19.3.1正方形的性质及判定课件 2024-2025学年华东师大版数学八年级下册

华师大版 八年级 下册 第19章 矩形.菱形.正方形 19.3.1 正方形的性质 教材P118第4、5、6题 课前抽测 展 我们已经学习了哪些特殊的平行四边形？它们的定义是什么？ 情景引入 导 有一个角是直角 有一组邻边相等 平行四边形 矩形 菱形 平行四边形 思考：如果矩形的边特殊化或者菱形的角特殊化，又会产生什么图形呢？ 自主学习（阅读教材第119，120页） 议 问题2 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系 问题3 正方形的性质是什么？ 8分钟 问题4 正方形的判定是什么？ 问题1 正方形的定义是什么？ 析 1.定义：①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行 四边形叫做正方形 ②有一组邻边相等的矩形是正方形 ③有一个角是直角的菱形是正方形 析 2.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 析 边 对角线 对边平行，四边相等 对角线相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 四个角都是直角 角 正方形性质 3.正方形具有矩形、菱形所有的性质 对称性 轴对称，中心对称 （1）已知边长：周长=边长×4， 面积=边长×边长。 （2）已知对角线长a：周长= ， 面积= 。 3、正方形周长与面积的计算 析 4.正方形的判定 _______________的菱形是正方形 _________________的矩形是正方形 1.定义法 3.菱形法 2.矩形法 有一组邻边相等且有一个角是直角的的平行四边形是正方形 有一个角是直角 有一组邻边相等 例1 如图，点E是正方形ABCD的边CD上的一点，点F是CB延长线上的一点，且EA⊥AF.求证：DE=BF. 典例精析 练 3分钟 例2 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，BPC是等边三角形.求BPD的面积.(精确到0.01) 典例精析 练 3分钟 例3 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N. (1)求证：∠ADB＝∠CDB； (2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形． 典例精析 练 5分钟 证明：(1)∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD. 又∵BA＝BC，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SAS)， ∴∠ADB＝∠CDB； (2)∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD＝∠PND＝90°. 又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形． ∵∠ADB＝∠CDB，∴PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN， ∴四边形MPND是正方形． 例4：如图，过正方形ABCD内的任意一点O，作两条互相垂直的直线，它们被两组对边截得的线段为EF、GH，则有EF与GH相等吗？ A B C F D G O 推论：过平面内任意一点，作两条互相垂直的直线， 它们被正方形的两组对边截得的线段相等。 E M ┐ H N ┐ 1 2 3 4 ∠EMF=∠GNH=900 EM=NH ∠3=∠4 辅助线：过E作EM∥BC H作HN∥DC (∠1=∠2 ∠1+∠4=90 ∠2+∠3=90） 1.下列说法不正确的是（ ） A.四条边相等的四边形是正方形 B.邻角相等的菱形是正方形 C.两条对角线相等的菱形是正方形 D.对角线垂直的矩形是正方形 当堂检测 2.正方形具有而菱形不具有的性质是（ ） A.对角线互相垂直 B.四条边都相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 3.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A.四个角相等. B.对角线互相垂直. C.对角互补. D.对角线相等. B A C 对边平行且相等 每条对角线平分一组对角 对角线相等 对角线互相垂直 对角线互相平分 四个角都是直角 对角相等 四条边都相等 性质 正方形 菱形 矩形 平行四边形 图形 4.根据图形所具有的性质，在下表相应的表格中打“√” 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 课堂小结 2、周长为20cm的正方形,边长是 对角线长是 面积是 。 1）一组邻边相等,一个角是直角的四边形是正方形。 2）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 自我检测 1、下列说法对吗？ 5㎝ 25cm2 A B C D O 3、如图，有 个等腰直角三角形 8 5√2 cm 4、在下列性质中，平行四边形具有的是_______，矩形具有的是_________，菱形具有的是_______，正方形具有的是_______________。 （1）四边都相等； （2）对角线互相平分； （3）对角线相等； （4）对角线互相垂直； （5）四个角都是直角； （6）每条对角线平分一组对角； （7）对边相等且平行； （8）有两条对称轴。 5、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF. （1）AE与BF相等吗？为什么？ （2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。 $$