期末提分特训（五）--《一元一次不等式》2024-2025学年苏科版数学七年级下册

2024-2025学年苏科版七年级数学下期末提分特训（五）--《一元一次不等式》 【特训目的】 1.能够准确阐述一元一次不等式及其解、解集的概念，理解不等式的基本性质，区分与等式性质的异同，例如清楚不等式两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号方向要改变。 2.熟练掌握在数轴上正确表示一元一次不等式的解集，包括空心圈与实心点的使用，以及方向的确定 ，准确识别不同解集在数轴上的直观呈现。 3.熟练掌握一元一次不等式的解法，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，正确求解各种形式的一元一次不等式，并保证计算的准确性。 4.学会求解由两个一元一次不等式组成的不等式组，准确找出各个不等式解集的公共部分，掌握利用数轴确定不等式组解集的方法，能够区分“同大取大”“同小取小”“大小小大中间找”“大大小小找不到”等不同情况。 5.学会从实际生活问题中抽象出一元一次不等式或不等式组模型，如根据商品价格、数量关系、资源分配、方案选择等问题中的不等关系，列出相应的不等式（组），培养数学应用意识。 【知识清单】 一．不等式及不等式的性质 1.定义：用不等号“>”“<”“≥”“≤”“≠”表示不等关系的式子叫不等式。 2.解与解集：使不等式成立的未知数的值是不等式的解；一个含有未知数的不等式的所有解组成其解集，解集可用不等式或数轴表示。 3.性质： （1）基本性质 1：若a>b，则a±c>b±c。 （2）基本性质 2：若a>b，c>0，则ac>bc（a/c>b/c）。 （3）基本性质 3：若a>b，c<0，则ac<bc（或a/c}<b/c）。 二．一元一次不等式 1.一般形式：ax + b>0或ax + b<0（a≠0）。 2.解法步骤：去分母（注意不要漏乘，小数先化整数，分子是多项式要加括号）、去括号（注意符号变化）、移项（要变号）、合并同类项、系数化为 1（系数为负时不等号方向改变）。 三．一元一次不等式组 1.概念：关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起组成一元一次不等式组。 2.解集：几个一元一次不等式解集的公共部分就是不等式组的解集。 3.确定方法：数轴法（在数轴上找公共部分）；口诀法（大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小取不了）。 4.一般步骤：求出各不等式解集，在数轴上表示，找出公共部分。 四．一元一次不等式（组）的应用 1.步骤：审（找不等关系）、设、列、解、答（检验并根据实际情况确定答案）。 2.常见类型：行程、工程、利润、和差倍分、银行存贷款、数字、收费、几何等问题。 《一元一次不等式》期末提分特训 （时间 ：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1. 下列各式中，属于一元一次不等式的是( ) A. 3x－2>0 B. 2>－5 C. 3x－2>y＋1 D. 3y＋5< 【答案】A 【解析】根据一元一次不等式的概念，由含有一个未知数的，且未知数的次数为1的整式构成的不等式，因此可知A是一元一次不等式，B没有未知数，C含有两个未知数，D含有分式.故选A 2. 下列说法错误的是（　　） A. 2x＜﹣8的解集是x＜﹣4 B. x＜5的正整数解有无穷个 C. ﹣15是2x＜﹣8的解 D. x＞﹣3的非负整数解有无穷个 【答案】B 【解析】B错误，x＜5 的正整数解为1,2,3,4. 3. 若a＜b＜0，则下列各式错误的是（   ） A. a﹣2＜b﹣2   B. C.   D. 2a﹣1＜2b﹣1 【答案】B 【解析】∵a＜b＜0，∴（1）a-2<b-2，即A成立；（2），即B不成立； （3），即C成立；（4），即D成立.故选B. 4. 如果不等式组有解，那么m的取值范围是（     ） A. m＞5  B. m＜5 C. m≥5  D. m≤5 【答案】B 【解析】∵不等式组有解，∴m≤x＜5，∴m＜5．故选B． 5．对于任何有理数a，b，c，d，规定 ＝ad－bc.若 ＜8，则x的取值范围是(　　) A. x＜3 B. x＞0 C. x＞－3 D. －3＜x＜0 【答案】C 【解析】∵ ＝ad－bc，∴ =2x•(-1)-2×(-1)=-2x+2， 又∵ ＜8， ∴-2x+2＜8，∴x＞－3， 故选C. 6. 如果一元一次不等式组 的解集为x＞3，则a的取值范围是（   ） A. a＞3 B. a≥3 C. a＜3 D. a≤3 【答案】D 【解析】∵不等式组不等式组 的解集为x＞3，∴.故选D. 7. 如果关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，那么该不等式组的解集为（ ） A. x≥﹣1 B. x＜2 C. ﹣1≤x≤2 D. ﹣1≤x＜2 【答案】D 【解析】 由数轴可知，该不等式组的解集为﹣1≤x<2 ，故选D. 第7题图 第8题图 8. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A的质量m克的取值范围表示在数轴上为（ ） A. B. C.C. D. 【答案】C 【解析】根据题意，知2＜A＜3．故选C． 9. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由不等式得：，由不等式得：，不等式组的解集是，在数轴上表示为：故选：D． 10. 若不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵x＜1且不等式组恰有两个整数解，∴其整数解为0、-1，∴-2＜m-1≤-1，∴-1＜m≤0．故选：A． 二．填空题（共30分） 11. 用代数式表示，比x的5倍大1的数不小于x的与4的差___________. 【答案】5x+1≥ 【解析】由题意得：5x+1≥x－4.故答案为5x+1≥x－4. 12. 若(m-3)x<3-m解集为x>-1,则m______． 【答案】<3 【解析】由题意得：m－3＜0，即m＜3.故答案为＜3. 13．已知3x＋4≤2(3＋x)，则|x＋1|的最小值为________． 【答案】0 【解析】解不等式3x＋4≤2(3＋x)，得：x≤2，所以，当x=-1时，|x+1|有最小值为0，故答案为：0. 14. 如果不等式组有解，则的解集为______ ． 【答案】x＜1-b 【解析】∵不等式组有解，∴a<b，∴1-a>1-b.∴的解集为. 故答案为. 15. 不等式组的最小整数解是__________． 【答案】-3 【解析】，由①得x>．由②得x<，所以原不等式组的解集为<x<，所以不等式组的最小整数解为-3．故答案为：-3． 16. 若关于x的不等式组有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是______ ． 【答案】12＜a≤14 【解析】，解①得，x>2，解②得，x<. ∵不等式组有且只有四个整数解，∴，∴12＜a≤14.故答案为12＜a≤14. 17．已知关于x的方程＝m的解满足(0<n<3)，若y>1，则m的取值范围是_________． 【答案】<m< 【解析】　解方程组，得∵y>1，∴2n－1>1，即n>1．又∵0<n<3，∴1<n<3．∵m＝，x＝n＋2，∴n＝－2，∴1<－2<3，解得<m<． 18. 某次个人象棋赛规定：赢一局得2分，平一局得0分，负一局反扣1分，在12局比赛中，积分超过15分就可以晋升下一轮比赛，而且在全部12轮比赛中，没有出现平局，小王最多输_______局比赛． 【答案】2 【解析】设小王输了x局，则赢了（12－x）局，由题意得，（12－x）×2－x×1＞15，解得：x＜3，∵x的解应为最大正整数解，∴x＝2．即：小王最多输了2局．故答案是：2． 19.某市某化工厂现有A种原料52 kg，B种原料64 kg，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A种原料3 kg，B种原料2 kg；生产1件乙种产品需要A种原料2 kg，B种原料4 kg，则生产方案的种数为_________. 【答案】 5 C． 6　　 D． 6 【解析】设生产甲产品x件，则生产乙产品(20－x)件，由题意，得 解得8≤x≤12．∵x为整数，∴x＝8，9，10，11，12，∴共有5种生产方案． 20．设[x)表示大于x的最小整数，如[3)＝4，[－1.2)＝－1，有下列结论：①[0)＝0；②[x)－x的最小值是0；③[x)－x的最大值是1；④存在实数x，使[x)－x＝0.5成立．其中正确的是_______(填序号)． 【答案】③④ 【解析】易得x＜[x)≤x＋1，由此进行判断：[0)＝1，故①错误．[x)－x＞0，但是取不到0，故②错误. [x)－x≤1，即最大值为1，故③正确．当x＝0.5时，[x)－x＝1－0.5＝0.5，故④正确．综上所述，③④正确． 三．解答题（60分） 21.（12分） 解下列不等式(组) （1）5(x+2)≥1-2(x-1)； （2）； （3）； （4） 解： (1) 5(x+2)≥1-2(x-1)，去括号得5x+10≥1−2x+2，移项得5x+2x≥1+2−10，合并得7x≥−7，系数化为1得x≥−1； (2) 解①得y<8，解②得y≥2，所以不等式组的解集为：2≤y<8，(3)，去分母得x−4−6<5x+2，移项、合并得−4x<12，系数化为1得x>−3； (4)解①得x>2.5;解②得x≤4;所以不等式组的解集为：2.5<x≤4. 22.（6分）【提出问题】已知x-y=2,且x>1,y<0,试确定x+y的取值范围. 【分析问题】先根据已知条件用一个量y表示另一个量x,然后根据题中已知量x的取值范围,构建关于另一个量y的不等式,从而确定该量y的取值范围,同法再确定另一未知量x的取值范围,最后利用不等式的性质即可获解. 解:因为x-y=2,所以x=y+2.因为x>1,所以y+2>1,所以y>-1.又因为y<0,所以-1<y<0.① 同理,得1<x<2,②由①+②,得-1+1<y+x<0+2,所以x+y的取值范围是0<x+y<2. 【尝试应用】已知x-y=-3,且x<-1,y>1,求x+y的取值范围. 解:因为x-y=-3,所以x=y-3.因为x<-1,所以y-3<-1,所以y<2.又因为y>1,所以1<y<2.① 同理,得-2<x<-1,②由①+②,得1-2<y+x<2-1,所以x+y的取值范围是-1<x+y<1. 23．(8分)我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2．5]＝2，[3]＝3，[－2．5]＝－3；用〈a〉表示大于a的最小整数，例如：〈2．5〉＝3，〈4〉＝5，〈－1．5〉＝－1．解决下列问题： (1)[－4．5]＝____，〈3．5〉＝_ __． (2)若[x]＝2，则x的取值范围是________；若〈y〉＝－1，则y的取值范围是________． (3)已知x，y满足方程组求x，y的取值范围． 解：（1）-5； 4； （2）2≤x<3； －2≤y<－1 (3)解得∴－1≤x<0，2≤y<3． 24. （10分）对x，y定义一种新运算，规定(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例：. 已知，， (1)求a，b的值； (2)若关于m不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围． 解:（1）由，，得，， 整理得：，解得，即a，b的值分别为1，3； （2）由（1）得，则不等式组化为 解得.∵不等式组恰好有3个整数解，∴，解得． 25. （12分）为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如右表：经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元. (1)请你设计该企业有几种购买方案； (2)若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案； (3)在第(2)问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？(注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费) A型 B型 价格(万元/台) 12 10 处理污水量(吨/月) 240 200 年消耗费(万元/台) 1 1 解:（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型（10-x）台．12x+10（10-x）≤105，解得x≤2.5．∵x取非负整数，∴x可取0，1，2．有三种购买方案：购A型0台、B型10台；A型1台，B型9台；A型2台，B型8台； （2）240x+200（10-x）≥2040，解得x≥1，所以x为1或2．当x=1时，购买资金为：12×1+10×9=102（万元）；当x=2时，购买资金为12×2+10×8=104（万元）， 所以为了节约资金，应选购A型1台，B型9台； （3）10年企业自己处理污水的总资金为：102+1×10+9×10=202（万元），若将污水排到污水厂处理：2040×12×10×10=2448000（元）=244.8（万元）．节约资金：244.8-202=42.8（万元）． 26．(12分)某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．去年5月份A款汽车的售价比前年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，前年销售额为100万元，去年销售额只有90万元． (1)去年5月份A款汽车每辆售价是多少万元？ (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7．5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，则该汽车销售公司共有几种进货方案？ (3)如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元．若要使(2)中所有的方案获利相同，则a的值应是多少？此时哪种方案对公司更有利？ 解:(1)设去年5月份A款汽车每辆售价是m万元，则 ＝，解得m＝9．经检验，m＝9是原方程的解，且符合题意．答：去年5月份A款汽车每辆售价是9万元． (2)设购进A款汽车x辆，则购进B款汽车(15－x)辆．由题意，得99≤7．5x＋6(15－x)≤105， 解得6≤x≤10．∵x为自然数，∴x＝6或7或8或9或10，∴该汽车销售公司共有5种进货方案． (3)设总获利为W元，则W＝(9－7．5)x＋(8－6－a)(15－x)＝(a－0．5)x＋30－15a．当a＝0．5时，(2)中所有方案获利相同．此时总成本＝7．5x＋(6＋a)(15－x)＝(x＋97．5)万元，故当x取6时，总成本最少．故购买A款汽车6辆，B款汽车9辆对公司更有利． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版七年级数学下期末提分特训（五）--《一元一次不等式》 【特训目的】 1.能够准确阐述一元一次不等式及其解、解集的概念，理解不等式的基本性质，区分与等式性质的异同，例如清楚不等式两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号方向要改变。 2.熟练掌握在数轴上正确表示一元一次不等式的解集，包括空心圈与实心点的使用，以及方向的确定 ，准确识别不同解集在数轴上的直观呈现。 3.熟练掌握一元一次不等式的解法，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，正确求解各种形式的一元一次不等式，并保证计算的准确性。 4.学会求解由两个一元一次不等式组成的不等式组，准确找出各个不等式解集的公共部分，掌握利用数轴确定不等式组解集的方法，能够区分“同大取大”“同小取小”“大小小大中间找”“大大小小找不到”等不同情况。 5.学会从实际生活问题中抽象出一元一次不等式或不等式组模型，如根据商品价格、数量关系、资源分配、方案选择等问题中的不等关系，列出相应的不等式（组），培养数学应用意识。 【知识清单】 一．不等式及不等式的性质 1.定义：用不等号“>”“<”“≥”“≤”“≠”表示不等关系的式子叫不等式。 2.解与解集：使不等式成立的未知数的值是不等式的解；一个含有未知数的不等式的所有解组成其解集，解集可用不等式或数轴表示。 3.性质： （1）基本性质 1：若a>b，则a±c>b±c。 （2）基本性质 2：若a>b，c>0，则ac>bc（a/c>b/c）。 （3）基本性质 3：若a>b，c<0，则ac<bc（或a/c}<b/c）。 二．一元一次不等式 1.一般形式：ax + b>0或ax + b<0（a≠0）。 2.解法步骤：去分母（注意不要漏乘，小数先化整数，分子是多项式要加括号）、去括号（注意符号变化）、移项（要变号）、合并同类项、系数化为 1（系数为负时不等号方向改变）。 三．一元一次不等式组 1.概念：关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起组成一元一次不等式组。 2.解集：几个一元一次不等式解集的公共部分就是不等式组的解集。 3.确定方法：数轴法（在数轴上找公共部分）；口诀法（大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小取不了）。 4.一般步骤：求出各不等式解集，在数轴上表示，找出公共部分。 四．一元一次不等式（组）的应用 1.步骤：审（找不等关系）、设、列、解、答（检验并根据实际情况确定答案）。 2.常见类型：行程、工程、利润、和差倍分、银行存贷款、数字、收费、几何等问题。 《一元一次不等式》期末提分特训 （时间 ：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1. 下列各式中，属于一元一次不等式的是( ) A. 3x－2>0 B. 2>－5 C. 3x－2>y＋1 D. 3y＋5< 2. 下列说法错误的是（　　） A. 2x＜﹣8的解集是x＜﹣4 B. x＜5的正整数解有无穷个 C. ﹣15是2x＜﹣8的解 D. x＞﹣3的非负整数解有无穷个 3. 若a＜b＜0，则下列各式错误的是（   ） A. a﹣2＜b﹣2   B. C.   D. 2a﹣1＜2b﹣1 4. 如果不等式组有解，那么m的取值范围是（     ） A. m＞5  B. m＜5 C. m≥5  D. m≤5 5．对于任何有理数a，b，c，d，规定 ＝ad－bc.若 ＜8，则x的取值范围是(　　) A. x＜3 B. x＞0 C. x＞－3 D. －3＜x＜0 6. 如果一元一次不等式组 的解集为x＞3，则a的取值范围是（   ） A. a＞3 B. a≥3 C. a＜3 D. a≤3 7. 如果关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，那么该不等式组的解集为（ ） A. x≥﹣1 B. x＜2 C. ﹣1≤x≤2 D. ﹣1≤x＜2 第7题图 第8题图 8. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A的质量m克的取值范围表示在数轴上为（ ） A. B. C.C. D. 9. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 10. 若不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二．填空题（共30分） 11. 用代数式表示，比x的5倍大1的数不小于x的与4的差___________. 12. 若(m-3)x<3-m解集为x>-1,则m______． 13．已知3x＋4≤2(3＋x)，则|x＋1|的最小值为________． 14. 如果不等式组有解，则的解集为______ ．. 15. 不等式组的最小整数解是__________． 16. 若关于x的不等式组有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是______ ． 17．已知关于x的方程＝m的解满足(0<n<3)，若y>1，则m的取值范围是_________． 18. 某次个人象棋赛规定：赢一局得2分，平一局得0分，负一局反扣1分，在12局比赛中，积分超过15分就可以晋升下一轮比赛，而且在全部12轮比赛中，没有出现平局，小王最多输_______局比赛． 19.某市某化工厂现有A种原料52 kg，B种原料64 kg，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A种原料3 kg，B种原料2 kg；生产1件乙种产品需要A种原料2 kg，B种原料4 kg，则生产方案的种数为_________. 20．设[x)表示大于x的最小整数，如[3)＝4，[－1.2)＝－1，有下列结论：①[0)＝0；②[x)－x的最小值是0；③[x)－x的最大值是1；④存在实数x，使[x)－x＝0.5成立．其中正确的是_______(填序号)． 三．解答题（60分） 21.（12分） 解下列不等式(组) （1）5(x+2)≥1-2(x-1)； （2）； （3）； （4） 22.（6分）【提出问题】已知x-y=2,且x>1,y<0,试确定x+y的取值范围. 【分析问题】先根据已知条件用一个量y表示另一个量x,然后根据题中已知量x的取值范围,构建关于另一个量y的不等式,从而确定该量y的取值范围,同法再确定另一未知量x的取值范围,最后利用不等式的性质即可获解. 解:因为x-y=2,所以x=y+2.因为x>1,所以y+2>1,所以y>-1.又因为y<0,所以-1<y<0.① 同理,得1<x<2,②由①+②,得-1+1<y+x<0+2,所以x+y的取值范围是0<x+y<2. 【尝试应用】已知x-y=-3,且x<-1,y>1,求x+y的取值范围. 23．(8分)我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2．5]＝2，[3]＝3，[－2．5]＝－3；用〈a〉表示大于a的最小整数，例如：〈2．5〉＝3，〈4〉＝5，〈－1．5〉＝－1．解决下列问题： (1)[－4．5]＝____，〈3．5〉＝_ __． (2)若[x]＝2，则x的取值范围是________；若〈y〉＝－1，则y的取值范围是________． (3)已知x，y满足方程组求x，y的取值范围． 24. （10分）对x，y定义一种新运算，规定(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例：. 已知，， (1)求a，b的值； (2)若关于m不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围． 25. （12分）为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如右表：经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元. (1)请你设计该企业有几种购买方案； (2)若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案； (3)在第(2)问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？(注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费) A型 B型 价格(万元/台) 12 10 处理污水量(吨/月) 240 200 年消耗费(万元/台) 1 1 26．(12分)某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．去年5月份A款汽车的售价比前年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，前年销售额为100万元，去年销售额只有90万元． (1)去年5月份A款汽车每辆售价是多少万元？ (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7．5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，则该汽车销售公司共有几种进货方案？ (3)如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元．若要使(2)中所有的方案获利相同，则a的值应是多少？此时哪种方案对公司更有利？ 学科网（北京）股份有限公司 $$