第02讲 二次函数的图像与性质（基础）（8知识点+9考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第02讲 二次函数的图像与性质（基础） 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：9大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 ①会用描点法画出画出二次函数的图像，会利用些特殊点画出二次函数的草图； ②通过图像了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图像形状和对称轴的关系； ③会根据二次函数的表达式求其图像与坐标轴的交点坐标； ④会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2 +k(a≠0)的形式，能由此得出二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题. 知识点 1 画二次函数图像 画二次函数图像的三个步骤：列表、描点、连线. 【注意】 1）列表时，要注意自变量的取值范围，要取一些具有代表性的点，不要使得自变量所对的函数值过大或过小，以便于描点和全面反映图像情况. 2）由于抛物线是轴对称图形，所以作图选点时，自变量向对称轴两侧对称取值. 3)一般至少要描出五个点（顶点及对称轴两侧相对应的两组坐标点）方可画出草图，连线时要用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，即可得到二次函数的图像. 1．（21-22九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中画出的图象． 2．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知二次函数． (1)填空：抛物线的对称轴是直线_____，顶点坐标是_____； (2)列表，在如图所示的直角坐标系中画出的图象． … … 3．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知二次函数． (1)用配方法求函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向； (2)在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象（标出顶点、与轴交点、与轴交点及其对称点坐标）． 知识点 2 二次函数的图像和性质 二次函数的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，它的性质如下： 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，0） （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大； x＜0时，y随x的增大而减小. x＞0时，y随x的增大而减小； x＜0时，y随x的增大而增大. 最值 当x＝0时，函数图像有最低点， 有最小值0. 当x＝0时，函数图像有最高点， 有最大值0. . 1．（21-22九年级上·全国·课前预习）抛物线的图象性质： （1）抛物线的对称轴是 ，顶点是 ； （2）当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最 点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最 点； （3） |a|越大，抛物线的开口越 ． 2．（21-22九年级上·全国·课前预习）已知下列二次函数①；②；③；④；⑤． （1）其中开口向上的是 （填序号）； （2）其中开口向下并且开口最大的是 （填序号）； （3）有最高点的是 （填序号）． 知识点 3 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 k＞0 k＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，k） （0，k） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝0时，y有最小值k 当x＝0时，y有最大值k. . 1．（21-22九年级上·全国·课前预习）抛物线的图象相当于把抛物线的图象 （k＞0）或 （k＜0）平移 个单位． 2．（21-22九年级上·全国·课前预习）当a＞0时，抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x＝0时，y有最 值为k，当x＜0时，y随x的增大而 ；当x＞0时，y随x的增大而 ． 当a＜0时，抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x＝0时，y有最 值为k，当x＜0时，y随x的增大而 ；当x＞0时，y随x的增大而 ． 知识点 4 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 h＞0 h＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h x=h 顶点坐标 （h，0） （h，0） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值0 当x＝h时，y有最大值0 1．（22-23九年级上·云南玉溪·期中）抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第一象限 D．第二象限 2．（21-22九年级上·全国·课前预习）通过 法画出和的图象 通过图象可知： 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 ． 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 ． 3．（21-22九年级上·全国·课前预习）当a＞0时，抛物线的开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，当x＝h时，y有最 值为0，当x＜h时，y随x的增大而 ；当x＞h时，y随x的增大而 ． 当a＜0时，抛物线的开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，当x＝h时，y有最 值为0，当x＜h时，y随x的增大而 ；当x＞h时，y随x的增大而 ． 知识点 5 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h x=h 顶点坐标 （h，k） （h，k） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值k 当x＝h时，y有最大值k . 1．（22-23九年级上·湖北孝感·期中）函数的图象是一条 ，开口方向 ，顶点坐标为 ． 2．（21-22九年级上·全国·课前预习）抛物线的性质： （1） 的符号决定抛物线的开口方向； （2）对称轴是直线 ； （3）顶点坐标是 3．（21-22九年级上·全国·课前预习）抛物线与抛物线的关系： 向 （h＞0）或向 （h＜0）平移|h|个单位长度，再向 （h＞0）或向 （h＜0）平移|k|个单位长度，得到 知识点 6 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x= x= 顶点坐标 (，) (，) 函数的增减性 x＞时，y随x的增大而增大； x＜时，y随x的增大而减小. x＞时，y随x的增大而减小； x＜时，y随x的增大而增大. 最值 抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， 抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， . 1．（21-22九年级上·全国·课前预习）当a＞0时，的开口方向 顶点坐标 对称轴 在对称轴左侧，即当x＜时，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，即当x＞时，y随x的增大而 ，当x＝时，y有最小值y＝ 2．（21-22九年级上·全国·课前预习）求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标． （1）（2）（3） （4）（5） 3．（21-22九年级上·全国·课前预习）观察二次函数的图象回答问题： 配方得：y＝ 当x＜－1时，y随x增大而 ；当x＝－1时，y最大值为 ；当x＞－1时，y随x增大而 ． 知识点 7 二次根式的平移 平移方式（n＞0) 顶点式 平移口诀 向左平移n个单位 左加 向右平移n个单位 右减 向上平移n个单位 上加 向下平移n个单位 下减 平移规律：上加下减，左加右减. 补充： ① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. ② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. ③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. ④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同. ⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值. . 1．（2025·浙江金华·二模）将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·西藏拉萨·一模）将二次函的图象向左平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为： ． 3．（2025·河南安阳·二模）将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 知识点 8 待定系数法求二次函数解析式 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 1．（22-23九年级上·上海·单元测试）如果抛物线经过点，那么的值是 ． 2．（20-21九年级上·广东东莞·期中）某抛物线过点，，，则该抛物线解析式用一般式表示： 3．（22-23九年级上·河南南阳·期末）抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 … 从上表可知，时，的值为（    ） A． B． C． D．0 4．（24-25九年级上·新疆吐鲁番·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且抛物线过点，则抛物线的关系式是 ． 考点一： 二次函数的图像和性质 1．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点；②当时，y随x的增大而减小；③当时，；④若，是该抛物线上两点，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知二次函数的图象经过点、． (1)求与的值； (2)写出该图象上点的对称点的坐标； (3)当取何值时，随的增大而减小； (4)当取何值时，有最大值（或最小值）． 4．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 考点二： 二次函数的图像及性质 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林·期中）对于抛物线 ，下列说法不正确的是（    ） A．图象开口向下 B．最小值是1 C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴 3．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（   ） A．D点 B．C点 C．B点 D．A点 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若抛物线的开口向上，则的取值范围是 ． 6．（24-25九年级上·陕西西安·期末）将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线． (1)请你写出这个新抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在这个新抛物线上． 考点三： 二次函数的图像及性质 1．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少 C．对称轴为 D．函数的最小值为0 2．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A．B．C．D． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（24-25八年级下·北京·期中）已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是 （写出一个符合要求的值即可）． 5．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”连接）． 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数，不画图像，回答下列问题． (1)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y有最大（小）值？最大（小）值是多少？ (3)当x取何值时，y随x的增大而增大？ (4)抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？ 考点四： 二次函数的图像及性质 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线 2．（2025·云南楚雄·二模）若二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知，，在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 5．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知函数． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)当取何值时，随的增大而增大？ (3)当取何值时，函数取得最值？求出这个最值． 考点五： 二次函数的图像及性质 1．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）二次函数 的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，两点都在抛物线（）上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏无锡·二模）已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南漯河·三模）关于二次函数，下列结论中正确的是（    ） A．其图象的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．若点是抛物线上的点，则点也是抛物线上的点 D．把该函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，图象经过点 5．（2025·吉林长春·一模）若是抛物线上的点，则代数式的值为 ． 考点六： 二次函数的平移问题 1．（2025·贵州遵义·二模）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·模拟预测）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川绵阳·二模）已知二次函数，将其函数图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的抛物线所对应的解析式应是（　　） A． B． C． D． 考点七： 求二次函数与一次函数围成的图形面积 1．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）如图，直线与抛线交于两点（点在点的左侧）． (1)求两点的坐标； (2)记抛物线的顶点为，求的面积． 2．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求顶点的坐标； (2)求的面积． 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求点，，，的坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象（每个小方格的边长都是个单位长度）． (2)描述抛物线是由抛物线如何平移得到的． (3)求四边形的面积． 考点八： 判断二次函数的开口大小 1．（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在函数①，②，③中，图象开口大小顺序用＞表示应为 ． 2．（22-23九年级上·广东珠海·阶段练习）抛物线，，，的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D． 考点九： 与二次函数图像与性质有关的开放性问题 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）写出一个函数 ，使得该函数在时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知二次函数，当时，随的增大而减小，写出一个符合条件的的值： ． 3．（24-25九年级上·河南·阶段练习）已知关于的二次函数同时满足下列两个条件： （1）当时，随的增大而增大； （2）该函数图象的顶点在第二象限． 你认为符合要求的二次函数的表达式可以是： （写出一个即可）． 4．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的值可以是 （写出一个即可）． 1．（2025·西藏拉萨·一模）将二次函数图象水平向左平移2个单位长度后的图象顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏盐城·二模）下列对二次函数的图像的描述，正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．顶点在x轴的上方 3．（2025·广东潮州·一模）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·二模）二次函数的图象与x轴交于M，N两点，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．M，N两点之间的距离为7 D．当时，y的值随x值的增大而增大 5．（2025·山西临汾·二模）抛物线中的x，y的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 关于它的图像和性质，下列说法正确的是（    ） A．图像开口向下B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大D．图像与x轴的交点坐标为和 6．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 7．（2025·安徽阜阳·二模）已知抛物线，当时，函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级下·吉林延边·阶段练习）在平面直角坐标系上，抛物线的顶点为，点与点关于原点对称，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，高腾同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线，他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 11．（24-25八年级下·北京·期中）二次函数满足：当自变量时，函数值随的增大而增大，请写出满足条件的二次函数的解析式 ．（写出一个即可） 12．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 13．（2025·甘肃武威·二模）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为 ． 14．（2025·河南开封·二模）某校兴趣小组在广场进行无人机飞行表演，一架无人机的飞行线路是一条抛物线，其飞行高度（）与水平距离（）满足二次函数关系． (1)用配方法求出抛物线的顶点坐标，并说明其顶点坐标的实际意义． (2)若距飞行起始点正前方10处有一个16高的大型广告牌，请通过计算判断该无人机在飞行过程中，是否存在与广告牌发生碰撞的风险． 15．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）已知二次函数经过点与． (1)求b，c的值． (2)若该抛物线经过点，求m的值． 16．（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求的值； (3)若点，在此抛物线上，比较与大小，并说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次函数的图像与性质（基础） 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：9大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 ①会用描点法画出画出二次函数的图像，会利用些特殊点画出二次函数的草图； ②通过图像了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图像形状和对称轴的关系； ③会根据二次函数的表达式求其图像与坐标轴的交点坐标； ④会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2 +k(a≠0)的形式，能由此得出二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题. 知识点 1 画二次函数图像 画二次函数图像的三个步骤：列表、描点、连线. 【注意】 1）列表时，要注意自变量的取值范围，要取一些具有代表性的点，不要使得自变量所对的函数值过大或过小，以便于描点和全面反映图像情况. 2）由于抛物线是轴对称图形，所以作图选点时，自变量向对称轴两侧对称取值. 3)一般至少要描出五个点（顶点及对称轴两侧相对应的两组坐标点）方可画出草图，连线时要用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，即可得到二次函数的图像. 1．（21-22九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中画出的图象． 【答案】见解析 【分析】根据题目中的函数解析式先列表，选数值时注意正负数都要取到，然后在坐标系中描点，连线画出二次函数图象，即可解答本题． 【详解】解：函数 列表 －3 －2 －1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9 描点，连线 【点睛】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确画函数图象的方法． 2．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知二次函数． (1)填空：抛物线的对称轴是直线_____，顶点坐标是_____； (2)列表，在如图所示的直角坐标系中画出的图象． … … 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查二次函数一般式化为顶点式，二次函数顶点式的图像和性质，熟练掌握二次函数顶点式的图像和性质是解题的关键． （1）将二次函数化为顶点式，根据顶点式函数图像和性质即可得到答案； （2）在对称轴两侧分别取一些点，描点连线即可． 【详解】（1）解： 故抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：，； （2）解： … … 3．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知二次函数． (1)用配方法求函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向； (2)在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象（标出顶点、与轴交点、与轴交点及其对称点坐标）． 【答案】(1)该函数图象的顶点坐标为，对称轴是直线，图象的开口向上 (2)画函数图象见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标，与x轴的交点坐标，掌握抛物线平移的规律是解题的关键． （1）利用配方法把函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，然后画出图象，即可求解； 【详解】（1）解：， ∴该函数图象的顶点坐标为，对称轴是直线，图象的开口向上； （2）解：令 解得或 ∴与x轴的交点坐标为，， 当时，， ∴与y轴的交点坐标为 ∴与y轴的交点坐标关于对称轴对称的点的坐标为 ∴列表如下： x 0 2 4 6 y 0 0 ∴函数图象如图所示． 知识点 2 二次函数的图像和性质 二次函数的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，它的性质如下： 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，0） （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大； x＜0时，y随x的增大而减小. x＞0时，y随x的增大而减小； x＜0时，y随x的增大而增大. 最值 当x＝0时，函数图像有最低点， 有最小值0. 当x＝0时，函数图像有最高点， 有最大值0. . 1．（21-22九年级上·全国·课前预习）抛物线的图象性质： （1）抛物线的对称轴是 ，顶点是 ； （2）当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最 点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最 点； （3） |a|越大，抛物线的开口越 ． 【答案】 y轴 原点 低 高 小 2．（21-22九年级上·全国·课前预习）已知下列二次函数①；②；③；④；⑤． （1）其中开口向上的是 （填序号）； （2）其中开口向下并且开口最大的是 （填序号）； （3）有最高点的是 （填序号）． 【答案】 ②③⑤ ① ①④ 知识点 3 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 k＞0 k＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，k） （0，k） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝0时，y有最小值k 当x＝0时，y有最大值k. . 1．（21-22九年级上·全国·课前预习）抛物线的图象相当于把抛物线的图象 （k＞0）或 （k＜0）平移 个单位． 【答案】 向上 向下 |k| 2．（21-22九年级上·全国·课前预习）当a＞0时，抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x＝0时，y有最 值为k，当x＜0时，y随x的增大而 ；当x＞0时，y随x的增大而 ． 当a＜0时，抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x＝0时，y有最 值为k，当x＜0时，y随x的增大而 ；当x＞0时，y随x的增大而 ． 【答案】 向上 y轴 （0，k） 小 减小 增大 向下 y轴 （0，k） 大 增大 减小 知识点 4 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 h＞0 h＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h x=h 顶点坐标 （h，0） （h，0） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值0 当x＝h时，y有最大值0 1．（22-23九年级上·云南玉溪·期中）抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第一象限 D．第二象限 【答案】A 【分析】根据抛物线的解析式可得出顶点坐标为，由此即可得． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，在轴上， 故选：A． 【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点式是解题关键． 2．（21-22九年级上·全国·课前预习）通过 法画出和的图象 通过图象可知： 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 ． 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 ． 【答案】 描点 向下 x＝－1 （－1，0） 向上 x＝1 （1，0） 3．（21-22九年级上·全国·课前预习）当a＞0时，抛物线的开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，当x＝h时，y有最 值为0，当x＜h时，y随x的增大而 ；当x＞h时，y随x的增大而 ． 当a＜0时，抛物线的开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，当x＝h时，y有最 值为0，当x＜h时，y随x的增大而 ；当x＞h时，y随x的增大而 ． 【答案】 向上 x＝h （h，0） 小 减小 增大 向下 x＝h （h，0） 大 增大 减小 知识点 5 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h x=h 顶点坐标 （h，k） （h，k） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值k 当x＝h时，y有最大值k . 1．（22-23九年级上·湖北孝感·期中）函数的图象是一条 ，开口方向 ，顶点坐标为 ． 【答案】 抛物线 向下 【分析】根据二次函数的图象和性质进行解答即可． 【详解】解：函数的图象是一条抛物线； ∵， ∴抛物线的开口向下； 二次函数的顶点坐标为． 故答案为：抛物线；向下；． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟记二次函数的图象和性质是解题的关键． 2．（21-22九年级上·全国·课前预习）抛物线的性质： （1） 的符号决定抛物线的开口方向； （2）对称轴是直线 ； （3）顶点坐标是 【答案】 a x＝h （h，k） 3．（21-22九年级上·全国·课前预习）抛物线与抛物线的关系： 向 （h＞0）或向 （h＜0）平移|h|个单位长度，再向 （h＞0）或向 （h＜0）平移|k|个单位长度，得到 【答案】 右 左 上 下 知识点 6 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x= x= 顶点坐标 (，) (，) 函数的增减性 x＞时，y随x的增大而增大； x＜时，y随x的增大而减小. x＞时，y随x的增大而减小； x＜时，y随x的增大而增大. 最值 抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， 抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， . 1．（21-22九年级上·全国·课前预习）当a＞0时，的开口方向 顶点坐标 对称轴 在对称轴左侧，即当x＜时，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，即当x＞时，y随x的增大而 ，当x＝时，y有最小值y＝ 【答案】 向上 （，） x＝ 减小 增大 2．（21-22九年级上·全国·课前预习）求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标． （1）（2）（3） （4）（5） 【答案】（1）开口向上，x ＝ 1，（1， 3）；（2）开口向下，x ＝ 1，（1，－2）；（3）开口向上，x ＝ ，（ ， ）；（4）开口向下，x ＝ －1，（－1，1）；（5）开口向下，x ＝ 2，（2，0） 3．（21-22九年级上·全国·课前预习）观察二次函数的图象回答问题： 配方得：y＝ 当x＜－1时，y随x增大而 ；当x＝－1时，y最大值为 ；当x＞－1时，y随x增大而 ． 【答案】 增大 3 减小 知识点 7 二次根式的平移 平移方式（n＞0) 顶点式 平移口诀 向左平移n个单位 左加 向右平移n个单位 右减 向上平移n个单位 上加 向下平移n个单位 下减 平移规律：上加下减，左加右减. 补充： ① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. ② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. ③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. ④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同. ⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值. . 1．（2025·浙江金华·二模）将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据二次函数图象的平移规律进行解答即可． 【详解】解：二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为， 故选：D． 2．（2025·西藏拉萨·一模）将二次函的图象向左平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是关键． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将二次函的图象向左平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为， 故答案为： ． 3．（2025·河南安阳·二模）将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原二次函数解析式化为顶点式得到原二次函数的顶点坐标，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵平移前二次函数解析式为， ∴平移前的二次函数的顶点坐标为， ∴将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为，即， 故选：B． 知识点 8 待定系数法求二次函数解析式 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 1．（22-23九年级上·上海·单元测试）如果抛物线经过点，那么的值是 ． 【答案】 【分析】把点代入，解方程即可得出． 【详解】解：把点代入得， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，本题比较基础，较简单． 2．（20-21九年级上·广东东莞·期中）某抛物线过点，，，则该抛物线解析式用一般式表示： 【答案】 【分析】由抛物线过点，设抛物线为：，再利用待定系数法求解，最后把抛物线化为一般式，即可得到答案． 【详解】解：由抛物线过点， 所以设抛物线为：， 把代入得： 所以抛物线为：， 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 3．（22-23九年级上·河南南阳·期末）抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 … 从上表可知，时，的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据题意，利用待定系数法求出二次函数解析式，然后把代入解析式，即可得出答案． 【详解】解：把，、，和，代入， 可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴当时，的值为． 故选：D 【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式、求函数值，解本题的关键在正确得出二次函数解析式． 4．（24-25九年级上·新疆吐鲁番·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且抛物线过点，则抛物线的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式．根据抛物线的顶点坐标为，设二次函数的解析式为，把点代入求出，即可得到完整解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为，即． 故答案为：． 考点一： 二次函数的图像和性质 1．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，掌握二次函数中形状相同，开口方向的性质是解决本题的关键．由形状和开口方向即可得出的值 【详解】抛物线与形状相同，开口方向相反 则， ∴的解析式为 故答案为： 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点；②当时，y随x的增大而减小；③当时，；④若，是该抛物线上两点，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线，可得抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下，再结合抛物线的增减性，逐项判断即可，解题关键是掌握二次函数的图象与性质． 【详解】解：，， 抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下， ①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确； ②抛物线的对称轴为轴，当时，随的增大而减小，故②正确； ③当时，，取最大值为0，时，取值最小值为，所以，故③错误； ④若，是该抛物线上的两点，则，关于轴对称，横坐标互为相反数，所以，故④正确； 正确的说法共有3个， 故选C． 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知二次函数的图象经过点、． (1)求与的值； (2)写出该图象上点的对称点的坐标； (3)当取何值时，随的增大而减小； (4)当取何值时，有最大值（或最小值）． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】（）把点坐标代入二次函数解析式可得的值，进而把点坐标代入二次函数解析式可求出的值； （）由（）可得点坐标，再根据对称轴为轴可得点的坐标； （）根据二次函数的性质解答即可求解； （）根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴二次函数， 把代入，得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为轴，点的对称点为点， ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴，当时，随的增大而减小； （4）解：∵， ∴抛物线开口向下，顶点为，为最高点， ∴时，有最大值． 4．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 【答案】(1)函数图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 (2)8 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的图象性质，找出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出m； （1）先把代入，求出函数解析式，再根据函数的解析式，，可得出抛物线开口向上，并找出抛物线的对称轴及顶点坐标． （2）把代入（1）中所求的解析式计算即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得 解得： ∴ ∵ ∴函数图象的开口向上、对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：把代入，得 ． 考点二： 二次函数的图像及性质 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是； 故选A． 2．（24-25九年级上·吉林·期中）对于抛物线 ，下列说法不正确的是（    ） A．图象开口向下 B．最小值是1 C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的相关性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向下，故A正确，不符合题意； ∵， ∴对称轴为y轴，顶点坐标为，故C、D正确，不符合题意； ∴当时，函数的最大值为，故B不正确，符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数（，）的顶点坐标为，即可判断C、D它的开口方向向下，即可判断A、B，即可解答． 本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向． 【详解】解：二次函数（，）的顶点坐标为，选项C、D错误 对称轴为y轴，它的开口方向向下，选项B错误． 故选：A． 4．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（   ） A．D点 B．C点 C．B点 D．A点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得对称轴为轴，进而结合选项，即可求解． 【详解】解：∵ ∴对称轴为直线，即轴， ∴坐标原点可能是点， 故选：B． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若抛物线的开口向上，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴； 故答案为：． 6．（24-25九年级上·陕西西安·期末）将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线． (1)请你写出这个新抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在这个新抛物线上． 【答案】(1)新抛物线解析式为； (2)点在这个新抛物线上． 【分析】本题考查的知识点是二次函数的平移规律、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的平移规律． （1）根据二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，即可得解； （2）将点的横坐标代入新抛物线解析式能得到纵坐标即可判断该点在新抛物线上． 【详解】（1）解：根据二次函数的平移规律可得： 的图象向下平移个单位长度后得到的新抛物线解析式为； （2）解：将代入新抛物线解析式可得， 即点在抛物线上． 考点三： 二次函数的图像及性质 1．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少 C．对称轴为 D．函数的最小值为0 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴时，的值随值的增大而减少，当时，函数的最大值为0； 综上，只有选项D说法错误； 故选D． 2．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合图象判断即可得解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故C符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质“对于二次函数，开口向上，开口向下”，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象如图所示， ∴， ∴， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 4．（24-25八年级下·北京·期中）已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是 （写出一个符合要求的值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由当时，随着的增大而减小，可得的取值范围． 【详解】解：二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 当时，随的增大而减小， ∵当时，随的增大而减小， ∴ ∴的值可以是 故答案为：（答案不唯一）． 5．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据二次函数解析式可得二次函数图象开口向下，对称轴直线为，根据二次函数增减性即可求解． 【详解】解：二次函数， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴离对称轴直线越远，值越小， ∵，，，， ∴， 故答案为：． 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数，不画图像，回答下列问题． (1)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y有最大（小）值？最大（小）值是多少？ (3)当x取何值时，y随x的增大而增大？ (4)抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？ 【答案】(1)抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为． (2)当时，y有最大值，最大值是0． (3)当时，y随x的增大而增大． (4)抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度得到的． 【分析】（1）本题考查二次函数的图象和性质，根据，抛物线开口向上，，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为，即可解题． （2）本题考查二次函数的最值，根据二次函数开口确定其在顶点处取得最大值，即可解题． （3）本题考查二次函数的增减性，根据二次函数开口和对称轴，得到二次函数的增减性，得出的取值范围，即可解题． （4）本题考查二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”，掌握规律并灵活运用，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线解析式为，且， 抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为； （2）解：抛物线开口向下， 二次函数有最大值，且当时，y有最大值是0． （3）解：抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，y随x的增大而增大； （4）解：有函数平移规律可知，抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度得到的． 考点四： 二次函数的图像及性质 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性． 根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】A、抛物线中的，则该抛物线的开口方向向上，本选项错误； B、抛物线的对称轴是，本选项错误； C、抛物线的顶点坐标是，本选项正确； D、抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线，本选项错误． 故选：C． 2．（2025·云南楚雄·二模）若二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握图象的开口，顶点坐标的位置是关键． 根据图象可得顶点的坐标为，由此得到，，结合象限的特点即可求解． 【详解】解：二次函数为， 顶点的坐标为， 又顶点在第三象限， ，， ，， 在第四象限． 故选：D． 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知，，在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质．根据题意可得对称轴为，继而利用对称性可得点关于对称轴对称的点为，后利用二次函数增减性即可得到本题答案． 【详解】解：∵的对称轴为， ∴点关于对称轴对称的点为， ∵， ∴当时，随增大而增大， ∵，，在函数（m为常数）的图象上， ∵， ∴， 故选：A． 4．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 【答案】；5 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，根据解析式求出对称轴，开口方向和顶点坐标，进而得到离对称轴越远函数值越大，再确定当且仅当时，函数有最大值并计算出最大值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即最小值为 ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，当且仅当时，函数有最大值，最大值为， 故答案为；；5． 5．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知函数． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)当取何值时，随的增大而增大？ (3)当取何值时，函数取得最值？求出这个最值． 【答案】(1)开口方向向上，对称轴，顶点坐标为； (2)当时，随的增大而增大； (3)当时，有最小值为． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）依据题意，根据所给解析式可以得解； （）依据题意，根据二次函数的增减性可以判断得解； （）依据题意，由开口向上，函数有最小值，进而可以得解． 【详解】（1）解：由抛物线的解析式为， ∴开口方向向上，对称轴，顶点坐标为； （2）解：∵抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大； （3）解：∵抛物线开口向上， ∴当时，有最小值为． 考点五： 二次函数的图像及性质 1．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）二次函数 的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，把一般式配方为顶点式是关键．把二次函数配方即可求得顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 故选：B． 2．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，两点都在抛物线（）上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是先求出抛物线对称轴，再根据点到对称轴的距离以及二次函数的增减性判断函数值大小． 先将抛物线解析式化为顶点式求出对称轴，再分别计算两点到对称轴的距离，最后根据二次函数性质时开口向上，对称轴右侧随增大而增大）比较函数值大小． 【详解】因为， 所以抛物线对称轴为直线， 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为， 因为，所以抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，所以， 故选：A． 3．（2025·江苏无锡·二模）已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，解题的关键是先确定二次函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 【详解】解：∵抛物线，其图象开口向下， ∴对称轴为直线 ， ∴在对称轴右侧 随 的增大而减小， ∵点，，都在抛物线上， ∴点关于直线 的对称点在抛物线上，且 ， ∴， 故选：A． 4．（2025·河南漯河·三模）关于二次函数，下列结论中正确的是（    ） A．其图象的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．若点是抛物线上的点，则点也是抛物线上的点 D．把该函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，图象经过点 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质等知识．求出抛物线的对称轴为即可得到A选项错误；根据抛物线的增减性即可得到B选项错误；根据点是抛物线上的点得到，把代入得到，即可得到C选项正确；把抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到，即可得到点不在图象上，得到D选项错误，问题得解． 【详解】解：由二次函数得对称轴为，故A选项错误，不合题意； ∵， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大，故B选项错误，不合题意； ∵点是抛物线上的点， ∴， 当时，， ∴点也在抛物线上，故C选项正确，符合题意； 二次函数先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后得， 当时， ∴点不在图象上，故D选项错误，不合题意． 故选：C 5．（2025·吉林长春·一模）若是抛物线上的点，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将点代入，得出，即，整体代入即可求解． 【详解】解：将点代入， 得，即 ∴ 故答案为：． 考点六： 二次函数的平移问题 1．（2025·贵州遵义·二模）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规则是关键． 根据二次函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”计算即可． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的解析为， 故选：A ． 2．（2025·陕西·模拟预测）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．观察抛物线和抛物线可以发现，它们通过平移得到，故点通过相同的平移落在抛物线上，从而得到结论． 【详解】∵抛物线是抛物线（）向右平移2个单位长度，再向上平移3个长度单位得到， ∴抛物线上点向右平移2个单位长度，再向上平移3个长度单位，会落在抛物线上， ∴点在抛物线上， 故选：D 3．（2025·四川绵阳·二模）已知二次函数，将其函数图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的抛物线所对应的解析式应是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移规律，以及通过顶点式或变量替换法求平移后的解析式．把抛物线解析式化为顶点式可求得顶点坐标，根据平移规律∶上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式． 【详解】解：二次函数变为顶点式为． 顶点坐标为． 由题意得平移后顶点坐标为，即． 新顶点坐标为． 新顶点式为． 新解析式展开为． 故选：C． 考点七： 求二次函数与一次函数围成的图形面积 1．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）如图，直线与抛线交于两点（点在点的左侧）． (1)求两点的坐标； (2)记抛物线的顶点为，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握坐标系内求三角形面积的方法． （1）令，求出点B，C的横坐标，再将横坐标代入直线解析式求解； （2）作轴交于点D，由求解． 【详解】（1）解：令， 解得：，， 将分别代入得，， ∴点B坐标为，点C坐标为． （2）解：作轴交于点D，如图所示： ∵， ∴抛物线顶点A坐标为， 将代入得， ∴点D坐标为，， ∴ ． 2．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求顶点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的顶点坐标为． （1）根据二次函数顶点式的顶点坐标为，即可解得解答； （2）先求出点C的坐标，得出，再根据，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：当时，， ∴， 则， ∴． 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求点，，，的坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象（每个小方格的边长都是个单位长度）． (2)描述抛物线是由抛物线如何平移得到的． (3)求四边形的面积． 【答案】(1)，，，，图见解析 (2)抛物线可由抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到（方法不唯一） (3) 【分析】（1）令，则，利用因式分解法解该一元二次方程，即可求出抛物线与轴的交点，的坐标；令，则，于是可求出抛物线与轴的交点的坐标；将抛物线化成顶点式，利用二次函数的图象与性质即可求出其顶点的坐标；最后，在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象即可； （2）将抛物线的解析式化成顶点式，然后再根据“左加右减，上加下减”的平移规律来进行判断即可； （3）连接，则可得，利用三角形的面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】（1）解：令，则， 解得：，， 点在点的左侧， ，， 令，则， ， ， ， 二次函数的大致图象如下图所示： （2）解：， 抛物线可由抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到（方法不唯一）； （3）解：如图，直线是该抛物线的对称轴，其中点为对称轴与轴的交点， 由抛物线的顶点式可知，该抛物线的对称轴为直线， ， ，，， ， ， ， ， 如图，连接，则可知： ， 四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，求抛物线与轴的交点坐标，求函数值， 把化成顶点式，的图象和性质，画的图象，二次函数图象的平移，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并善于将不规则图形划分成三角形求解面积是解题的关键． 考点八： 判断二次函数的开口大小 1．（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在函数①，②，③中，图象开口大小顺序用＞表示应为 ． 【答案】②＞③＞① 【分析】由的绝对值越大其开口越小进行排序即可． 【详解】解：，，， ， 越小，开口越大， ②③①， 故答案为：②＞③＞①． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口大小由a的大小决定是解题的关键． 2．（22-23九年级上·广东珠海·阶段练习）抛物线，，，的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数中的值越小，函数图象的开口越大进行求解． 【详解】解：∵二次函数中的值越小，函数图象的开口越大，且， ∴抛物线的图象开口最大， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是明确二次函数图象的特点，知道的值越小，函数图象开口越大． 考点九： 与二次函数图像与性质有关的开放性问题 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）写出一个函数 ，使得该函数在时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的性质．由题可知对称轴为，又根据在对称轴左侧随的增大而增大，右侧随的增大而减小，所以二次项系数为负数，所以只需写出一个二次项系数为负数，且对称轴为的二次函数即可． 【详解】解：符合题意的二次函数可写为， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知二次函数，当时，随的增大而减小，写出一个符合条件的的值： ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，掌握二次函数图象的对称轴，增减性是解题的关键． 根据二次函数解析式可得顶点坐标为，对称轴直线为，结合题意，当时，随的增大而减小，可得图象开口向上，，由此即可求解． 【详解】解：二次函数， ∴顶点坐标为，对称轴直线为， ∵当时，随的增大而减小， ∴二次函数图象开口向上， ∴， ∴（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） ． 3．（24-25九年级上·河南·阶段练习）已知关于的二次函数同时满足下列两个条件： （1）当时，随的增大而增大； （2）该函数图象的顶点在第二象限． 你认为符合要求的二次函数的表达式可以是： （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二次函数的性质和图像，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像以及性质进行求解即可． 【详解】解：由题意可得：符合要求的二次函数的表达式可以是：， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由当时，y随着x的增大而增大可得m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴时，y随x增大而增大， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴，则m的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（2025·西藏拉萨·一模）将二次函数图象水平向左平移2个单位长度后的图象顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象平移后所得函数图象的顶点坐标，二次函数图象水平向左平移2个单位长度后的函数解析式为即，即可得出答案． 【详解】解：二次函数图象水平向左平移2个单位长度后的函数解析式为即， 故顶点坐标为， 故选：C． 2．（2025·江苏盐城·二模）下列对二次函数的图像的描述，正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．顶点在x轴的上方 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式得出二次函数图象的开口向上，对称轴为直线，函数的最小值为，顶点坐标为，当时，，由此即可得解． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， 顶点坐标为，在x轴的下方，故错误， 当时，，因此图象经过原点，故C正确； 故选：C． 3．（2025·广东潮州·一模）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．利用抛物线的对称性及增减性即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象关于轴对称， 关于轴的对称点为， ，且时，函数值随自变量的增大而减小， ； 故选：D． 4．（2025·四川成都·二模）二次函数的图象与x轴交于M，N两点，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．M，N两点之间的距离为7 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与坐标轴的交点问题，根据二次函数的解析式可得抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为，即可判断A、B，从而可得当时，y的值随x值的增大而增大，即可判断D，求出二次函数与轴的交点的横坐标即可判断C，从而得解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于M，N两点， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为，故A错误，不符合题意；B正确，符合题意； ∴当时，y的值随x值的增大而增大，故D错误，不符合题意； 令，则， 解得：或， ∴M，N两点之间的距离为，故C错误，不符合题意； 故选：B． 5．（2025·山西临汾·二模）抛物线中的x，y的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 关于它的图像和性质，下列说法正确的是（    ） A．图像开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．图像与x轴的交点坐标为和 【答案】C 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式以及二次函数的性质，把二次函数化简成顶点式即可解题． 求出解析式根据抛物线的开口方向，对称轴，增减性，对称性逐一判断，即得． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， A、抛物线开口向上，∴A不正确： B、对称轴为直线，∴B不正确： C、当时，y随x的增大而增大，∴C正确： D、关于的对称点为，∴D不正确． 故选：C． 6．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．（2025·安徽阜阳·二模）已知抛物线，当时，函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，首先把二次函数的解析式整理成顶点坐标式，从而可得抛物线开口向上，对称轴是，根据二次函数的性质可知当时，函数的最大值为. 【详解】解：整理：， 可得：， 抛物线开口向上，对称轴是， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 当时，函数的最大值为. 故选：A． 8．（24-25九年级下·吉林延边·阶段练习）在平面直角坐标系上，抛物线的顶点为，点与点关于原点对称，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，关于原点对称的点的坐标特点，由二次函数的顶点式得，进而根据关于原点对称的点的坐标特点即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点， ∵点与点关于原点对称， ∴， 故选：． 9．（24-25九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，高腾同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线，他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法求抛物线的最值，熟练进行配方是解题的关键．利用配方法把一般式转化为顶点式，确定二次函数的最值即为所求． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴他能跳过的最大高度为m． 故选：B． 10．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点作轴于点，设，由四边形是正方形，且点在轴上，得，得出是等腰直角三角形，推出，即，解得（舍去）或，求出，由勾股定理可求出． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 设， ∵四边形是正方形，且点在轴上， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：4． 11．（24-25八年级下·北京·期中）二次函数满足：当自变量时，函数值随的增大而增大，请写出满足条件的二次函数的解析式 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据自变量时，函数值随的增大而增大，可以写出一个开口向上，对称轴在左侧的二次函数的解析式即可． 【详解】解：由题意，满足条件的二次函数的解析式可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 12．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握增减性的影响因素是解题关键． 把二次函数解析式化为顶点式可得对称轴为直线，从而得到关于对称轴的对称点为，再根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴二次函数图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 13．（2025·甘肃武威·二模）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及二次函数的一般式化为顶点式，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．先将化为顶点式，再利用左加右减，上加下减即可得出平移后的表达式． 【详解】解：， ∵先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴平移后的抛物线的表达式为， 故答案为：． 14．（2025·河南开封·二模）某校兴趣小组在广场进行无人机飞行表演，一架无人机的飞行线路是一条抛物线，其飞行高度（）与水平距离（）满足二次函数关系． (1)用配方法求出抛物线的顶点坐标，并说明其顶点坐标的实际意义． (2)若距飞行起始点正前方10处有一个16高的大型广告牌，请通过计算判断该无人机在飞行过程中，是否存在与广告牌发生碰撞的风险． 【答案】(1)顶点坐标为，表示当飞行的水平距离为时，飞行达到最大高度为 (2)无人机不存在与广告牌发生碰撞的风险 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）先根据题意将解析式配方，进而结合题意说出顶点坐标的实际意义，即可求解； （2）将代入解析式，求得函数值与，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解： ； 顶点坐标为，表示当飞行的水平距离为时，飞行达到最大高度为． （2）当时，， 答：无人机不存在与广告牌发生碰撞的风险． 15．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）已知二次函数经过点与． (1)求b，c的值． (2)若该抛物线经过点，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特点，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得函数解析式，再把点P坐标代入函数解析式中计算求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点与 ∴， ∴； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， ∵该抛物线经过点， ∴， 解得． 16．（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求的值； (3)若点，在此抛物线上，比较与大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用增减性判断函数值的大小． （1）由点坐标求出，进一步得到点坐标，再利用待定系数法求解； （2）将代入，即可求出值； （3）根据对称轴和开口方向判断增减性，再结合，两点的横坐标判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为A， ∴，则， ∵， ∴，代入中， 得：， 解得：， ∴； （2）将代入中， 得：， 解得：； （3）∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$