专题13 随机变量及其分布列（7题型）（云南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题13 随机变量及其分布列 题型概览 题型01计算条件概率 题型02独立重复试验的概率问题 题型03正态分布及其应用 题型04二项分布等综合问题 题型05随机变量均值、方差的综合问题 题型06超几何分布与条件概率 题型07概率与统计的综合问题 优选提升题 ( 题型01 ) 计算条件概率 1．（23-24高二下·云南·期末）已知、分别为随机事件A、的对立事件，，，则下列等式错误的是（   ） A． B． C．若A、独立，则 D．若A、互斥，则 2．（23-24高二下·云南·期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.7，甲、乙每次投篮的结果相互独立.抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5，则第三次投篮的人是甲的概率为（    ） A．0.35 B．0.525 C．0.575 D．0.595 3．（23-24高二下·云南·期末）假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是 . 4．（23-24高二下·云南·期末）盒中有4个白球，5个黄球，先随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并另放入同色球2个，第二次再从盒中取一个球，则第二次取出的是黄球的概率为 . ( 题型02 ) 独立重复试验的概率问题 1．（23-24高二下·云南·期末）小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（   ） A． B． C． D． ( 题型03 ) 正态分布及其应用 1．（23-24高二下·云南·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 2．（23-24高二下·云南·期末）已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率约为，和.若某校高一年级名学生的某次考试成绩服从正态分布，则此次考试成绩在区间内的学生大约有（    ） A．780人 B．763人 C．655人 D．546人 ( 题型04 ) 二项分布等综合问题 1．（23-24高二下·云南红河·期末）以下说法正确的是（    ） A．若，，则 B．随机变量，，若，则 C．若，，，则 D．，且，则 ( 题型0 5 ) 随机变量均值、方差的综合问题 1．（23-24高二下·云南·期末）下列说法错误的是（       ） A．若随机变量满足且，则 B．已知随机变量～，若，则 C．若事件相互独立，则 D．若两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强 2．（23-24高二下·云南·期末）一名射击运动员射击一次击中目标的概率为，各次射击互不影响．若他连续射击两次，则下列说法正确的是（    ） A．事件“至多击中一次”与“恰击中一次”互斥 B．事件“两次均未击中”与“至少击中一次”相互对立 C．事件“第一次击中”与“两次均击中”相互独立 D．记为击中目标的次数，则， 3．（23-24高二下·云南·期末）某不透明的盒子里装有若干个形状、大小、材质完全相同的红色和黑色的小球，现从盒子里随机抽取小球，每次抽取一个，用随机变量表示事件“抽到的小球为红色”发生的次数，下列说法正确的有（    ） A．若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里不放回地抽取小球，则第一次抽到红色小球且第二次抽到黑色小球的概率为 B．若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里有放回地抽取6次小球，则且 C．若盒子里有个小球，其中红色小球有个，从盒子里不放回地随机抽取6个小球，且有红色球的数学期望为2，则盒子里黑色小球的个数是红色小球个数的2倍 D．若，，，，则 4．（23-24高二下·云南保山·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．若随机变量，则方差 B．在的展开式中的系数是80 C．已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D．若随机变量的分布列为，则 ( 题型0 6 ) 超几何分布与条件概率 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）某工厂在春节期间为职工举办了趣味有奖灯谜活动，有6个灯谜，编号为：个灯谜中猜对1个获“小奖”，猜对3个获“中奖”，猜对6个获“大奖”． (1)小王从6个灯谜中任取3个作答，设选中编号为的灯谜的个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望； (2)若小王猜对任一编号灯谜的概率为，求小王在猜对编号为的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率． ( 题型0 7 ) 概率与统计的综合问题 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的50名学生，整理得到如下列联表： 男学生 女学生 合计 喜欢运动 8 4 12 不喜欢运动 2 36 38 合计 10 40 50 (1)依据的独立性检验，能否认为学生的性别与是否喜欢运动有关联？ (2)现从喜欢运动的学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量为男学生的人数，求的分布列和数学期望. 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 2．（23-24高二下·云南·期末）某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为 了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 投入额 10 30 40 60 80 90 110 年收入的附加额 7．30 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 1．（23-24高二下·云南·期末）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则 ； ． 2．（23-24高二下·云南·期末）第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”． (1)求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现采用分层抽样的方式从分数在，内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 3．（23-24高二下·云南·期末）袋子中有大小相同的2个白球､3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球. (1)若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率； (2)若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值. 4．（23-24高二下·云南·期末.2016·全国I卷·高考真题）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：    以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （1）求X的分布列； （2）若要求，确定n的最小值； （3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？ 5．（23-24高二下·云南昆明·期末）如图，甲、乙、丙、丁四名同学分别站在一个正方形的四个顶点进行传球训练，每次由一人随机将球传给另外三人中的一人，任意一人持球时，传给位于相邻顶点同学的概率为，传给位于对角线顶点同学的概率为，传球3次为一轮. (1)已知第一次由随机一名同学将球传出，若，设事件为“一轮中每人各持一次球”. （i）求及事件的概率; （ii）设三轮传球中，事件发生的次数为，求的分布列与数学期望; (2)已知第一次由甲将球传出，在一轮传球中，乙、丙两人，谁两次持球的可能性更大? 6．（23-24高二下·云南·期末）广场舞､健步走已成为广大群众喜闻乐见的健身活动，但围绕其噪音､占道发生的“扰民”问题常让人感到头疼，也成为社会关注的热点.不少地区为此出台了相关政策，对违规行为进行处罚，某地为引导群众文明开展健身活动，促进全民养成文明健康､绿色环保的生活方式，规范广场舞､集体健步走等活动的开展，发布了《静音广场舞，规范健步走倡议书》.小明的妈妈为响应号召，在家里积极锻炼，等步长沿直线前后连续移步.已知她从点出发，每次向前移动1步的概率为，向后移动1步的概率为. (1)求移动4步后回到点的概率； (2)若移动5步后到达点，记两点之间的步数为随机变量，求的分布列和数学期望. 7．（23-24高二下·云南玉溪·期末）随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，向四个方向移动的概率均为，且每秒的移动方向彼此独立互不影响，例如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处. (1)求粒子在第2秒末移动到点的概率； (2)求第6秒末粒子回到原点的概率； (3)设粒子在第3秒末移动到点，记的取值为随机变量，求的分布列. 8．（23-24高二下·云南楚雄·期末）在一个牌堆中有6张牌，分别标有数字0，1，2，3，5，7． (1)规定每次随机翻出一张牌，若数字为奇数，则放回这张牌，若数字为偶数，则不放回这张牌，求第二次翻出的数字是偶数的概率． (2)规定每次随机翻出一张牌，然后放回，若数字为奇数，则得1分，若数字为偶数，则得2分，翻牌次数不限，直到总得分达到或超过5分，游戏结束．设游戏结束时翻牌的总次数为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望． 9．（23-24高二下·云南保山·期末）高黎贡山国家级自然保护区位于云南省保山市，被誉为“世界自然博物馆”及“动植物物种基因库”．经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加．已知这种动物拥有两个亚种（分别记为种和种）．为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果．重复进行这个试验共20次，记第次试验中种的数目为随机变量．设该区域中种的数目为，种的数目为均大于100，每一次试验均相互独立． (1)求的分布列； (2)记随机变量．定义，且．证明：． 10．（23-24高二下·云南·期末）年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由道减少到道，分值变为一题分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得分，有错选或全不选的得分若正确答案是“两项”的，则选对个得分若正确答案是“三项”的，则选对个得分，选对个得分某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为其中． (1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得分的概率 (2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案： Ⅰ 随机选一个选项  Ⅱ 随机选两个选项  Ⅲ 随机选三个选项． 若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望 以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好 11．（23-24高二下·云南·期末）某商场举办摸球答题赢购物券活动，顾客在商场内消费达到一定金额即可参与．一次摸球答题活动中，顾客在装有1个黑球和4个白球的盒子中随机摸一个球（每个球除颜色外完全相同），若摸到黑球，在A类题目中任抽一个回答，答对可获得一张购物券；若摸到白球，在B类题目中任抽一个回答，答对可获得一张购物券．假设每次摸球互不影响，且回答的题目不会重复．已知小明答对每个A类题目的概率均为，答对每个B类题目的概率均为． (1)若小明在一次活动中获得了购物券，求他在摸球时摸到的是黑球的概率； (2)若小明连续参与三次活动共获得了X张购物券，求X的分布列及数学期望． 12．（23-24高二下·云南·期末）学校组织一项竞赛，在初赛中有三轮答题，三轮答题相互独立，三轮答题至少两轮合格即视为通过初赛，进入决赛.已知甲在初赛中每轮答题合格的概率均为. (1)求甲在通过初赛的条件下，第三轮答题没有合格的概率. (2)已知决赛共有五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下： 分值 10 20 20 20 30 答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获得一等奖.已知参加决赛的学生乙答对题的概率为，答对题的概率均为，答对题的概率为，求乙获得一等奖的概率. 13．（23-24高二下·云南红河·期末）为提高学生的身体素质，除了进行体育锻炼之外，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为.而前一天选择水果第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；前一天选择牛奶第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复.记某同学第n天选择水果的概率为. (1)记某班的2名同学在发放营养餐开始第二天选择水果的人数为X，求X的分布列和期望； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)为了培养学生的服务意识，30天后学校组织学生参加志愿服务活动，其中有15位学生负责为全体同学分发营养餐，应该如何安排分发水果和牛奶的人数. 14．（23-24高二下·云南·期末）随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降价飞入寻常百姓家．某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广． （1）公司内部测试的活动方案设置了第次抽奖中奖的名额为 ，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个．若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束．参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中． ①请求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率分别是多少? ②请求甲参加抽奖活动次数的分布列和期望? （2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广．报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第次抽奖中奖的概率为，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行次．已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 随机变量及其分布列 题型概览 题型01计算条件概率 题型02独立重复试验的概率问题 题型03正态分布及其应用 题型04二项分布等综合问题 题型05随机变量均值、方差的综合问题 题型06超几何分布与条件概率 题型07概率与统计的综合问题 优选提升题 ( 题型01 ) 计算条件概率 1．（23-24高二下·云南·期末）已知、分别为随机事件A、的对立事件，，，则下列等式错误的是（   ） A． B． C．若A、独立，则 D．若A、互斥，则 【答案】A 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率性质，逐个判断. 【详解】由，故选项A错误，选项B正确； 若A、独立，则，，故选项C正确； 若A、互斥，则，，故选项D正确. 故选：A. 2．（23-24高二下·云南·期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.7，甲、乙每次投篮的结果相互独立.抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5，则第三次投篮的人是甲的概率为（    ） A．0.35 B．0.525 C．0.575 D．0.595 【答案】C 【知识点】写出等比数列的通项公式、利用全概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率 【分析】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列，最后代入计算即可. 【详解】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 设，依题可知，， 则， 即， 设，解得，则， 又，则，所以是首项为，公比为的等比数列， 即，． 则第次投篮的人是甲的概率为. 当时， 故选：C. 3．（23-24高二下·云南·期末）假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是 . 【答案】 【分析】设表示从第箱取到的零件是次品，表示从第一箱中取零件，表示从第二箱中取零件，结合全概率公式，即可求解. 【详解】设（，2）表示从第箱取到的零件是次品，表示从第一箱中取零件，表示从第二箱中取零件， 由全概率计算公式得取出的零件是次品的概率是： . 故答案为：. 4．（23-24高二下·云南·期末）盒中有4个白球，5个黄球，先随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并另放入同色球2个，第二次再从盒中取一个球，则第二次取出的是黄球的概率为 . 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】运用全概率公式进行求解即可. 【详解】设事件A表示第一次抽取的是黄球，则，， 事件表示第二次抽取的是黄球，因此有， 所以. 故答案为： ( 题型02 ) 独立重复试验的概率问题 1．（23-24高二下·云南·期末）小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】利用次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式求解. 【详解】小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是, 故选：A ( 题型03 ) 正态分布及其应用 1．（23-24高二下·云南·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 【答案】B 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】利用正态分布的概率性质可求得，进而可求的值. 【详解】， . 随机变量服从正态分布， 曲线关于对称， . 故选：B. 2．（23-24高二下·云南·期末）已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率约为，和.若某校高一年级名学生的某次考试成绩服从正态分布，则此次考试成绩在区间内的学生大约有（    ） A．780人 B．763人 C．655人 D．546人 【答案】C 【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据正态曲线的性质求出，即可估计人数. 【详解】依题意，所以，， 则，， 所以 ， 所以此次考试成绩在区间内的学生大约有（人）. 故选：C ( 题型04 ) 二项分布等综合问题 1．（23-24高二下·云南红河·期末）以下说法正确的是（    ） A．若，，则 B．随机变量，，若，则 C．若，，，则 D．，且，则 【答案】BCD 【知识点】计算条件概率、二项分布的方差、方差的性质、指定区间的概率 【分析】根据二项分布的方差和方差的性质即可判断A选项；根据期望的性质即可判断B选项；根据条件概率的公式即可判断C选项；根据正态分布的性质即可判断D选项. 【详解】对于A, 若， 则 解得，故A错误； 对于B，随机变量，，若， 则，故B正确； 对于C，若，则, 则,故C正确； 对于D，，且， 则，故D正确. 故选：BCD ( 题型0 5 ) 随机变量均值、方差的综合问题 1．（23-24高二下·云南·期末）下列说法错误的是（       ） A．若随机变量满足且，则 B．已知随机变量～，若，则 C．若事件相互独立，则 D．若两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强 【答案】D 【知识点】相关系数的意义及辨析、计算条件概率、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】根据方差的性质判断A，根据二项分布的期望和方差的计算公式判断B，根据相互独立事件及条件概率概率公式判断C，根据相关系数的概念判断D. 【详解】对于A：因为且，所以，故A正确； 对于B：随机变量～，则，解得：，故B正确； 对于C：若事件、相互独立，则， 所以，故C正确； 对于D：若、两组成对数据的相关系数分别为、， 因为，所以组数据的相关性更强，故D错误. 故选：D 2．（23-24高二下·云南·期末）一名射击运动员射击一次击中目标的概率为，各次射击互不影响．若他连续射击两次，则下列说法正确的是（    ） A．事件“至多击中一次”与“恰击中一次”互斥 B．事件“两次均未击中”与“至少击中一次”相互对立 C．事件“第一次击中”与“两次均击中”相互独立 D．记为击中目标的次数，则， 【答案】BD 【知识点】确定所给事件的对立关系、二项分布的均值、判断所给事件是否是互斥关系、二项分布的方差 【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的概念判断ABC选项；依题意，根据二项分布的期望与方差公式判断D. 【详解】对于A：事件“至多击中一次”包含“恰击中一次”和“两次均未击中”，故A错误； 对于B：事件“两次均未击中”的对立事件是“至少击中一次”， 故B正确； 对于C：事件“两次均击中”包含了事件“第一次击中”，故C错误； 对于D：依题意，所以，，故D正确； 故选：BD 3．（23-24高二下·云南·期末）某不透明的盒子里装有若干个形状、大小、材质完全相同的红色和黑色的小球，现从盒子里随机抽取小球，每次抽取一个，用随机变量表示事件“抽到的小球为红色”发生的次数，下列说法正确的有（    ） A．若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里不放回地抽取小球，则第一次抽到红色小球且第二次抽到黑色小球的概率为 B．若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里有放回地抽取6次小球，则且 C．若盒子里有个小球，其中红色小球有个，从盒子里不放回地随机抽取6个小球，且有红色球的数学期望为2，则盒子里黑色小球的个数是红色小球个数的2倍 D．若，，，，则 【答案】AC 【知识点】计算古典概型问题的概率、二项分布的方差、指定区间的概率 【分析】利用古典概型计算可判断A；利用二项分布的方差公式计算可判断B；根据题意可得，计算可判断C；由二项分布的概率公式求得，进而可求得判断D. 【详解】对于A项，第一次抽到红色小球且第二次抽到黄色小球的概率为，故A项正确； 对于B项，有放回地抽取抽取6次小球，变量， 所以， 则，故B项错误； 对于C项，依题意得，得，所以黑色小球的个数为，故C项正确； 对于D项，因为，， 所以有，解得，则， 因此，故D项错误. 故选：AC. 4．（23-24高二下·云南保山·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．若随机变量，则方差 B．在的展开式中的系数是80 C．已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D．若随机变量的分布列为，则 【答案】BD 【知识点】求指定项的系数、利用随机变量分布列的性质解题、残差的计算、二项分布的方差 【分析】对A，根据二项分布的方差公式和和方差的性质即可判断；对B ，根据二项展开式的通式即可计算；对C，利用残差定义即可判断；对D，首先根据分布列特点求出，再代入计算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，在的展开式中，， 当时，，此时的系数，故B正确； 对于C，样本点与的残差相等，则有得，故C错误； 对于D，，得，故D正确， 故选：BD． ( 题型0 6 ) 超几何分布与条件概率 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）某工厂在春节期间为职工举办了趣味有奖灯谜活动，有6个灯谜，编号为：个灯谜中猜对1个获“小奖”，猜对3个获“中奖”，猜对6个获“大奖”． (1)小王从6个灯谜中任取3个作答，设选中编号为的灯谜的个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望； (2)若小王猜对任一编号灯谜的概率为，求小王在猜对编号为的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由题意得X可取，求出相应的概率，然后可求得X的分布列及数学期望； （2）设“小王猜对号灯谜为”为事件A，“小王获得中奖”为事件B，根据题意求出，然后利用条件概率公式可求得结果. 【详解】（1）由题意得X可取， ， ， 所求分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望 （2）设“小王猜对号灯谜为”为事件A，“小王获得中奖”为事件B， 则， 故， 即小王在猜对编号为的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率为． ( 题型0 7 ) 概率与统计的综合问题 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的50名学生，整理得到如下列联表： 男学生 女学生 合计 喜欢运动 8 4 12 不喜欢运动 2 36 38 合计 10 40 50 (1)依据的独立性检验，能否认为学生的性别与是否喜欢运动有关联？ (2)现从喜欢运动的学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量为男学生的人数，求的分布列和数学期望. 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 【答案】(1)能认为学生的性别与是否喜欢运动有关联； (2)分布列见解析； 【知识点】卡方的计算、超几何分布的均值、独立性检验的基本思想、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据卡方公式计算，结合独立性检验的思想即可下结论； （2）的取值可能为，根据超几何分布求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可. 【详解】（1）， 所以能认为学生的性别与是否喜欢运动有关联； （2）的取值可能为，则 ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 所以. 2．（23-24高二下·云南·期末）某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为 了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 投入额 10 30 40 60 80 90 110 年收入的附加额 7．30 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、求超几何分布的概率、求回归直线方程 【分析】（1）根据最小二乘法即可求解， （2）根据超级几何概率公式求解概率，即可由期望公式求解. 【详解】（1）依题意，， ， ， ， 所以y关于x的线性回归方程为. （2）由题意，7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个， 所以X的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 所以X的期望是. 1．（23-24高二下·云南·期末）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则 ； ． 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率、由定义判定等比数列、计算古典概型问题的概率 【分析】由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式可求得，由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. 【详解】由题意，； 当时， ， 整理得，， 故可知是以为首项，以为公比的等比数列，所以. 故答案为：； 2．（23-24高二下·云南·期末）第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”． (1)求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现采用分层抽样的方式从分数在，内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)，， (2)分布列见解析， 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、求离散型随机变量的均值、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计 【分析】（1）利用频率分布直方图的特征、百分位数、平均数的计算公式计算即可； （2）根据分层抽样的法则先确定两组抽取到的人数，再由离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图知， 设第70百分位数为x，前两组所占频率为， 前三组所占频率为，则x位于第三组数据中， 所以， 平均数 ； （2）由（1）知分数在，内的两组学生分别有 人， 所以各自抽取的人数分别为人， 显然“特优选手”有4人， 故X可取，， ， 所以其分布列为： X 0 1 2 3 4 P . 3．（23-24高二下·云南·期末）袋子中有大小相同的2个白球､3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球. (1)若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率； (2)若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】计算条件概率、利用二项分布求分布列、二项分布的均值 【分析】（1）根据条件概率公式的定义或者公式，即可求解； （2）首先写出随机变量的取值，再根据取值的意义，写出概率，即可求出分布列和数学期望. 【详解】（1）角度一：第一次摸到白球，第二次摸球时袋子中有1个白球，3个黑球，所求概率. 角度二：设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”， 则，, 所求概率； （2）的所有可能取值为. ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 ,的均值. 4．（23-24高二下·云南·期末.2016·全国I卷·高考真题）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：    以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （1）求X的分布列； （2）若要求，确定n的最小值； （3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？ 【答案】（1）见解析. （2）见解析. （3）见解析. 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、由随机变量的分布列求概率 【分析】（1）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；（2）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0．5中n的最小值；（3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适． 【详解】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0．2，0．4，0．2，0．2，从而 ； ； ； ； ； ； ． 所以的分布列为 16 17 18 19 20 21 22 （2）由（1）知，，故的最小值为19． （3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用. 当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040； 当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080. 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选． 5．（23-24高二下·云南昆明·期末）如图，甲、乙、丙、丁四名同学分别站在一个正方形的四个顶点进行传球训练，每次由一人随机将球传给另外三人中的一人，任意一人持球时，传给位于相邻顶点同学的概率为，传给位于对角线顶点同学的概率为，传球3次为一轮. (1)已知第一次由随机一名同学将球传出，若，设事件为“一轮中每人各持一次球”. （i）求及事件的概率; （ii）设三轮传球中，事件发生的次数为，求的分布列与数学期望; (2)已知第一次由甲将球传出，在一轮传球中，乙、丙两人，谁两次持球的可能性更大? 【答案】(1)（i），；（ii）分布列见解析，. (2)答案见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、二项分布的均值 【分析】（1） （i）球传出后，可能给相邻两个的概率都为，给对角线的概率为，则，结合，解出即可. （ii）由条件可得，运用二项分布的概率公式和期望公式求解概率即可． （2）将乙丙两次持球的概率求出来后，用作差法比较大小即可． 【详解】（1）（i）由题意，球传出后，可能给相邻两个的概率都为，给对角线的概率为，则， 当解得．则． （ii）由条件可得的取值有，且， 所以，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 从而． （2）， 又， 当，则，乙、丙两人两次持球的可能性一样大； 当，即时，，乙两次持球的可能性更大； 当，即时，，丙两次持球的可能性更大． 6．（23-24高二下·云南·期末）广场舞､健步走已成为广大群众喜闻乐见的健身活动，但围绕其噪音､占道发生的“扰民”问题常让人感到头疼，也成为社会关注的热点.不少地区为此出台了相关政策，对违规行为进行处罚，某地为引导群众文明开展健身活动，促进全民养成文明健康､绿色环保的生活方式，规范广场舞､集体健步走等活动的开展，发布了《静音广场舞，规范健步走倡议书》.小明的妈妈为响应号召，在家里积极锻炼，等步长沿直线前后连续移步.已知她从点出发，每次向前移动1步的概率为，向后移动1步的概率为. (1)求移动4步后回到点的概率； (2)若移动5步后到达点，记两点之间的步数为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）求出每次向前移动一步的概率，再由独立重复试验概率公式即可求出结果； （2）确定随机变量的可能取值，再求出取各个取值的概率，由此得到分布列，再由期望公式即可求出结果. 【详解】（1）设向前移动1步为事件，所以， 移动4步，回到点相当于4步中两步向前，两步向后， 所以. （2）由题知，的可能取值为， 所以的分布列为 1 3 5 所以随机变量的期望. 7．（23-24高二下·云南玉溪·期末）随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，向四个方向移动的概率均为，且每秒的移动方向彼此独立互不影响，例如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处. (1)求粒子在第2秒末移动到点的概率； (2)求第6秒末粒子回到原点的概率； (3)设粒子在第3秒末移动到点，记的取值为随机变量，求的分布列. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、实际问题中的组合计数问题、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式运算求解； （2）分类讨论回到原点的可能性情况，结合古典概型分析求解； （3）分析可知的可能取值为，，1，3，结合题意求分布列. 【详解】（1）由题意得，粒子在第2秒末移动到点的概率. （2）粒子在第6秒后回到原点，分四种情况考虑： ①两上两下一左一右，共有种情形； ②两左两右一上一下，共有种情形； ③三上三下，共有种情形； ④三左三右，共有种情形； 所以. （3）粒子向右或向上则X的取值加1，粒子向左或向下则X的取值减1， 的可能取值为，，1，3，对应的概率分别为： ，，，， 所以X的分布列为： 1 3 8．（23-24高二下·云南楚雄·期末）在一个牌堆中有6张牌，分别标有数字0，1，2，3，5，7． (1)规定每次随机翻出一张牌，若数字为奇数，则放回这张牌，若数字为偶数，则不放回这张牌，求第二次翻出的数字是偶数的概率． (2)规定每次随机翻出一张牌，然后放回，若数字为奇数，则得1分，若数字为偶数，则得2分，翻牌次数不限，直到总得分达到或超过5分，游戏结束．设游戏结束时翻牌的总次数为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用全概率公式求概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）第二次翻出的数字是偶数的概率受第一次翻出的数字是奇数还是偶数的影响，可以根据第一次翻出的数字的情况，将样本空间表示为“第一次翻出的数字是奇数”和“第一次翻出的数字是偶数”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解； （2）根据题意求出随机变量X的每一个取值，再根据每个取值的含义求出其概率，列表即可得分布列，再用期望公式计算期望即可. 【详解】（1）设事件A: 第一次翻出的数字是奇数，事件B: 第一次翻出的数字是偶数，事件C: 第二次翻出的数字是偶数，则，且与互斥，由题意得： ，，，， 由全概率公式得： ， 所以第二次翻出的数字是偶数的概率为. （2）随机变量的可能取值为3，4，5． 当时，若前两次都翻到偶数牌，则翻牌的总次数为3的概率为， 若前两次都只翻到一张偶数牌，则翻牌的总次数为3的概率为， 则， ， ， 所以随机变量的分布列如下： 3 4 5 ． 9．（23-24高二下·云南保山·期末）高黎贡山国家级自然保护区位于云南省保山市，被誉为“世界自然博物馆”及“动植物物种基因库”．经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加．已知这种动物拥有两个亚种（分别记为种和种）．为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果．重复进行这个试验共20次，记第次试验中种的数目为随机变量．设该区域中种的数目为，种的数目为均大于100，每一次试验均相互独立． (1)求的分布列； (2)记随机变量．定义，且．证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、超几何分布的分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据超几何分布得分布列； （2）根据所给性质证明即可． 【详解】（1）依题意， 服从超几何分布，故的分布列为， 0 1 99 100 （2）先证一般结论：，，． 因为，设，则， ， 从而，，设，则， 所以， ， 故． 10．（23-24高二下·云南·期末）年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由道减少到道，分值变为一题分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得分，有错选或全不选的得分若正确答案是“两项”的，则选对个得分若正确答案是“三项”的，则选对个得分，选对个得分某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为其中． (1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得分的概率 (2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案： Ⅰ 随机选一个选项  Ⅱ 随机选两个选项  Ⅲ 随机选三个选项． 若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望 以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、均值的实际应用 【分析】（1）由全概率公式求解即可； （2）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，求出的可能取值及其概率，即可求出的分布列，再由期望公式求出； 记分别为“从四个选项中随机选择一个选项、两个选项和三个选项的得分”，求出的数学威望，由题意可得，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）记事件为“正确答案选两个选项”，事件为“学生甲得分”． ， 即学生甲该题得分的概率为． （2）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取，，， ，  ， ， 所以的分布列为 则数学期望． 记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， 则， ， ， 所以 记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”， 则， ， ， 所以 记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”， 则， ， 所以． 要使唯独选择方案Ⅰ最好，则， 解得：，故的取值范围为． 11．（23-24高二下·云南·期末）某商场举办摸球答题赢购物券活动，顾客在商场内消费达到一定金额即可参与．一次摸球答题活动中，顾客在装有1个黑球和4个白球的盒子中随机摸一个球（每个球除颜色外完全相同），若摸到黑球，在A类题目中任抽一个回答，答对可获得一张购物券；若摸到白球，在B类题目中任抽一个回答，答对可获得一张购物券．假设每次摸球互不影响，且回答的题目不会重复．已知小明答对每个A类题目的概率均为，答对每个B类题目的概率均为． (1)若小明在一次活动中获得了购物券，求他在摸球时摸到的是黑球的概率； (2)若小明连续参与三次活动共获得了X张购物券，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见详解； 【知识点】计算条件概率、二项分布的均值、写出简单离散型随机变量分布列、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式求出小明获得购物券的概率，再利用条件概率公式计算； （2）根据题意，，列出分布列，求出数学期望. 【详解】（1）设事件：小明在摸球时摸到的是黑球，事件：小明获得购物券， 则，，，， 所以， 则小明在获得了购物券的条件下，摸到的是黑球的概率为 . （2）由（1）小明在一次活动中获得购物券的概率为，则， 所以的分布列为，则 0 1 2 3 所以得数学期望为. 12．（23-24高二下·云南·期末）学校组织一项竞赛，在初赛中有三轮答题，三轮答题相互独立，三轮答题至少两轮合格即视为通过初赛，进入决赛.已知甲在初赛中每轮答题合格的概率均为. (1)求甲在通过初赛的条件下，第三轮答题没有合格的概率. (2)已知决赛共有五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下： 分值 10 20 20 20 30 答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获得一等奖.已知参加决赛的学生乙答对题的概率为，答对题的概率均为，答对题的概率为，求乙获得一等奖的概率. 【答案】(1)； (2). 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算条件概率 【分析】（1）设事件为甲通过了初赛，事件为甲第三轮答题没有合格，计算与,进而求出； （2）乙得分不低于60分可以获得一等奖的情况分为三种情况，即乙在中只抽到了一题、两题、三题的情况，求解概率. 【详解】（1）设事件为甲通过了初赛，事件为甲第三轮答题没有合格， 则， ， 所以甲在通过初赛的条件下，第三轮答题没有合格的概率为 （2）若乙在中只抽到了一题，则获得一等奖的概率； 若乙在中抽到了两题，则获得一等奖的概率 若乙在中抽到了三题，则获得一等奖的概率 故乙获得一等奖的概率. 13．（23-24高二下·云南红河·期末）为提高学生的身体素质，除了进行体育锻炼之外，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为.而前一天选择水果第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；前一天选择牛奶第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复.记某同学第n天选择水果的概率为. (1)记某班的2名同学在发放营养餐开始第二天选择水果的人数为X，求X的分布列和期望； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)为了培养学生的服务意识，30天后学校组织学生参加志愿服务活动，其中有15位学生负责为全体同学分发营养餐，应该如何安排分发水果和牛奶的人数. 【答案】(1)分布列见解析，期望为； (2)证明见解析，； (3)10，5. 【知识点】由递推关系证明等比数列、写出简单离散型随机变量分布列、互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）求出第二天选择水果的概率，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求出递推公式，再构造并证明求出. （3）由（2）得，由此求出求出分发水果和牛奶的人数. 【详解】（1）依题意，第二天选择水果的概率为， 第二天选择牛奶的概率为， 第二天选择水果的人数X的可能值为， ， 所以X的分布列为： 0 1 2 期望为. （2）依题意，， 由，而， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，， 数列的通项公式为. （3）由（2）知，，当时，非常小，趋近于0，， ，即30天后学校每天选择水果的人数约为总人数的， 所以15位学生负责为全体同学分发营养餐，分发水果和牛奶的人数分别为. 【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： ①根据题中条件确定随机变量的可能取值； ②求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； ③根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）. 14．（23-24高二下·云南·期末）随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降价飞入寻常百姓家．某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广． （1）公司内部测试的活动方案设置了第次抽奖中奖的名额为 ，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个．若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束．参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中． ①请求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率分别是多少? ②请求甲参加抽奖活动次数的分布列和期望? （2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广．报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第次抽奖中奖的概率为，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行次．已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于． 【答案】（1）①甲在第一次中奖的概率为，乙在第二次中奖的概率为；②分布列见解析，；（2）证明见解析． 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）①确定参与抽奖人数和中奖人数，可得概率，其中乙第二次中奖，是在第一次不中奖的基础上才能第二次抽中奖，由条件概率公式计算； ②设甲参加抽奖活动的次数为，则，注意第2次中奖是在第一次未中奖的条件下才发生，同样第3次中奖是在前2次都未中奖的条件下才可能发生．由条件概率公式计算出概率的分布列，由期望公式可计算期望； （2）丙在第奇数次中奖的概率为，在第偶数次中奖的概率为．“丙中奖”为事件，则，设丙参加抽奖活动的次数为，求出丙在第和次中奖的概率和，这两个概率相等，这样在丙中奖这个条件下可得第次和第次中奖的概率和，由期望公式计算出期望，用错位相减法求得分子的和，得化简后可证结论． 【详解】（1）①甲在第一次中奖的概率为， 乙在第二次中奖的概率为． ②设甲参加抽奖活动的次数为，则， ；；， 1 2 3 ∴． （2）证明：丙在第奇数次中奖的概率为，在第偶数次中奖的概率为． 设丙参加抽奖活动的次数为，“丙中奖”为事件，则， 令，则丙在第次中奖的概率 在第次中奖的概率， 即， 在丙中奖的条件下，在第，次中奖的概率为， 则丙参加活动次数的均值为 ， 设， 则， ∴， ， 所以． 【点睛】本题考查条件概率，考查随机事件的概率分布列和数学期望，难点是理解中奖规则，得出和，考查了数据处理能力，运算求解能力，属于难题． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$