椭圆的焦点三角形 专项训练——2025届高三数学三轮冲刺

专题：椭圆的焦点三角形——七大题型 一､知识导图 二､基础知识 1.定义：椭圆上的动点与两个焦点构成的三角形叫作焦点三角形 2.椭圆焦点三角形的性质： 性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则，即 . 证明： 性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。 取最大值,根据等面积原理,此时 . 证明：设,由焦半径公式可知：， 在中， = 性质三：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则 证明：设则在中，由余弦定理得： 命题得证。 性质四：焦点三角形的周长L＝2a＋2c. 性质五：直角顶点的讨论:当 时, 取得最大值,若 ,则 , ； 同理,若 ,则 ; 若 ,则 . 在分析直角顶点个数时,当 时, 有四个点 存在; 当 时, 有两个点 存在; 当 时, 无点 存在. (注意: 与 的区别) 性质六：如图，在椭圆中，为左、右焦点，为椭圆上任意一点，，则椭圆的离心率． 证明：在△中， ． 性质七：如图，椭圆的标准方程为，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，的内切圆圆心为，且圆与三边相切于点．设，则有如下性质： ①． ②，其中为椭圆的离心率． 图1 证明：由切线长定理得：，则 ， 又根据椭圆定义得，因此，性质 1 得证． 下面证明性质2． 设的内切圆半径为，由内切圆性质得轴，当点在第一象限时，则．根据切线长定理，①， 根据椭圆的第二定义得到焦半径公式：， ②， 由①②得：． ， ． 当时，，同理， 由得．当时，， ． 综上，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点时性质2恒成立． 三､题型专练 （1）由焦点三角形求离心率 1．已知椭圆的左，右焦点分别为、，过且斜率为的直线l与椭圆C在x轴上方的交点为，的角平分线与线段交于点N，若，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 2．设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线交C于另一点B，的内切圆与相切于点P，若，则椭圆C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 3．已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的点，且，，，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．设椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若到直线的距离为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的右顶点与右焦点分别为A，F，点P在C上，且，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆E：的上、下顶点与左、右焦点分别为A，B，，，且四边形是正方形，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．椭圆（）的两个焦点分别为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 10．（多选）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中）．如图，其中点是相应椭圆的焦点，“果圆”与轴的左、右交点分别为，与轴的上、下交点分别为，若是等边三角形，则（    ） A． B． C．的离心率为 D．的离心率为 （2）焦点三角形的面积 1．由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为分别为的左､右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知、分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 3．（多选）已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且的最小值为，则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个 C．若，则的面积为 D． 4．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别是，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于P、Q两点．则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的短轴长为2 B．三角形面积的最大值是1 C．的取值范围为 D．以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切 5．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为 . 6．已知椭圆，分别为椭圆E的左，右焦点，A，B分别为椭圆E的上、下顶点，且． (1)求椭圆E的方程； (2)已知过的直线与椭圆E交于M，N两点，且直线l不过椭圆四个顶点． （ⅰ）若直线的倾斜角为，求的面积； （ⅱ）若M在x轴上方，直线与直线的斜率分别为，且，求直线l的方程． 7．已知椭圆的左、右焦点为，，若圆的方程为，且圆心满足． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，过与垂直的直线交圆于，两点，为线段中点，若的面积为，求的值． 8．已知椭圆，过右焦点的直线交于A，两点，过点与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为AB，DE的中点.当轴时，，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求定点坐标； (3)设为直线与直线的交点，面积的为，求直线的方程. 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上的动点，且的最小值为，当轴时，的面积等于的离心率. (1)求的方程. (2)已知直线与交于两点. （ⅰ）若直线经过点，的右顶点为，直线的斜率分别为，求证：为定值； （ⅱ）已知点，，且直线分别与交于另一点，求的取值范围. 10．已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. （3）焦点三角形的周长 1．已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，其中O为坐标原点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为 C．面积的最大值为 D．若，则点Q在定直线上 3．（多选）已知椭圆的左，右焦点为，，，分别为它的左右顶点，点为椭圆上的动点（不在轴上），下列选项正确的是（） A．的周长为 B．存在点使得 C．直线与直线的斜率乘积为 D．的最小值为1 4．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点，若的周长为14，则的离心率为 . 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，是上一点，线段的中点分别是．若四边形是周长为6、面积为2的矩形（为坐标原点），则的离心率为 ． 6．短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为 . 7．已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是 . 8．若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . 9．已知椭圆（且）的焦点为为上的一点，若的周长为18，则椭圆的离心率为 ． 10．已知、分别为椭圆C：（）的左、右焦点，C的离心率为，P为C上一点，的周长为6. (1)求C的方程； (2)若P为C的上顶点，过且斜率不为0的直线l交C于A，B两点，交线段于点N，且，求l的方程. （4）焦点三角形的焦点弦、焦半径 1．已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于异于左、右顶点的两点.若是以为斜边的直角三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，离心率为.过点且垂直于的直线与C交于两点，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知椭圆的左、右焦点分别为是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为上一点，且满足.若线段的中垂线过原点O，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知椭圆的右焦点为，若过原点的直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．设分别为椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．（多选）已知曲线，点，则（      ） A．当P为C上的动点时，的取值范围是 B．当P为C上的动点时，的取值范围是 C．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列 D．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为 9．（多选）已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，过点的直线与交于两点，则（   ） A．若的中点在轴上，则 B． C．若，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若的最小值为，则椭圆的离心率为 10．（多选）某同学在学习了椭圆的标准方程后得到启发，借助几何画板画出了平面上到点的距离的倒数之和等于1的点的轨迹，如图所示，则（    ） A． B．的最小值为2 C．当点不在坐标轴上时，点在椭圆的外部 D．当点的坐标为时，随着的增大而增大 （5）焦点三角形中的内切圆、外接圆 1．若，是椭圆（）的左、右焦点，为椭圆上一点（不是顶点），点为的内心，若的面积是面积的3倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，，离心率为，直线l过点与椭圆C交于M，N两点，若x轴上存在一定点P，使得的内切圆圆心在x轴上.则下列结论正确的有（    ） A．椭圆C的方程为 B．的周长为4 C．定点P的坐标为 D．当轴时，的内切圆圆心坐标为 4．（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，为原点，的最大值为，椭圆的离心率为，则（    ） A． B．若，，则的内切圆面积为 C．若轴，则 D．若的面积为，则为直角三角形 5．（多选）给定椭圆上有一动点（不在坐标轴上），分别是椭圆的左右焦点，的内切圆与分别切于两点，则（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．动点的轨迹是一个椭圆 C．直线的斜率之积为常数 D．内切圆的面积无最大值也无最小值 6．已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得，设的内切圆半径为，则的值为 ． 7．已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点. (1)求椭圆的标准方程： (2)当=1时，求弦长； (3)设椭圆的左焦点为，求的内切圆的半径最大时的值. 8．已知椭圆：的右焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)过点且不垂直于y轴的直线与E交于A，B两点，直线与E交于点C（异于A）． （i）证明：为等腰三角形； （ii）若点M是的外心，求面积的最大值． 9．已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点. (1)求的标准方程； (2)过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值. 10．已知椭圆的左，右焦点为，，P为C上一动点，内切圆面积的最大值为，且到直线的距离为3c，过的直线l交C于A，B两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若，探究：是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由； (3)若，直线l与直线相交于点Q，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列． （6）焦点三角形中的角度问题 1．点为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（    ） A． B． C． D． 2．设椭圆C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的一个交点为P，若，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线交于，两点．若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线与在第一象限内交于点，且．设的离心率为，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，.若为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（   ） A． B． C． D．当时，的取值范围是 9．（多选）已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且为的中点，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．点的轨迹方程为 D．的最小值为 10．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任意一点．下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C． D．椭圆上存在点，使得 （7）椭圆的光学性质 1．椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点．焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，这说明圆锥曲线与光有着紧密的联系，圆锥曲线具有丰富的光学性质．例如，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点，设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的，两点反射后回到焦点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题：椭圆的焦点三角形——七大题型解析版 一､知识导图 二､基础知识 1.定义：椭圆上的动点与两个焦点构成的三角形叫作焦点三角形 2.椭圆焦点三角形的性质： 性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则，即 . 证明： 性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。 取最大值,根据等面积原理,此时 . 证明：设,由焦半径公式可知：， 在中， = 性质三：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则 证明：设则在中，由余弦定理得： 命题得证。 性质四：焦点三角形的周长L＝2a＋2c. 性质五：直角顶点的讨论:当 时, 取得最大值,若 ,则 , ； 同理,若 ,则 ; 若 ,则 . 在分析直角顶点个数时,当 时, 有四个点 存在; 当 时, 有两个点 存在; 当 时, 无点 存在. (注意: 与 的区别) 性质六：如图，在椭圆中，为左、右焦点，为椭圆上任意一点，，则椭圆的离心率． 证明：在△中， ． 性质七：如图，椭圆的标准方程为，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，的内切圆圆心为，且圆与三边相切于点．设，则有如下性质： ①． ②，其中为椭圆的离心率． 图1 证明：由切线长定理得：，则 ， 又根据椭圆定义得，因此，性质 1 得证． 下面证明性质2． 设的内切圆半径为，由内切圆性质得轴，当点在第一象限时，则．根据切线长定理，①， 根据椭圆的第二定义得到焦半径公式：， ②， 由①②得：． ， ． 当时，，同理， 由得．当时，， ． 综上，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点时性质2恒成立． 三､题型专练 （1）由焦点三角形求离心率 1．已知椭圆的左，右焦点分别为、，过且斜率为的直线l与椭圆C在x轴上方的交点为，的角平分线与线段交于点N，若，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆的半焦距为， 因为的角平分线， 则在中利用角平分线定理可知，， 因，，则，则， 由椭圆的定义可知，，则， 由直线的斜率为，则， 则在中利用余弦定理可得，， 即，得或（舍）， 则椭圆C的离心率是. 故选：A      2．设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线交C于另一点B，的内切圆与相切于点P，若，则椭圆C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，如图所示，是内切圆与的切点， 因为左、右焦点分别为，，上顶点为A，（椭圆参数关系）， 由，结合对称性、圆的切线性质，令， 且，所以， 所以，可得，故， 故选：C 3．已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 由椭圆的定义可得：， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 化简可得：，解得：， 所以， 又因为，所以， 所以. 故选：D. 4．已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的点，且，，，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以. 连接，，由题及椭圆的定义得，，，. 设， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，得， 所以该椭圆的离心率. 故选：D. 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，由椭圆的对称性可知，， 由椭圆的定义可知， 因为，所以，即， 得（舍去）， 则，在中，， 所以在中，由余弦定理得，得， 所以的离心率. 故选：C 6．设椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若到直线的距离为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知，，，则直线的方程为，即， 又到直线的距离为，则，整理得到， 所以，则，解得或（舍） 故选：D. 7．已知椭圆的右顶点与右焦点分别为A，F，点P在C上，且，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， 设，则，解得， ， 设为C的左焦点，由，得， 又，，因此为等边三角形，， 所以C的离心率为， 故选：B 8．已知椭圆E：的上、下顶点与左、右焦点分别为A，B，，，且四边形是正方形，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，故， 又， 则E的离心率为. 故选：B 9．椭圆（）的两个焦点分别为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设以为边作正三角形与椭圆交于，两点， 则，所以， 由椭圆的定义可得，即， 则离心率. 故选：B. 10．（多选）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中）．如图，其中点是相应椭圆的焦点，“果圆”与轴的左、右交点分别为，与轴的上、下交点分别为，若是等边三角形，则（    ） A． B． C．的离心率为 D．的离心率为 【答案】ABD 【详解】对于A项，，故A正确； 对于B项，，， 因为是等边三角形， 所以， 即，即， 所以，所以，得， 所以， 因为，所以， 即，故B正确； 对于C项，的离心率，故C错误； 对于D项，的离心率，故D正确． 故选：ABD． （2）焦点三角形的面积 1．由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为分别为的左､右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得，则. 因为的面积为，所以，则， 从而，即. 又的离心率为，所以，解得， 从而，则的面积为. 故选：D. 2．已知、分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，    设圆与轴切于点，与切于点，设椭圆与轴正半轴交于点， 下面证明重合， 设， , ，而， 与重合，即点是短轴的端点， ，， 则，所以， 故选：C. 3．（多选）已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且的最小值为，则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个 C．若，则的面积为 D． 【答案】ACD 【详解】因为，的最小值为，即，所以， 则，所以椭圆的方程为； 对于A，当点为椭圆的上、下顶点时，最大，如下图：    由椭圆，则，，在中，， 易知此时，所以的取值范围为，故A正确； 对于B，当点在椭圆的上，下顶点时，满足为等腰三角形， 又因为，， 所以满足的点有个，同理，满足的点有个， 综上可得，满足为等腰三角形的点有个，故B错误； 对于C，设，，则，， 在中，根据余弦定理得， 所以，整理可得， 则，故C正确； 对于D：因为过点的直线与该椭圆相交于，两点， 当过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点时取得最小值， 由，解得，所以，又， 所以，故D正确； 故选：ACD 4．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别是，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于P、Q两点．则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的短轴长为2 B．三角形面积的最大值是1 C．的取值范围为 D．以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切 【答案】ACD 【详解】对于A中，由椭圆，可得，则， 所以椭圆的短轴长为，所以A正确； 对于B中，设，可得，其中， 所以，所以最大面积为，所以B错误； 对于C中，由，且 ， 则 ， 因为，可得，则， 所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，连接，取的中点，连接，且， 以长轴为直径的圆的圆心为，半径为，以为直径的圆的圆心为，半径为, 由椭圆的定义得， 所以以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切，所以D正确. 故选：ACD.    5．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】由，可得，设，则，，， 由，则，即，解得， 所以，， ，即，解得， 所以椭圆的离心率. 故答案为：    6．已知椭圆，分别为椭圆E的左，右焦点，A，B分别为椭圆E的上、下顶点，且． (1)求椭圆E的方程； (2)已知过的直线与椭圆E交于M，N两点，且直线l不过椭圆四个顶点． （ⅰ）若直线的倾斜角为，求的面积； （ⅱ）若M在x轴上方，直线与直线的斜率分别为，且，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）由题意知 椭圆方程为 （2）（ⅰ）设 联立，消去x得 （ⅱ）已知直线的方程为，与椭圆方程联立： 将代入可得. 展开并整理得. 所以. 由韦达定理可得，.   因为，根据斜率公式可得： ，即. 又因为，，所以. 展开得. 移项可得.   将，代入： 因为，等式两边同时除以得. 即. 两边同时乘以得. 移项可得，解得.   把代入得. 整理得. 7．已知椭圆的左、右焦点为，，若圆的方程为，且圆心满足． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，过与垂直的直线交圆于，两点，为线段中点，若的面积为，求的值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，，则， 解得，而，则， 所以椭圆的方程为． （2）如图，设，由消去，得， ，，， 则， 由为线段中点，得， 由，得，则，又点到的距离， 于是， 整理得，解得，此时， 圆心到的距离成立，故. 8．已知椭圆，过右焦点的直线交于A，两点，过点与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为AB，DE的中点.当轴时，，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求定点坐标； (3)设为直线与直线的交点，面积的为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)或. 【详解】（1）由题意可得，解得，， 则椭圆C的标准方程为． （2）B，D在x轴上方，直线l斜率存在且不为0， 设直线，联立椭圆，消去x得：， 由韦达定理得：， ， 则中点， 由，所以以代替m可得， 所以， ， 化简得， 则过定点． 当时，取，，则过定点； 当时，取，，则过定点； 综上直线MN过定点． （3）M，N分别为AB，DE的中点， ， 由（2）知， 以代替m可得， 所以， ，所以或 解得， 所以直线的方程为：或. 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上的动点，且的最小值为，当轴时，的面积等于的离心率. (1)求的方程. (2)已知直线与交于两点. （ⅰ）若直线经过点，的右顶点为，直线的斜率分别为，求证：为定值； （ⅱ）已知点，，且直线分别与交于另一点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）因为的最小值为，所以. 将代入的方程，得，故当轴时，的面积为，得， 则，又，所以， 可得， 故的方程为. （2）（ⅰ）由题可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， ，， 将直线的方程代入的方程，得， 则，得， 则，. 由题意可知，则 ， 故为定值. （ⅱ）当直线中的一条斜率不存在，一条斜率为0时，. 当直线的斜率均存在且不为0时， 设直线的方程为，，， 将直线的方程代入的方程，得， 则，， 同理，，， 所以 . 令，则，， 故. 综上，的取值范围为. 10．已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）如图，设椭圆的焦距为，则， 因为，所以中， 又因为为正三角形，所以，即， 所以椭圆的离心率. （2）由于正三角形的面积为，得到， 解得，，又，得到，故椭圆方程为， 设，且，即， ， 其对称轴为，而，当，即时， 在时取得最大值，； 当，即时， 在时取得最大值，. 综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为. （3）设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则，. 因为点分别在第一、四象限， 所以，即， 故，解得， 得到四边形的面积为， ， 因为，， 所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增， 故，即四边形面积的取值范围为. （3）焦点三角形的周长 1．已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知的周长为. 因为所以， 故的周长为. 故选：A 2．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，其中O为坐标原点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为 C．面积的最大值为 D．若，则点Q在定直线上 【答案】BD 【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， ，， 所以椭圆的离心率，故 A 错误； 的周长为，故B正确； 设，， 联立，整理得， 由，解得， 此时， 所以， 点到直线的距离， 所以的面积 ，当且仅当，即时， 的面积取最大值，故C错误； 设，由，有，即， 因为，所以，故， 于是有，所以点在定直线上，故D正确； 故选：BD. 3．（多选）已知椭圆的左，右焦点为，，，分别为它的左右顶点，点为椭圆上的动点（不在轴上），下列选项正确的是（） A．的周长为 B．存在点使得 C．直线与直线的斜率乘积为 D．的最小值为1 【答案】ABD 【详解】椭圆，则，则， 对于A：因为，所以的周长为，故A正确； 对于B：当在椭圆的短轴顶点时取得最大值， 不妨取，此时， 所以为钝角，所以存在点使得，B正确； 对于C：因为，设， 则，故C错误； 对于D：因为， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ABD 4．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点，若的周长为14，则的离心率为 . 【答案】/ 【详解】因为，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点， 所以的周长为14， 所以，，解得， 故离心率. 故答案为： 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，是上一点，线段的中点分别是．若四边形是周长为6、面积为2的矩形（为坐标原点），则的离心率为 ． 【答案】 【详解】因为，分别是，的中点，是的中点， 根据三角形中位线定理，可得，. 已知四边形是矩形，其周长为，则， 即，所以，进而可得. 由椭圆的定义可知，则. 又因为四边形的面积为，所以， 即，则. 在中，，根据勾股定理可得. 对进行展开：. 已知，，代入上式可得， 即. 解得，而，所以，即，，则. 椭圆的离心率，已知，，所以. 故答案为： 6．短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为 . 【答案】/ 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则， 又离心率为，则，解得， 所以周长为. 故答案为：. 7．已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是 . 【答案】20 【详解】椭圆,所以， 得，则椭圆的右焦点为， 所以直线经过椭圆的右焦点， 由椭圆的定义可知，的周长为 . 故答案为：20. 8．若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . 【答案】20 【详解】如图，设F1为椭圆C的左焦点， 则由椭圆的定义可得的周长为 ， 当共线时，， 当不共线时，， 所以周长的最大值为20. 故答案为：20. 9．已知椭圆（且）的焦点为为上的一点，若的周长为18，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】若的长半轴为3，即，又， 所以的周长小于12，不符题意． 所以的长半轴为，，解得， 所以椭圆， 所以的离心率为． 故答案为： 10．已知、分别为椭圆C：（）的左、右焦点，C的离心率为，P为C上一点，的周长为6. (1)求C的方程； (2)若P为C的上顶点，过且斜率不为0的直线l交C于A，B两点，交线段于点N，且，求l的方程. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）设焦距为2c，依题意，解得，， 所以，所以C的方程为. （2） 依题意，得，，， 则直线的方程为， 设l的方程为，，， 联立，得， 所以，， 联立，得N的纵坐标， 由于，所以，其中为的纵坐标， 因为N，必在A，B之间，所以，即， 所以，解得， 所以l的方程为. （4）焦点三角形的焦点弦、焦半径 1．已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由图可知，， 根据，可设， 则，所以， 由三角形中余弦定理得:, 根据直角三角形有：， 代入上式可得：， 故选：B 2．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于异于左、右顶点的两点.若是以为斜边的直角三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设，则，， 所以，解得， 则，. 在中，，即， 解得. 故选：D. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，离心率为.过点且垂直于的直线与C交于两点，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】 如图，连接因为，即，， 因，则为正三角形. 又，则直线为线段的垂直平分线，故，，且， 故直线的方程为，代入椭圆的方程，得. 设，则，， 则， 解得，则， . 故选：D. 4．已知椭圆的左、右焦点分别为是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由条件可知，，得，，且 所以，且， 设直线的倾斜角为，则， 所以直线的斜率为. 故选：B 5．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为上一点，且满足.若线段的中垂线过原点O，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，且由椭圆定义可知，将代入到中，可得，即，解得，那么. 因为线段的中垂线过原点，所以，又因为，所以，那么是以为直角顶点的直角三角形. 在中，根据勾股定理可得，其中， 将，代入，可得，即，化简可得，即. 因为椭圆的离心率，且，所以. 故选：D. 6．如图，已知椭圆的右焦点为，若过原点的直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，取椭圆的左焦点，连接，，，则四边形为平行四边形. 又，所以四边形为矩形.设，则， 由椭圆的定义知，，. 在中，，即，得； 在中，，即， 所以，所以椭圆的离心率为. 故选：D. 7．设分别为椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】如图，连接，    因为是的中点，是的中点， 所以为的中位线，即， 又由椭圆的定义可得，所以. 故选：A． 8．（多选）已知曲线，点，则（      ） A．当P为C上的动点时，的取值范围是 B．当P为C上的动点时，的取值范围是 C．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列 D．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为 【答案】ABD 【详解】由，得或，则C由椭圆与直线组成， 易知,为椭圆的两个焦点， 若点在椭圆上时，， 若点是原点时，， 曲线上的其他点，则， 所以的取值范围是，A正确； 当点P在直线上时，, 当点P在椭圆上时，， 由，得，B正确. 将代入，得， 设该方程的两个根为，，则，即，且，， 由，得，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为， 则+=，解得，D正确. 当时，介于x1，x2之间，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列， 则，即=，得，显然该方程无实数解，C错误. 故选：ABD 9．（多选）已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，过点的直线与交于两点，则（   ） A．若的中点在轴上，则 B． C．若，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若的最小值为，则椭圆的离心率为 【答案】ABD 【详解】对于A：设的中点为，坐标原点为，由中位线易知， 若的中点在轴上，则与轴垂直，所以与轴垂直， 即为通径长的一半，所以，A正确； 对于B：设，，，， ，， 又， 所以， 所以，B正确， 对于C，若， 则， 即 可得，所以C错误； 由过焦点的弦中垂直于轴的弦最短，则的最小值为， 则有，即，解得， 所以，故D正确． 故选：ABD 10．（多选）某同学在学习了椭圆的标准方程后得到启发，借助几何画板画出了平面上到点的距离的倒数之和等于1的点的轨迹，如图所示，则（    ） A． B．的最小值为2 C．当点不在坐标轴上时，点在椭圆的外部 D．当点的坐标为时，随着的增大而增大 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由题意可知，则， 因，所以， 解得，故A正确； 对于B选项，当时，，故B错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立， 所以若点不在坐标轴上时，，此时点在椭圆的外部， 故C正确； 对于D选项，由，得， 因，， 则，即， 所以， 即， 令， 则， 令，则， 则当增大时，中也增大，即随着的增大而增大，故D正确. 故选：ACD. （5）焦点三角形中的内切圆、外接圆 1．若，是椭圆（）的左、右焦点，为椭圆上一点（不是顶点），点为的内心，若的面积是面积的3倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设内切圆半径为， 则， 又因为，， 所以，即， 所以. 故选：B. 2．设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图： 的外接圆半径：. 设，，所以. 所以. 又，所以. 由得. 又，所以， 又，所以. 故选：B 3．（多选）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，，离心率为，直线l过点与椭圆C交于M，N两点，若x轴上存在一定点P，使得的内切圆圆心在x轴上.则下列结论正确的有（    ） A．椭圆C的方程为 B．的周长为4 C．定点P的坐标为 D．当轴时，的内切圆圆心坐标为 【答案】ACD 【详解】对于A选项，已知，可得.又离心率，则.由，得，所以椭圆方程为，故A正确. 对于B选项，周长为，根据椭圆定义，，，，所以周长是，故B错误 对于C选项，，设，，. 根据题意,设方程，与椭圆方程联立得，由韦达定理，. 因为内心在轴上，所以，即， 即，即， 经化简得，代入韦达定理则，得，解得. 故C正确. 对于D选项，轴时，直线MN方程，代入椭圆方程得. 设内切圆圆心，不妨设直线，根据点到直线距离公式，解得，舍去，故D正确. 故选：ACD. 4．（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，为原点，的最大值为，椭圆的离心率为，则（    ） A． B．若，，则的内切圆面积为 C．若轴，则 D．若的面积为，则为直角三角形 【答案】AD 【详解】易知当点在短轴顶点处时最大，为，此时，，则，所以，A正确； 由A知，当时，，设内切圆半径为，则，则，则的内切圆面积为，B错误；，若轴，则，代入椭圆方程得，则，所以，C错误； 由，得，代入椭圆方程得，则，所以轴或轴，D正确． 故选：AD． 5．（多选）给定椭圆上有一动点（不在坐标轴上），分别是椭圆的左右焦点，的内切圆与分别切于两点，则（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．动点的轨迹是一个椭圆 C．直线的斜率之积为常数 D．内切圆的面积无最大值也无最小值 【答案】ACD 【详解】若是内切圆与轴的切点，，，，， 又，则，即， 所以离心率，A对；    若为延长线与轴的交点，，且，则，故， 由角平分线的性质可得，则， 所以，则， 又，则，故， 所以，故，则且， 所以动点的轨迹是一个不含轴交点的椭圆曲线，不是完整椭圆轨迹，B错；    由上分析，，，则为定值，C对； 由图，由于不在坐标轴上，而内切圆的半径在靠近轴时趋向于0，靠近轴时趋向于， 即内切圆的半径，故其面积不存在最值，D对. 故选：ACD 6．已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得，设的内切圆半径为，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为椭圆的离心率为，长轴长为4，所以， 在中，由余弦定理得 ，因，， 代入解得， 所以， 即，解得． 故答案为： 7．已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点. (1)求椭圆的标准方程： (2)当=1时，求弦长； (3)设椭圆的左焦点为，求的内切圆的半径最大时的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意，椭圆右焦点，即半焦距，又离心率，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，由，消去x得：， 根据韦达定理可知， 根据弦长公式. （3） 设的内切圆半径为，而的周长为，由，得，因此的面积最大时，其内切圆半径最大， 设，直线为， 由消去x得：， 则， 于是， 令，则，， 当且仅当，即时等号成立，此时， 所以的内切圆的半径最大时. 8．已知椭圆：的右焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)过点且不垂直于y轴的直线与E交于A，B两点，直线与E交于点C（异于A）． （i）证明：为等腰三角形； （ii）若点M是的外心，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）依题意可得，解得，所以， 所以椭圆方程为； （2）（i）设直线的方程为，，， 由，整理得， 所以，则， 所以，， 若轴，由，解得，则，此时的斜率，即（不合题意）， 所以、的斜率均存在， 所以， 又， 所以，即， 又因为、均在椭圆上， 由椭圆的对称性可知，即为等腰三角形； （ii）设的中点为，则，， 所以， 所以的垂直平分线为， 令可得，所以， 所以的面积， 令，设，， 所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值， 所以面积的最大值为. 9．已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点. (1)求的标准方程； (2)过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由离心率为，得，令，， 椭圆：过点，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，设直线的方程为，，， 由消去得， ，， ，， 而，，则，解得， 所以.    10．已知椭圆的左，右焦点为，，P为C上一动点，内切圆面积的最大值为，且到直线的距离为3c，过的直线l交C于A，B两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若，探究：是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由； (3)若，直线l与直线相交于点Q，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列． 【答案】(1)； (2)是定值，； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题设，若内切圆面积最大，即其半径最大，此时为椭圆的上(下)顶点， 所以，可得，又，则，且， 所以，故，得，所以，即方程为； （2）令，联立椭圆方程有，整理得， 显然，则，， 故，则 由，则，代入椭圆有，可得， 所以， 此时，， 当时，，，则， 综上，为定值； （3）由题设且，则，即， 显然直线的斜率存在，设，联立， 所以，整理得， 所以，，令，则， 由，，则，且， ， 所以，即，，成等差数列． （6）焦点三角形中的角度问题 1．点为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如下图： 不妨设椭圆的方程为，椭圆的上顶点为. 因为椭圆上存在点，使得，所以需； 在中，由余弦定理得， 又，化简得. 同理可得，椭圆焦点在轴上时，也有，经检验可知选项B满足. 故选：B. 2．设椭圆C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的一个交点为P，若，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为以为直径的圆与C的一个交点为P，所以． 又，所以，， 所以， 所以离心率， 因为，所以， ，， 故． 故选：D 3．已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图： 根据椭圆和双曲线的定义，可得. 又，，所以∽. 所以. 又，， 所以， 当且仅当，即时取“”. 故选：C 4．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线交于，两点．若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】设，， 因为椭圆的离心率，则， 由，则， 即，解得，则，， 又，则， 即， 解得，所以. 故选：B 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图：    设，则，，. 因为，所以. 又，所以. 所以，，. 又. 所以. 所以. 所以. 故选：D 6．已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则， 在中，， 所以，得， 所以， 因为，当且仅当时，取等号， 所以， 所以，所以， 所以，所以，又， 所以. 故选：C 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线与在第一象限内交于点，且．设的离心率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，连接，设与交于点 M. 由，可设，则，其中， 由椭圆的定义，得，从而， 又因为，所以，在中，设， 则为锐角，所以，即， 由余弦定理，得，即，解得. 故选：C. 8．（多选）已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，.若为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（   ） A． B． C． D．当时，的取值范围是 【答案】ABD 【详解】由，，得，. 所以，则正确.； 因为，其中，， 所以，则正确； 对于，将，，，代入，可得，则错误； 对于，因为，所以，即， 化简得，即，即. 令，，则，其中，，取. 因为，，所以，， 所以，，故. 因为，其中，， 所以在上单调递增，故，则正确. 故选：. 9．（多选）已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且为的中点，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．点的轨迹方程为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A选项，将点的坐标代入椭圆方程可得，因为，解得， 由椭圆定义可得，因为，则， ， 因为，且函数在上单调递减， 故的最大值为，A对； 对于B选项，不妨设点，则， 则 ， 因为， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，B错； 对于C选项，设点，则点，设点， 由中点坐标公式可得，则， 因为点在椭圆上，则，即，化简得， 故点的轨迹方程为，C对； 对于D选项，圆的圆心为原点，半径为， 因为，故点在圆外， 所以，， 当且仅当为线段与圆的交点时，取最小值，D对. 故选：ACD. 10．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任意一点．下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C． D．椭圆上存在点，使得 【答案】ACD 【详解】由椭圆方程知：长半轴长，短半轴长，半焦距，，， 对于A，由椭圆定义知：， （当且仅当，即为短轴端点时取等号）， 的最大值为，A正确； 对于B，， 即的最小值为，B错误； 对于C，， ，C正确； 对于D，设，，， ， ，，， 椭圆上存在点，使得，D正确. 故选：ACD. （7）椭圆的光学性质 1．椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线， 由与关于直线对称，得， 则，解得， ， 于是，即，， 因此，所以椭圆的离心率. 故选：D 2．椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点．焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，这说明圆锥曲线与光有着紧密的联系，圆锥曲线具有丰富的光学性质．例如，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点，设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的，两点反射后回到焦点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，由题意知， 所以． 设，所以， 又，所以， 得，所以，． 方法一：对于等腰三角形和，因为， 故，故，即， 化简得， 即，解得（负数舍去）． 方法二：易知， 则有. 化简得：，即，解得（负数舍去）. 故选：D. 3．椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【详解】设，因为，所以， 当时，， 所以在点处的切线的斜率为， 同理可得当时，在点处的切线的斜率为， 所以椭圆在点处的切线的斜率为， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以，故①是真命题； 因为发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点， 所以两次反射后，第一次回到所经过的路程为， 所以，所以，故②是真命题. 故选：. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$