专题02 一元二次方程（考点串讲，5大考点+7大题型突破+4大易错剖析）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版）

八年级数学下学期·期末复习大串讲 专题02 一元二次方程 沪科版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理 七大题型典例剖析 四大易错易混经典例题 精选4道期末真题对应考点练 目 录 考点透视 考点 1 一元二次方程的有关概念 1. [2024马鞍山期中]下列方程是一元二次方程的是(　D　) A. x ＋ ＝1 B. x2＋3＝( x －1)2 C. ax2＋ bx ＋ c ＝0 D. x2－1＝0 D 2. 方程(3 x －1)(2 x ＋4)＝1化为一般形式为 ⁠ ，其中二次项系数为 ，一次项为 ⁠. 6 x2＋10 x －5＝0 6　 10 x 　 3. 已知关于 x 的方程 x2＋3 x ＋2 m ＝0的一个根是－1，则 m 的值是 ⁠. 1　 考点 2 一元二次方程的解法 4. 用配方法解方程 x2－4 x －1＝0时，配方后正确的是(　C　) C A. ( x ＋2)2＝3 B. ( x ＋2)2＝17 C. ( x －2)2＝5 D. ( x －2)2＝17 5. 【新视角 开放性试题】在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的四种解法，它们分别是直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程. (1) x2＋2 x －1＝0； 解：(1)移项，得 x2＋2 x ＝1， 配方，得 x2＋2 x ＋1＝1＋1，即( x ＋1)2＝2， 开平方，得 x ＋1＝± ， ∴ x1＝－1＋ ， x2＝－1－ . 解：(2)因式分解，得 x ( x －3)＝0， 则 x ＝0或 x －3＝0， 解得 x1＝0， x2＝3. 解：(3)配方，得 x2－4 x ＋4＝4＋4，即( x －2)2＝8， 开平方，得 x －2＝±2 ， ∴ x1＝2＋2 ， x2＝2－2 . (2) x2－3 x ＝0； (3) x2－4 x ＝4； 解：(4)∵ a ＝1， b ＝－1， c ＝－4， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝(－1)2－4×1×(－4)＝17， ∴ x ＝ ，∴ x1＝ ， x2＝ . (任选两个即可) (4) x2－ x －4＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 考点 3 一元二次方程根的判别式 6. 关于 x 的一元二次方程 x2＋ mx －8＝0的根的情况是(　A　) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 A 7. 若一元二次方程 mx2＋2 x ＋1＝0有实数根，则 m 的取值范围是(　D　) D 点思路：由关于 x 的一元二次方程 mx2＋2 x ＋1＝0有实数根，可知Δ≥0，且 m ≠0，据此求解即可. A. m ≥－1 B. m ≤1 C. m ≥－1且 m ≠0 D. m ≤1且 m ≠0 8. 若一元二次方程 x2－ x ＋2 b ＝0没有实数根，则 b 的取值范围是 ⁠. b ＞ 　 考点 4 一元二次方程根与系数的关系 9. 若关于 x 的一元二次方程3 x2－2 x ＋ m ＝0有两个根，其中一个根为 x ＝1，则这两根之积为(　D　) A. B. C. 1 D. － D 10. [2024宁波月考]已知关于 x 的方程 x2＋ mx －20＝0的一个根是－4，则它的另一个根是 ⁠. 5　 11. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2 mx ＋ m2－ m ＋2＝0有两个不相等的实数根 x1， x2，且 x1＋ x2＋ x1· x2＝2，则实数 m ＝ ⁠. 3　 考点 5 一元二次方程的应用 12. 某学校组织女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，刚参加比赛的队伍的支数为(　B　) B A. 8 B. 10 C. 7 D. 9 13. 如图，在长为100 m，宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3 600 m2，则小路的宽是(　A　) A A. 5 m B. 70 m C. 5 m或70 m D. 10 m 14. 在国家积极研发和生产调配下，原价为 a 元的某型号医疗器械连续两年降价，第一年下降20％，第二年下降80％，那么该医疗器械这两年的平均下降率是 ⁠. 60％　 15. 【新考法 逆向思维法】如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∠ BCD ＝90°， BC ＝8 cm， AB ＝ AD ＝10 cm，点 P 从点 A 出发，以3 cm/s的速度沿折线 A － B － C 方向运动，点 Q 从点 D 出发，以2 cm/s的速度沿线段 DC 向点 C 运动.已知动点 P ， Q 同时出发，当点 P 运动到点 C 时， P ， Q 运动停止，设运动时间为 t s . (1)当 t 为何值时，四边形 PBQD 为平行四边形？ 解：(1) ∵ AB ∥ CD ，∴要使四边形 PBQD 为平行四边形，只需 BP ＝ DQ . 由题意得 DQ ＝2 t cm， AP ＝3 t cm，则 PB ＝(10－3 t ) cm. ∴10－3 t ＝2 t ，解得 t ＝2， ∴当 t 为2时，四边形 PBQD 为平行四边形. (2)在点 P 、点 Q 的运动过程中，当 t 为何值时，△ BPQ 的面积为15 cm2？ 解：(2)过点 A 作 AM ⊥ CD 于点 M ， 则易得四边形 AMCB 是矩形， ∴ AM ＝ BC ＝8 cm， MC ＝ AB ＝10 cm. ∵在Rt△ ADM 中， AM ＝8 cm， AD ＝10 cm， ∴ DM ＝ ＝ ＝6(cm)， ∴ CD ＝ DM ＋ CM ＝6＋10＝16(cm). ①当点 P 在线段 AB 上时，0≤ t ＜ ， ∵ S△ BPQ ＝ BP · BC ＝15 cm2， ∴ ×(10－3 t )×8＝15，解得 t ＝ ； ②当点 P 在线段 BC 上时， ＜ t ≤6， BP ＝(3 t －10)cm， CQ ＝(16－2 t )cm， ∵ S△ BPQ ＝ BP · CQ ＝15 cm2， ∴ ×(3 t －10)×(16－2 t )＝15， 整理得3 t2－34 t ＋95＝0，即( t －5)(3 t －19)＝0， 解得 t ＝5或 t ＝ (舍去). 综上所述，当 t ＝5或 t ＝ 时，△ BPQ 的面积为15 cm2. B D 专题强化一 　求一元二次方程中字母系数的值或范围 题型剖析 A D B A 专题强化二　一元二次方程应用题中解的取舍 易混易错 D 1. 一元二次方程2 x2＋ x ＝3化成一般形式后，一次项系数是1，常数项是(　B　) A. 2 B. －3 C. －2 D. 3 B 押题预测 2. [2024邯郸期末]某同学在解关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0时，只抄对了 a ＝1， b ＝－8，解出其中一个根是 x ＝－1.他核对时发现所抄的 c 是原方程中 c 的相反数，则原方程的根的情况是(　A　) A A. 有两个不相等的实数根　　B. 有两个相等的实数根 C. 有一个根是 x ＝1　　　　 D. 不存在实数根 3.已知关于 x 的一元二次方程 x2－2( m ＋1) x ＋ m2－3＝0有两个不相等的实数根. (1)求实数 m 的取值范围； 解：(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2－2( m ＋1) x ＋ m2－3＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－2( m ＋1)]2－4×1×( m2－3)＝8 m ＋16＞0， 解得 m ＞－2. (2)求出 m 满足取值范围的最小整数值，并求出此时方程的两根. 解：(2)满足 m ＞－2的最小整数值是－1， 把 m ＝－1代入方程 x2－2( m ＋1) x ＋ m2－3＝0，得 x2 －2＝0，解得 x1＝ ， x2＝－ . 4. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－2( m ＋1) x ＋ m2－3＝0有两个不相等的实数根. 强化角度1 利用一元二次方程的概念，确定字母的取值或范围 1.若方程(m－1)x|m|＋1－2x＝3是关于x的一元二次方程，则有( ) A.m＝1　　　　　　　　 B.m＝－1 C.m＝±1 D.m≠±1 2.已知(m－3)x2＋eq \r(m＋2)x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( ) A.m≠3 B.m≥3 C.m≥－2 D.m≥－2且m≠3 3.一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后，一次项的系数为－1，求m的值. 解：2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)，2x2－(m＋1)x－x2＋x＋1＝0，x2－mx＋1＝0，即一般形式为x2－mx＋1＝0.由题意得，－m＝－1，则m＝1. 强化角度2 根据一元二次方程根的定义，求字母的取值或代数式的值 4.已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为( ) A.－1　　　　 B.0　　　　 C.1　　　　 D.2 5.已知关于x的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2＋3k－4＝0的一个根为0，求k的值及另一个根. 解：把x＝0代入(k＋4)x2＋3x＋k2＋3k－4＝0，得k2＋3k－4＝0，解之，得k1＝1，k2＝－4，∵k＋4≠0，∴k≠－4，∴k＝1，∴这个一元二次方程为5x2＋3x＝0，∴另一个根为－eq \f(3,5). 强化角度3 根据一元二次方程根的判别式，求字母的取值或范围 6.(安顺中考)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是( ) A.0 B.－1 C.2 D.－3 7.若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是( ) A.a＜1 B.a＞1 C.a≤1 D.a≥1 8.(玉林中考)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个不相等实数根是a、b，求eq \f(a,a＋1)－eq \f(1,b＋1)的值. 解：(1)由题意得，Δ＝4＋4k＞0，∴k＞－1；　 (2)∵a＋b＝－2，ab＝－k，∴eq \f(a,a＋1)－eq \f(1,b＋1)＝eq \f(ab＋1－a＋1,a＋1b＋1)＝eq \f(ab－1,ab＋a＋b＋1)＝eq \f(－k－1,－k－2＋1)＝1. 强化角度4 根据根与系数的关系，求字母的取值范围 9.(潍坊中考)已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋eq \f(m,4)＝0有两个不相等的实数根x1、x2.若eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝4m，则m的值是( ) A.2 B.－1 C.2或－1 D.不存在 10.已知：关于x的方程kx2－(3k－1)x＋2(k－1)＝0. (1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根； (2)若此方程有两个实数根x1、x2，且|x1－x2|＝2，求k的值. (1)证明：①当k＝0时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠0时，方程是一元二次方程，∵Δ＝[－(3k－1)]2－4k×2(k－1)＝(k＋1)2≥0，∴无论k为何实数，方程总有实数根；　 (2)解：∵此方程有两个实数根x1、x2，∴x1＋x2＝eq \f(3k－1,k)，x1x2＝eq \f(2k－1,k).∵|x1－x2|＝2，∴(x1－x2)2＝4，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝4，即eq \f(9k2－6k＋1,k2)－4×eq \f(2k－1,k)＝4.解得：k＝1或k＝－eq \f(1,3).经检验符合题意.∴k的值是1或－eq \f(1,3). 强化角度1 根据题目中的限制条件取舍 1.春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 解：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游，∵1000×25＝25000＜27000，∴员工人数一定超过25人，可得方程[1000－20(x－25)]x＝27000.整理，得x2－75x＋1350＝0，解得x1＝45，x2＝30.当x＝45时，人均旅游费用为1000－20(x－25)＝600＜700，∴应将x＝45舍去，即该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游. 强化角度2 根据“让顾客得实惠”取舍 2.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答： (1)每千克核桃应降价多少元？ (2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 解：(1)设每千克核桃应降价x元，根据题意，得 (60－40－x)(100＋eq \f(x,2)×20)＝2240.化简，得x2－10x＋24＝0.解得x1＝4，x2＝6.答：每千克核桃应降价4元或6元；　 (2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元，∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时售价为：60－6＝54(元)，∴eq \f(54,60)×100%＝90%.答：该店应按原售价的九折出售. 强化角度3 挖掘题目中的隐含条件取舍 3.如图，有一块矩形硬纸板，长50 cm、宽30 cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为600 cm2? 解：设剪去正方形的边长为x cm，根据题意，得2x(50－2x)＋2x(30－2x)＝600，整理得，x2－20x＋75＝0，解得x1＝5，x2＝15.∵15×2＝30，不符合题意，应舍去.∴当剪去正方形的边长为5 cm时，长方体盒子的侧面积为600 cm2. 4.某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送，计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完. (1)求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？ (2)因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶.为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑eq \f(1,2)m次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了14400顶帐篷，求m的值. 解：(1)设小货车原计划每辆每次运送帐篷x顶，则大货车原计划每辆每次运送帐篷(x＋200)顶，根据题意得：2[8x＋2(x＋200)]＝16800，解得：x＝800.x＋200＝800＋200＝1000.答：大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶、800顶； (2)根据题意，得2×(1000－200m)(1＋eq \f(1,2)m)＋8×(800－300)(1＋m)＝14400，化简得m2－23m＋42＝0，解得：m1＝2，m2＝21.∵1000－200m不能为负数，且eq \f(1,2)m为整数，∴m＝21不符合题意，舍去.∴m的值为2. $$