第03讲 二次函数的图像与性质（提高）（5知识点+10考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第03讲 二次函数的图像与性质（提高） 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.理解二次函数与各项系数之间的关系. 2.尝试根据二次函数的性质解决相关问题.（增减性、最值、对称性等） 知识点 1 二次函数与各项系数之间的关系 二次函数的图像与a，b，c的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a<0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． 1．（2025·广东深圳·二模）已知二次函数为，则它的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵二次函数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 故A，B，D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C 2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图形开口，对称轴直线，与坐标轴交点的计算是关键． 根据二次函数图象的开口，对称轴直线，与坐标轴交点的知识判定即可． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵对称轴直线为， ∴，故B选项正确，符合题意； ∵二次函数图象与轴交于正半轴， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵二次函数与轴有两个交点， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，那么点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、判断坐标点的象限，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象开口方向、与轴交点的位置得出，，再结合对称轴的位置得出，即可得出答案． 【详解】解：由图象知，二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴， ，， ， 由图象知，二次函数图象的对称轴， ， 点在第二象限． 故答案为：二． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）二次函数的图象如图所示，那么 （填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，此题运用了数形结合思想．首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，代入即可判断的正负． 【详解】解：∵图象开口方向向上， ∴， ∵图象的对称轴在x轴的正半轴上， ∴， ∵， ∴， ∵图象与y轴交点在y轴的负半轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点 2 用抛物线图像研究各项系数 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 5）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 6）特殊点代入确定a，b，c的关系. 7）根据抛物线的顶点，判断的大小. . 1．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，其中结论正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；能够从函数图象获取信息，结合函数解析式、判别式、对称轴的性质解题是关键．根据以上相关性质，逐项判定即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， 即， ∴，故选项A不符合题意； 由图象可知，抛物线与x轴有两个交点， 则当 时，方程有两个不相等实数根， ∴，故选项B不符合题意； 由图象，抛物线与x轴交于， 代入，可得， 故选项C不符合题意； 由抛物线对称性可知，原点关于直线的对称点在抛物线上方， ∴当时，，故选项D符合题意； 故选：D 2．（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图是抛物线的示意图，则c的值可以是（    ）．    A． B． C．0 D．3 【答案】D 【分析】根据抛物线与轴的交点，确定出，结合选项求解即可． 【详解】解，由图象可得，抛物线与轴的交点在轴的上方，所以 结合选项，只有D选项符合，A、B、C选项不符合， 故选：D 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 3．（24-25九年级下·河北邢台·阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，以下结论：①；②；③；④过点；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的有 ．（填序号）    【答案】②④⑤ 【分析】此题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息是解题的关键． 由已知可得对称轴，，函数与y轴的交点，函数与y轴交点，则方程有两个不相等的实数根；由函数的对称性可得，与x轴的一个交点坐标为，另一个交点为，据此以此判断即可； 【详解】由图可知，开口方向向下，故， 抛物线与y轴交于正半轴，得， 抛物线的对称轴为，即 ， ∴，， 故③错误； ∴故①错误, 由图象与轴有两个交点，故，故②正确； 抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为：直线 ∴抛物线与x轴的另一个交点为，故④正确； 方程 的实数根，可以看成函数图象与直线交点横坐标， 抛物线与y轴交点， 当有两个不同的交点，即方程有两个不同的实数根，故⑤正确； 综上所述正确的有②④⑤， 故答案为：②④⑤． 4．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知二次函数的图象如图，有下列4个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置、抛物线与x轴交点的个数确定，解题关键是熟练运用二次函数的图象和性质． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ， ∵与轴的交点为在轴的正半轴上， ， ∵对称轴为直线得， ，且、异号， 即， ， 故①错误、③正确； 根据图象得，抛物线与轴有两个交点， ，即，故②正确； ∵对称轴为直线，得， ，故④正确； 故答案为： ②③④. 知识点 3 二次函数对称变换 一般式的对称 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 1．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）已知二次函数，则它关于y轴的对称图像的解析式为 【答案】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，根据题意确定顶点坐标关于y轴的对称点为，然后利用顶点式即可求解 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， ∴顶点坐标关于y轴的对称点为，开口方向与原开口方向一致， ∴对应的函数关系式为， 故答案为： 2．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）若二次函数（b为常数）关于y轴对称，则b的值为（   ） A． B．0 C．1 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线的对称轴为直线是解题关键． 由二次函数（b为常数）关于y轴对称，则对称轴为y轴，即可求解． 【详解】解：∵二次函数（b为常数）关于y轴对称，即二次函数对称轴为直线， ∴， 解得． 故选：B． 3．（2025·黑龙江绥化·一模）拋物线：和拋物线关于轴对称，则拋物线的解析式是 （填一般式） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，理解轴对称变换的特点是解题的关键，根据关于轴对称的点的坐标为横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：拋物线：和拋物线关于轴对称， 拋物线关于轴对称的点即拋物线上的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， 即， 拋物线的解析式是， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）若抛物线与抛物线关于原点对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握关于原点对称的抛物线开口方向改变，开口大小不变，是解题的关键．根据关于原点对称的抛物线开口方向改变，大小不变，顶点坐标关于原点对称求出关于原点对称的解析式即可求解． 【详解】解：抛物线与抛物线关于原点对称，则顶点的横纵坐标互为相反数， ∵抛物线关于原点对称的抛物线解析式为， 又，， ， 故答案为：． 知识点 4 二次函数的对称性问题 1）抛物线上两点关于直线x=对称，则 ①这两点在同一高度，即两点的纵坐标相同； ②这两点到对称轴的距离相等，即两点的横坐标与x=的差的绝对值相等； 2）若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称. 3）已知一点的坐标为(x1，y)，对称轴为x=h，则这个点关于对称轴对称点的坐标为（2h-x1，y）. . 1．（2025·河南周口·一模）已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（   ）． A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，根据当和当时的函数值相同可得对称轴，再根据对称性可得当和当时的函数值相同，据此可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当和当时的函数值相同， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称性求函数值，因为由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可作答． 【详解】解：由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为， 则， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 故答案为： 3．（2025·山东德州·一模）已知二次函数经过两个不同点，，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查的是二次函数的对称性，先判定点关于抛物线的对称轴对称，再求解抛物线的对称轴为直线，从而可得答案. 【详解】解：二次函数经过两个不同点，， ∴点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； ∴ 故答案为：0． 知识点 5 最值问题 定义：二次函数的最值就是根据二次函数自变量x的取值范围，求出y的取值范围. 类型一：自变量x取全体实数，y在顶点处取得最值，根据a的正负判断函数是最大值还是最小值. 类型二：自变量x的取值范围为给定范围， 1）若对称轴在给定范围内，则x=时，二次函数取得最值，另一个最值在较对称轴较远的点处取得. 2）若对称轴不在给定范围内（），两个最值在两个端点处取得. . 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）当 时，二次函数有最小值． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口方向向上， ∴当时，函数有最小值； 故答案为：1． 2．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）二次函数（b为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性期初b的值，然后化为顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象经过和两点， ∴对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数有最大值． 故选D． 3．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 【答案】；5 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，根据解析式求出对称轴，开口方向和顶点坐标，进而得到离对称轴越远函数值越大，再确定当且仅当时，函数有最大值并计算出最大值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即最小值为 ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，当且仅当时，函数有最大值，最大值为， 故答案为；；5． 4．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的最值，利用二次函数增减性得出其最值是解题的关键． 直接利用配方法求出二次函数最小值，进而利用二次函数增减性得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， 整理得：， 故当时，有最小值为； ∵， ∴当时，有最大值为； 故； 故答案为：． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）当时，函数的最大值是8，则 ． 【答案】或 【详解】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．先求得对称轴，根据的取值，再分和两种情况讨论求得即可． 【解答】解：函数的对称轴为直线， ①当时，则时，函数的最大值是8， 把代入得，， 解得； ②当时，则时，函数的最大值是8， 把代入得，， 解得， 故答案为：或． 考点一： 根据二次函数的图像判断式子符号 1．（24-25九年级上·湖北黄石·开学考试）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的系数与图象的关系，关键利用，，时函数值的大小判断③④的对错，根据函数图象分别判断，，的符号即可判断结论①；利用图象与轴交点的个数即可判断结论②；利用对称轴及当时函数值的正负即可判断结论③；利用和时的函数值的正负即可判断结论④． 【详解】解：①抛物线开口方向向下，对称轴在轴的右侧，函数图像与轴交于正半轴， ，，，，故①错误； ②图象与  ��  轴有两个交点 ，故②正确； ③抛物线对称轴是直线， ， 当时，， ， 即，故③正确； ④当时，，当时，， ，即，故④正确， 故正确的有3个． 故选：B． 2．（2024·湖北恩施·二模）二次函数（）的对称轴为，且过点，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤．其中正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象和系数的关系的应用，本题熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据图象分别求出、、的符号，即可判断①，根据对称轴求出，代入即可判断②，把代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断③，求出点关于直线的对称点的坐标，根据对称轴即可判断④中和的大小，结合和代入二次函数的解析式即可判断⑤ 【详解】解：二次函数的图象开口向上， ， ∵对称轴为，且过点， ∴二次函数的图象交轴的负半轴于一点， ， 对称轴是中线， ， ， ， ①正确； ， ， ②正确； 把代入得：， 从图象可知，当时， 即， ③错误； 关于直线的对称点的坐标是， 又当时，随的增大而增大，， ， ④正确； ∵，即，， ∴，即， ∴⑤正确； 综上所述：正确的有①②④⑤； 故选D． 3．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（）的大致图象如图所示. （）；（）；（）；（）关于的方程有两个不相等的实数根．则下列结论正确的是 ．（填序号） 【答案】（）（）/（4）（1） 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由图象可得，，，即得，即可判断（）；由对称轴位置可判断（）；由抛物线与轴的一个交点坐标为可判断（）；由抛物线与直线有两个不同的交点可判断（），综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于负半轴上， ∴，， ∵抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∴，故（）正确； 由图象可知，对称轴，故（）错误； ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴，故（）错误； 由图象可知，抛物线的顶点的纵坐标为， ∴函数值的最大值为， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线与直线有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故（）正确； 综上，结论正确的是（）（）， 故答案为：（）（）． 4．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，二次函数的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，且．有下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确结论为 ． 【答案】③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的负半轴上可得，再根据二次函数的对称轴可得，则，由此即可判断①错误；根据当时，即可判断②错误；根据即可判断③正确；先求出，代入抛物线的解析式可得，再将代入方程等号的左边进行检验即可判断④正确． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的负半轴上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，则结论①错误； 由得：， 由图象可知，当时，， ∴， ∴，则结论②错误； 当时，， ∴， 由函数图象可知，， ∵， ∴，即， ∴，则结论③正确； ∵，， ∴， 将点代入函数得：， ∵， ∴，即， 将代入得： ， ∴关于的方程有一个根为，则结论④正确； 综上，正确的结论为③④， 故答案为：③④． 考点二： 二次函数与一次函数综合判断 1．（2025年浙江省温州市中考学业水平考试模拟一数学试题）已知，，，均在同一个函数图象上，这个函数图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象与点的关系，根据对称性和增减性，逐一判断即可．从图象获取信息是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴关于轴对称， ∵，，，， ∴在轴右侧，随着的增大而增大，故A，C选项不符合题意， ∵当从3增加到4时，增加1，从3增加到6时，增加3，， 即：变化率相同， 故，，应该在直线上，故B选项符合题意，D选项不符合题意； 故选B． 2．（2025·安徽淮南·三模）已知二次函数与正比例函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确读懂的函数图象是解题的关键． 由已知函数图象，判断出，，，即可得函数的图象方向和对称轴，再求出与函数图象与轴的交点的横坐标，即可解得． 【详解】解：由已知函数图象得，，，， ∴函数的图象开口向上，， 即其图象的对称轴直线在轴的左侧． ∵二次函数与正比例函数的图象交点的横坐标为，， ∴二次函数与正比例函数的图象交点的横坐标为，， ∴方程的两根为，， ∴函数的图象与轴的交点的横坐标为，． 故选B． 3（2025·江西新余·二模）在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象的综合判断．分别判断各个选项中两个函数的、的符号，看是否一致，即可得解． 【详解】解：A、由图可得，函数经过一、二、三象限，故，， 函数的图象开口向上，故，对称轴在轴右边，，即，故本选项符合题意； B、由图可得，函数经过一、三、四象限，故，， 函数的图象开口向上，故，故本选项不符合题意； C、由图可得，函数经过一、二、三象限，故，， 函数的图象开口向下，故，故本选项不符合题意； D、由图可得，函数经过一、三、四象限，故，， 函数的图象开口向下，故，对称轴在轴右边，，即，故本选项不符合题意； 故选：A． 考点三： 求二次函数对称变换后的解析式 1．（23-24九年级上·陕西延安·期末）若抛物线与抛物线关于直线对称，则m，n的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，坐标与图形，轴对称图形的性质，熟练掌握和运用轴对称图形的性质是解决本题的关键． 首先可分别求得抛物线及的对称轴，再根据轴对称图形的性质，即可求得m的值；根据抛物线与y轴的交点坐标，即可求得交点关于直线对称的点的坐标，再根据该点在抛物线上，据此即可求解． 【详解】由抛物线可知抛物线的对称轴为直线，交y轴的于， 抛物线可知抛物线的对称轴为直线， 抛物线与抛物线关于直线对称， ， 解得， 点关于直线对称的点在抛物线， 把代入， 解得：， 综上所述：， 故选：D 2．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握利用顶点坐标求抛物线解析式是解题的关键．先求出抛物线的顶点坐标，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点关于原点的对称点，然后再利用顶点式写出对称后的抛物线解析式． 【详解】解：， 抛物线的顶点为， 点关于原点的对称点为， 抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，利用关于轴对称的点坐标特点，横坐标不变，纵坐标变成相反数从而得出，，，然后代入代数式计算即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线与抛物线关于轴对称， 又， ∴函数的解析式为：， ∴，，， ∴， 故答案为：． 4．（2023·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若抛物线与抛物线关于轴对称，则符合条件的、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由两抛物线关于轴对称，可知两抛物线的对称轴也关于轴对称，与轴交于同一点，由此可得二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，由此可得关于、的方程组，解方程组即可得. 【详解】解：关于轴对称，二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数， ∴， 解得：，， 故选：D． 【点睛】本题考查了关于轴对称的抛物线的解析式间的关系，弄清系数间的关系是解题的关键． 考点四： 根据二次函数的性质比较大小 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，则下列大小比较正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，有最大值为，对称轴为直线得到当时，随的增大而增大，再根据，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ∴当时，有最大值为 ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴，即 故选：D． 2．（2023·陕西咸阳·一模）已知点，在抛物线（是常数）上，若，，则下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，有最大值为，对称轴为直线，根据，，设的对称点为，得出，则在对称轴右侧，随的增大而减小，则当时，． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，有最大值为， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为直线， 设的对称点为，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当，抛物线开口向下；对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小． 3．（2023·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点．，，在该抛物线上．若，比较，，，的大小，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线的性质，根据点和点在抛物线上得到，，表示出 ，， ，，，结合判断式子与0的关系即可得到答案； 【详解】解：∵点和点在抛物线上， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，在该抛物线上， ∴，， ，， ∴，，，， ∴， 故选：D． 考点五： 根据二次函数的性质求最值 1．（2025·广东汕头·一模）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（   ） A．有最大值3 B．有最小值3 C．有最大值6 D．有最小值6 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据可得函数有最小值，再根据化成顶点式即可解答，正确理解二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 二次函数有最小值为6， 故选：D． 2．（2025·陕西榆林·三模）已知关于的二次函数的图象经过点，则函数有（   ） A．最小值 B．最小值11 C．最大值 D．最大值11 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题关键．将点代入二次函数解析式，得出，再代入代数式得到关于的二次函数，再求最值即可． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ， ， 代数式有最大值， 故选：D． 3．（2025·江苏南京·一模）在数学课上，刘老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（为常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，二次函数的最值问题，先把（是常数）变形，再对比求出，的值，最后进行相加，计算出最小值，解题的关键是利用配方法和非负数的性质来解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 4．（2025·江苏南京·一模）一次函数的图象上有一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由题意得，即得，再根据二次函数的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∵, ∴当时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 考点六： 根据二次函数的最值求求参数取值范围 1．（2025·河南·模拟预测）已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由二次函数可得对称轴为直线，然后分当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下即可求解． 【详解】解：由二次函数可得对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上， ∴当时，函数由最小值， 当时，函数由最大值， ∵函数的最大值与最小值之差为， ∴， 解得：； 当时，抛物线开口向下， ∴当时，函数由最大值， 当时，函数由最小值， ∵函数的最大值与最小值之差为， ∴， 解得：； 综上可知：的值为或， 故选：． 2．（2025·浙江·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．由，函数有最小值；后分类解答即可． 【详解】解：由，得函数有最小值；且距离对称轴越远，函数值越大； 又当时，函数的最大值与最小值的和为2， 当时，根据对称轴左侧，y随x的增大而减小， 故时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据题意，得， 解得，与矛盾， 故时无解； 当时；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 此时函数的最大值与最小值的和为2， ∴当时，符合题意； 当时；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据函数的最大值与最小值的和为2，得， 解得或，这与矛盾， 故时无解； 综上分析可知：n的取值范围是． 故选：C． 3．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）对于二次函数，当时，函数的最小值为1，则的值为 ． 【答案】0或3/3或0 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，所以分类讨论：当时，则把代入，当时，把代入，进行计算即可作答． 【详解】解：∵函数， ∴二次函数的顶点坐标为，开口向上， 则在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大； 当时，函数的最小值为1， ∴当时，则把代入， 得， 解得（舍去）， ∴当时，把代入， 得， 解得（舍去）， 综上：的值为0或3． 故答案为：0或3． 考点七： 根据二次函数的对称性求函数值或对称轴 1．（24-25九年级下·陕西榆林·阶段练习）已知关于的二次函数的图象经过点，，，其中为常数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的顶点式以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式以及性质是解答本题的关键． 根据二次函数经过，得对称轴为，从而可得的值，再将代入化简得，从而求出的值，即可得解． 【详解】解：将代入得： ， ， 二次函数经过，， 抛物线对称轴为， ， ， ， ， 故答案为：B． 2．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在该抛物线上，且，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是抛物线轴对称性，解答关键是利用数形结合解答问题．求出函数的对称轴的表达式，利用函数的对称性即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2025·上海松江·二模）已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；先求出对称轴，再根据纵坐标相等的两点关于对称轴对称即可得解； 【详解】解：抛物线的对称轴为：直线，， ， ． 故答案为：. 4．（2025·河南·一模）已知二次函数的图象上A，B，C三点的坐标分别为．若，则c的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象及性质．根据，可得关于对称轴对称，从而得到，再把点B的坐标代入，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴关于对称轴对称， ∵， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入，得： ，解得：． 故答案为：． 考点八： 根据二次函数的对称性求求参数取值范围 1．（21-22九年级上·福建福州·期末）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，当＝1，＝3时，．若对于任意实数x1、x2都有≥2，则c的范围是（    ） A．c≥5 B．c≥6 C．c＜5或c＞6 D．5＜c＜6 【答案】A 【分析】由当＝1，＝3时，y1＝y2可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得抛物线解析式，将函数解析式化为顶点式可得y1＋y2的最小值，进而求解． 【详解】∵当＝1，x2＝3时，． ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2， ∴b＝﹣4， ∴y＝﹣4x＋c＝＋c﹣4， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，c﹣4）， ∴当y1＝y2＝c﹣4时，y1＋y2取最小值为2c﹣8， ∴2c﹣8≥2， 解得c≥5． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 2．（2025·山东济南·一模）抛物线（是常数，）经过两点，且．点，在抛物线上，当且时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题意可知抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小，离对称远，离对称近，则点一定在对称轴右侧，由，即，可知对称轴直线，即可求解．利用对称性求出对称轴从而得出对称轴直线是解题关键． 【详解】解：∵抛物线（是常数，）经过两点， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小， ∵，总有， ∴离对称远，离对称近，则点一定在对称轴右侧， 又∵，即， ∴对称轴直线，可得， ∵， ∴， 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知抛物线 (为常数，且)上两点，，当时，恒成立，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图像和性质，二次函数的对称性，应用数形结合思想是解题的关键；根据对称性求出关于对称轴的对称点为，再根据恒成立，可得，即可得解． 【详解】解：抛物线， 对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为， ， ， ， 均在对称轴的右侧， 恒成立， ， ， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先由函数的解析式得开口向上，对称轴是直线，再逐个算出结合二次函数的图象过点．且，得，最后结合二次函数的对称性找出，关于直线对称的点的坐标为，同理得关于直线对称的点的坐标为，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口向上，对称轴是直线， ∵二次函数的图象过点，点 ∴ ∵二次函数的图象过点．且， ∴， ∵对称轴是直线， ∴关于直线对称的点的坐标为， ∴关于直线对称的点的坐标为， ∵二次函数的开口向上， ∴或． 故答案为：或． 考点九： 根据二次函数的增减性求参数取值范围 1．（22-23九年级下·江苏镇江·阶段练习）关于x的二次函数在y轴右侧y随x的增大而减小，则a的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：关于x的二次函数的对称轴为直线， ∵，且在y轴右侧y随x的增大而减小， ∴， 解得：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，二次函数，当时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小． 2（2020·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m绕原点旋转180°，在旋转后的抛物线上，当x4时，y随x的增大而增大，则m的范围是（　　） A．m﹣7 B．m﹣7 C．m﹣7 D．m﹣7 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得旋转后的抛物线，根据二次函数的性质得到﹣≥4，解得即可． 【详解】解：将抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m绕原点旋转180°后，得到的图象的解析式为﹣y＝﹣（﹣x）2+（m﹣1）（﹣x）+m， 即y＝x2+（m﹣1）x﹣m， ∵在旋转后的抛物线上，当x＞4时，y随x的增大而增大， ∴﹣≤4， 解得，m≥﹣7， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像性质，准确计算是解题的关键． 3．（22-23九年级上·河南郑州·阶段练习）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则k的范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，先求得二次函数的对称轴，根据题意即可求得的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为， ，则二次函数的图象开口向上， 在对称轴的左侧，即时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而减小， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质，求得对称轴是解题的关键． 考点十： 由二次函数的对称性求最短路径 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 2.（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 3．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，再求出直线的解析式，即可得到答案． 【详解】解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点， 抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， 当时，， 解得：或， 即； 当时，，即， ∴抛物线对称轴为直线， 由二次函数对称性，关于对称轴对称，即， ， ， 当最小时，周长的最小， 根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线，当时，y的值随x值的增大而减小，则该抛物线的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点坐标以及增减性是解题关键．根据二次函数解析式和增减性可知，抛物线开口向上，，再化为顶点式，得到顶点坐标，即可得到答案． 【详解】解：抛物线，当时，y的值随x值的增大而减小， 抛物线开口向上，， ， ， 顶点坐标为， ，， 该抛物线的顶点在第四象限， 故选：D 2．（2025·辽宁沈阳·二模）二次函数的图象如图所示.①；②函数的最大值为；③当时，；④，则以上结论中正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于． 利用抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称性得到，根据抛物线与轴的交点位置得到，则可对①进行判断；利用二次函数的最值问题可对②进行判断；利用抛物线与轴的交点与图象可对③进行判断；利用可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴的交点坐标在轴上方， ∴，所以①正确； 当时，函数的最大值为：，故②正确； 由对称性可知，抛物线与轴的另一交点为，所以时，，故③正确； 当时，， 所以，， 即，故④错误， 综上可知，正确的是①②③， 故选：C． 3．（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入得出，结合对称轴在y轴的右侧，得，则在时，最小值，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数（其中m为常数）的图像经过点， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴对称轴为直线 ∴， ∴， 则二次函数，且 ∴开口向上，对称轴为直线， ∴在时，最小值， 把代入， 得， ∴该二次函数有最小值7， 故选：D 4．（2025·河北廊坊·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的对称性，根据点到点和到的水平距离相等，点到点和到的水平距离相等，由求解． 【详解】解：根据题意：点到点和到的水平距离相等，点到点和到的水平距离相等， 则， ∵，，， ∴，， ∴， 故选：B． 5．（2025·江苏盐城·二模）二次函数的图象如图所示，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据当时函数值大于，即，根据图象与轴没有交点，可知，即可判断出所在的象限． 【详解】解： 解：根据图象与轴没有交点， ∴， ∵当时函数值大于，即 ∴点在第二象限 故选：B． 6．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图是抛物线的一部分，抛物线的对称轴为直线，有以下5个结论： ①；    ②；   ③； ④       ⑤，    其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系， 根据函数图像可知：，，由对称轴直线可知，可得出，进而可判断①②，由二次函数的对称性可判断③，当时，，结合可判断④，由二次函数的最大值可判断⑤． 【详解】解：根据函数图像可知：，， ∵， ∴， ∴，故①正确， ，故②正确， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，y值相等，且当时，， 即，故③正确， 当时，， ∵ ∴， ∴ 即 ∴，故④正确， ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y有最大值， 当时，， ∴ ∴，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确， 故选∶D 7．（2025·江苏·一模）若点，，在二次函数的图象上，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出二次函数的对称轴为直线，再结合二次函数的性质可得，且，即，再分情况解不等式即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵点，，在二次函数的图象上，且， ∴，且，即， 当时，，次不等式无解； 当时，，解得，即， 当时，，恒成立， 综上所述，， 故选：D． 8．（2025·山东临沂·二模）如图，等腰直角三角形的顶点A，B在抛物线上，点C在y轴上，．若A，B两点的横坐标分别为m，n（），下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，如图，分别过点A和点B作y轴的垂线，垂足分别为M和N．证明，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，分别过点A和点B作y轴的垂线，垂足分别为M和N． 将A，B两点的横坐标代入函数解析式得点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，，，． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，                ∴， ∴， ∴，， ∴． 又∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴． 故选C． 9．（2025九年级下·浙江·专题练习）当时，若二次函数的最大值为2，则n的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．依据题意，由，可得抛物线开口向上，当时，y取最小值为，从而抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，则当时或当时，y取最大值，进而分当时，y取最大值，此时，即和当时，y取最大值，此时，即，分别进行计算可以得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴抛物线开口向上，当时，y取最小值为． ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大． ∴当时或当时，y取最大值． ①当时，y取最大值，此时，即． 又∵此时y最大值为， ∴（不合题意，舍去）或． ②当时，y取最大值，此时，即． 又∵此时y最大值为， ∴或（不合题意，舍去）． 综上，或． 故答案为：或． 10．（2025·浙江舟山·二模）已知点在直线（b为常数）上，若的最小值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上的点，求二次函数的极值， 先将点的坐标代入关系式，可得，进而得，再根据二次函数的性质讨论极值即可． 【详解】解：因为点在直线上， 所以， 所以． 因为抛物线的开口向上， 所以当时，有最小值，即， 解得． 故答案为：． 11．（2025·江苏扬州·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：则 ．（填“>”“<”或“=”） … 1 3 … … … 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质等知识，综合性较强，难度较大．先根据点，，画出二次函数大致图像，即可得到抛物线对称轴为，再求出点距离对称轴个单位，点距离对称轴个单位，结合函数图像即可得到． 【详解】解：如图，根据点，，画出二次函数大致图像， 根据抛物线的对称性得对称轴为， ∴点距离对称轴个单位， 点距离对称轴个单位， ∵， ∴． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，且． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、、，求出当的周长最小时点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长等，解题的关键是： （1）先求出C的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数解析式即可； （2）将抛物线解析式变形为顶点式，然后确定出抛物线的对称轴，连接交对称轴于点H，则点H即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把、、代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为， 如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小； ∵、两点关于对称， ∵，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 13．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标； (3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标. 【答案】(1)； (2)的周长的最小值为，点P的坐标为； (3)的最大值为，此时． 【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长及最大面积问题，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交对称轴于点，此时的周长最小，利用勾股定理以及待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （3）连接，设，根据列得二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接交对称轴于点，此时，取得最小值，最小值为的长， 令，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴的周长的最小值为， 设直线的解析式为， 则， 解得, ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：连接，设， 依题意得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，此时． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次函数的图像与性质（提高） 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.理解二次函数与各项系数之间的关系. 2.尝试根据二次函数的性质解决相关问题.（增减性、最值、对称性等） 知识点 1 二次函数与各项系数之间的关系 二次函数的图像与a，b，c的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a<0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． 1．（2025·广东深圳·二模）已知二次函数为，则它的图象可能是（   ） A．B．C．D． 2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，那么点在第 象限． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）二次函数的图象如图所示，那么 （填“>”“<”或“=”）． 知识点 2 用抛物线图像研究各项系数 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 5）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 6）特殊点代入确定a，b，c的关系. 7）根据抛物线的顶点，判断的大小. . 1．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，其中结论正确的为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图是抛物线的示意图，则c的值可以是（    ）．    A． B． C．0 D．3 3．（24-25九年级下·河北邢台·阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，以下结论：①；②；③；④过点；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的有 ．（填序号）    4．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知二次函数的图象如图，有下列4个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 知识点 3 二次函数对称变换 一般式的对称 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 1．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）已知二次函数，则它关于y轴的对称图像的解析式为 2．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）若二次函数（b为常数）关于y轴对称，则b的值为（   ） A． B．0 C．1 D．1 3．（2025·黑龙江绥化·一模）拋物线：和拋物线关于轴对称，则拋物线的解析式是 （填一般式） 4．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）若抛物线与抛物线关于原点对称，则的值为 ． 知识点 4 二次函数的对称性问题 1）抛物线上两点关于直线x=对称，则 ①这两点在同一高度，即两点的纵坐标相同； ②这两点到对称轴的距离相等，即两点的横坐标与x=的差的绝对值相等； 2）若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称. 3）已知一点的坐标为(x1，y)，对称轴为x=h，则这个点关于对称轴对称点的坐标为（2h-x1，y）. . 1．（2025·河南周口·一模）已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（   ）． A．2 B．1 C．0 D． 2．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 3．（2025·山东德州·一模）已知二次函数经过两个不同点，，则 ． 知识点 5 最值问题 定义：二次函数的最值就是根据二次函数自变量x的取值范围，求出y的取值范围. 类型一：自变量x取全体实数，y在顶点处取得最值，根据a的正负判断函数是最大值还是最小值. 类型二：自变量x的取值范围为给定范围， 1）若对称轴在给定范围内，则x=时，二次函数取得最值，另一个最值在较对称轴较远的点处取得. 2）若对称轴不在给定范围内（），两个最值在两个端点处取得. . 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）当 时，二次函数有最小值． 2．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）二次函数（b为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 3．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 4．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为 ． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）当时，函数的最大值是8，则 ． 考点一： 根据二次函数的图像判断式子符号 1．（24-25九年级上·湖北黄石·开学考试）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2024·湖北恩施·二模）二次函数（）的对称轴为，且过点，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤．其中正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（）的大致图象如图所示. （）；（）；（）；（）关于的方程有两个不相等的实数根．则下列结论正确的是 ．（填序号） 4．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，二次函数的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，且．有下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确结论为 ． 考点二： 二次函数与一次函数综合判断 1．（2025年浙江省温州市中考学业水平考试模拟一数学试题）已知，，，均在同一个函数图象上，这个函数图象可能是（   ） A．B． C． D． 2．（2025·安徽淮南·三模）已知二次函数与正比例函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 3（2025·江西新余·二模）在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 考点三： 求二次函数对称变换后的解析式 1．（23-24九年级上·陕西延安·期末）若抛物线与抛物线关于直线对称，则m，n的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为 ． 3．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的值为 ． 4．（2023·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若抛物线与抛物线关于轴对称，则符合条件的、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 考点四： 根据二次函数的性质比较大小 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，则下列大小比较正确的是（） A． B． C． D． 2．（2023·陕西咸阳·一模）已知点，在抛物线（是常数）上，若，，则下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点．，，在该抛物线上．若，比较，，，的大小，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 考点五： 根据二次函数的性质求最值 1．（2025·广东汕头·一模）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（   ） A．有最大值3 B．有最小值3 C．有最大值6 D．有最小值6 2．（2025·陕西榆林·三模）已知关于的二次函数的图象经过点，则函数有（   ） A．最小值 B．最小值11 C．最大值 D．最大值11 3．（2025·江苏南京·一模）在数学课上，刘老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（为常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是 ． 4．（2025·江苏南京·一模）一次函数的图象上有一个动点，则的最小值是 ． 考点六： 根据二次函数的最值求求参数取值范围 1．（2025·河南·模拟预测）已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2025·浙江·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）对于二次函数，当时，函数的最小值为1，则的值为 ． 考点七： 根据二次函数的对称性求函数值或对称轴 1．（24-25九年级下·陕西榆林·阶段练习）已知关于的二次函数的图象经过点，，，其中为常数，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在该抛物线上，且，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 3．（2025·上海松江·二模）已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么 ． 4．（2025·河南·一模）已知二次函数的图象上A，B，C三点的坐标分别为．若，则c的值为 ． 考点八： 根据二次函数的对称性求求参数取值范围 1．（21-22九年级上·福建福州·期末）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，当＝1，＝3时，．若对于任意实数x1、x2都有≥2，则c的范围是（    ） A．c≥5 B．c≥6 C．c＜5或c＞6 D．5＜c＜6 2．（2025·山东济南·一模）抛物线（是常数，）经过两点，且．点，在抛物线上，当且时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知抛物线 (为常数，且)上两点，，当时，恒成立，则t的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是 ． 考点九： 根据二次函数的增减性求参数取值范围 1．（22-23九年级下·江苏镇江·阶段练习）关于x的二次函数在y轴右侧y随x的增大而减小，则a的范围为（    ） A． B． C． D． 2（2020·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m绕原点旋转180°，在旋转后的抛物线上，当x4时，y随x的增大而增大，则m的范围是（　　） A．m﹣7 B．m﹣7 C．m﹣7 D．m﹣7 3．（22-23九年级上·河南郑州·阶段练习）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则k的范围是 ． 考点十： 由二次函数的对称性求最短路径 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 2.（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线，当时，y的值随x值的增大而减小，则该抛物线的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·辽宁沈阳·二模）二次函数的图象如图所示.①；②函数的最大值为；③当时，；④，则以上结论中正确的有（　　） A． B． C． D． 3．（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 4．（2025·河北廊坊·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2025·江苏盐城·二模）二次函数的图象如图所示，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图是抛物线的一部分，抛物线的对称轴为直线，有以下5个结论：①；    ②；   ③；④       ⑤，   其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（2025·江苏·一模）若点，，在二次函数的图象上，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东临沂·二模）如图，等腰直角三角形的顶点A，B在抛物线上，点C在y轴上，．若A，B两点的横坐标分别为m，n（），下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2025九年级下·浙江·专题练习）当时，若二次函数的最大值为2，则n的值为 ． 10．（2025·浙江舟山·二模）已知点在直线（b为常数）上，若的最小值为，则 ． 11．（2025·江苏扬州·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：则 ．（填“>”“<”或“=”） … 1 3 … … … 12．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，且． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、、，求出当的周长最小时点的坐标． 13．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标； (3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$