第04讲 二次函数与一元二次方程（2知识点+9考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第04讲 二次函数与一元二次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：9大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的关系； 2.会用二次函数图像求一元二次方程的近似解； 3.通过探索，理解二次函数与一元二次不等式之间的联系； 4.会用二次函数图像求一元二次方程的解集. 知识点 1 二次函数图像与x轴交点 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 1．（24-25九年级上·全国·课前预习）二次函数的函数值与自变量的四组对应值如表所示 x y 则方程的根的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 2．（23-24九年级上·广东中山·期中）抛物线的图象与x轴的交点个数是（    ） A．无交点 B．一个交点 C．两个交点 D．三个交点 3．（22-23八年级下·山东东营·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（    ）    A．， B．， C．， D．， 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，，与y轴交于点C．若轴，则二次函数图象上点D的坐标为 ． 5．（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 6．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的解的范围是 ．（两相邻整数之间） … 0 1 … … 1 2 1 … 知识点 2 二次函数与一元一次不等式 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 . 1．（2025·广东广州·一模）如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和4，则当时的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，抛物线与直线交于A，B两点，它们的横坐标分别为和4，则不等式的解集是(   ) A． B． C．或 D． 考点一： 求抛物线与x轴的交点坐标 1．（2025·河北保定·二模）已知抛物线与x轴交于点A和B，则的值为（    ） A．－5 B．－1 C．3 D．7 2．（24-25九年级上·河南安阳·期中）抛物线与轴的一个交点坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则 ． 考点二： 求抛物线与y轴的交点坐标 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·全国·期中）如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则的面积为（   ） A．6 B．3 C． D．5 3．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）若抛物线与y轴交于点，则c的值为（   ） A．3 B． C． D．5 4．（2025·山东滨州·一模）将抛物线向右平移3个单位长度，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 考点三： 抛物线与坐标轴交点个数 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）抛物线与x轴的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）二次函数的图象与坐标轴的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3（2024·浙江宁波·二模）二次函数 与坐标轴的交点个数为 个． 考点四： 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 1．（21-22九年级上·吉林·期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过原点O，与x轴另一个交点为A点，则方程ax2+bx+c＝0的解是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．0和一个正根 2．（2025·河南新乡·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则点的位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25九年级上·北京·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则一元二次方程的根为 ． 4．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）若抛物线的顶点在轴上，则 ． 考点五： 由二次函数图像与坐标轴的交点情况求参数 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知函数的图像与坐标轴只有两个交点：则m的取值是 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）若二次函数的图象与x轴仅有一个交点，则 ． 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于x的函数的图像与x轴只有一个交点，则m的取值范围是 ． 4．（19-20九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是 ． 考点六： 图像法求一元二次方程近似解 1．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 2．（18-19九年级上·全国·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 考点七： 图像法解一元一次不等式 1．（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 2．（24-25九年级上·重庆·期末）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 3．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 4．（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 考点八： 求x轴与抛物线的截线长 1．（23-24九年级上·四川广安·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4 2．（22-23九年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·江苏·期末）如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为 ． 考点九： 二次函数与直线的交点问题 1．（24-25九年级上·河南·期中）如图，抛物线与直线的两个交点为，，则关于的方程的解为 ．    2．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知抛物线的图象与轴没有交点，直线不经过第 象限． 3．（24-25九年级上·福建南平·阶段练习）抛物线与直线的一个交点是，另一个交点为 ． 4．（2025·辽宁·一模）一次函数与抛物线的交点个数为 个． 5．（2025·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，若抛物线与直线（为正整数）有两个交点，则的值可以是 ．（写出一个即可） 1．（21-22九年级上·河北沧州·期末）已知二次函数图象的与y轴的交点是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数的图象与轴两个交点的坐标分别是和，那么一元二次方程的两个根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·广东梅州·一模）如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则关于的方程的一个根可能是（   ） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.56 D．2.45 4．（24-25九年级上·甘肃平凉·期中）如果二次函数与轴只有一个交点，那么（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽·期末）二次函数的图象与轴有两个不同交点，则可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（23-24八年级下·云南昆明·期末）已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D．或 8．（23-24九年级上·重庆黔江·期末）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 9．（24-25九年级上·广东中山·期中）已知抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 ． 10．（22-23八年级上·北京大兴·期末）某二次函数的图像与直线相交与点 M、N，则当时，自变量 x 的取值范围是 ． 11．（24-25九年级上·吉林·期中）已知二次函数． (1)用配方法将其化为的形式； (2)写出抛物线与坐标轴交点的坐标． 12．（21-22九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根 (2)写出不等式的解集 (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 13．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，利用函数的图象，解决下列问题：      (1)当随x的增大而减小时，x的取值范围是_______； (2)当时，的取值范围是_______； (3)当时，x的取值范围是_______． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数与一元二次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：9大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的关系； 2.会用二次函数图像求一元二次方程的近似解； 3.通过探索，理解二次函数与一元二次不等式之间的联系； 4.会用二次函数图像求一元二次方程的解集. 知识点 1 二次函数图像与x轴交点 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 1．（24-25九年级上·全国·课前预习）二次函数的函数值与自变量的四组对应值如表所示 x y 则方程的根的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】此题考查图象法求一元二次方程的近似根，解题关键在于根据题意画出函数图象． 利用表格中数据得出二次函数图象的大体位置，再结合一元二次方程的性质得出即可． 【详解】解：利用图表中数据可得出二次函数的大体图象，如图所示： 即图象与x轴交点个数为2个，即方程的根的个数是2． 故选：C． 2．（23-24九年级上·广东中山·期中）抛物线的图象与x轴的交点个数是（    ） A．无交点 B．一个交点 C．两个交点 D．三个交点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．令，根据判别式的符号求解即可． 【详解】解：令， 则， 故抛物线与x轴的交点个数为2， 故应选：C． 3．（22-23八年级下·山东东营·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】直接根据图像求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程的解为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵两个交点坐标分别为，， ∴方程的解为，，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，，与y轴交于点C．若轴，则二次函数图象上点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据点，在二次函数的图象上，可以得到该函数的对称轴，再根据轴，和二次函数的性质，即可得到点D的横坐标，从而可以写出点D的坐标． 【详解】解：在二次函数中，令，则， 即， ∵点，在二次函数的图象上， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵轴， ∴点D的横坐标为：， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 5．（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与x轴交点问题，根据的大小与抛物线与x轴交点个数的关系求解． 【详解】解：抛物线（是常数）与轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的解的范围是 ．（两相邻整数之间） … 0 1 … … 1 2 1 … 【答案】或 【分析】本题考查图像法求一元二次方程的解，解题的关键是理解函数和方程的关系．据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴根据函数的连续性可得在之间，存在一个数，使得， ∵和的函数值相等， ∴对称轴为：， ∴根据对称性可得：在之间，也存在一个数，使得， ∴一元二次方程的解的范围是或， 故答案为：或． 知识点 2 二次函数与一元一次不等式 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 . 1．（2025·广东广州·一模）如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和4，则当时的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线图象在直线图象上方部分对应x的范围即为时的取值范围，利用交点坐标即可解答． 【详解】解：根据图象：当时的取值范围为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图象可得出当时对应的x的值，然后结合函数图象求解即可． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，，， 结合函数图象可知，当成立的的取值范围是或． 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，抛物线与直线交于A，B两点，它们的横坐标分别为和4，则不等式的解集是(   ) A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．根据函数与不等式的关系求解． 【详解】解：由图象得：当时，，即， 故选：D． 考点一： 求抛物线与x轴的交点坐标 1．（2025·河北保定·二模）已知抛物线与x轴交于点A和B，则的值为（    ） A．－5 B．－1 C．3 D．7 【答案】A 【分析】根据韦达定理可知，，然后将其代入所求的代数式求值即可． 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时，充分利用了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的根与系数的关系，难度不大． 【详解】解： 由抛物线与x轴交于点A和B， 知，． ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南安阳·期中）抛物线与轴的一个交点坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象及性质是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，进而得出另一个交点坐标． 【详解】解：由抛物线中，对称轴为：， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 此抛物线与轴的另一个交点坐标是， 故选：D. 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与坐标轴交点的知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解题关键．将点代入抛物线，求解即可获得答案． 【详解】解：将点代入抛物线， 可得，解得． 故答案为：． 考点二： 求抛物线与y轴的交点坐标 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，令，求出的值即可，掌握轴上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：由得，当时，， ∴与轴的交点坐标是， 故选：． 2．（24-25九年级下·全国·期中）如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则的面积为（   ） A．6 B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与轴的交点坐标，二次函数与轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别令，，代入，得，，再结合三角形面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点， ∴令时，则， 得 ∴， ∴， 令时，， ∴． ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）若抛物线与y轴交于点，则c的值为（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，令，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， 故选：C 4．（2025·山东滨州·一模）将抛物线向右平移3个单位长度，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．先根据二次函数的平移规律得到向右平移3个单位后的抛物线解析式，再令，即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位， 得到抛物线的解析式为：， 令，则， 平移后的抛物线与轴的交点的坐标是， 故答案为：． 考点三： 抛物线与坐标轴交点个数 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）抛物线与x轴的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点个数，当时，抛物线与x轴有两个交点，当时，抛物线与x轴有一个交点，当时，抛物线与x轴有没有交点，根据解析式列式判断，即可解题． 【详解】解：， 又， ， 抛物线与x轴的交点个数是个， 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）二次函数的图象与坐标轴的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】当时，，与y轴有一个交点；当时，，解得，故抛物线与x轴有2个交点，解答即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点是解题的关键． 【详解】解：当时，，与y轴有一个交点； 当时，， 解得， 故抛物线与x轴有2个交点， 故抛物线与坐标轴有3个交点． 故选：D． 3（2024·浙江宁波·二模）二次函数 与坐标轴的交点个数为 个． 【答案】1 【分析】本题考查的是抛物线和坐标轴的交点，分与轴和轴有无交点讨论求解即可． 【详解】解：函数与轴交点： 令，则，故与轴交于一个点； 与轴交点：令，则，此时，方程无解，故与 轴无交点， 综上，二次函数与坐标轴只有一个交点． 故答案为：1． 考点四： 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 1．（21-22九年级上·吉林·期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过原点O，与x轴另一个交点为A点，则方程ax2+bx+c＝0的解是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．0和一个正根 【答案】D 【分析】根据函数图像与坐标轴的交点即可求解 【详解】解：二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过原点O，与x轴另一个交点为A点，根据函数图象可知，点在轴正半轴， 所以方程ax2+bx+c＝0的解是0和一个正根 故选D 【点睛】本题考查了根据函数图象确定一元二次方程根的情况，数形结合是解题的关键． 2．（2025·河南新乡·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则点的位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、根据二次函数图象确定相应一元二次方程根的情况、判断点所在的象限，解题关键是根据二次函数图象确定相应一元二次方程根的情况．由该二次函数与轴无交点，顶点在第二象限推得，即可得解． 【详解】解：由图象可得，该二次函数与轴无交点，顶点在第二象限， 一元二次方程无解， ； 当时，， 点在第二象限． 故选：． 3．（24-25九年级上·北京·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则一元二次方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，一次函数的性质，一次函数图象上点的特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，解题关键是通过图象求解．将一元二次方程变形为，由交点坐标即可得出答案． 【详解】解：把一元二次方程变形为， 抛物线与直线交于，两点，点，横坐标分别为，3， 关于的一元二次方程的解是，． 故答案为：，． 4．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）若抛物线的顶点在轴上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，根据抛物线的顶点在轴上，可得出抛物线与x轴的交点只有一个， 则根据代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴， 解得：， 故答案为∶ 考点五： 由二次函数图像与坐标轴的交点情况求参数 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知函数的图像与坐标轴只有两个交点：则m的取值是 【答案】或或或 【分析】本题考查了函数与坐标轴的交点问题，分类讨论和两种情况即可求解． 【详解】解：①当时，，该一次函数与坐标轴有两个交点，满足题意； ②当时，为二次函数， 若图象经过原点，则， 解得：， 此时，，图象与轴还有一个交点，满足题意； 若函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 整理得： 解得：或， 综上所述：或或或． 故答案为：或或或． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）若二次函数的图象与x轴仅有一个交点，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数图象与一元二次方程根的关系，根据二次函数图象与一元二次方程的关系“二次函数图象与x轴的交点个数等于对应的一元二次方程根的个数，与x轴横坐标等于对应一元二次方程的解”，即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于x的函数的图像与x轴只有一个交点，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，一次函数，熟知二次函数与x轴只有一个交点，则，根据二次函数的图像与x轴只有一个交点可得，求解即可，同时需要分类讨论． 【详解】解：当函数为二次函数时，则， 解得：， ∵二次函数的图像与x轴只有一个交点， ∴， ， 解得：，， ， 当函数为一次函数时，则且 解得：且， ， 故答案为：或． 4．（19-20九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，转化为一元二次方程无实根是解题的关键．根据题意可得方程无实根，得出，解不等式即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， 则方程无实根， 即， 解得， 故答案为：． 考点六： 图像法求一元二次方程近似解 1．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定当时，在和之间，再根据对称性得到当时，还在和之间，据此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴观察表格可知，当时，在和之间， 根据二次函数的对称性可知，当时，还在和之间， 故选：D． 2．（18-19九年级上·全国·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】A 【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：令， 由表格可知：时，，当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：A． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为； ∴一元二次方程的正数解的范围是； 故选:D． 考点七： 图像法解一元一次不等式 1．（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 2．（24-25九年级上·重庆·期末）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据对称轴为直线，可求出当时，或，再结合图象即可求解，掌握二次函数的性质，利用数形结合求不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，二次函数的对称轴为直线， 当时，或， ∴通过图象可知：不等式的解集是或， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 4．（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题． 【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点， ∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 考点八： 求x轴与抛物线的截线长 1．（23-24九年级上·四川广安·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4 【答案】D 【分析】根据得顶点坐标是， ，判定抛物线开口向下；令，得，图象与轴交点的坐标是；令，得，求得交点坐标，后计算距离解答即可． 本题考查了抛物线的开口，与坐标轴的交点，与x轴相交的两交点间的距离，熟练掌握性质和交点的计算是解题的关键． 【详解】解：根据得顶点坐标是， ， ∴抛物线开口向下； 故A，B错误； 令，得， ∴图象与轴交点的坐标是； 故C错误； 令，得， 解得， ∴， 故D正确， 故选D． 2．（22-23九年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与轴的交点坐标，进而求解． 【详解】解：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后所得的函数解析式为，即为， 此抛物线与轴的两个交点坐标为，， 则此抛物线与轴的两个交点之间的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键． 3．（22-23九年级上·江苏·期末）如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，根据对称轴求得的值，解方程，即可求解． 【详解】解：∵抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线， ∴ 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，即， 解得：， ∴, ∴， ∴, 故答案为：． 考点九： 二次函数与直线的交点问题 1．（24-25九年级上·河南·期中）如图，抛物线与直线的两个交点为，，则关于的方程的解为 ．    【答案】， 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点为，， 关于的方程的解为，， 故答案为：，． 2．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知抛物线的图象与轴没有交点，直线不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题主要考查二次函数以及一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据根的判别式求出的取值范围，再根据一次函数的图象和性质即可得到答案． 【详解】解：抛物线的图象与轴没有交点， ， 解得， ， 直线不经过第三象限， 故答案为：三． 3．（24-25九年级上·福建南平·阶段练习）抛物线与直线的一个交点是，另一个交点为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据直线与抛物线的一个交点为，可以求得、的值，然后将直线与抛物线联立方程组即可求得另一个交点坐标． 【详解】解：点在抛物线上， ， ∵点在直线上， ，解得， 直线， 由得，或， 抛物线与直线的另一个交点为， 故答案为：． 4．（2025·辽宁·一模）一次函数与抛物线的交点个数为 个． 【答案】2（或“两”） 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，求出方程的的值，据此即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一次函数和二次函数的交点个数的关系是解题的关键． 【详解】解：联立方程组， 化简得， ∴， ∴方程有2个不等的实数根， ∴一次函数与抛物线的交点个数为2个， 故答案为：2． 5．（2025·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，若抛物线与直线（为正整数）有两个交点，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式．令，将其整理，并根据抛物线与直线有两个交点，可知，再求解即可． 【详解】解：令， 即， 抛物线与直线（为正整数）有两个交点， ， ， 则的值可以是1． 故答案为：（答案不唯一）． 1．（21-22九年级上·河北沧州·期末）已知二次函数图象的与y轴的交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】与y轴的交点，则其横坐标为0，将代入二次函数可得y的值，故可求出其交点坐标． 【详解】解：∵图象与y轴的交点的横坐标为0， ∴将代入可得， ∴交点坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数与y轴交点坐标，关键是理解y轴坐标的特点：y轴上的点横坐标为0． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数的图象与轴两个交点的坐标分别是和，那么一元二次方程的两个根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是二次函数与一元二次方程的关系—抛物线与x轴的交点问题，解题关键是正确理解二次函数与一元二次方程的关系． 根据二次函数与一元二次方程的关系即可得解． 【详解】解：根据二次函数与一元二次方程的关系可得， 当二次函数的图象与轴两个交点的坐标分别是和时， 即一元二次方程有两个解，分别是，． 故选：． 3．（2025·广东梅州·一模）如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则关于的方程的一个根可能是（   ） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.56 D．2.45 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线和轴交点，理解抛物线和一元二次方程的关系是解答关键． 观察函数图象可得 的点在和之间，进而求解． 【详解】解：从函数图象看， 的点在和之间， 而在和之间被选项中的数为， 的方程的一个根可能. 故选：D． 4．（24-25九年级上·甘肃平凉·期中）如果二次函数与轴只有一个交点，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与轴交点个数的判断方法是解题的关键．利用与轴只有一个交点，则其对应的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【详解】解：由二次函数与轴只有一个交点， ∴二次函数对应的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 故选：D． 5．（23-24九年级上·安徽·期末）二次函数的图象与轴有两个不同交点，则可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，根据，二次函数与轴有两个不同的交点即可求解． 【详解】解：根据题意，，且， 解得，且， 故选：B ． 6．（23-24八年级下·云南昆明·期末）已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 将交点代入二次函数解析式，可得，将该式略作变形即可得出答案． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点为， ， ， ， 故选：． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点问题，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．直接从图上可以分析：时，图象在轴的下方，共有2部分：一是的左边轴的下方 部分，即时图象；二是的右边轴的下方部分，即时函数图象． 【详解】解：观察图象可知，抛物线与轴两交点为，， ，图象在轴的下方，所以答案是或． 故选：B． 8．（23-24九年级上·重庆黔江·期末）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键,根据图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】∵抛物线与直线交于，， ∴不等式为：或， 故选：． 9．（24-25九年级上·广东中山·期中）已知抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴没有交点，则，进而求解． 【详解】解：抛物线与轴没有交点， ∴， 解得， 的取值范围是． 故答案为：． 10．（22-23八年级上·北京大兴·期末）某二次函数的图像与直线相交与点 M、N，则当时，自变量 x 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线与直线交点坐标，结合图像求解． 【详解】解：∵抛物线与直线交点坐标为，， 当时，则直线图像要在抛物线图像的上方， ∴， ∴当时，，自变量x的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是结合图像求解． 11．（24-25九年级上·吉林·期中）已知二次函数． (1)用配方法将其化为的形式； (2)写出抛物线与坐标轴交点的坐标． 【答案】(1) (2)抛物线与轴的交点是，，与轴交点是 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，二次函数的性质： （1）利用配方法把解析式化为顶点式即可； （2）根据和求出对应的、值，即可得到与坐标轴交点的坐标． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时，，解得：，； 当时，， 故抛物线与轴的交点是，，与轴交点是 12．（21-22九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根 (2)写出不等式的解集 (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1或3 (2)或 (3) (4) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． （1）看二次函数与x轴交点的横坐标即可； （2）看x轴下方的二次函数的图象相对应的x的范围即可； （3）在对称轴的右侧即为y随x的增大而减小； （4）得到相对应的函数看是怎么平移得到的即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴的交点为，， ∴方程的两个根为； （2）∵由图象可知或时，二次函数的图象在x轴下方， ∴不等式的解集为或； （3）∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围是； （4）∵由图象可知二次函数图象的顶点坐标为， 当直线在的下方时，一定与抛物线有两个不同的交点， ∴当时，方程有两个不相等的实数根． 13．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，利用函数的图象，解决下列问题：      (1)当随x的增大而减小时，x的取值范围是_______； (2)当时，的取值范围是_______； (3)当时，x的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握数形结合的数学思想是解题关键． （1）根据图象求出对称轴即可求解； （2）求出当时，的最大值和最小值即可求解； （3）求出时的的值，即可求解． 【详解】（1）解：由图象可得： 函数的对称轴为：直线 ∵抛物线开口向上， ∴当时，随x的增大而减小； 故答案为：； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，； 故答案为：； （3）解：由图象可知，当时，； 再由对称性可知，当时，； ∴当时，或． 故答案为：或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$