2025届山东省济宁市高考三模数学试题

2025年高考模拟考试 数学试题参考答案 2025.05 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。 1.C 2.C 3.D 4.B 5.D 6.A 7.B 8.A 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。 9.BC 10.BCD 11.ACD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 5 13. 60 14. 8 四、解答题:本题共5小题,共77分。 15.解:(1)由正弦定理得sinA=4sinCsinAsinB-2sinAcosB-C , 2分…………………… 因为A∈ 0,π ,所以sinA≠0, 所以1=4sinCsinB-2cosB-C , 3分……………………………………………………… 由两角差的余弦公式得1=2sinBsinC-2cosBcosC, 所以cosB+C =- 1 2 ,即cosA= 1 2 , 5分…………………………………………………… 所以A= π 3. 6 分………………………………………………………………………………… (2)由正弦定理得 c b= sinC sinB= sinB+ π 3 sinB = 1 2sinB+ 3 2cosB sinB = 3 2 cosB sinB+ 1 2= 3 2tanB+ 1 2 8 分………………………………………… 因为△ABC 为锐角三角形, 所以 0<B< π 2 0< 2π 3-B< π 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 ,即π 6<B< π 2 , 10分…………………………………………………… 所以tanB> 3 3 , 11分…………………………………………………………………………… 所以c b= 3 2tanB+ 1 2∈ 1 2 ,2 综上,c b 的取值范围为 1 2 ,2 . 13分…………………………………………………………… 16.(1)因为AE⊥平面ABCD,所以AE⊥AC, 1分……………………………………………… 又因为∠BAC= π 2 ,即AB⊥AC,且AE∩AB=A,AE⊂平面ABFE,AB⊂平面ABFE, 所以AC⊥平面ABFE,. 3分………………………………………………………………… )页4共(页1第 案答考参题试学数 所以四棱锥C-ABFE 的体积为 1 3× 1 2× 2+4 ×2×2=4 ,. 5分………………………… 因为AE⊥平面ABCD, 所以三棱锥E-ACD 的体积为 1 3× 1 2×2× 2×sin π 4×4= 4 3 , 6分……………………… 所以多面体ABCDEF 的体积为4+ 4 3= 16 3. 7 分…………………………………………… (2)以A 为原点,以AB,AC,AE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴, 建立如图所示空间直角坐标系,. 8分………………………………………………………… 则B 2,0,0 ,C 0,2,0 ,D -1,1,0 ,E 0,0,4 ,F 2,0,2 , 所以CE→= 0,-2,4 ,CF→= 2,-2,2 ,CD→= -1,-1,0 . 9分…… 设平面CEF 的法向量为n= x,y,z , 则 CE→·n=-2y+4z=0 CF→·n=2x-2y+2z=0 ,即 y=2zx-y+z=0 , 不妨令z=1,则y=2,x=1,所以n= 1,2,1 , 11分………………… 同理,平面CDE 的法向量为m= -2,2,1 , 13分…………………… 设平面CEF 与平面CDE 的夹角为θ, 所以cosθ= m·n m n = 3 3× 6 = 6 6. 15 分…………………………………………………… 17.解:(1)函数的定义域为(0,+∞) 1分………………………………………………………… f'(x)= 1 x- a-1 x2 = x-(a-1) x2 2分…………………………………………………………… ①当a-1≤0,即a≤1时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增 3分…………………… ②当a-1>0,即a>1时,x∈(0,a-1)时,f'(x)<0,f(x)在(0,a-1)上单调递减, x∈(a-1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(a-1,+∞)上单调递增 5分……………………… 综上,当a≤1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>1时,f(x)在(0,a-1)上单调递减,f(x)在(a-1,+∞)上单调递增. 6分… (2)当a≤1时,x→0,f(x)→-∞,显然不成立 7分………………………………………… 当a>1时,由(1)知,x=a-1时,f(x)min=ln(a-1)+1 8分………………………… 所以,f(x)>a-2等价于ln(a-1)+1>a-2,即ln(a-1)-a+3>0 9分……………… 令g(a)=ln(a-1)-a+3,a∈(1,+∞) g'(a)= 1 a-1-1= 2-a a-1 10 分………………………………………………………………… 所以,a∈(1,2)时,g'(a)>0,g(a)在(1,2)上单调递增; a∈(2,+∞)时,g'(a)<0,g(a)在(2,+∞)上单调递减 11分……………………… 又a→1时g(a)→-∞,g(2)=1>0,g(4)=ln3-1>0,g(5)=ln4-2<0 13分………… 所以,存在实数a1∈(1,2),a2∈(4,5),使得g(a1)=g(a2)=0 14分……………………… 所以,g(a)>0时,a∈(a1,a2). 所以,整数a 的取值集合为 2,3,4 . 15分…………………………………………………… )页4共(页2第 案答考参题试学数 18.解:(1)由题意知,动点M 到F( 1 4 ,0)的距离等于其到直线x=- 1 4 的距离,所以动点 M 的 轨迹是以F( 1 4 ,0)为焦点,以x=- 1 4 为准线的抛物线, 2分……………………………… 设其方程为y2=2px(p>0), 所以p= 1 2 ,故W 的方程为y2=x. 4分……………………………………………………… (2)(i)设l:y=-x+b,A(x1,y1),B(x2,y2). 由AP→=2PB→ 可得y1=-2y2 5分…………………………………………………………… 由 y=-x+b y2=x 可得y2+y-b=0, 则y1+y2=-1,y1y2=-b. 6分……………………………………………………………… 解得y1=-2,y2=1,b=2. 7分……………………………………………………………… 所以直线l的方程为y=-x+2. 8分………………………………………………………… (i)由(i)知x1=4,x2=1,所以A(4,-2),B(1,1). 所以直线OB 的斜率为1, 又直线l的斜率为-1,所以OB⊥l. 设CD:y=-x+m,则m≤0. 10分…………………………………………………………… 由 y=-x+m y2=x 可得y2+y-m=0, 由Δ=1+4m>0得m>- 1 4 ,所以- 1 4<m≤0. 11 分……………………………………… 设C(x3,y3),D(x4,y4),则y3+y4=-1,y3y4=-m. 所以|CD|= (1+1)[(y3+y4)2-4y3y4]= 2(1+4m), 12分…………………………… |CN|= |m-2| 2 , 13分…………………………………………………………………… 所以矩形CDMN 的面积为 S=|CD|×|CN|= 2(1+4m)× |m-2| 2 = (1+4m)(m-2)2, 14分………………… 设f(m)=(1+4m)(m-2)2,- 1 4<m≤0 , 则f'(m)=4(m-2)2+2(1+4m)(m-2)=6(m-2)(2m-1)>0, 所以f(m)=(1+4m)(m-2)2 在(- 1 4 ,0]上单调递增, 16分……………………………… 所以f(m)max=f(0)=4,即矩形CDMN 面积的最大值为2. 17分………………………… 19.解:(1)由题意知,每位参赛人员获得2件纪念品的概率为 4 5× 1 4= 1 5 , 获得1件纪念品的概率为1- 1 5= 4 5 , 1分…………………………………………………… 则X 的可能取值为3,4,5,6. P(X=3)=( 4 5 )3= 64 125 , 2分…………………………………………………………………… )页4共(页3第 案答考参题试学数 P(X=4)=C13× 1 5× (4 5 )2= 48 125 , 3分………………………………………………………… P(X=5)=C23×( 1 5 )2× 4 5= 12 125 , 4分………………………………………………………… P(X=6)=( 1 5 )3= 1 125 , 5分…………………………………………………………………… 所以,X 的分布列为 X 3 4 5 6 P 64125 48 125 12 125 1 125 6分……………………………………………………………………………………………… (2)因为n 个参赛人员获得纪念品的总件数为2n-1,所以只有1人获得1件纪念品, 其余n-1人都获得2件纪念品,所以an=C1n× 4 5× (1 5 )n-1= 4n 5n , 8分…………………… 所以Sn= 4 51 + 8 52 + 12 53 +…+ 4n 5n , 1 5Sn= 4 52 + 8 53 + 12 54 +…+ 4n-4 5n + 4n 5n+1 , 两式相减得4 5Sn= 4 5+ 4 52 + 4 53 +…+ 4 5n - 4n 5n+1 , 10分……………………………………… 所以Sn=1+ 1 51 + 1 52 + 1 53 +…+ 1 5n-1 - n 5n = 1-( 1 5 )n 1- 1 5 - n 5n = 5 4- 4n+5 4·5n . 12分…………… (3)设30名参赛人员中获得2件纪念品的人数为Y,则Y~B(30, 1 5 ), 且2Y+30-Y=n,即n=30+Y, 13分………………………………………………………… 所以bn=P(Y=k)=Ck30( 1 5 )k(4 5 )30-k,k=0,1,2,…,30;n=30,31,32,…,60. 14分…… 因为 bn+1 bn = Ck+130 ( 1 5 )k+1(4 5 )29-k Ck30( 1 5 )k(4 5 )30-k = Ck+130 4Ck30 = 30! (k+1)! (29-k)!× k! (30-k)! 4×30! = 30-k 4(k+1) , 15分……………………………………………………………………… 令 bn+1 bn >1得k< 26 5 ,即k≤5, 令 bn+1 bn <1得k> 26 5 ,即k≥6, 又n=30+k,所以b30<b31<…<b35<b36>b37>…>b60 16分…………………………… 所以,当bn 取得最大值时,n=36. 17分……………………………………………………… )页4共(页4第 案答考参题试学数 2025年高考模拟考试 数学试题 2025.05 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A= x x<2 ,B= x x3≥1 ,则A∩B= A.x|x≤1 B.x|1≤x≤2 C.x|1≤x<2 D.x|-1≤x≤1 2.已知复数z满足z1-i =2(其中i为虚数单位),则复数z的虚部为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.(2x- 1 x )6 的展开式中的常数项为 A.160 B.80 C.-80 D.-160 4.已知函数f(x)=|log2x|,设a=f( 1 4 ),b=f( 1 3 ),c=f(5),则a,b,c的大小关系为 A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.b<c<a 5.已知一个圆锥的轴截面是等边三角形,设圆锥的侧面积为S1,圆锥的内切球的表面积为S2, 则 S1 S2 = A. 2 3 B. 3 4 C. 4 3 D. 3 2 6.已知α,β是两个不同的平面,l,m 是两条不同的直线,若l⊥β,m⊂α,则“l//m”是“α⊥β”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )页4共(页1第 题试学数 7.已知函数f(x)=f'(1)ln(x+1)+ 1 2x 2,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线的倾斜角为α, 则cos2α= A.- 4 5 B.- 3 5 C. 3 5 D. 4 5 8.已知an=2n-1,定义集合 Mn= ai·aj+ai+aj|i,j∈N*且i,j≤n ,记 Mn 的元素个数 为bn,则数列 bn 的前n 项和Sn= A.n2 B.2n-1 C.n2-2n+2 D.2n+1-n-2 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求。全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分。 9.已知函数f(x)=sin2x-23cos2x+ 3,则下列结论正确的是 A.f(x)的最小正周期是2π B.f(x)的图象关于x=- π 12 对称 C.若f(x)在[0,m]上单调递增,则m 的最大值为 5π 12 D.将f(x)的图象向右平移 π 6 个单位长度,得到函数g(x)=-cos2x 的图象 10.已知a,b,c成等差数列,直线l:ax+by+c=0与圆C:x2+y2+2x-8=0交于A,B 两 点,则|AB|的值可以是 A.1 B.2 C.3 D.4 11.已知函数f(x)=ex-e-x+sin2x+2,则下列结论正确的是 A.f(x)的图象关于点(0,2)对称 B.f(x)在R上单调递减 C.若f(x2)+f(x)<4,则实数x 的取值范围是(-1,0) D.若实数a,b满足f(a2)+f(2b2-2)=4,则2a+b的取值范围是[-3,3] )页4共(页2第 题试学数 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知向量a=(2,-1),b=(m,2),若a//b,则|a+b|= ▲ . 13.某单位安排甲、乙等五人在周一至周五值班,每天安排1人,每人值班1天,若甲不在周一、 周二值班且乙不在周五值班,则不同的安排方法种数为 ▲ (用数字作答). 14.已知双曲线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的离心率为 5,过坐标原点的直线交C 于M,N 两 点,点M 在第一象限,ME⊥x 轴,垂足为E,连接 NE 交C 于点G.记直线 MN 的斜率为 k1,直线MG 的斜率为k2,则k1·k2= ▲ . 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且a=4csinAsinB-2acosB-C . (1)求角A 的大小; (2)求 c b 的取值范围. 16.(15分) 如图,在多面体ABCDEF 中,AE⊥平面ABCD,AE//BF,AB=AC= 2AD=2, ∠BAC= π 2 ,∠DAC= π 4 ,AE=2BF=4. (1)求多面体ABCDEF 的体积; (2)求平面CEF 与平面CDE 夹角的余弦值. 17.(15分) 已知函数f(x)=lnx+ a-1 x ,a∈R. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)>a-2,求整数a 的取值集合. )页4共(页3第 题试学数 18.(17分) 在平面直角坐标系中,动圆M 过点F( 1 4 ,0),且与直线x=- 1 4 相切,圆心M 的轨迹为W. (1)求W 的方程; (2)已知斜率为-1的直线l与W 的交点为A,B,与x 轴的交点为P,且AP→=2PB→. (i)求直线l的方程; (i)若直线l与W 围成的封闭区域中有矩形CDMN,点C,D 在W 上,点M,N 在l上, 求矩形CDMN 面积的最大值. 19.(17分) 某学校为激发学生学习数学的积极性,特举办“数学知识竞赛”.参赛人员先后回答两道题, 已知每位参赛人员答对第一道题的概率均为4 5 ,答对第二道题的概率均为1 4 ,参赛人员各题 回答正确与否互相之间没有影响.若参赛人员两道题都答对,可获得2件纪念品;否则,可获 得1件纪念品. (1)设参加本次“数学知识竞赛”的3人获得纪念品的总件数为X,求X 的分布列; (2)设n个参赛人员获得纪念品的总件数为2n-1的概率为an,求数列 an 的前n项和Sn; (3)从参加本次“数学知识竞赛”的人员中随机抽取30人,设这些人员获得纪念品总件数恰 为n 的概率为bn,当bn 取得最大值时,求n 的值. )页4共(页4第 题试学数