专题02 三角恒等变换（3重点+9题型+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

专题02 三角恒等变换 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：两角和与差的三角函数 1、两角和与差的正弦： : : 2、两角和与差的余弦： : : 3、两角和与差的正切： :. :. 注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围； ②公式的变形：． 知识点2：二倍角的三角函数 1、二倍角公式： （1）二倍角的正弦（）：． （2）二倍角的余弦（）：． （3）二倍角的正切（）：． 2、二倍角公式的变形及应用 （1）倍角公式的逆用： ；；． ：；；． （2）降幂（扩角）公式：；； ；． 3、辅助角公式：（其中） 实质上是将同角的正弦值和余弦值与常数积的和变形为一个三角函数，当式子化简为同角不同名三角函数相加减时，通常利用辅助角公式化为正弦型． 辅助角公式的推导：= 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角终边所在的象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 知识点3：几个三角恒等式 1、积化和差 2、和差化积 3、半角公式 ＝±， ＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 【题型1 两角和与差三角公式的正用】 高妙技法 直接利用两角和与差的三角函数公式求值时，要深刻理解公式的特征，不要死记． 1．（24-25高一下·辽宁大连·期中）已知，则 ． 2．（24-25高一下·甘肃·期中）已知，则的值是（    ） A．-7 B． C．7 D． 3．（23-24高一下·辽宁·期末）（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 两角和与差三角公式的逆用】 高妙技法 在两角和与差的三角函数公式中，，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时长将两角的和或差视为一个整体． 5．（24-25高一下·江苏南京·期中）（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·福建泉州·期中）计算的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·四川成都·期中）（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏常州·月考）在中，若，则 . 【题型3 二倍角公式及应用】 高妙技法 （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角； （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角公式的正弦． 9．（24-25高一下·广东佛山·期中）角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（2024-2025高三下·湖南·三模）已知（），则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·四川绵阳·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·安徽·月考）已知，则的值为 . 【题型4 辅助角公式及应用】 满分技法 辅助角公式的应用： （1）公式形式：公式或将形如（不同时为零）的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式； （2）形式选择：还为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角的系数为正，这样更有利于研究函数的性质． 13．（24-25高一下·陕西榆林·月考）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·北京大兴·期中）函数的最大值是（    ） A． B．3 C． D．5 15．（24-25高一下·湖北十堰·期中）设当时，函数取得最大值，则 . 16．（24-25高一上·重庆黔江·期末）已知函数的图象关于对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【题型5 和差化积与积化和差的应用】 高妙技法 利用和差化积与积化和差公式化简三角函数的关键在于将同名称的正弦与余弦进行恰当的组合．组合时遵循的原则：①应尽量使两角的和（或差）出特殊角；②对于特殊角的三角函数式应当求出其值． 和差化积公式与积化和差公式比较复杂，且有时在同一个题目中可能反复使用，要仔细揣摩记忆方法，不要混淆． 17．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C．3 D． 19．（24-25高三下·江苏南通·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 20．（2025·江西·二模）已知函数，是偶函数，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【题型6 三角恒等变换之给值求值问题】 高妙技法 “给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧： ，，，等． 21．（23-24高一下·山东青岛·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型7 三角恒等变换之给值求角问题】 高妙技法 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角． 遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 25．（23-24高一下·河南南阳·月考）已知，，且，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 26．（24-25高一下·云南·期中）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 27．（23-24高三上·河北石家庄·月考）若，，，，则 . 28．（24-25高一下·四川资阳·月考）已知，，，则 ． 【题型8 三角恒等变换化简证明】 高妙技法 解决三角恒等变化问题要注意观察目标式的结构特点，通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升降幂、逆用公式等手段将其变形、化简． 29．（24-25高一上·云南昆明·期末）求值：（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高一下·广东·期中） ． 31．（24-25高一下·江西南昌·期中）求值： (1); (2)． 32．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）（1）证明：； （2）化简：． 【题型9 三角形中的三角恒等变换】 高妙技法 已知三角恒等式可以判断三角形的形状，判断时先将已知恒等式进行合理的变形，得到角或边之间的关系，再加以判断．条件中没有边的相对位置关系时，就从角入手，证明一个角是直角或者有两个角互余，也可由一个角的正弦值为1或余弦值为0，得出结论． 33．（24-25高一下·福建宁德·月考）在中，，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 34．（24-25高一下·江苏扬州·月考）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 35．（24-25高一下·安徽安庆·月考）在中，已知，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．没有符合条件的三角形 36．（24-25高一下·江苏苏州·月考）若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 提升专练 一、单选题 1．（24-25高一下·贵州黔南·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东佛山·月考）在锐角中，若，则的最小值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 3．（24-25高一下·广西桂林·月考）在中，给出下列四个命题： ①若，则是等腰三角形； ②若，则是直角三角形； ③若，则是直角三角形； ④若是斜三角形，则． 其中命题正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、多选题 4．（24-25高一下·江苏南通·期中）（多选）已知，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山东威海·期中）（多选）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·广西桂林·月考）（多选）下列三角恒等变换及结论正确的是（    ） A． B．已知，则 C．若，则 D．已知是方程的两根，且，则 三、填空题 7．（23-24高一下·山东临沂·月考）已知为锐角，且，则 . 8．（23-24高一上·江苏南通·期末）在中，若、是的方程的两个实根，则角 . 9．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，矩形中，，，点是中点，连接.将沿折叠，点落在点处，则的值为 . 四、解答题 10．（24-25高一下·广西桂林·月考）设函数． (1)若角满足，求的值； (2)若，求函数的值域． 11．（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 12．（24-25高三上·山东·月考）16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式. 积化和差：，． 和差化积：，． 运用上面的公式解决下列问题： (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若函数，判断的零点个数，并说明理由． 真题感知 1．（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且都是锐角，则等于（    ） A． B．或 C． D． 2．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东茂名·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·天津滨海新·期末）已知函数的图象关于直线对称，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，．根据这些信息，可得（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）（多选）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·江苏南通·月考）（多选）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是第三象限角，则 . 9．（24-25高一下·湖南长沙·期中）已知，则 ． 10．（23-24高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角恒等变换 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：两角和与差的三角函数 1、两角和与差的正弦： : : 2、两角和与差的余弦： : : 3、两角和与差的正切： :. :. 注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围； ②公式的变形：． 知识点2：二倍角的三角函数 1、二倍角公式： （1）二倍角的正弦（）：． （2）二倍角的余弦（）：． （3）二倍角的正切（）：． 2、二倍角公式的变形及应用 （1）倍角公式的逆用： ；；． ：；；． （2）降幂（扩角）公式：；； ；． 3、辅助角公式：（其中） 实质上是将同角的正弦值和余弦值与常数积的和变形为一个三角函数，当式子化简为同角不同名三角函数相加减时，通常利用辅助角公式化为正弦型． 辅助角公式的推导：= 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角终边所在的象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 知识点3：几个三角恒等式 1、积化和差 2、和差化积 3、半角公式 ＝±， ＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 【题型1 两角和与差三角公式的正用】 高妙技法 直接利用两角和与差的三角函数公式求值时，要深刻理解公式的特征，不要死记． 1．（24-25高一下·辽宁大连·期中）已知，则 ． 【答案】 【解析】由，得， 所以. 2．（24-25高一下·甘肃·期中）已知，则的值是（    ） A．-7 B． C．7 D． 【答案】D 【解析】.故选：D. 3．（23-24高一下·辽宁·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D 4．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以. 因为，，所以，所以， 即 .故选：A. 【题型2 两角和与差三角公式的逆用】 高妙技法 在两角和与差的三角函数公式中，，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时长将两角的和或差视为一个整体． 5．（24-25高一下·江苏南京·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故选：D． 6．（24-25高一下·福建泉州·期中）计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B. 7．（24-25高一下·四川成都·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 8．（24-25高一下·江苏常州·月考）在中，若，则 . 【答案】 【解析】首先因为，所以. 这是因为：若，则， 又因为为三角形内角，所以互补，这是不能成立的.所以. 因为，所以. 又， 所以.所以. 【题型3 二倍角公式及应用】 高妙技法 （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角； （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角公式的正弦． 9．（24-25高一下·广东佛山·期中）角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为角的终边过点,所以， 由余弦的二倍角公式得.故选：B. 10．（2024-2025高三下·湖南·三模）已知（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又，所以，解得（舍去）或， 所以，则， 则.故选：A 11．（24-25高一下·四川绵阳·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B. 12．（24-25高一下·安徽·月考）已知，则的值为 . 【答案】 【解析】因为，所以. 【题型4 辅助角公式及应用】 满分技法 辅助角公式的应用： （1）公式形式：公式或将形如（不同时为零）的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式； （2）形式选择：还为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角的系数为正，这样更有利于研究函数的性质． 13．（24-25高一下·陕西榆林·月考）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，其中为锐角，且， 故最小正周期为，故选：A 14．（24-25高一下·北京大兴·期中）函数的最大值是（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【解析】，由正弦函数的值域可得其最大值为.故选：C 15．（24-25高一下·湖北十堰·期中）设当时，函数取得最大值，则 . 【答案】 【解析】因为， 令，， 则， 当，，即，时，取最大值， 此时，，所以. 16．（24-25高一上·重庆黔江·期末）已知函数的图象关于对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】函数， 由函数的图象关于对称，得当时，取得最值，即， 因此，所以.故选：D 【题型5 和差化积与积化和差的应用】 高妙技法 利用和差化积与积化和差公式化简三角函数的关键在于将同名称的正弦与余弦进行恰当的组合．组合时遵循的原则：①应尽量使两角的和（或差）出特殊角；②对于特殊角的三角函数式应当求出其值． 和差化积公式与积化和差公式比较复杂，且有时在同一个题目中可能反复使用，要仔细揣摩记忆方法，不要混淆． 17．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于 C，因为 ，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误.故选：C 18．（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】因为 ， 又因为，且，, 所以，故， 又由于，所以， 由于，故选：A． 19．（24-25高三下·江苏南通·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ， 由题意可知，，所以， 因为，，， 所以，， 所以，， 因为， ， 所以.故选：C. 20．（2025·江西·二模）已知函数，是偶函数，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由是偶函数，得， 展开并整理得：， 根据二倍角公式得：， 整理得：，结合，得， 代入，，则， 利用积化和差公式： 化简得：， 当时，取得最大值.故选：B 【题型6 三角恒等变换之给值求值问题】 高妙技法 “给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧： ，，，等． 21．（23-24高一下·山东青岛·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 22．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，， 则，所以.故选：A 23．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得 ，， 两式相除可得， 所以.故选：A． 24．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，且, 所以，且. 因为，所以，又，所以， 所以， 又，所以. 因为，所以，所以. 所以.故选：A. 【题型7 三角恒等变换之给值求角问题】 高妙技法 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角． 遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 25．（23-24高一下·河南南阳·月考）已知，，且，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以，所以，. 因为，所以，所以. 因为，所以. 因为，所以， 则，故（）. 因为，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以，所以.故选：D. 26．（24-25高一下·云南·期中）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】，则，， ， 则， ， 又，， ，则， ， 又 且，则， .故选：A. 27．（23-24高三上·河北石家庄·月考）若，，，，则 . 【答案】 【解析】由，，则， ，所以或， ， ，则， 当时，，则， 当时，，则， 又，.故. 28．（24-25高一下·四川资阳·月考）已知，，，则 ． 【答案】 【解析】依题意，，， 所以， 所以， 所以 ， 由于，所以. 【题型8 三角恒等变换化简证明】 高妙技法 解决三角恒等变化问题要注意观察目标式的结构特点，通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升降幂、逆用公式等手段将其变形、化简． 29．（24-25高一上·云南昆明·期末）求值：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 .故选：B 30．（24-25高一下·广东·期中） ． 【答案】 【解析】. 故答案为： 31．（24-25高一下·江西南昌·期中）求值： (1); (2)． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）原式． （2） ， , ． 32．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：左边 右边，得证； （2）原式． 【题型9 三角形中的三角恒等变换】 高妙技法 已知三角恒等式可以判断三角形的形状，判断时先将已知恒等式进行合理的变形，得到角或边之间的关系，再加以判断．条件中没有边的相对位置关系时，就从角入手，证明一个角是直角或者有两个角互余，也可由一个角的正弦值为1或余弦值为0，得出结论． 33．（24-25高一下·福建宁德·月考）在中，，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【答案】C 【解析】因为，则， 所以，，因为，故为钝角， 故为钝角三角形.故选：C. 34．（24-25高一下·江苏扬州·月考）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】在△ABC中，由，得 ， 则， 所以，即，则， 又，，则，所以，即， 所以△ABC为等腰三角形，但无法判断C是不是直角．故选：A． 35．（24-25高一下·安徽安庆·月考）在中，已知，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．没有符合条件的三角形 【答案】C 【解析】因为，故， 故，故， 而，故即，故三角形为等腰三角形，故选：C. 36．（24-25高一下·江苏苏州·月考）若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】中，， 已知等式变形得， ，即， 整理得，即， 或（不合题意，舍去）． ，，则此三角形形状为直角三角形．故选：A 提升专练 一、单选题 1．（24-25高一下·贵州黔南·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得， 由于，则，结合，所以， 故，由于，所以， 因此，故选：A 2．（24-25高一下·广东佛山·月考）在锐角中，若，则的最小值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】由，得， 两边同时除以，得. 令， ∵是锐角三角形， ∴，∴. 又在三角形中有： ， 故当时，取得最小值故选：C. 3．（24-25高一下·广西桂林·月考）在中，给出下列四个命题： ①若，则是等腰三角形； ②若，则是直角三角形； ③若，则是直角三角形； ④若是斜三角形，则． 其中命题正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【解析】①：由正弦定理将转化为，得或， 是等腰或直角三角形，①错误． ②：即，有或， 不一定是直角三角形，②错误． ③：若， 则 或或， 所以是直角三角形，③正确． ④：若是斜三角形， 则，④正确．故选：B 二、多选题 4．（24-25高一下·江苏南通·期中）（多选）已知，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为，所以，又， 所以， 所以，故A正确； 所以，故C错误； 因为，，所以， 所以，故B正确； ，故D正确.故选：ABD 5．（24-25高一下·山东威海·期中）（多选）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，因为， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 因为，所以，故B正确； 对于C，因为， 所以，即，故C正确； 对于D，因为， 所以，故D错误.故选：BC 6．（24-25高一下·广西桂林·月考）（多选）下列三角恒等变换及结论正确的是（    ） A． B．已知，则 C．若，则 D．已知是方程的两根，且，则 【答案】ABC 【解析】A选项：根据两角和正弦公式，则， 则，所以A正确． B选项：因为，，可得． 又，，所以， 已知，则． 根据， 代入计算得，B正确． C选项：根据二倍角公式，可得， 已知，所以，C正确． D选项：由韦达定理得，， 根据两角和正切公式，则． 因为，，所以，， 又，所以，， 所以，D错误．故选：ABC 三、填空题 7．（23-24高一下·山东临沂·月考）已知为锐角，且，则 . 【答案】 【解析】因为， ， 又， 所以，所以，即， 因为，所以，所以，所以. 8．（23-24高一上·江苏南通·期末）在中，若、是的方程的两个实根，则角 . 【答案】 【解析】对于方程，则，解得或， 因为、是的方程的两个实根， 由韦达定理可得，， 所以，， 因为，则，故. 9．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，矩形中，，，点是中点，连接.将沿折叠，点落在点处，则的值为 . 【答案】 【解析】由题意可得，，，， 所以， 所以 . 四、解答题 10．（24-25高一下·广西桂林·月考）设函数． (1)若角满足，求的值； (2)若，求函数的值域． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题得，则． 又， 所以当时，； 当时，． 综上所述，． （2）依题得： 因，则，故，则 所以的值域为 11．（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，所以， 两边同时除以，得，即. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以. 12．（24-25高三上·山东·月考）16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式. 积化和差：，． 和差化积：，． 运用上面的公式解决下列问题： (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若函数，判断的零点个数，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)仅有1个，理由见解析. 【解析】（1）根据二倍角公式与和差化积恒等式可得： . （2）左边 . 右边 . 因为，所以， 故. （3）仅有一个零点. 显然，下面证明当时，. . 当时，， 所以， 所以当时，. 综上，仅有1个零点. 真题感知 1．（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且都是锐角，则等于（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【解析】因为，且都是锐角，则 所以， 则 则.故选：D. 2．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，故选：D． 3．（24-25高一下·广东茂名·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A 4．（24-25高一上·天津滨海新·期末）已知函数的图象关于直线对称，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【解析】因为，其中， 若函数的图象关于直线对称，为函数的最大值， 则，解得， 所以.故选：B. 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，．根据这些信息，可得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得：，且， ，解得：， 所以（负值不符合题意舍去）， .故选：C 6．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）（多选）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A中，由，所以A符合题意； 对于B中，因为， 得， 所以， 所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由 ，所以D符合题意.故选：ABD. 7．（23-24高三上·江苏南通·月考）（多选）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由， 由， 由上两式解得，所以A,B正确； 对于C：，C错误； 对于D：， 所以或者， 又因为，所以，所以，D正确，故选：ABD 8．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是第三象限角，则 . 【答案】 【解析】因为， 且为第三象限角，所以， 所以. 9．（24-25高一下·湖南长沙·期中）已知，则 ． 【答案】 【解析】原式． 10．（23-24高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2） 【解析】（1）①，， 即. ②在中，，则， 即，结合①结论， 又， ， 又， 即. （2）同①有 ， 又，， ①，②， ②①式得， 即. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$