, 把x=1代入整式方程得a×1-(1-3×1)=3×(1-1),解得a=-2, ∴a的值为-2. 基础点11 一元二次方程的解法 1. A 2. C 3. 6 4. 解:(1)配方法: 2x-1=0, (2)公式法: ∴a=1,b=-6,c=2, 配方法 或 (选择一种方法作答即可) (3)因式分解法： x(x-2)=3(x-2), x(x-2)-3(x-2)=0, (x-2)(x-3)=0, x-2=0或x-3=0, 5. 解:(1)平方差公式; (2)可通过添项构造完全平方公式，过程如下：原方程可变形为(x+5+2)(x+5)=8, ∴x+6=±3,即x+6=3或x+6=-3, 解得 (答案不唯一) 基础点12 一元二次方程根的判别式及根 与系数的关系 1. C 【解析】∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根， 解得m=9. 2. A 【解析】∵关于x的一元二次方程. 有两个不相等的实数根 解得 3. B 【解析】设关于x的一元二次方程 的两个根分别为x₁,x₂,且 ，由根与系数关系可得x₁· 即 该方程的另一个根为2。 4.1(答案不唯一) 【解析】∵关于x的一元二次方程 5x+2=0有实数根,. 且m≠0,解得m≤ 且m≠0，则m的值可以是1.(答案不唯一) 5.1 【解析】由根与系数的关系得 6.-2 【解析】由根与系数关系可知 =-2。 7. (1)证明:∵n=m-2, ∴方程为 ∴当n=m-2时，方程总有两个实数根； (2)解:由题意可知,m≠0, ∵方程有两个相等的实数根， 即 ∴满足条件的m，n的值可以为m=-2,n=4,.此时方程为 即 解得 (答案不唯一) 基础点13 一次不等式(组)的解法及解集表示 1. A 2. C 3. B 4. x≥-3 5.5<x≤13 【解析】由题意可知，第一次程序操作得到的结果为3x-2，其值小于等于37，第二次程序操作得到的结果为3(3x-2)-2，其值大于37，则可列不等式组为 解得5<x≤13,∴x的取值范围为5<x≤13. 6. 解:(1)x≤2; (2)x>-3; (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示如解图； (4)-3<x≤2. 7. 解:选择:①,②; 令 解不等式①,得x>-2、 解不等式②、得x≤3、 ∴该不等式组的解集为-2<x≤3.(答案不唯一) 基础点14 方程(组)与不等式的实际应用 1.3 【解析】由题意可得数值如解图，列方程：4+m+8=15,解得m=3. 2.0.7x+0.2(7.5-x)+2.88=6.18 3.解：设A，B两种氯化钠溶液各取x克，y克，由题意得 解得 答：取A种氯化钠溶液100克，B种氯化钠溶液50克. 4.解：设口袋公园A平均每平方米的造价为x万元，则口袋公园B平均每平方米的造价为(x-0.02)万元，由题意得 解得x=0.2, 经检验，x=0.2是所列方程的解，且符合题意. 答：口袋公园A平均每平方米的造价为0.2万元. 5.解：设学生步行的速度为x km/h，则牛车的速度是1.5x km/h, ∵学生早出发1h，孔子和学生们同时到达书院， ∴可列方程为 解得x=5, 经检验，x=5是原分式方程的解，且符合题意. 答：学生步行的速度为 5k m/h. 6. B 【解析】设该公司2024年利润增长率为x,则2023年利润增长率为2x,由题意得5 000(1+2x)(1+x)=6600,解得x=0.1=10%或x=-1.6(舍去). 7. 解:由题意得(85-5x)(40-2x)=450×4,解得 (不符合题意，舍去)，答：彩色纸带的宽度为5cm. 8.32 【解析】设每套“文房四宝”降价x元，则每套的利润为(320-x-240)元,即(80-x)元,由题意得 100%≥20%,解得x≤32,∴每套“文房四宝”最多可降价32元. 9.解：方式一：如解图①，分得的两块地宽相等， 设划分给甲作物的土地长为 xm，甲作物单位面积产量为a(a>0),则划分给乙作物的土地长为(300-x) m,乙作物的单位面积产量为2a， 甲作物的产量:a×x×150, 乙作物的产量:2a×(300-x)×150, 则有3×a×x×150>2a×(300-x)×150, 解得x>120, 即划分一块一边长大于100m，一边长为150m的长方形土地种植甲作物，其余的种植乙作物，能确保甲、乙两种作物的产量之比大于1：3； 或方式二：如解图②，分得的两块地长相等， 设划分给甲作物的土地宽为 xm，甲作物单位面积产量为a(a>0),则划分给乙作物的土地宽为(150-x) m,乙作物的单位面积产量为2a， 甲作物的产量:a×x×300, 乙作物的产量:2a×(150-x)×300, 则有3×a×x×300>2a×(150-x)×300, 解得x>60, 即划分一块长为300 m，宽大于60 m的长方形土地种植甲作物，其余的种植乙作物，能确保甲、乙两种作物的产量之比大于1：3.(二选其一即可) 10.解：(1)设A种水果的售价为x元/千克，B种水果的售价为y元/千克， 由题意得 解得 答：A种水果的售价为9元/千克，B种水果的售价为4元/千克； (2)设购进B种水果m千克，则购进A种水果(90-m)千克， 由题意得9(90-m)+4m≥540,解得m≤54,答：最多可以购进B种水果54千克. 学科网（北京）股份有限公司 $$