1.2 直角三角形（第2课时） （课件）2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 第2节 直角三角形（第2课时） 学前准备 1．如右图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90° （1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是_______. （2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是_______. （3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是_______. （4）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是________. （5）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是_______. 2．等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则面积为 cm2． 学前准备 （2）两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三 角形全等吗？ （3）如果其中一组等边所对的角是直角呢？ 不一定全等. 思考：（1）我们学过的判定三角形全等的方法？ SSS、 SAS、 ASA 、AAS. 这节课我们一起来探索并证明直角三角形全等的判定. 学习目标 1.通过经历直角三角形全等的“HL”的判定定理探索过程，进一步体会证明的必要性，会运用“HL”定理解决实际问题，发展数学思维能力。 2.通过用尺规完成作图：已知一条直角边和斜边作直角三角形.发展动手操作能力。 任务一：利用尺规作直角三角形（指向目标一） 自主学习：任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？ 作法： (1)画∠MC′N＝90°； (2)在射线C′M上截取B′C′＝BC； (3)以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′； (4)连接A′B′. 则△A′B′C′即为所求作的三角形(如图)． 讲授新课 画图思路 （1）先画∠M C′ N=90° A B C M C′ N 讲授新课 画图思路 （2）在射线C′M上截取B′C′=BC M C′ A B C N B′ M C′ 讲授新课 画图思路 （3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′ M C′ A B C N B′ A′ 讲授新课 画图思路 （4）连接A′B′ M C′ A B C N B′ A′ 思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？ 猜想： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 1．分析命题： 条件：两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等； 结论：这两个直角三角形全等． 2．数学语言： 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AB＝A′B′； 求证：△ABC≌△A′B′C′. 证明：在△ABC中， ∵∠C＝90° ∴BC2＝AB2－AC2 同理，B′C′2＝A′B′2－A′C′2 ∵AB＝A′B′，AC＝A′C′ ∴BC＝B′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS) 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(HL)． 符号表示： 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∠C＝∠C′＝90° ∵AC＝A′C′，AB＝A′B′(已知) ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL) 通过以上证明，我们得到判定直角三角形全等的一种新方法： 1．判断下列命题的真假，并说明理由： （1）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等； （2）斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等； （3）两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等； （4）一条直角边和另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等． 2.如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，证明△ABC≌△ABD， 若利用“AAS”，则需要加条件 _或 ； 若利用“HL”，则需要加条件 或 ． 反馈练习1 例　如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠EFD的大小有什么关系？ 解：根据题意，可知∠BAC＝∠EDF＝90° BC＝EF，AC＝DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL) ∴∠ABC＝∠DEF ∵∠DEF＋∠EFD＝90° ∴∠ABC＋∠EFD＝90° 任务二：利用“HL’’定理解决实际问题（指向目标二） 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由. 反馈练习2 课堂小结 1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？ （1）定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(HL)． （2）符号表示： 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°， ∵AC＝A′C′，AB＝A′B′(已知)， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL). 1.已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E.F，且DE=DF， 求证：△ABC是等腰三角形 证明：∵ D是△ABC的BC边的中点 ∴BD=CD ∵ DE⊥AC，DF⊥AB ∴∠1=∠2=90° ∵BD=CD,DE=DF ∴Rt△BDF≌Rt△CDE (HL) ∴∠B=∠C ∴△ABC是等腰三角形 1 2 作业与检测 A组---夯实基础题 2.已知：如图，AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为EF，且DE=BF，求证：（1）AE=CF（2）AB∥CD 证明：（1）∵ DE⊥AC，BF⊥AC ∴∠1=∠2=90° ∵AB=CD,DE=BF ∴Rt△ABF≌Rt△CDE (HL) ∴AF=CE ∴AF-EF=CE-EF 即AE=CF (2) ∵Rt△ABF≌Rt△CDE (HL) ∴∠A=∠C ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行) 1 2 3.用三角尺可以作角平分线：如图，在已知∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，使OM＝ON；再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线.(检测目标2） 请你证明：OP平分∠AOB. B组---拓展能力题 课堂小结 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. “斜边、直角边” 在直角三角形中 内容 前提条件 在直角三角形中，只要有两边对应相等，则直角三角形全等 使用方法 同学们，再见！ $$