第07讲 反比例函数k的几何意义（8考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第07讲 反比例函数k的几何意义 知识导图梳理 学习目标明确 1. 利用反比例函数k的几何意义. 2. 根据图形面积，求反比例系数k. 考点一： 一点一垂直 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为4，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图是反比例函数的图象，点是反比例函数图象上任意一点，过点A作轴于点B，连接，则的面积是 ．    3．（2023·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则 ．    4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，点是第一象限内反比例函数图象上的一点，轴，垂足为点，点在轴上，的面积是，则的值为 ．    考点二： 一点两垂直 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，点A、B在反比例函数的图像上，过点A、B分别向x轴、y轴作垂线段，已知阴影部分的面积等于1，则 ． 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为B，轴，垂足为C．若四边形是正方形，则它的边长为 ． 7．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，反比例函数的图象经过对角线的交点，已知点，，在坐标轴上，，的面积为12，则的值为（   ） A．3 B．6 C． D． 8．（2025·陕西商洛·二模）如图，在▱中，点在轴正半轴上，若的面积是8，顶点的坐标为，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为 ． 考点三： 两点一垂直 9．（2025·福建龙岩·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，连接，则的面积为 ． 10．（2025·辽宁丹东·一模）如图，函数与函数的图象交于点A，C，垂直于y轴，垂足为点B，连接，已知的面积为1，则k的值为 ． 11．（2025·安徽阜阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点C在y轴上，若的面积等于4，则k的值为 ． 12．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，过点A 作x轴的垂线，交x轴于点B，连接，交y轴于点D，的面积为6． (1)求k的值； (2)若点A的纵坐标为2，求D的坐标． 考点四： 两点两垂线 13．（2025·安徽合肥·二模）如图，已知双曲线与直线交于、两点（点在点的左侧），过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线交于点，若的面积为8，则的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 14．（2021九年级·全国·专题练习）如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是 ． 15．（2020·上海·二模）点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D，连接AD，BC，若四边形ACBD是面积为12的平行四边形，则 ． 考点五： 曲线与一次函数 16．（22-23九年级上·安徽宣城·期末）如图，已知反比例函数和一次函数的图像交于点两点． (1)求m、n的值； (2)连接，求的面积． 17．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，的边轴，边轴，且点在反比例函数（为大于0的常数，）的图象上．若的面积是6，则的值是 ． 18．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点A，B是反比例函数图象上两点，过点，作轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接．若，则 ． 考点六： 曲线与矩形 19．（2025·安徽滁州·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与矩形的边，分别相交于点，，已知，，的面积为，则的面积为 ． 20．（2025·广东江门·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴正半轴上和轴正半轴上，反比例函数的图象经过的中点，若矩形的面积为3，则的值为 ． 21．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，顶点B在第一象限内，双曲线与矩形的边交于点D，交于点E，且．若四边形的面积为18，则k的值为 ． 考点七： 两曲一平行（同号） 22．（2021九年级·全国·专题练习）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1（x＞0）及y2（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1﹣k2的值等于（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 23．（2025·江苏盐城·一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，为轴上一点，连接，，则的面积为 ． 24．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点P在的图象上，点A、B均在的图象上，且轴，轴，四边形的面积为6，则 ． 考点八： 两曲一平行（异号） 25．（2025·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴，点，分别在函数（）和（）的图象上，若的面积为，则的值为 ． 26．（2025·陕西西安·模拟预测）反比例函数（）和（）的图象如图所示，A，B为的图象上两点，C，D为图象上两点，四边形ABCD中，轴，分别交y轴于E、F，，若，则 ． 27．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，连接，且轴，以为边作，其中点C、D在x轴上，则的面积为 ． 1．（24-25八年级下·山西长治·期中）如图，平行于轴的直线与函数，的图象分别相交于，两点，点在点的右侧，为轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽淮北·三模）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，连接，则的面积是（   ） A． B．4 C． D．5 3．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，的面积为．则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点在轴上，为边上的点．若，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D．12 5．（2025·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在 轴的正半轴、 轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·吉林长春·期中）双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作轴的平行线交于点．若，则（   ） A．4 B． C．6 D． 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，过点作轴，垂足为．已知的面积，则等于（   ）． A． B．2 C．4 D． 8．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 9．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点，轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于，两点，连结，．若四边形的面积为4，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·陕西榆林·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接交轴于点，轴，点在轴负半轴上，，连接，若的面积为12，则的值为 ． 11．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，已知矩形的面积为16，轴，是轴上的两个点，点分别在反比例函数，的图象上，则的值为 ． 12．（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，点落在反比例函数图象上，点落在反比例函图象上，延长交轴于点，若四边形的面积为3，则的值为 ． 13．（2025·安徽·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作坐标轴的平行线分别交反比例函数的图像于，两点，连接，，．若阴影部分的面积为8，则的值为 ． 14．（2025·陕西安康·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，点在轴上，点在反比例函数的图象上．若菱形的面积是8，则这个反比例函数的表达式是 ． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图是反比例函数的图像，P为图像上的一点，且轴，轴，垂足分别为A、B，分别交的图像于点D、C，求的面积． 16．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 17．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，平面直角坐标系中，函数经过点，过点A作轴交函数的图象于点B，点A关于原点对称的对称点为C； (1)求的函数解析式； (2)若的面积为8，求m的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 反比例函数k的几何意义 知识导图梳理 学习目标明确 1. 利用反比例函数k的几何意义. 2. 根据图形面积，求反比例系数k. 考点一： 一点一垂直 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为4，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据反比函数k的几何意义求k值，三角形面积的计算，解题的关键是根据中线的性质求得的面积． 根据线段中点定义得，再由可得，根据反比例函数系数k的几何意义得，以此即可求解． 【详解】解：∵C为的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴． 故选：A． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图是反比例函数的图象，点是反比例函数图象上任意一点，过点A作轴于点B，连接，则的面积是 ．    【答案】/0.5 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义．根据值的几何意义，进行求解即可． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上任意一点，轴于点B， ∴的面积为， 故答案为：． 3．（2023·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则 ．    【答案】/ 【分析】由的几何意义可得，从而可求出的值． 【详解】解：的面积为， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了k的几何意义．用k表示三角形AOB的面积是本题的解题关键． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，点是第一象限内反比例函数图象上的一点，轴，垂足为点，点在轴上，的面积是，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题关键．连接，利用三角形面积公式得，再根据反比例函数的几何意义得，在根据图象所在象限，化简绝对值即可． 【详解】解：连接，如图    ∵轴， ∴， ， ∵的面积是， ∴， 解得：， 反比例函数图象在一、三象限， ∴， 故答案为：． 考点二： 一点两垂直 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，点A、B在反比例函数的图像上，过点A、B分别向x轴、y轴作垂线段，已知阴影部分的面积等于1，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查反比例函数图像上的点的坐标特征，根据反比例函数图像上点的坐标特征解决此题． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， 故答案为：4． 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为B，轴，垂足为C．若四边形是正方形，则它的边长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴，轴垂线，所得正方形面积为，是经常考查的一个知识点． 根据反比例函数系数的几何意义求解即可． 【详解】解：∵， 则正方形的边长为2， 故答案为：2． 7．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，反比例函数的图象经过对角线的交点，已知点，，在坐标轴上，，的面积为12，则的值为（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，矩形的判定与性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键． 过点作轴于点E，将平行四边形面积转化为矩形面积，再得到矩形面积，应用反比例函数比例系数的意义即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点E， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， 又∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为矩形面积为6， 即， ∴设点坐标为， ∴， 故选：D． 8．（2025·陕西商洛·二模）如图，在▱中，点在轴正半轴上，若的面积是8，顶点的坐标为，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何结合，先得，再结合的面积是，故，解得，则，即可求解． 【详解】解：设点， 则， ∵的面积是8， ∴， ∴， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：． 考点三： 两点一垂直 9．（2025·福建龙岩·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，连接，则的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．由于正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，则点与点关于原点对称，所以，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，所以的面积为1． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点， 点与点关于原点对称， ， 轴于点， 的面积． 故答案为：1． 10．（2025·辽宁丹东·一模）如图，函数与函数的图象交于点A，C，垂直于y轴，垂足为点B，连接，已知的面积为1，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．过点C作轴于点D，根据反比例函数的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于点D， ∵函数与函数的图象交于点A，C， ∴点A，C两点关于坐标原点对称， ∵轴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为： 11．（2025·安徽阜阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点C在y轴上，若的面积等于4，则k的值为 ． 【答案】 【分析】该题考查了一次函数和反比例函数综合，由正比例函数与反比例函数图象的对称性可得O为的中点，且，根据的面积得出的面积，联立两个函数解析式求出B点坐标，表示的面积，即可求出k的值． 【详解】解：由正比例函数与反比例函数图象的对称性可得O为的中点，且． 的面积等于4， 的面积等于2． 将联立可得B点坐标为． ， ∴， ， ∴． ， ， 故答案为：． 12．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，过点A 作x轴的垂线，交x轴于点B，连接，交y轴于点D，的面积为6． (1)求k的值； (2)若点A的纵坐标为2，求D的坐标． 【答案】(1) (2)点D 的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，求一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点． （1）得到的面积为3，则可得； （2）求得点坐标，再求、坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点， ， 的面积为6， ， 根据反比例函数的几何意义可得， 反比例函数图象为第一、三象限， ∴； （2）解：反比例函数解析式为， 把代入，可得， ∴点A的坐标为， ∴点C的坐标为，点B的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 直线的解析式， 当时，， ∴点D的坐标为． 考点四： 两点两垂线 13．（2025·安徽合肥·二模）如图，已知双曲线与直线交于、两点（点在点的左侧），过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线交于点，若的面积为8，则的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想是解题的关键． 设点A的坐标为，根据题意可得点B的坐标为，从而得到，然后根据的面积为8，即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵双曲线与直线交于、两点， ∴点A，B两点关于原点对称， ∴点B的坐标为， ∵过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线交于点， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴． 故选：B 14．（2021九年级·全国·专题练习）如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是 ． 【答案】 【分析】先证明四边形AMBN是平行四边形，的面积实际上就是面积的2倍，则S△ABM＝，结合图象可知． 【详解】解：∵OA=OB，ON=OM， ∴四边形AMBN是平行四边形， ∵S四边形AMBN＝1， ∴S△ABM＝， 设点A的坐标为（x，y）， ∴B的坐标为（−x，−y）， ∴×2x×y＝， ∴xy＝， ∴k＝xy＝． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，掌握反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积，是解题的关键． 15．（2020·上海·二模）点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D，连接AD，BC，若四边形ACBD是面积为12的平行四边形，则 ． 【答案】6 【分析】首先根据平行四边形的性质得出，从而有，然后根据k的几何意义求解即可． 【详解】如图， ∵点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D， ． ∵四边形ACBD是面积为12的平行四边形， ， ∴A，B关于原点对称， ， ， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及k的几何意义，掌握平行四边形的性质以及k的几何意义是解题的关键． 考点五： 曲线与一次函数 16．（22-23九年级上·安徽宣城·期末）如图，已知反比例函数和一次函数的图像交于点两点． (1)求m、n的值； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先将点A的坐标代入反比例函数的解析式，求出m的值，再把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出n的值； （2）作轴于点C，轴于点D，根据、进行求解即可． 【详解】（1）把带入得：， ∴， 把带入得：； （2）作轴于点C，轴于点D， 则， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求反比例函数图象上点的坐标，比例系数k的几何意义，反比例函数与图形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． 17．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，的边轴，边轴，且点在反比例函数（为大于0的常数，）的图象上．若的面积是6，则的值是 ． 【答案】24 【分析】本题考查了已知面积求值，根据边轴，边轴，得到，根据题意，得到，根据面积公式，列出方程进行解答即可． 【详解】解：∵边轴，边轴， ∴， 根据题意，，的面积是6， ∴，， ∴， 解得， 故答案为：24． 18．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点A，B是反比例函数图象上两点，过点，作轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了根据梯形面积求反比例函数的k值，由得出，由反比例函数k的几何意义得出，进而可得出，设，则， 根据梯形面积得出，代入即可得出进而可得出k的值． 【详解】解：∵点A，B是反比例函数图象上两点，， ∴， ， 设，则， 由得， 即 ∴ ∴， 故答案为：6． 考点六： 曲线与矩形 19．（2025·安徽滁州·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与矩形的边，分别相交于点，，已知，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形性质、矩形的性质、反比例图像的性质，熟练掌握矩形的性质，利用割补法求解图形面积是解答的关键． 利用矩形性质和坐标与反比例图像的性质可得M的坐标是，N的坐标是，再根据坐标与图形性质和矩形性质，借助割补法，根据求解面积列方程即可求出．进而求解． 【详解】∵四边形是矩形，，， ∴轴，，， ∵M、在上， ∴M的坐标是，N的坐标是， ∵四边形是矩形， ∴， ，， ∴的面积， ∴， 解得：（负值已经舍去） 故 故答案为． 20．（2025·广东江门·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴正半轴上和轴正半轴上，反比例函数的图象经过的中点，若矩形的面积为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质．设点，则，根据矩形的面积为3，得出，即可得出答案． 【详解】解：点D是的中点，四边形是矩形， 设点，则， 矩形的面积为3， 解得：， 故答案为：． 21．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，顶点B在第一象限内，双曲线与矩形的边交于点D，交于点E，且．若四边形的面积为18，则k的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，矩形的性质，掌握反比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键． 设，则，，由此得到，，，然后利用四边形的面积为18求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，边分别在轴、轴的正半轴上， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， 设， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为18， ∴，即， 解得，． 故答案为：6． 考点七： 两曲一平行（同号） 22．（2021九年级·全国·专题练习）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1（x＞0）及y2（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1﹣k2的值等于（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先根据反比例函数k的几何意义可得△AOP的面积为，△BOP的面积为，由题意可知△AOB的面积为3，最后求出k1﹣k2的值即可． 【详解】解：由反比例函数k的几何意义可得：△AOP的面积为，△BOP的面积为， ∴△AOB的面积为， ∴3， ∴k1﹣k2＝6. 故选C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，掌握反比例函数中k表示相关三角形的面积成为解答本题的关键． 23．（2025·江苏盐城·一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，为轴上一点，连接，，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，掌握求解的方法是关键； 设，则，然后根据的面积，代入数据即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴设， ∵轴，垂足为，交反比例函数的图象于点， ∴， ∴的面积； 故答案为：3． 24．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点P在的图象上，点A、B均在的图象上，且轴，轴，四边形的面积为6，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征．延长和，分别交y轴和x轴与M，N两点，结合反比例函数系数k的几何意义即可解决问题． 【详解】解：延长和，分别交y轴和x轴与M，N两点， ∵点P在的图象上，且轴，轴， ∴矩形的面积为10， ∵A、B均在的图象上， ∴和的面积都是， ∴四边形的面积为：， ∴， 解得， 故答案为：4． 考点八： 两曲一平行（异号） 25．（2025·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴，点，分别在函数（）和（）的图象上，若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的意义，平行线间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，设与轴交点为，根据平行线间的距离相等得出，所以，即，然后求出的值即可． 【详解】解：如图，连接，设与轴交点为， ， ∵垂直于轴， ∴， ∴ ∴， ∴ 解得：， ∵ ∴， 故答案为：． 26．（2025·陕西西安·模拟预测）反比例函数（）和（）的图象如图所示，A，B为的图象上两点，C，D为图象上两点，四边形ABCD中，轴，分别交y轴于E、F，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查根据已知图形的面积求值，设，则，进而得到的坐标，根据轴求出的坐标，再根据梯形的面积公式，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵轴，C，D为图象上两点， ∴， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵A，B为的图象上两点， ∴，， ∴，， ∴，即：， 解得：； 故答案为：． 27．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，连接，且轴，以为边作，其中点C、D在x轴上，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、平行四边形的面积公式是解题的关键．根据轴可得，即可求得，再根据平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵轴 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为：5． 1．（24-25八年级下·山西长治·期中）如图，平行于轴的直线与函数，的图象分别相交于，两点，点在点的右侧，为轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义、图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设、两点坐标，表示出相应线段长度． 根据反比例函数图象上点的坐标特征分别设出设点、点的坐标，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：平行于轴的直线与函数，的图象分别相交于，两点， 轴， 设， ， ， 故选：A． 2．（2025·安徽淮北·三模）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，连接，则的面积是（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数系数的几何意义，关键是掌握图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据图象上点的坐标特征求得、的坐标，将三角形的面积转化为梯形的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可， 【详解】解：点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，，， 作轴于，轴于， ， ， ， 故选C． 3．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，的面积为．则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数值的几何意义，由题意得，再根据反比例函数的图象在第二象限，即可得出，熟练掌握反比例函数值的几何意义是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， ， 反比例函数的图象在第二象限， ， ， 故选：A． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点在轴上，为边上的点．若，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，根据矩形对边平行和平行线的性质可得，再由反比例函数比例系数的几何意义即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵矩形的顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2025·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在 轴的正半轴、 轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的几何意义，过点作轴于点，根据的几何意义可得，，根据菱形的性质以及三角形的面积可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵轴． ∴四边形是矩形 ∴ ∵菱形，对角线轴 ∴ ∵菱形的面积为， ∴ 故选：D． 6．（24-25八年级下·吉林长春·期中）双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作轴的平行线交于点．若，则（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，理解几何图形面积的计算与反比例系数的关系是关键． 设，则点到的距离为，点的横坐标为，则纵坐标为，则，由，即可求解． 【详解】解：过上任意一点作轴的平行线交于点， 设，则点到的距离为， ∴点的横坐标为，则纵坐标为， ∴， ∴， 解得，， 故选：D ． 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，过点作轴，垂足为．已知的面积，则等于（   ）． A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数中系数的几何意义． 由反比例函数图象的对称性和反比例函数系数的几何意义可得：的面积为面积的 2 倍，． 【详解】解：由题意得：， 则， ∵， 则 故选：A． 8．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义；点A、B分别在反比例函数和图象上，利用反比例函数比例系数的几何意义，表示出，，由阴影部分的面积，由此解出k即可． 【详解】解：如图所示： 点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴， 四边形和为矩形， 根据反比例函数比例系数的几何意义，得： ，， 则阴影部分的面积为， 故选：B． 9．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点，轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于，两点，连结，．若四边形的面积为4，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键． 先求出，四边形是矩形，再根据反比例函数系数的几何意义可得，然后根据计算即可得到答案． 【详解】解：，轴于点，轴于点 ，四边形是矩形， 反比例函数的图象分别与，相交于，两点， ， 四边形的面积为4， ， ， 解得， 故选：C． 10．（2025·陕西榆林·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接交轴于点，轴，点在轴负半轴上，，连接，若的面积为12，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，过作轴交轴于，过作轴交轴于，得出四边形均为矩形，可求，，再根据，即可求解，理解的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴交轴于，过作轴交轴于， ∴四边形均为矩形，    ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ，， ∵，的面积为12， ，即， 解得：， ∵在第二象限， ∴． 故答案为：． 11．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，已知矩形的面积为16，轴，是轴上的两个点，点分别在反比例函数，的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，根据题意，数形结合得到，解一元一次方程即可得到答案．熟记反比例函数的几何意义是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 点分别在反比例函数，的图象上， 由反比例函数的几何意义可知，，， 矩形的面积为16， ，解得， 故答案为：． 12．（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，点落在反比例函数图象上，点落在反比例函图象上，延长交轴于点，若四边形的面积为3，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，平行四边形的性质，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．不妨设，可算得，那么的面积为2，由，推出，然后利用平行四边形的性质，可推出点坐标，然后将其代入即可． 【详解】解：，点落在反比例函数图象上，不妨设， 那么，， ， 四边形的面积为3， 的面积为， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， 点落在反比例函图象上， ， ． 故答案为：6． 13．（2025·安徽·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作坐标轴的平行线分别交反比例函数的图像于，两点，连接，，．若阴影部分的面积为8，则的值为 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了反比例函数的k的几何意义， 延长，分别交轴、轴于点，，过点作轴于点，过点作轴于点，先根据，再结合阴影部分的面积为，可得，求出解即可. 【详解】解：如图，延长，分别交轴、轴于点，，过点作轴于点，过点作轴于点． ∵， ∴. ∵阴影部分的面积为， ∴， 解得． 故答案为：14． 14．（2025·陕西安康·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，点在轴上，点在反比例函数的图象上．若菱形的面积是8，则这个反比例函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质、反比例函数的比例系数k的几何意义等知识点．正确作出辅助线、根据菱形性质求出是解题的关键． 如图：连接交于D，由菱形的性质可知，根据反比例函数 中k的几何意义以及菱形的面积求出k的值即可． 【详解】解：如图：连接交于D， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵顶点A在反比例函数的图象上， ∴， 由反比例函数的一支在第二象限，则，即， ∴． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图是反比例函数的图像，P为图像上的一点，且轴，轴，垂足分别为A、B，分别交的图像于点D、C，求的面积． 【答案】 【分析】题目主要考查反比例函数的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． 作于，于，根据题意得出，确定，，结合图形求解即可． 【详解】解：作于，于， 双曲线，，且轴于点A，轴于点B，分别交双曲线于D、C两点， 矩形的面积为：， ， ， ， ， ， ， ． 16．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 【答案】(1)； (2)12． 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系． （1）把点A坐标代入即可； （2）过A作与C，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可． 【详解】（1）解：把代入到，得 ， 解得，； （2）如图，过A作于点C，设点A的坐标为，    设点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：12． 17．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，平面直角坐标系中，函数经过点，过点A作轴交函数的图象于点B，点A关于原点对称的对称点为C； (1)求的函数解析式； (2)若的面积为8，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，中心对称，解题的关键是求出反比例函数的解析式． （1）用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标为，点B的坐标为，得出，根据的面积为8，得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵函数经过点， ∴， ∴的函数解析式为； （2）解：∵点A关于原点对称的对称点为C， ∴点C的坐标为， ∵过点A作轴交函数的图象于点B， ∴点B的坐标为， ∴， ∵的面积为8， ∴， 解得：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$