专题10 一元函数的导数及其应用（8题型）（云南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题10 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01曲线的切线方程及其应用 题型02曲线的公切线问题 题型03比较函数值的大小 题型04根据函数的单调性解不等式 题型05利用导数研究函数的零点 题型06研究函数的极（最）值问题 题型07根据不等式求参数 题型08利用导数综合研究函数的性质 优选提升题 ( 题型01 ) 曲线的切线方程及其应用 1．（23-24高二下·云南大理·期末）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故选：A 2．（23-24高二下·云南·期末）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】运用导数求得切线方程，再求得切线与两坐标轴的交点，进而可求得三角形面积. 【详解】由，则， ，所以在处切线的方程为，即， 令，得；令，得， 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为. 故选：A. 3．（23-24高二下·云南·期末）已知函数是奇函数，当时，，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的加减法 【分析】由题意可得，，再根据函数为奇函数可得，，即可得解. 【详解】的图象在处的切线方程为， 则，， 当时，，， 因为是奇函数，图象关于原点对称， 的图象在处及处的切线也关于原点对称， 所以，， 即，所以，，． 故选：D. 4．（23-24高二下·云南玉溪·期末）过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 【答案】D 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解． 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或-1． 故选：D 5．（23-24高二下·云南曲靖·期末）求曲线在点处的切线的倾斜角为 . 【答案】/ 【知识点】导数的运算法则、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的几何意义可得，求出即可. 【详解】易知点在曲线上， 设，则，所以， 设曲线在处的切线的倾斜角为， 则，解得. 故答案为： 6．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： ( 题型02 ) 曲线的公切线问题 1．（23-24高二下·云南楚雄·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】分别设两曲线上的两个切点坐标，然后利用导数求斜率，用斜率相等建立方程①，再利用两点坐标求斜率再次利用斜率相等建立方程②，解方程组即可求得切点横坐标，最后求得切点与斜率即可得解. 【详解】由，得，由，得． 设直线与曲线切于点，与曲线切于点， 则，又， 由方程①②解得，所以直线过点，斜率为1， 即的方程为． 故选：B. 2．（23-24高二下·云南·期末.2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： ( 题型03 ) 比较函数值的大小 1．（23-24高二下·云南·期末）已知，则的大关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、作差法比较代数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】根据的特点，构造函数，判断其单调性，得到，故有，再运用作差法比较即得. 【详解】设，则， 当时，，在上递增； 当时，，在上递减, 故. 则，即； 由可知，故. 故选：B. 2．（23-24高二下·云南保山·期末）已知，比较三个数的大小，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】分别构造函数，，利用导数求导，得单调性求解． 【详解】设，则， 所以在上单调递增，故时，恒成立，即， 所以有，故； 设，则， 所以在上单调递减，故时，恒成立，即，所以有，，得， 综上：， 故选：A． ( 题型04 ) 根据函数的单调性解不等式 1．（23-24高二下·云南·期末）已知，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】判断出为偶函数，且在上单调递增，将所求不等式利用函数性质转化为利用单调性解得答案. 【详解】定义域为R， ， 所以函数为偶函数，又因为， 时，， 时，， 故， 所以在上单调递增， 则不等， 即解得:. 所以不等式的解集为. 故选：C. 2．（23-24高二下·云南·期末）设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】构造函数，根据题意和导数求得函数在上单调递减，再由，得到为偶函数，结合对称性得到在上单调递增，把不等式，转化为，即可求解. 【详解】令函数， 因为，时，所以， 所以函数在上单调递减， 又因为， 所以函数，所以为偶函数， 根据偶函数的对称性，可得在上单调递增， 若 则， 整理得，所以， 两边平方可得，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. ( 题型0 5 ) 利用导数研究函数的零点 1．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数在上有且仅有一个零点，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】问题转化为在上有且仅有一个零点，构造函数，，对其求导，结合导数分析的性质，进而可求． 【详解】解：因为在上有且仅有一个零点， 即在上有且仅有一个实根， 令，， 则，令，则恒成立， 所以在上单调递增，且， 故时，，单调递增，当时，，单调递减， 故， 因为， 故当与在上只有一个交点时，． 故选：B． 2．（23-24高二下·云南大理·期末）已知函数的导数为，若方程有解，则称函数是“T函数”，则下列函数中，不能称为“函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数零点或方程根的个数、利用导数研究函数的零点 【分析】求出函数的导数，若方程有解，则函数是“T函数”，依次判断选项即可. 【详解】对于A，，则，令， 解得：，则函数是“T函数”； 对于B，，则，令， 所以，则在上单调递增，，， 根据零点存在定理可得：存在，使得， 即方程有解，则函数是“T函数”； 对于C，，则， 因为，则，即方程无解，则不是“T函数” 对于D，，则， 令，则， 所以在上单调递增；由于，，所以存在，使得， 即有解，则函数是“T函数” 故选：C ( 题型0 6 ) 研究函数的极（最）值问题 1．（23-24高二下·云南·期末）设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数 【分析】先求导，然后根据导函数和极值点的关系求出及的范围，然后代入，构造函数求最值即可. 【详解】函数定义域为，， 又函数存在两个极值点， 所以方程在上有两个不相等的正实数根， 则，解得， 又 设， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增加， 因为不等式恒成立， 即恒成立， 所以. 故选：D. ( 题型0 7 ) 根据不等式求参数 1．（23-24高二下·云南·期末）已知函数，若对任意的，，当时，都有，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】构造函数，求导，分离参数得到在上恒成立，再构造函数，求的最值即可求解. 【详解】不等式等价于， 令， 根据题意对任意的，当时，， 所以函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 所以当时，，即在区间单调递增， 当时，，即在区间上单调递减， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. ( 题型0 8 ) 利用导数综合研究函数的性质 1．（23-24高二下·云南昆明·期末）函数，，则下列说法错误的是（    ） A．，使得为偶函数 B．，使得曲线为中心对称图形 C．，存在极值 D．，存在两个零点 【答案】D 【知识点】判断特称（存在性）命题的真假、余弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】利用余弦型函数的性质分别判断各选项即可得解. 【详解】A：当时，，关于坐标原点对称， 此时，A正确； B：， 令，，解得，， 即函数的对称中心为，， 即当，即，时，曲线为中心对称图形，B正确； C：因为的最小正周期为，， 所以函数，存在极值，C正确； D：取，则，又， 由余弦函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以在上没有零点，在上只有一个零点，D错误； 故选：D. 2．（多选）（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上单调递增，则的范围为 D．函数有两个极值点 【答案】ABD 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求已知函数的极值点 【分析】根据求导根据函数值与导数值直接可判断A选项，根据函数值情况解不等式可判断B选项，求导根据函数的单调性可判断D选项，并可列不等式，解不等式判断C选项. 【详解】由，则， A选项：由，解得， ，，A选项正确； B选项：，解得，B选项正确； C选项，D选项：， 由， 所以令，解得或， 所以函数的单调递增区间为和， 单调递减区间为， 则函数函数有两个极值点，D选项正确； 又函数在上单调递增，则，解得， 或，无解，综上，C选项错误. 故选：ABD. 3．（多选）（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，对所有的，都有，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在上可能单调递增 D．在上可能单调递减 【答案】AC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】应用赋值法及化简判断A,B选项，再根据导函数的正负判断函数单调性即可判断C,D选项. 【详解】令，则， 若，则，即， 所以为常数，则． 因为，所以，所以为奇函数，故A正确，B错误． ，当时，在上单调递增，故C正确． 结合是开口向上的二次函数可知，不可能恒成立，故D错误． 故选：AC. 4．（多选）（23-24高二下·云南·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数的极小值为 D．若有3个不等实根，则 【答案】BCD 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】根据导函数求出函数的单调性判断A，B选项，再求极小值判断C，根据方程根求和即可得出D选项. 【详解】对于A，因为， 所以 ，， ，，函数在上单调递增， ，， 则函数在上单调递减，故A错误； 对于B，在上，，函数在上单调递减，故B正确； 对于C，，函数在上单调递增， 所以当时，取极小值，故C正确； 对于D，， 故 ， 根据待定系数法得，故D正确. 故选：BCD. 5．（多选）（23-24高二下·云南·期末）已知函数，则（    ） A．当时，函数存在极值点 B．若函数在点处的切线方程为直线，则 C．点是曲线的对称中心 D．当时，函数有三个零点 【答案】BC 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点、函数极值点的辨析 【分析】根据函数的单调性判断A，再由切线斜率即切点横坐标导数判断B，根据函数中心对称的性质判断C，根据函数的单调性及极值的正负判断D. 【详解】由，可得， 对A，当时，，在上单调递增， 故函数不存在极值点，故A错误； 对B，由切线方程知，解得，故B正确； 对C，因为，所以函数关于成中心对称，故C正确； 对D，当时，，当或时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 极大值为，极小值为， 故函数一定不会有3个零点，至多1个零点，故D错误. 故选：BC 6．（多选）（23-24高二下·云南临沧·期末）（多选）已知函数，则（    ） A．当时，在上单调递减 B．当时，在上恒成立 C．有2个零点，则 D．有极值，则 【答案】AC 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】对于A，当时，利用时，，即可判断；对于B，利用，即可判断；对于C，讨论的单调性，令，即可判断；对于D，利用当时，的单调性即可判断. 【详解】对于A，B选项，，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， ∴，∴；故A正确，B错误； 对于C选项，， 当时，，单调递增，最多有一个零点， 当时，令，得， 当时，，单调递减， 时，，单调递增， 故， 若有2个零点，则只需，解得，故C正确； 根据选项C分析，结合极值概念可知，时，有唯一的极小值，故D错误. 故选：AC. 7．（多选）（23-24高二下·云南·期末）已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（    ） A．是偶函数 B．曲线关于直线对称 C． D． 【答案】BC 【知识点】由抽象函数的周期性求函数值、简单复合函数的导数、判断或证明函数的对称性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】对于A：结合赋值法与函数奇偶性的定义计算；对于B：结合复合函数导数公式与对称性可判断；对于CD：借助赋值法结合周期性分析求解. 【详解】因为的定义域为， 对于选项A：令，可得，即， 令，可得，且不恒为零， 则，即， 所以是奇函数，故A错误； 对于选项B：令，可得， 即，即，可得， 令，可得，即， 当时，有， 所以； 当，有， 可得， 当，结合，有， 可得，所以； 综上所述：， 两边同时求导可得，可知曲线关于直线对称， 所以曲线关于直线对称，故B正确； 对于选项C：由选项B可知：， 若，即， 可得，可知为的周期； 若，即， 可得，可知为的周期； 综上所述：为的周期. 且，所以，故C正确； 对于选项D：由选项B可知：， 令，可得， 可得， 结合周期性可得，故D错误. 故选：BC. 1．（23-24高二下·云南大理·期末）对函数做如下操作：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，依次类推.现已知初始点为，若按上述过程操作，则 ，所得三角形的面积为 .（用含有的代数式表示） 【答案】 （也可写为）. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】先得到，求导，根据导数几何意义得到切线方程，求出，，依次求解，得到，，，，从而求出的面积为. 【详解】因为，所以， ，故， 在处的切线方程为， 令得，故， 则，故， 故， 故在处的切线方程为， 令得，即， 依次类推，，， 又， 故的面积为. 故答案为：， 2．（23-24高二下·云南·期末）设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则 . 【答案】-1 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】考虑到两曲线关于直线对称，的最小值可转化为点到直线的最小距离的两倍，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线对应的切点坐标，代到点到直线的距离公式中，可求得，再分类讨论出符合题意的即可. 【详解】因为与互为反函数，其图象关于直线对称， 又点在曲线上，点在曲线上，的最小值为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为， 设与直线平行且与曲线相切的切线的切点， ，解得，所以， 得到切点，点到直线即的距离， 解得或3. 当时，过点和，过点和， 又，，所以与相交，不符合题意； 当时，令，则，当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即恒成立， 所以与不相交，符合题意. 综上，. 故答案为：-1. 【点睛】关键点点睛：与关于直线对称，当P、Q在和上的对应点关于直线对称且切线与平行时，最小. 3．（23-24高二下·云南·期末）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求，； (2)求的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，，单调递减区间为；极大值为，极小值为 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）计算出，求导，根据切线斜率得到方程，求出的值； （2）在（1）的基础上，解不等式，得到函数单调区间和极值. 【详解】（1）定义域为，， 将点代入中， ，∴. 所以，解得 （2）， ， 2 ＋ 0 － 0 ＋ 极大值 极小值 的单调递增区间为，，单调递减区间为； 的极大值为，极小值为. 4．（23-24高二下·云南·期末）已知函数 (1)当时，求函数的最小值； (2)，，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性可得最小值； （2）分类参数，设，利用导数求函数的最大值，即可得的取值范围. 【详解】（1）当时， ， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ； （2），， ， 令，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ， ，即的取值范围是. 5．（23-24高二下·云南·期末）已知函数. (1)若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值. (2)若在只有一个零点，求. 【答案】(1)极小值，无极大值； (2). 【知识点】利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值、已知切线（斜率）求参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）求出函数的导数，结合几何意义求出，再分析单调性求出极值. （2）由函数零点的意义，等价变形得在只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，， 依题意，，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，无极大值. （2）函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点， 设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解， 即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点， 令，求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在取得极小值同时也是最小值， 当时，；当时，， 画山大致的图象，如图， 在只有一个零点时，， 所以在只有一个零点吋，. 6．（23-24高二下·云南·期末.2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 7．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)设函数，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)单调性见解析；极大值为1，无极小值 (2)答案见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参）、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）根据，即可得出的单调性，结合极值的概念即可求解； （2）将原问题转化为直线与函数图象的交点个数，由（1）可得的单调性，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】（1），则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，且，无极小值. （2）由题意知， 要求函数的零点个数，即求方程的根的个数， 即求直线与函数图象的交点个数. 由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，当时， 如图， 由图可知当或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 当时，函数有0个零点. 8．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知. (1)求在点处的切线方程； (2)记的最大值为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出的导函数，再将，代入导函数中得到该点的斜率，再使用点斜式即可得到切线方程. （2）由函数可知，当时，，所以只需讨论的情况. 根据导函数讨论函数的单调性，求出函数的最大值点，而且，.即可证明. 【详解】（1），，， 所以在点处的切线方程为. （2）证明：当时，；当时，， 所以求的最大值为只需讨论时，， 令，, 当时，，在上单调递减， ，，故，使得. 即. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以. 由于，，所以. 9．（23-24高二下·云南红河·期末）已知函数，（）. (1)当时，求出方程解的个数； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)1个 (2)见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）设，结合函数的单调性求解即可； （2）根据和0的大小关系，进行分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， 即， 设， 则， 且定义域为， 故在时，恒成立，在上单调递增， 在时，恒成立，在上单调递减， 所以， 故只有一个解， 即方程只有一个解. （2）函数定义域为， 由题意， 当时，在时，恒成立，在上单调递增， 当时，的解为，的解为， 在上递增，在上递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上递增，在上递减． 10．（23-24高二下·云南·期末）已知函数 (1)若，判断函数的单调性，并求出函数的最值. (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，最小值为，无最大值 (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）把的值代入函数的解析式，从而根据导数判断函数的单调性，进而可求函数的最值； （2）利用导数判断函数的单调性，根据单调性可求函数的最小值；根据题意列出满足条件的的不等式，从而求出的范围，然后验证即可. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 当时，， 所以， 当时，；当，； 所以在上单调递减，在上单调递增； 由此可得，的最小值为，无最大值. （2）因为，所以. 当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 故可得函数至多只有一个零点，不符合题意； 当时，令，设该方程的解为， 则在上，；在上，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 为了满足有两个零点，则有  ① 因为是方程的解，所以，两边取对数可得  ②， 将②式代入①式可得，所以的取值范围为. 且当时，由②式得，所以在上仅有1个零点；当时，，故可得在上仅有1个零点； 综上，若函数存在两个零点，则实数的取值范围是. 11．（23-24高二下·云南保山·期末）（1）设，求在点处的切线方程； （2）若是函数的极值点，求实数的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】根据极值点求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，求出直线的斜率，即可求解； （2）对求导，得到，利用条件得到，法一，利用与的图象与性质，得到在上单调递增，且存在，使在上单调递减，由极值点的定义，即可求解；法二，利用导数与函数单调性间的关系，求解得在上单调递减，在上单调递增，即可求解. 【详解】（1）由题意得：， ，切点是， 切线斜率，故切线方程是：． （2）方法一：由条件得，因为且是的极值点， 所以，即． 当时，， ， ， 当时，，所以在上恒成立，即在上单调递增， 如图，由与的图象可知， 存在，使得当， 即存在，使在上单调递减， 所以是的极小值点． 综上，实数的值为1． 方法二：，因为是的极值点， 所以，，即． 当时，， 令，则，令， 当时，，所以恒成立． ，当时，，故， 所以在上单调递增， 因为，所以，所以，所以，所以， ， 对任意，故在上单调递增， 又，所以当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 满足是的极值点， 综上，实数的值为1． 12．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数． (1)当时，求过点的切线方程； (2)若有极值且恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）转化为，利用导数求出最小值，由可得答案． 【详解】（1）的定义域，当时，， ，，， 所以过点的切线方程为，即； （2）由得，． 当时，，在上单调递减， 无极值，故舍去； 当时，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以存在极小值，且． 令，， ，因为，所以， 所以在上单调递增， 且，由得， 所以． 13．（23-24高二下·云南·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)单调递减区间为和，单调递增区间为； (3)． 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再把代入原函数求出，最后由点斜式写出直线方程即可； （2）求导后令导数为零，解出两个根，再由导数的正负确定单调区间即可； （3）含参数的函数不等式恒成立问题，先由单调性得到，，，解不等式得到参数的范围，再比较参数大小，确定范围即可. 【详解】（1）因为，所以． 所以． 所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，定义域为， 所以． 因为，令，即， 解得，，所以． 当x变化时，，的变化情况如下表所示． x 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为． （3）在（2）的条件下，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 因为对于任意，不等式成立， 所以，，． 所以，得，，得； ，得． 因为， 所以． 所以a的取值范围是． 14．（23-24高二下·云南·期末）已知函数. (1)若在上单调递增，求实数的取值范围. (2)已知方程有两个不相等的实数根，且. ①求的取值范围； ②若，证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究方程的根 【分析】（1）根据函数单调可得在上恒成立，即可得，设，求导确定单调性及最值，即可得实数的取值范围； （2）①根据方程有两个不相等的实数根，即转化为方程方程有两个不相等的实数根，由（1）可得的单调性，结合其取值，即可得实数的取值范围；②由零点得，利用比值代换，设令，，可设，求导确定其单调性，利用单调性即可证明结论. 【详解】（1）因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立. 因为，所以，即. 令，则，令，得 所以在上单调递增，在上单调递减，所以. 由，得，即的取值范围是. （2）①由题意知关于的方程，有两个不相等的实数根， 即关于的方程有两个不相等的实数根， 即关于的方程有两个不相等的实数根，等价于直线与曲线有两个不同的交点. 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，又 则当时，，当时，，所以. ②因为所以， 所以 令，因为，所以， 所以. 令，则. 令，则， 所以在上单调递增， 所以，所以当时，， 所以在上单调递减. 因为，所以， 所以，所以 【点睛】方法点睛： （1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．； （2）方程的根或函数零点有关的双变量不等式证明，常转化为单变量问题，结合导数确定函数最值，即可证明结论，设，是常见的方法. 15．（23-24高二下·云南大理·期末）已知函数为函数的极值点. (1)求实数的值，并求出的极值； (2)若时，关于的方程有两个不相等实数根. ①求实数的范围； ②求证. 【答案】(1)，极小值为0，无极大值 (2)①；②证明见解析 【知识点】求已知函数的极值、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先求导函数再根据导数正负得出单调性再求出极值即可； （2）应用函数单调性结合零点个数求参即可，构造函数根据函数单调性证明不等式即可. 【详解】（1）由已知：， 依题意：，解得， 此时，当时，则单调递减，当时， 单调递增，故是函数唯一的极小值点， 则，无极大值. （2）①由（1），时单调递减，时单调递增， 故. 又，则 ， 由方程有两解可得， ②由题意可知， 要证，即证，由于且时单调递减 即证，由于，即证 令 所以在单调递减，所以，所以成立， 所以原命题成立，即成立. 【点睛】方法点睛：构造函数，再求导函数根据导函数正负判断函数单调性证明不等式. 16．（23-24高二下·云南·期末）已知函数，且的极值点为. (1)求； (2)证明：； (3)若函数有两个不同的零点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值点 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合极值点的定义即可求解； （2）由（1）知，要证只需证.设，利用导数研究函数的单调性，得，即可证明； （3）由零点的定义可得，由（2），只需证，即证.设，结合换元法，只需证，利用导数证得即可. 【详解】（1）由， 则， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以为的极大值点，即. （2）由（1）知，， 要证，只需证，即， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以，即，所以. （3）因为是的两个不同的零点， 所以， 两式相减并整理，得. 设，由（2）知， 所以要证，只需证，即证. 设，下面只需证， 设，则， 所以在上单调递增，从而， 所以成立，从而. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略. 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 17．（23-24高二下·云南·期末）已知函数（）． (1)当时，求函数的最小值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性，进而可得最值； （2）由，可知，可初步确定的取值范围，再变换主元，根据关于函数单调性可得，再根据（1）可知当时恒成立. 【详解】（1）当时，，， 可得，， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 则函数的最小值为； （2）由题意有， 又由函数（）单调递减，且，可得， 下面证明：当时，， 由关于的函数（）单调递减， 则有， 由（1）有，故有在时恒成立， 故若，则实数的取值范围为． 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 18．（23-24高二下·云南·期末）英国物理学家、数学家艾萨克·牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立发明了微积分，其中牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.如图，具体做法如下：一个函数的零点为，先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，以此类推，直到求得满足精度的零点近似解为止. (1)设函数，初始点，精度，若按上述算法，求函数的零点近似解满足精度时的最小值（参考数据：）； (2)设函数，令，且，若函数，，证明：当时，. 【答案】(1)3 (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）由导数的几何意义，求出函数在时的切线方程，然后令，求出的满足题意的近似值即可； （2）由曲线在，处的切线方程得到切线与轴交点横坐标为，再由函数，得到，，进而得到，曲线的一条切线方程为，然后将问题转化为． 【详解】（1）令，解得，即 由函数，则， 当，则切线斜率，且， 那么在点处的切线方程为， 令，切线与轴的交点横坐标为， 因为， 当，则切线斜率，且， 那么在点处的切线方程为， 令，切线与轴的交点横坐标为， 因为， 函数的零点近似解满足精度时的最小值为3. （2）曲线在处的切线为，所以切线与轴交点横坐标为， 当函数时，即， 得，又，则，， 故，曲线的一条切线方程为， 要证：当时，，即证：，即， 又，故曲线在处的切线方程为，因为， 故可猜测：当且时，的图象恒在切线的上方． 下证“当时，”． 证明：设，， 则，令，则且在上单增， 当时，，故单调递减；当时，，故单调递增， 又，，，， 所以，存在，使得， 当时，；当，， 那么在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，当且仅当时取等号， 故，． 易证，故，，当且仅当时取等号． 所以，， 即．所以，， 即成立，当时等号成立． 故当时，. 【点睛】思路点睛：第（1）题根据题干中的材料求对应切线方程，再求对应直线与x轴交点横坐标，再求值，即可得解. 第（2）问先求得，再求得切线方程，将问题转化为，接下来证明的思路：先证明，，，再由，得到，放缩即可证明. 19．（23-24高二下·云南·期末）若存在正实数，对任意，使得，则称函数在上被控制． (1)已知函数在上被控制，求的取值范围． (2)①证明：函数在上被控制． ②设，证明：． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）由函数在上被控制的定义，构造函数利用导数分析单调性最值求解参数的取值范围即可； （2）①利用导数分析函数的单调性最值结合函数在上被控制的定义证明即可，②由①可知，当时，，则，证明即可. 【详解】（1）因为在上单调递增，所以． 由，可得． 令，，则． 当时，由，得， 所以当时，，函数单调递减，，不符合题意； 当时，，因为，所以， 则，所以函数在上单调递增，，符合题意． 综上，的取值范围为． （2）证明：①由题可知在上恒成立， 所以在上单调递增，则． 令，， 则， 所以在上单调递增，则，即，所以． 故在上被控制． ②由①可知，当时，，当且仅当时，等号成立， 则， 即，即， 则有， 即． 【点睛】一般地，证明不等式可以构造函数，转化为利用导数分析函数的单调性求解最值即可，对于新定义的函数问题，严格根据其定义去证明不等式即可. 20．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，设，曲线在点处的切线交轴于点，当时，设曲线在点处的切线交轴于点，依次类推，称得到的数列为函数关于的“数列”，已知. (1)若是函数关于的“数列”，求的值; (2)若是函数关于的“数列”，记. （i）证明:是等比数列; （ii）证明:. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【知识点】数列不等式恒成立问题、数列新定义、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据“数列”的定义，求出函数导数，进而求出切线方程，即可求得答案； （2）（i）根据“数列”的含义，结合等比数列定义，即可证明结论；（ii）求出，即可将原不等式转化为，结合，转化为证，由此可结合不等式结构特征，构造函数，利用导数判断函数单调性进行证明即可. 【详解】（1）由题意知，，所以， 曲线在点处的切线处的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，解得，所以． （2）（i）证明：， 则在处的切线斜率为， 所以在处的切线方程为， 令，解得， 所以，所以， 即 所以是以首项为，公比为2的等比数列． （ii）由（i）可知，数列的通项公式，则， 要证，即证：． 当时，成立； 因为，即证：， 即证： 构造函数，则 故在单调递增，对任意， 即，取，则有， 故只需证：， 即需证：， 构造函数，则， 故在单调递减，则， 即对任意，取，即有， 综上，． 【点睛】难点点睛：本题考查了导数和数列知识的综合问题，难度较大，解答的难点在于数列不等式的证明，解答时要能结合数列不等式的结构特征，不断的构造函数，结合导数判断单调性进行证明. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01曲线的切线方程及其应用 题型02曲线的公切线问题 题型03比较函数值的大小 题型04根据函数的单调性解不等式 题型05利用导数研究函数的零点 题型06研究函数的极（最）值问题 题型07根据不等式求参数 题型08利用导数综合研究函数的性质 优选提升题 ( 题型01 ) 曲线的切线方程及其应用 1．（23-24高二下·云南大理·期末）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南·期末）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·云南·期末）已知函数是奇函数，当时，，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A．4 B． C．2 D． 4．（23-24高二下·云南玉溪·期末）过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 5．（23-24高二下·云南曲靖·期末）求曲线在点处的切线的倾斜角为 . 6．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . ( 题型02 ) 曲线的公切线问题 1．（23-24高二下·云南楚雄·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南·期末.2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . ( 题型03 ) 比较函数值的大小 1．（23-24高二下·云南·期末）已知，则的大关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南保山·期末）已知，比较三个数的大小，则有（    ） A． B． C． D． ( 题型04 ) 根据函数的单调性解不等式 1．（23-24高二下·云南·期末）已知，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南·期末）设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是 . ( 题型0 5 ) 利用导数研究函数的零点 1．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数在上有且仅有一个零点，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24高二下·云南大理·期末）已知函数的导数为，若方程有解，则称函数是“T函数”，则下列函数中，不能称为“函数”的是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 6 ) 研究函数的极（最）值问题 1．（23-24高二下·云南·期末）设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 7 ) 根据不等式求参数 1．（23-24高二下·云南·期末）已知函数，若对任意的，，当时，都有，则实数的取值范围是 ． ( 题型0 8 ) 利用导数综合研究函数的性质 1．（23-24高二下·云南昆明·期末）函数，，则下列说法错误的是（    ） A．，使得为偶函数 B．，使得曲线为中心对称图形 C．，存在极值 D．，存在两个零点 2．（多选）（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上单调递增，则的范围为 D．函数有两个极值点 3．（多选）（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，对所有的，都有，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在上可能单调递增 D．在上可能单调递减 4．（多选）（23-24高二下·云南·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数的极小值为 D．若有3个不等实根，则 5．（多选）（23-24高二下·云南·期末）已知函数，则（    ） A．当时，函数存在极值点 B．若函数在点处的切线方程为直线，则 C．点是曲线的对称中心 D．当时，函数有三个零点 6．（多选）（23-24高二下·云南临沧·期末）（多选）已知函数，则（    ） A．当时，在上单调递减 B．当时，在上恒成立 C．有2个零点，则 D．有极值，则 7．（多选）（23-24高二下·云南·期末）已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（    ） A．是偶函数 B．曲线关于直线对称 C． D． 1．（23-24高二下·云南大理·期末）对函数做如下操作：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，依次类推.现已知初始点为，若按上述过程操作，则 ，所得三角形的面积为 .（用含有的代数式表示） 2．（23-24高二下·云南·期末）设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则 . 3．（23-24高二下·云南·期末）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求，； (2)求的单调区间和极值. 4．（23-24高二下·云南·期末）已知函数 (1)当时，求函数的最小值； (2)，，求的取值范围. 5．（23-24高二下·云南·期末）已知函数. (1)若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值. (2)若在只有一个零点，求. 6．（23-24高二下·云南·期末.2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 7．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)设函数，讨论函数的零点个数. 8．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知. (1)求在点处的切线方程； (2)记的最大值为，求证：. 9．（23-24高二下·云南红河·期末）已知函数，（）. (1)当时，求出方程解的个数； (2)讨论函数的单调性. 10．（23-24高二下·云南·期末）已知函数 (1)若，判断函数的单调性，并求出函数的最值. (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 11．（23-24高二下·云南保山·期末）（1）设，求在点处的切线方程； （2）若是函数的极值点，求实数的值． 12．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数． (1)当时，求过点的切线方程； (2)若有极值且恒成立，求的取值范围． 13．（23-24高二下·云南·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 14．（23-24高二下·云南·期末）已知函数. (1)若在上单调递增，求实数的取值范围. (2)已知方程有两个不相等的实数根，且. ①求的取值范围； ②若，证明：. 15．（23-24高二下·云南大理·期末）已知函数为函数的极值点. (1)求实数的值，并求出的极值； (2)若时，关于的方程有两个不相等实数根. ①求实数的范围； ②求证. 16．（23-24高二下·云南·期末）已知函数，且的极值点为. (1)求； (2)证明：； (3)若函数有两个不同的零点，证明：. 17．（23-24高二下·云南·期末）已知函数（）． (1)当时，求函数的最小值； (2)若，求实数的取值范围． 18．（23-24高二下·云南·期末）英国物理学家、数学家艾萨克·牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立发明了微积分，其中牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.如图，具体做法如下：一个函数的零点为，先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，以此类推，直到求得满足精度的零点近似解为止. (1)设函数，初始点，精度，若按上述算法，求函数的零点近似解满足精度时的最小值（参考数据：）； (2)设函数，令，且，若函数，，证明：当时，. 19．（23-24高二下·云南·期末）若存在正实数，对任意，使得，则称函数在上被控制． (1)已知函数在上被控制，求的取值范围． (2)①证明：函数在上被控制． ②设，证明：． 20．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，设，曲线在点处的切线交轴于点，当时，设曲线在点处的切线交轴于点，依次类推，称得到的数列为函数关于的“数列”，已知. (1)若是函数关于的“数列”，求的值; (2)若是函数关于的“数列”，记. （i）证明:是等比数列; （ii）证明:. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$