1.2 直角三角形（2）课件 2023--2024学年北师大版八年级数学下册

第一章:三角形的证明 1.2直角三角形(2) 学习目标 ①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的重要性。 ②利用“HL”定理解决实际问题。 复习导入 全等三角形的判定 公理：三边对应相等的两个三角形全等。（SSS） 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS） 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA） 推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS） 复习导入 两边及其中一边的对角相等的两个三角形全等？ 想一想 不一定全等 如果将其中的一边所对的角是变成直角呢？ 猜想：如果其中一边的所对的角是直角，那么这两个三角形全等。 那你能来证明这些结论吗？ 在一个普通的直角三角形中， 它未必全等；但是在直角三角形中，它一定全等。 新课讲解 命题：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。 全等 不全等 不一定全等 证明这是一个假命题，只需要举一个反例便可以。 新课讲解 两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。但是,如果其中一边所对的角是直角，那么这两个三角形全等。 A C B A′ C′ B′ 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，AC=A′C′,AB=A′B′,∠C=∠C′=90°. 求证：△ABC≌△A′B′C′ 证明：在Rt△ABC中，AC2=AB2－BC2(勾股定理)． 又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' 2=A'B'2－B'C'2 (勾股定理) AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'． ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)． ①直角三角形全等的判定定理——文字语言 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等。（斜边、直角边 or HL） ②直角三角形全等的判定定理——符号语言 如图，在△ABC和△A′B′C′中∵AC=A′C′,AC=A′C′,AB=A′B′,∠C=∠C′=90°. ∴△ABC≌△A′B′C′（HL） ③直角三角形全等的判定定理——图形语言 分析：要证明△ABC≌△A′B′C′，只要能满足公理（SAS）（SSS）（ASA）和推论（AAS），由已知和根据勾股定理易知，第三边也对应相等。. 做 已知：如图，线段a,c（a<c），直角𝜕。 求作：Rt△ABC,使∠C=∠𝜕,BC=a，AB=c。 已知一条直角边和斜边，求做一个直角三角形。 a c 𝜕 作法如下： ①作∠MCN=∠𝜕=90° C M N ②在射线CM上截取BC=a ③以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A。 ④连接AB，得△ABC。 B A 如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来． D C A O B 从添加角来说，可以添加： ∠CBA=∠DAB或∠CAB=∠DBA； 从添加边来说，可以： AC=BD，也可以是BC=AD． 议 如果AD，BC交于点O，图中还有全等的三角形吗？ 注意，这里暗含了一AB是三角形ABC和三角形ABD的一个公共边。 如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，OA=OB 求证：△ACB≌△BDA． D C A O B 议 证明：在Rt△ACO和Rt△BDO中 ∵AO=BO，∠ACB=∠BDA=90° ∠AOC=∠△BOD(对顶角相等)， ∴△ACO≌△BDO(AAS)． ∴AC=BD． 又∵AB=AB， ∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL) 即△ACB≌△BDA 如果把条件“OA=OB”改写成“OC=OD”，也可以使△ACB≌△BDA． 注意，这里暗含了一AB是三角形ABC和三角形ABD的一个公共边。 练 1.判断下列命题的真假，并说明理由。 两锐角分别相等的两个直角三角形全等。 斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等。 两直角边别相等的两个直角三角形全等。 一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直加三角形全等。 假 真 真 真 练 如图，在△ABC和△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是高，并且AC=A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'． 求证：△ABC≌△A'B'C' ． 证明：∵CD、C‘D’分别是△ABC和△A'B'C'的高 ∴∠ADC=∠A'D'C'=90°． 在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中， AC=A'C'（已知），CD=C'D'（已知）， ∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C' (HL)． ∴∠A=∠A'(全等三角形的对应角相等)． 在△ABC和△A'B'C'中， ∠A=∠A' ，AC=A'C' ，∠ACB=∠A'C'B' ， ∴△ABC≌△A'B'C' (ASA)． ' C C A D B ' ' ' B D A 小结 1定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等。（斜边、直角边 or HL） 2.三角形全等的判定方法: （1）通用：SSS；SAS；AAS；ASA （2）直角三角形：HL ①一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等。 ②两边对应相等的两个直角三角形全等。 注意： 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。 【SSA是“妖精”】 作业 下节课课前备物品 ①尺子 ②圆规 谢谢 在知识海洋遨游完的“我们”! $$