精品解析：广东省深圳市聚龙科学中学教育集团2024-2025学年高二下学期第二次段考（5月）数学试题

深圳市聚龙科学中学2024-2025学年度下学期第二次段考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：汪亚运 审核人：徐志强 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知数列满足，若，则（ ） A. 28 B. 13 C. 18 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由，即数列是公差为1的等差数列，利用等差数列即可求解. 【详解】由，所以数列是公差为1的等差数列， 所以， 所以， 所以， 故选：C. 2. 的展开式的常数项为（ ） A. 20 B. 120 C. 5 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先写出二项展开式通项公式，再根据次数为零解得对应常数项. 【详解】的展开式的通项公式为：. 令，解得，所以的展开式的常数项为， 故选：A 【点睛】本题考查二项展开式，考查基本求解能力，属基础题. 3. 若则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数的公式即得解一元二次方程即可. 【详解】因为，整理，解得或，且，即，所以． 故选：B． 4. 一批产品共有7件，其中4件正品，3件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数分别求出恰好取出一件不合格产品的基本事件数和从7件产品中取出3件产品的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】恰好取出一件不合格产品的基本事件数为：， 从7件产品中取出3件产品的基本事件数为：， . 故选：B 5. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出答案. 【详解】因为，所以，令，则，． 故选：C 6. 易经是中国传统文化中的精髓，如图所示的是易经八卦(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦)，每一卦由三根线组成(“——”表示一根阳线，“— —”表示一根阴线).现从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中至少有两根阳线的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求这两卦的六根线中只有一根阳线的概率，再利用对立事件，即可得答案； 【详解】从八卦中任取两卦，共有种取法，若从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中只有一根阳线，则应取坤卦，再从震､艮､坎三卦中取一卦，有种取法.所以所求的概率为. 故选：B. 7. 给出下列说法： ①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点； ②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1； ③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差； ④在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位. 其中说法正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】①中，根据回归直线方程的特征，可判定是不正确；②中，根据相关系数的意义，可判定是是正确的；③中，根据方差的计算公式，可判定是正确的；④中，根据回归系数的含义，可判定是正确的. 【详解】解:对于①中，回归直线恒过样本点的中心，但不一定过一个样本点，所以不正确； 对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，所以是正确的； 对于③中，根据平均数的计算公式可得,根据方差的计算公式，所以是正确的； 对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，所以是正确的. 故选：B 【点睛】本题主要考查了统计知识的相关概念及判定，其中解答中熟记回归直线方程的特征，回归系数的含义，相关系数的意义，以及方程的计算方法是解答的关键，属于基础题. 8. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本初等函数的求导公式及导数的运算法则逐个分析判断即可. 【详解】对于A，若，则，故选项A正确； 对于B，若，则，故选项B错误； 对于C，若，则，故选项C正确； 对于D，若，则，故选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知离散型随机变量的分布列为 0 1 则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由概率和为1的性质，可求a；由定义公式可求，利用均值的性质​ 【详解】由分布列的性质，得，故A对； ，B错； ，C对； ，D错. 故选：AC 11. 有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，，由条件概率公式，即可求解；对于B，利用事件，事件相互对立和条件概率公式，即可求解；对于C，根据条件，利用全概论公式，即可求解；对于D，利用选项C中结果，再利用贝叶斯公式，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以选项A正确； 对于选项B，因为事件，事件相互对立，所以，所以选项B不正确； 对于选项C， 由全概率公式知， 所以选项C不正确； 对于选项D，由选项C知 则，所以选项D正确， 故选：AD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 则． 故答案为：. 13. 光明部食堂提供汤粉、煲仔饭、焗饭、盖浇饭、意面、鸡翅包饭、窑鸡7种明星菜品，某学生计划周一到周五每天选择一种不同的菜品作为午餐，他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，那么他共有_________种午餐安排方式．（答案用数字表示） 【答案】1860 【解析】 【分析】利用间接法求解即可. 【详解】从7种菜品中选5种的排列数为种， 周一排汤粉的排列数有种，周五排鸡翅包饭的排列数有， 周一排汤粉且周五排鸡翅包饭的排列数有. 所以他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，那么他共有. 故答案为：. 14. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知函数是上的增函数，也是奇函数，可将所求不等式等价变形为在上恒成立，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】显然函数是上的增函数，也是奇函数， 因为在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，其中，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 故． 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知和为椭圆上两点．求C的离心率； （2）已知双曲线经过点，一条渐近线的斜率为，求双曲线C的方程． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上，代入椭圆方程，求出即可求解； （2）由渐近线斜率得到，再结合在双曲线上，列出等式求解即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以． （2）由一条渐近线的斜率为，可得， 可得：，又在双曲线上， 所以， 解得， 所以双曲线方程为：． 16. 如图，在四棱锥中，平面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） 平面平面，， 又，面APD， 平面， 又平面， ，是的中点，， 又平面平面， 平面； （2）与平面所成的角的正弦值为 【解析】 【分析】（1）通过证明即可证明平面； （2）通过建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 结合条件及（1）可分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，， 平面是平面的一个法向量， 设与平面所成的角为， 则. 与平面所成的角的正弦值为. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，且AC边上的高为，求的周长． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和及诱导公式得到，再利用余弦的倍角公式得到，解得，从而得到； （2）由比例引入常数，利用三角形面积相等得到，从而利用余弦定理得到关于的方程，解之即可得到，由此得解. 【小问1详解】 因为， 所以由得， 所以，解得或， 因为，所以，则，故， 则，故． 【小问2详解】 因为，令，则， 由三角形面积公式可得，则，故， 由余弦定理可得，则，解得， 从而，，，故的周长为． 18. 设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （1）用表示甲同学上学期间的三天中之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 【答案】（1） 0 1 2 3 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可. （2）由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值. 【小问1详解】 因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天之前到校的概率均为， 故，从面. 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的数学期望. 【小问2详解】 设乙同学上学期间的三天中之前到校的天数为，则. 且. 由题意知事件与互斥， 且事件与，事件与均相互独立， 从而由（1）知： . 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：且） （3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在区间上单调递减； （2） 当时，， 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 故，即在上恒成立， 所以当时，， 令且，则， 即，，…，， 所以累加得， 故当且时，. （3） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，讨论的取值范围，求函数的单调区间； （2）首先时，函数为，根据（1）的结论，得时，，再赋值且，代入不等式，利用累加法，即可证明； （3）由所证明的不等式，构造函数，，再讨论得到取值，通过放缩法得到 ，构造函数，利用导数，即可证明. 【小问1详解】 的定义域为，所以， 当时，，在上单调递增， 当时，令，得， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在上单调递减， 综上可得，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在区间上单调递减； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题对任意，都有恒成立， 即在上恒成立， 令，，即在上恒成立， ①当时，由于， 则有， 令，所以， 令，得， 所以当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 所以当时，， 令，则，令，所以， 令，得， 所以当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以当时，， 即在上恒成立，符合题意， ②当时，由于在上单调递增且，， 故存在唯一，使得，即，即，即， 此时这与在上恒成立不符， 综上，实数得到取值范围是 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是赋值且，转化为数列问题，证明不等式，第三问的关键是讨论不同的的取值，从而讨论不同的函数是否满足条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市聚龙科学中学2024-2025学年度下学期第二次段考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：汪亚运 审核人：徐志强 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知数列满足，若，则（ ） A. 28 B. 13 C. 18 D. 2 2. 的展开式的常数项为（ ） A. 20 B. 120 C. 5 D. 8 3. 若则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 一批产品共有7件，其中4件正品，3件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（     ） A. B. C. D. 5. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 易经是中国传统文化中的精髓，如图所示的是易经八卦(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦)，每一卦由三根线组成(“——”表示一根阳线，“— —”表示一根阴线).现从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中至少有两根阳线的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 给出下列说法： ①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点； ②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1； ③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差； ④在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位. 其中说法正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 8. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知离散型随机变量的分布列为 0 1 则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则_____． 13. 光明部食堂提供汤粉、煲仔饭、焗饭、盖浇饭、意面、鸡翅包饭、窑鸡7种明星菜品，某学生计划周一到周五每天选择一种不同的菜品作为午餐，他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，那么他共有_________种午餐安排方式．（答案用数字表示） 14. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_____． 四、解答题（本大题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知和为椭圆上两点．求C的离心率； （2）已知双曲线经过点，一条渐近线的斜率为，求双曲线C的方程． 16. 如图，在四棱锥中，平面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角的正弦值. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，且AC边上的高为，求的周长． 18. 设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （1）用表示甲同学上学期间的三天中之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：且） （3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $