专题05 数据的初步分析（考点串讲，3考点+2思想+专题突破+4易错）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版）

八年级数学下学期·期末复习大串讲 专题05 数据的初步分析 （3考点+2思想+专题突破+4易错） 沪科版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点：知识梳理+针对训练 二大思想方法+专题突破（数据分析中的决策问题） 四大易错易混经典例题+针对训练 精选3道期末真题对应考点练 最多 越大 越小 知识结构 3 平均数 定义 一组数据的平均值称为这组数据的平均数 算术平 均数 一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么_____________________叫做这n个数的平均数. 加权平 均数 一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别 是w1，w2，…，wn，则 ___________________ 叫做这n个数的加权平均数． 知识梳理 知识点一：数据的集中趋势 最多 中间位置的数 　两个数据的平均数 中位数 定义 将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于________________就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间_________________________就是这组数据的中位数 防错 提醒 确定中位数时，一定要注意先把整组数据按照大小顺序排列，再确定 众 数 定义 一组数据中出现次数________的数据叫做这组数据的众数 防错 提醒 (1)一组数据中众数不一定只有一个；(2)当一组数据中出现异常值时，其平均数往往不能正确反映这组数据的集中趋势，就应考虑用中位数或众数来分析 平均数 大 表示波 动的量 定义 意义 方差 设有n个数据x1，x2，x3，…，xn，各数据与它们的________的差的平方分别是(x1－x)2，(x2－x)2，…，(xn－x)2，我们用它们的平均数，即用________________________来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2 方差越大，数据的波动越___，反之也成立 知识点二：数据的波动程度 1．统计的基本思想：用样本的特征（平均数和方差）估计总体的特征． 2．统计的决策依据：利用数据做决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，从数据的变化中发现它们的规律和变化趋势，减少人为因素的影响． 知识点三：用样本估计总体 考点1 平均数、中位数、众数 1.[2024⋅湖南] 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为： 179，130，192，158，141.这组数据的中位数是( ) B A.130 B.158 C.160 D.192 针对训练 2.[2024⋅无锡] 一组数据：31，32，35，37，35，这组数据的平均数和 中位数分别是( ) C A.34，34 B.35，35 C.34，35 D.35，34 8 3.[2024⋅扬州] 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视 发生，共同守护光明未来”.某校积极响应，开展视力检查.某班45名同学 视力检查数据如下表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 4 4 7 11 10 5 3 这45名同学视力检查数据的众数是( ) B A.4.6 B.4.7 C.4.8 D.4.9 9 4.[2024⋅南京鼓楼区一模] 如图为某班35名学 生投篮成绩的条形统计图，其中上面部分数据 破损导致数据不完全.已知此班学生投篮成绩 的中位数是5，则根据下图，无法确定下列哪 一选项中的数值( ) C A.4球以下的人数 B.5球以下的人数 C.6球以下的人数 D.7球以下的人数 10 （第5题） 5. 某校拟招聘一名优秀的数学教师，设置了笔试、 面试、试讲三项水平测试，综合成绩按照笔试占 ，面试占，试讲占 进行计算，小徐 的三项测试成绩如图所示，则她的综合成绩为 _____分. 85.8 11 （第6题） 6.[2024⋅镇江] 小丽6次射击的成绩如图所示，则她的 射击成绩的中位数为____环. 7.5 7.样本数据3，，4， ，8的平均数是5，众数是3，则这组数据的中位 数是___. 4 12 8.某企业加强了管理，准备采取每天的任务定额和超产有奖的措施，以 提高工作效率.下面是该企业10名员工过去一天中各自装配机器的数量 （单位：台）：6，8，16，14，11，10，6，13，10，6. （1）求这组数据的平均数、众数和中位数. 解：平均数是 ； 将这组数据从小到大排列为6，6，6，8，10，10，11，13，14，16， 则中位数是 ； 数据6出现次数最多， 众数是6. 13 （2）管理者为了提高员工的工作效率，又不能挫伤其积极性，应确定 每名员工的标准日产量为多少台比较恰当？ 解：管理者应确定每名员工的标准日产量为10台比较恰当. 考点2 方差 9.[2024⋅雅安] 某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩 （单位：分）分别为85，81，82，86，82，83，92，89.关于这组数据， 下列说法中正确的是( ) D A.众数是92 B.中位数是84.5 C.平均数是84 D.方差是13 14 10.[2024⋅云南] 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人 10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差 如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9.9 9.5 8.2 8.5 0.09 0.65 0.16 2.85 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应 该选择( ) A A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 15 11.如图是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图.比较甲、乙两名 同学的成绩，下列说法正确的是( ) D A.甲同学成绩的平均分高，波动较小 B.甲同学成绩的平均分高，波动较大 C.乙同学成绩的平均分高，波动较小 D.乙同学成绩的平均分高，波动较大 16 12.[2024⋅北京] 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛 两个阶段. （1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）. 对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98 .学生评委打分的频数分布直方图如图所示（数据分6组： 第1组 ，第2组 ，第3组 ， 第4组 ，第5组 ，第6组97≤x≤100 ）： 17 .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 91 91 学生评委 90.8 93 18 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为____， 的值位于学生评委打分数据分组的第___组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分 的平均数为，则___91（填“ ”“”或“ ”）； 4 19 （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计 算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前， 若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛 的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 乙 91 92 92 92 92 丙 90 94 90 94 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前 的是____，表中（ 为整数）的值为____. 甲 92 20 [解析] 点拨： ， ， ， . 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， ， ， 21 解得 . 为整数，或92.当时， ， 此时 ， ， 乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意；当 时， ，此时 ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，符合题意，故 这三位选手中排序最靠前的是甲， 的值为92. 考点3 用样本估计总体 13.某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从七年级的180名同学中任选 出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表： 节水量/吨 0.5 1 1.5 2 人数 2 3 4 1 请你估计这180名同学的家庭一个月节约用水的总量是( ) C A.180吨 B.200吨 C.216吨 D.360吨 23 14. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船在酒泉卫星 发射中心成功发射，进一步激发了青少年热爱科学的热情.某校为了普 及“航空航天”知识，从该校1 200名学生中随机抽取了200名学生参加 “航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 24 成绩统计表 组别 成绩 分 百分比 A B C D 25 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中 ____%，并补全条形统计图； 20 解：补全条形统计图如图： （2）这200名学生成绩的中位数会落在___组（填A，B，C，D或 ）； D （3）试估计该校1 200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数. 解： （名）. 所以估计该校1 200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300. 26 思想1 分类讨论思想 15.某校三个绿化小组一天植树的棵数为10， ，8，已知这组数据只有 一个众数且众数等于中位数，则这组数据的平均数是_______. 或 [解析] 点拨：因为这组数据只有一个众数且众数等于中位数，所以 或8.当时，这组数据的平均数是 ； 当时，这组数据的平均数是 . 思想方法 16.已知甲组数据为1，2，3，4，5，乙组数据为6，7，8，9， ，如果 两组数据的方差相等，那么 _______. 5或10 27 思想2 统计思想 17.[2024⋅湖北] 某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为 主题开展体育训练，并对学生进行专项体能测试，以下是某次八年级男 生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程. 【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩. 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用 （引体向上个数）表示成绩， 分成四组： A组，B组 ， C组，D组 . 28 【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图. 【分析数据】抽取的八年级男生测试成绩的平均数为8，中位数为8，众 数为11. 根据以上信息，解答下列问题： 29 （1）求A组人数，并补全条形统计图； 解：样本容量为 ， 故A组人数为 . 补全条形统计图如图： 30 （2）估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数； 解： （名）. 答：估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数为 180. （3）从平均数、中位数和众数这三个统计量中任选一个，解释其在本 题中的意义. 解：平均数8表示抽取的40名男生的平均成绩为8.（答案不唯一） 31 数据分析中的决策问题 专项突破 32 1．某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变．有关数据如下表所示： 景点 A B C D E 原价/元 10 10 15 20 25 现价/元 5 5 15 25 30 日平均人数/千人 1 1 2 3 2 33 (1)该风景区称调整前后这5个景点门票的平均价格不变，日平均总收入持平．风景区是怎样计算的？ 34 (2)另一方面，游客认为调整价格后风景区的日平均总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%.游客是怎样计算的？ 35 (3)你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际情况？ 【解】根据加权平均数的定义可知，游客的说法较能反映整体实际情况．(合理即可) 36 2. 某班为了从甲、乙两人中选出一人担任班长，进行了一次测评活动，邀请了五位老师作为评委，对学生进行个人测评，全班同学进行民主测评，结果如下： 37 规则：①个人测评得分(x1)算法：去掉一个最高分和一个最低分后，再算出平均分； ②民主测评得分(x2)算法：“优”票数×3＋“良”票数×2＋“中”票数×1； ③综合得分(X)算法：X＝0.4x1＋0.6x2. 38 根据以上信息，解决下列问题： (1)如果只采用个人测评规则，获胜者是______(填“甲”或“乙”)． 甲 39 (2)甲的民主测评得分为________，乙的民主测评得分为________． 139 148 【点拨】甲的民主测评得分为40×3＋7×2＋5×1＝139(分)，乙的民主测评得分为45×3＋6×2＋1×1＝148(分)． 40 (3)综合得分高的学生当选为班长，通过计算，判断最终当选的是甲还是乙？ 41 3．[2024重庆]为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分(成绩得分用x表示，共分成四组：A．60＜x≤70；B．70＜x≤80；C．80＜x≤90；D．90＜x≤100)，下面给出了部分信息： 42 七年级20名学生的竞赛成绩为： 66，67，68，68，75，83，84，86，86，86， 86，87，87，89，95，95，96，98，98，100. 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，84，87，88，89. 43 七、八年级所抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 86 b 众数 a 79 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，a＝________，b＝________，m＝________． 86 87.5 40 44 (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由(写出一条理由即可)． 【解】八年级学生的安全知识竞赛成绩较好.理由如下： 因为两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级，所以八年级学生的安全知识竞赛成绩较好．(答案不唯一) 45 (3)该校七年级有400名学生、八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀(x＞90)的学生人数是多少？ 返回 46 4. 某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．这30名学生第一次竞赛成绩 和第二次竞赛成绩得分情况统计 图如下： 47 b．这30名学生两次知识竞赛的获奖情况统计如下表：(规定：分数≥90，获卓越奖；85≤分数＜90，获优秀奖；分 数＜85，获参与奖)   参与奖 优秀奖 卓越奖 第一次竞赛 人数 10 10 10 平均分 82 87 95 第二次竞赛 人数 2 12 16 平均分 84 87 93 48 c. 第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90，90，91，91，91，91，92，93，93，94，94，94，95，95，96，98. d. 两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表：   平均数 中位数 众数 第一次竞赛 m 87.5 88 第二次竞赛 90 n 91 49 根据以上信息，回答下列问题： (1)小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点； 【解】如图所示． 50 (2)直接写出m，n的值； (3)请判断第几次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，并说明理由． 【解】m＝88，n＝90. 第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高．理由：第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛． 51 5. 据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”． 52 小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有A，B两所学校适合，小明收集了这两所学校过去10周周六上午的预约人数： 学校A：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 学校B： 53 (1) 学校 平均数 众数 中位数 方差 A ______ 48   83.299 B 48.4 ______ ______ 354.04 43.3 25 47.5 54 (2)根据上述材料分析，小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由． 【解】小明爸爸应该预约A学校．理由如下： 因为两所学校的平均数接近，但A学校的方差小于B学校，即A学校预约人数比较稳定，所以小明爸爸应该预约A学校． 55 6. “惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校调查了七、八年级部分班级某一天的餐后垃圾质量．从七、八年级各随机抽取10个班餐后垃圾质量的数据(单位：kg)，进行整理和分析(餐后垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A．x＜1；B．1≤x＜1.5；C．1.5≤x＜2；D．x≥2)，下面给出了部分信息． 七年级10个班餐后垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3. 八年级10个班餐后垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.1，1.1. 56 七、八年级抽取的班级餐后垃圾质量统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 A等级所 占百分比 七年级 1.3 1.1 a 0.26 40% 八年级 1.3 b 1.0 0.23 m% 57 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述表中a，b，m的值； 【解】a＝0.8，b＝1.05，m＝20. (2)该校八年级共有30个班，估计八年级这一天餐后垃圾质量符合A等级的班级数； 【解】30×20%＝6(个)． 答：估计八年级这一天餐后垃圾质量符合A等级的班级数为6个． 58 (3)根据以上信息，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由(写出一条理由即可). 【解】七年级．理由：七年级各班餐后垃圾质量A等级所占百分比高于八年级(答案不唯一)． 59 易错点1．平均数的概念理解不清晰 【例1】10名学生的平均成绩是x分，如果另外5名学生每人得84分，那么整个组15人的平均成绩是 (　　) A．分 B．分 C．分 D．分 错解：选A． 错解分析：由于对平均数的概念理解不清晰，误认为10名学生的平均成绩与另外5名学生的平均成绩的平均数即是15人的平均成绩． 易混易错 正解：因为10名学生的平均成绩是x分，所以10名学生的总成绩是10x分，故整个组的平均成绩是(分)，故选B． 【针对训练】为了调查某一路口某时段的汽车流量，记录了30天中每天同一时段通过该路口的汽车辆数，其中有4天是284辆，4天是290辆，12天是312辆，10天是314辆，则这30天该路口同一时段通过的汽车平均数为 　辆． 　306　 易错点2．众数的概念理解不清晰 【例2】求下列数据的众数：3，6，1，3，4，3，6，6． 错解：众数是3或众数是6． 错解分析：认为众数是3或众数是6，是没有正确理解众数的概念，众数是一组数据中，出现次数最多的数据，如果一组数据中有几个数据重复的次数相同，并且次数都是最高的，那么这几个数据都是这组数据的众数，即一组数据的众数不一定唯一，因此众数可能有一个、多个、也可能没有． 正解：众数是3和6． 【针对训练】(2023·鞍山)九(1)班30名同学在一次测试中，某道题目(满分4分)的得分情况如表： 则这道题目得分的众数和中位数分别是( ) A．8，3 B．8，2 C．3，3 D．3，2 C 得分 0 1 2 3 4 人数 1 3 4 14 8 易错点3．中位数的概念理解不清晰 【例3】某民营企业员工的个人月工资统计如下： 月工资 人数 9 000元 1 7 500元 2 5 500元 5 5 000元 20 4 800元 35 该企业员工的月工资的中位数是　 　　元．  错解：5 500． 错解分析：本题表面上看员工的个人月工资数据已经排序，可以求数据的中位数，但注意观察可以发现：题目中的数据实际是小组数据，小组的人数才是数据的真正个数．因此，不能直接求数据的中位数，而应先求出63名员工数据的中间数据． 正解：(63＋1)÷2＝32，所以第32名员工的月工资为中位数，从表中人数栏数出第32名员工的月工资为4 800元，即该企业员工的月工资的中位数是4 800元． A．8 B．7 C．6 D．5 图D20－1－1 【针对训练】 (2023·株洲)申报某个项目时，某7个区域提交的申报表数量的前5名的数据统计如图D20－1－1所示，则这7个区域提交该项目的申报表数量的中位数是( ) C 易错点4．方差的概念及计算易出错 【例4】某中学为了选拔1名运动员参加市级运动会100 m短跑比赛，现有甲、乙、丙3名运动员备选，他们100 m短跑的平均成绩一样，方差分别为＝2.5，＝2.3，＝1.1．如果要推选一名成绩优秀且稳定的人去参赛，推选人应为　　　　．  错解：甲． 错解分析：对描述数据离散程度的特征数——方差理解出错，从而本题出现错解．一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小． 正解：丙． 【针对训练】某校组织数学学科竞赛为参加区级比赛做选手选拔工作，经过多次测试后，有四位同学成为晋级的候选人，具体情况如下表，如果从这四位同学中选出一名晋级(总体水平高且状态稳定)，你会推荐　 　 ．  　 丙　 候选人 甲 乙 丙 丁 平均分/分 92 94 94 92 方差 35 35 23 23 1.[2024·眉山] 为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼. 已知某天五名同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）， ， ，2， ，这组数据的中位数和众数分别是( ) A A.， B.， C.， D.1，2 押题预测 70 2.已知某外卖平台设置送餐距离超过 无法配送，由于给送餐员的费 用与送餐距离有关，为更合理设置送餐费用，该平台随机抽取80名点外 卖的用户进行统计，按送餐距离分类，统计结果如下表： 送餐距离 用户数量/名 12 20 24 16 8 估计利用该平台点外卖的用户的平均送餐距离为_________. 71 3. 近年来，由于智能聊 天机器人的横空出世，大型语言模型成 为人工智能领域的热门话题. 有关人员开 展了，两款 聊天机器人的使用满意 度评分测验，并从中各随机抽取20份， 抽取的对款 聊天机器人的评分数据中“满意”的数据为84，86，86， 87，88，89. 对数据进行整理、描述和分析（评分分数用 表示，分为四个等级： 不满意，比较满意，满意 ，非常满意 ），下面给出了部分信息： 72 抽取的对款 聊天机器人的评分数据如下： 67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96， 96，98，99，100. 抽取的对，两款 聊天机器人的评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 88 96 88 88 73 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中____，_____， ____； 15 88.5 96 （2）根据以上数据，你认为哪款 聊天机器人更受用户喜爱？请说明 理由（写出一条理由即可）； 解：款 聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但款评分数据的中位数比 款 高，所以款 聊天机器人更受用户喜爱.（答案不唯一，合理即可） 74 （3）在此次测验中，有240人对款 聊天机器人进行了评分，300人对 款聊天机器人进行了评分，请通过计算，估计此次测验中对 聊天 机器人不满意的共有多少人. 解：对款 聊天机器人不满意的有3人，所占百分比为 ， 估计此次测验中对 聊天机器人不满意的共有 （人）. 75 【解】风景区是这样计算的：调整前的平均价格为＝16(元)，调整后的平均价格为＝16(元)．∵调整前后的平均价格不变，日平均人数不变，∴日平均总收入持平． 【解】游客是这样计算的：原日平均总收入为10×1＋10× 1＋15×2＋20×3＋25×2＝160(千元)，现日平均总收入为5×1＋5×1＋15×2＋25×3＋30×2＝175(千元)，∴日平均总收入增加了×100%≈9.4%. 【点拨】甲的个人测评得分为＝92(分)，乙的个人测评得分为＝89(分)． ∵92＞89，∴获胜者是甲． 【解】甲的综合得分为0.4×＋0.6×139＝120.2(分)，乙的综合得分为0.4×＋0.6×148＝124.4(分)．∵124.4＞120.2，∴最终当选的是乙． 【解】400×＋500×40%＝120＋200＝320(人)． 答：估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀(x＞90)的学生人数是320人． $$