专题01 二次根式（考点串讲，6考点+2专项突破+6易错）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版）

八年级数学下学期·期末复习大串讲 专题01 二次根式 （6考点+2专项突破+6易错） 沪科版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 六大常考点：知识梳理+针对训练 二大突破（比较二次根式大小+二次根式的化简求值） 六大易错易混经典例题+针对训练 精选4道期末真题对应考点练 分母 能开得尽方 知识结构 3 3个概念：二次根式，代数式，最简二次根式 4个性质：( )2=a(a≥0)； =｜a｜= 积的平方根的性质 (a≥0，b≥0)； 商的平方根的性质 (a≥0，b＞0) 3种运算：二次根式的乘除运算，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算 2个互逆过程： (a≥0，b≥0), 二次根式的乘法 积的算术平方根的性质 (a≥0，b＞0) 二次根式的除法 商的算术平方根的性质 3种思想方法：整体思想，转化思想，分类讨论思想 知识梳理 考点1 二次根式 1.[2024· 重庆秀山区期末] 下列各式一定为二次根式的是( ) B A. B. C. D. 针对训练 2. 若在实数范围内有意义，则实数 的取值范围 是______. 考点2 最简二次根式 3.下列二次根式是最简二次根式的是( ) B A. B. C. D. 5 4.若与最简二次根式可以合并，则 ___. 2 考点3 代数式 5.用代数式表示： （1）面积为 的正方形的边长为____； （2）面积为的直角三角形的两直角边的比为 ，则这两条直角边分 别为________. , 考点4 二次根式的性质 6.若，则 的立方根是( ) A A.2 B. C.0 D.1 6 7.[2024· 北京丰台区月考] 已知 ，化简 的结果为( ) C A. B. C.5 D.3 8.若，且为偶数，则 的值为___. 6 9.若实数满足，则 _______. 7 10.已知，，满足 . （1）求，， 的值. 解：根据题意，得，， ， ，， ， 解得，， . （2）以，， 为边长能否构成三角形？请说明理由.若能构成三角形， 求出三角形的周长. 解：以，， 为边长能构成三角形. 因为 ，所以能构成三角形. 该三角形的周长为 . 8 考点5 二次根式的运算 11.[2024· 济宁] 下列运算正确的是( ) B A. B. C. D. 12.[2024· 重庆江北区期中] 估计 的值应在( ) C A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 13.[2024· 南京玄武区二模] 下列各数中，与 的积为有理数的是 ( ) C A. B. C. D. 9 14.如图，大正方形中有两个相邻的白色小正方形，其面 积分别为8和18，则图中阴影部分的面积为( ) A A.24 B.50 C. D.26 [解析] 点拨：根据题意得白色小正方形的边长分别为 ， ， 大正方形的边长为 ， 最大的正方形的面积为 ， 阴影部分的面积为 . 10 15. 已知，，则 的值为 ( ) A A. B. C. D. [解析] 点拨：， ， ， ， . 11 16. 已知，则 ( ) A A. B. C. D. [解析] 点拨： ， . 17.[2024· 衡水一模] 设，其中， ， 则 的值为( ) B A.2 B. C.1 D. [解析] 点拨： . 12 18. 从，， 中任意选择两个数，分别填在算式 里面的“”与“ ”中，计算该算式的结果是 _ _________________________.（只需写出一种结果） （答案不唯一） 19.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 13 20.已知， ，求下列式子的值： （1） ； 解： ， ， ， 原式 . （2） . 解： ， ， ， 原式 . 14 考点6 二次根式的实际应用 21.[2024· 蚌埠期中] 高空物体下落的时间（单位：）和高度 （单位：）近似 满足公式：为重力加速度，取 . 若一物体从 的高空下落， 则落到地面的时间大约为( ) B A. B. C. D. 22.在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加 ，宽增加，就成为了 一个面积为 的正方形，则原长方形纸片的面积为________. [解析] 点拨：一个面积为的正方形纸片的边长为 , 原长方形的长为,宽为 ， 原长方形纸片的面积为 . 15 23.（1）如图①，在边长为 的正方形的一角剪去一个边长 为 的小正方形，求图中阴影部分的面积； 解：由题意得 . 16 （2）小明是一名爱动脑筋的学生，他发现沿图①中的虚线将阴影部分 剪开，可拼成如图②所示的长方形，请你根据小明的思路求图①中阴影 部分的面积. 解：由题意得，题图②中长方形的长为 ，题图②中长方形的宽为 ， . 17 比较二次根式大小的方法 专项突破一 18 方法一 平方法 1.比较与 的大小. 解： , ，且 ， . 又, , . 19 方法二 作商法 2.比较与 的大小. 解： ， ,, , , . 20 方法三 分子有理化法 3.（1）比较与 的大小； 解: ， . ,, , ， 即 . 21 （2）比较与 的大小. 解:， ， 且 ， ，即 . 方法四 分母有理化法 4.比较与 的大小. 解：，，且 ， . 22 方法五 作差法 5.比较与 的大小. 解： . ， . 方法六 倒数法 6.已知，，试比较， 的大小. 解： ， , . 23 方法七 定义法 7.比较与 的大小. 解：, . 又， . 方法八 特殊值法 8.若，请用“ ”号连接，，， ： ________________. 24 二次根式的化简求值 专项突破二 25 类型一 利用二次根式的性质求值 1.[2024·济宁期末] 已知， 在数轴上的位置如图所示，化简代数式 的结果为( ) A A. B. C. D.2 [解析] 点拨：由题图，可得,且, ，所以 . 26 2.[2024·泰安期末] 已知点 是平面直角坐标系中第二象限的点， 则化简 的结果是( ) A A. B. C. D.0 [解析] 点拨：点是平面直角坐标系中第二象限的点， ， ， . 27 3.[2024·泰州靖江市期中] 已知，，且 ，则 的值是( ) B A. B. C. D. [解析] 点拨：,,, , . 28 4.已知实数满足，求 的值. 解：根据二次根式的意义可知 , 即， , 整理，得 , 两边平方，得,即 . 29 类型二 先化简或变形待求式，再求值 5.若，则 的值为( ) A A. B.5 C. D.2 [解析] 点拨： ， . 30 6. 已知，则 的值为( ) B A. B. C. D. [解析] 点拨： ， ， . 7. 已知,则 ____. 31 8.已知,求 的值. 解： . , . . 类型三 先化简或变形已知条件，再求值 9.若，则 _ _. [解析] 点拨：, , , . 32 10.已知，则 __. [解析] 点拨：由已知得,则,即 ， 原式 . 33 类型四 利用乘法公式化简求值 11.[2024·秦皇岛一模] 已知，，则 的值为 ( ) B A.2 B.4 C.5 D.7 [解析] 点拨：原式 . 34 12.[2024·黄冈月考] 已知，，则 的值为 _______. [解析] 点拨：, , , , ， . 35 13.形如的根式叫做复合二次根式，对 可进行如下化 简： ，利用上 述方法化简： . 解： . 36 易错点1.求解含二次根式的代数式有意义时，忽略分母不为零 【例1】若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　　.  错解：x≥3. 错解分析：在求解含二次根式的代数式有意义时，只注意到了根号内代数式大于等于零，忽略了题目中根式在分母的位置时，还要保证分母不为零. 正解：由2x－6＞0，解得x＞3. 易混易错 【针对训练】(1)使代数式有意义的x的取值范围是( ) A. x≥2 B. x＞2 C. x＜2 D. x≠2 (2)若代数式有意义，则实数x的取值范围是( ) A. x≠2 B. x≥0 C. x＞0且x≠2 D. x≥0且x≠2 D B 易错点2.应用性质()＝a时，忽视了a≥0 【例2】已知实数a在数轴上的位置如图D16－1－1，则化简＝ 　　　.  图D16－1－1 错解：a－2. 错解分析：忽视了算术平方根的非负性，应该先写出化简后的带绝对值的代数式，再根据数轴判断绝对值中的代数式的符号，然后去绝对值. 正解：由数轴可得a＜2. ∴a－2＜0. ∴＝2－a. A. －1 B. 2a－3 C. 1 D. 3－2a 图D16－1－2 【针对训练】 已知实数a在数轴上的对应点位置如图D16－1－2，则化简的结果是( ) B 易错点3.二次根式化简不彻底 【例3】计算：. 错解：原式＝5－3 ＝2. 错解分析：二次根式的运算中，结果不是最简二次根式，被开方数还含有分母，应将看成，再将其进行化简计算. 正解：原式＝5－3 ＝. 【针对训练】计算：. 解：原式＝2 ＝. 易错点4.错误理解最简二次根式 【例4】下列根式中，不是最简二次根式的是 (　　) A. B. C. D. 错解：A或C. 错解分析：最简二次根式应满足两个条件：一是被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式；二是被开方数中不能含有分母.其中，中不再含有开得尽方的因式了，尽管式子含有分母，但被开方数是2b.而，被开方数中还含有分母，故它不是最简二次根式. 正解：D. 【针对训练】(1)下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A. B. － C. (y≥－1) D. (2)下列式子中，属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. C C 易错点5.错误运用乘法分配律 【例5】计算：÷(). 错解：原式＝ ＝. 错解分析：错解是对乘法分配律a(b＋c)＝ab＋ac的变形应用(a＋b)÷d＝(a＋b)·的错误理解. 正解：原式＝. 【针对训练】计算：. 解：原式＝ ＝ ＝ ＝. 易错点6.不熟悉二次根式的运算法则 【例6】下列计算正确的是 (　　) A.B.＝3－1 C.(2－)(2＋)＝1 D.＝1 错解：A或D. 错解分析：对二次根式的运算法则不熟悉，二次根式的混合运算中，应先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式. 正解：B. 【针对训练】下列计算正确的是( ) A. ＝2 B. 3＝3 C. ＝－2 D.()()＝1 D 1.[2024⋅天津南开区期末] 下列的取值中，可以使 有意义的是 ( ) D A.13 B.10 C.7 D.4 押题预测 2.[2024⋅南京秦淮区期末] 下列二次根式中，是最简二次根式的是 ( ) B A. B. C. D. 51 3. 任意一个二次根式（ 为正整数），都可以进行 这样的分解：，都是正整数，且，在 的所有 这种分解中，若最小，我们就称是 的最佳分解，并 记为：.例如可以分解成，或 ， 显然是的最佳分解，此时.若正整数， 满足 ，，且，则 的值为___________. 或 52 [解析] 点拨： , 可设，其中为正整数，则 . , . , 为一个正整数的平方. , ， , 或4. 当时，；当时， . 53 4. 阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些 含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ， 善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中，，， 均为整数），则有 ，.这样小明就找到了一种把类似 的式 子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当，，，均为正整数时，若 ，用含 ，的式子分别表示，，得__________， ______； 54 （2）试着把 化成一个完全平方式； 解： . （3）化简： . 解： . 55 $$