第06讲 一次函数与方程、不等式（3知识点+9考点+过关检测）（暑假预习讲义）新八年级数学新教材沪科版

第06讲 一次函数与方程、不等式 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：9大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，会根据一次函数的图像解决一元一次方程和一元一次不等式的求解问题； 2.理解一次函数与二元一次方程组的关系，会利用图像法解二元一次方程组. 知识点 1 一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程的解⇔函数中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程的解⇔函数的图像与x轴交点的横坐标. 1．（2025·甘肃陇南·一模）若直线经过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数与轴交点的横坐标即为其所对应的一元一次方程的解是解题的关键．利用一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：由直线经过点，即与轴交点坐标为， 则直线对应的一元一次方程的解是， 故选：C． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据图象可直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：关于的方程的解为； 故答案为． 3．（22-23八年级上·全国·课前预习）一般地，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程 的解．从图象上看，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的 就是方程kx＋b＝0的解． 【答案】 kx＋b＝0 横坐标 【解析】略 4．（22-23八年级上·全国·课前预习）看图填空： (1)当y＝0时，x＝ ； (2)直线对应的函数表达式是 ； (3)一元一次方程0.5x＋1＝0与一次函数y＝0.5x＋1有什么联系？ 【答案】(1) (2) (3)一元一次方程0.5x＋1＝0的解是一次函数y＝0.5x＋1的函数值为0时自变量的值 【详解】（1）-2 （2）y＝0．5x＋1 （3）解：一元一次方程0.5x＋1＝0的解是一次函数y＝0.5x＋1的函数值为0时自变量的值． 知识点 2 一次函数与一元一次不等式 思路：任何一个一元一次不等式都能写成的形式. 从“数”的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从“形”的角度看：就是确定直线在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件. . 1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，先求出点A坐标，再找到直线的函数图象在直线的函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵不等式的解集即为不等式的解集， ∴由函数图象可知，不等式的解集为， 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，根据图中信息． (1)点P的坐标为 ． (2)当时，x的取值范围是多少？ (3)求． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与二元一次方程组、坐标与图形等知识点，掌握一次函数与二元一次方程组的关系是解答本题的关键． （1）把代入可计算出m的值，把代入可求出n的值，联立两解析式所组成的方程组即可得到P点坐标； （2）观察函数图像得到，当x大于P点的横坐标时，，据此即可解答． （3）直接根据坐标与图形和三角形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解：把代入中得，解得， ∴， 把代入得，解得， ∴， 联立，解得， ∴； （2）解：由函数图象可得，当时，； （3）解：令，则，则，即， ∴， ∴． 3（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)结合图象，求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）将代入可得，则，再用待定系数法求直线的表达式即可； （2）根据点B坐标，结合函数图象即可求得答案． 【详解】（1）解：过点， 解得：， ， 直线过点，， ，解得： 直线的表达式为； （2）解：结合图象可知，的解集为， 即的解集为， 由（1）可知， 的解集为． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线：与轴交于点，与一次函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)列表并画出一次函数的图象； (3)如果，写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，两直线交点坐标的求法，一次函数与一元一次不等式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）将两个一次函数解析式联立得到方程组，解方程组即可得到点的坐标； （2）列出表格，根据描点法即可画出图象； （3）根据图象，找出落在上方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：直线：与一次函数的图象交于点， 联立得：， 解得：， ∴点； （2）解：画表如下： 描点画图如下： （3）解：直线与一次函数的图象交于点， 由题意和（2）中图可知，如果，那么的取值范围是． 知识点 3 一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程都能写成的形式，因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. . 1．（20-21八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两条直线的交点与方程组的解的关系， 先求出两个一次函数的交点坐标，再根据两条直线的交点的横纵坐标，即为两个函数关系式对应的方程组的解得出答案． 【详解】解：∵一次函数经过点， ， 解得：， ， ∴方程组的解是． 故选：A． 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于、的方程组的解是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，正确理解题意是解题的关键． 先根据图象得出点的坐标为，，再根据一次函数的交点坐标即为两个函数联立组成的方程组的解解答即可． 【详解】解：点的坐标由图象可得，， 关于，的方程组的解是． 故选：D． 3．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，直线与的交点坐标为，根据图象，小敏认为点坐标可以看作是两个二元一次方程的公共解，其中一个方程是，则另一个方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，将分别代入各个选项的方程，判断即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、把代入方程，，不符合题意； B、把代入方程，，符合题意； C、把代入方程，，不符合题意； D、把代入方程，，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知关于，的方程组的解是，则函数和的图象交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两个一次函数的交点坐标为方程组的解是解题的关键．根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数的交点坐标为方程组的解，即可得出答案． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴函数和的图象交点坐标为， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·广西梧州·期中）综合与实践 学习小组根据学习一次函数的经验，对函数和的交点问题进行了探究．下面是探究的过程，请补充完成： 【动手操作】 （1）如图所示，在同一坐标系中，作出这两个函数的图象：经过点（2， ）和画的图象；经过点（ ，0）和画的图象． 【观察实践】 （2）观察发现，这两个函数图象在第二象限内相交，请写出这个交点的坐标； 【应用迁移】 （3）结合图象，直接写出方程组的解； （4）结合图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1）3；；图见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】此题考查一次函数的图象与性质以及一次函数和不等式的关系． （1）将代入，令，求出坐标，再根据要求画出图象即可； （2）观察图象，写出交点的坐标即可； （3）根据交点的坐标即可得到结论； （4）根据图象的交点，写出当一次函数位于图象上时求x的取值范围即可． 【详解】解：（1）当时，， 当时，， 两个函数的图象如图所示： 故答案为：3；； （2）观察图象知，交点的坐标为； （3）观察图象知，交点的坐标为， ∴方程组的解为； （4）满足时自变量x的取值范围是． 考点一： 图像法解一元一次方程 1．（2025·甘肃兰州·一模）如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据图像法解一元一次方程．根据题意利用图像即可得到本题答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴关于x的方程的解为， 故选：B． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，则关于x的方程的解为 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程．根据题意，可知当时，，即可关于x的方程的解为． 【详解】解：∵直线经过点， ∴当时，， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：4． 3．（24-25七年级上·全国·期末）直线与x轴交于点，下列说法正确的是（　　） A． B．直线上两点，若，则 C．直线经过第四象限 D．关于x的方程的解为 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和系数的关系、一次函数与一元一次方程等知识点，掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质、一次函数与方程的关系逐项判断即可． 【详解】解：A．由与x轴交于点，则，解得，故A错误，不符合题意； B．由，则y随x的增大而增大，直线上两点，若，则，故B错误，不符合题意； C．由、，则直线经过一、二、三象限，故C错误，不符合题意； D．由直线与x轴交于点，则当时，函数，即关于x的方程的解为，故D正确，符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)填空：①当时， ． ②当时， ． ③当时， ． (2)在平面直角坐标系中作出函数的图象 (3)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有_____个交点，方程有____个解： ②方程有_____个解： ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． 【答案】(1)①；②；③ (2)见解析 (3)①2，2；②1；③ 【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与方程的关系，正确数形结合分析是解题关键． （1）直接利用绝对值的性质进而化简得出答案； （2）直接利用（1）中所求得出函数函数解析式，即可画出图象； （3）直接利用函数图象得出答案． 【详解】（1）解：①当时，； ②当时，； ③当时，； 故答案为：；，； （2）解：函数的图象，如图所示： （3）解：从函数图象得到： ①函数图象与轴有2个交点，方程有2个解； ②方程有1个解； ③若关于的方程无解，则的取值范围是． 故答案为：2，2；1；． 考点二： 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 1．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知一次函数的图像经过点，则关于x的一元一次方程的解是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，将点，代入得出，则的解是，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点，则 ∴关于x的一元一次方程的解是， 故选：A． 2．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）若一次函数 (k为常数且)的图象经过点，则关于x的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的平移，根据一次函数图象的平移即可得到答案，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵是由的图象向右平移个单位得到的， ∴将一次函数的图象上的点向右平移个单位得到的点的坐标为， ∴当时，方程的解为， 故选：C． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）将直线向上平移个单位长度后与直线交于点，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线交点解方程，一次函数的平移，理解函数平移的性质，两直线交点解方程的方法是关键． 根据函数图象的平移得到平移后的解析式，再根据两直线交点解方法即可． 【详解】解：直线向上平移个单位长度后的解析式为， ∴直线与直线的交点为， ∴方程的解为， 故选：B ． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）直线分别与的负半轴和的正半轴交于点和点，若，，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标轴的交点问题，根据题意可得的解为直线与轴的交点横坐标，根据，且在的负半轴，即可求解． 【详解】解：∵直线与的负半轴交于点，， ∴， ∴关于的方程的解为 故选：B． 5．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数图象解不等式， （1）根据图示，时，，结合图象可求解； （2）根据图示，当时，图象在轴上方，由此即可求解； （3）根据图示，结合（2）的结果，当时，满足条件，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，当时，， ∴的解为； （2）解：根据图示，当时，图象在轴上方，即， ∴不等式的解集为； （3）解：由（2）可得，当时，，当时，， ∴时，． 6．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为________； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，回答下列问题： ①当________时，函数有最大值，最大值为________； ②方程的解是________． (3)已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________． 【答案】(1)1；作图见解析 (2)①；2；②或2 (3) 【分析】（1）把代入解析式即可求得，描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线． （2）根据图象即可求得； （3）观察图象即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ． 函数图象如图所示． 故答案为：1； （2）观察函数的图象， ①当时，函数有最大值，最大值为2； ②方程的解是或2． 故答案为：，或2； （3）画出直线如图， 观察图象，不等式的的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，数形结合是解决本题关键． 考点三： 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 1．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，坐标与图形性质，根据题意得出直线的解析式是解题的关键． 利用待定系数法求出直线的解析式，求出D点坐标即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵，， ， 解得， 直线的解析式为， 当时， ∴， ． 故选C． 2．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在直角坐标系中，有两点，在x轴上有一动点，当周长最小时，n的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【答案】C 【分析】此题考查轴对称--最短路线问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点．先作出点A关于x轴的对称点，再连接，求出直线的函数解析式，再把代入即可得． 【详解】解：作点A关于x轴的对称点，连接A'B交x轴于C，此时的值最小， 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，，解得， ∴， 故选：C． 4．（23-24八年级下·四川内江·期中）将直线沿y轴向上平移4个单位后，与x轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令，解得即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数的图象向上平移4个单位长度所得函数的解析式为， ∵此时与x轴相交，则， ∴，即， ∴与x轴的交点坐标是． 故答案为： 5．（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知一次函数的图象平行于直线，且经过点，则这个一次函数与坐标轴围成的图形面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了定系数法求一次函数解析式，一次函数的平行问题，以及一次函数与坐标轴的交点．根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把经过的点的坐标代入解析式计算求出b值，求得函数与x轴、y轴的交点坐标，进一步利用三角形的面积求得答案即可． 【详解】解：∵一次函数的图象平行于直线， ∴， ∴把点代入得，， 解得， ∴，； ∴一次函数的解析式为． ∵时，；时，， ∴函数与x轴、y轴的交点分别为和， ∴所围成的三角形的面积． 故答案为；16． 6．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)求的面积； (3)在y轴上存在一点P，使最小．在图中画出点P的位置，则点P为（______，______）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据轴对称图形的性质作图即可求解； （2）用割补法求解即可； （3）根据轴对称—最短路径的计算方法确定点P的位置，求出直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，关于轴对称的，    ∴即为所求图形． （2）解：； （3）解：如图所示，    ∵点关于轴的对称点为， ∴连接交轴于点， ∴， ∴， ∵点三点共线， ∴此时的值最小． 设直线的解析式为，把，代入，得 ， 解得 ∴， ∵当时，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握轴对称图形的作图及性质，割补法求不规则图形的面积，轴对称求最短路径，待定系数法是解题的关键． 考点四： 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．（2025·贵州贵阳·一模）一次函数（k，b为常数，）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用图象法解不等式是解题的关键．结合一次函数的图象即可求出不等式的解集． 【详解】解：由图象得，当时，，即， 关于x的不等式的解集为． 故选：A． 2．（24-25八年级下·北京昌平·期中）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，根据图象可知的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是正确解答此题的关键． 根据图象即可确定不等式的解集． 【详解】解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 根据图象可知的解集为， 故答案为：B． 3．（2025·江苏南通·二模）若函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象可得函数与x轴的交点坐标为，且y随x增大而减小，再由函数是函数函数向右平移2个单位长度得到的，可得函数与x轴的交点坐标为，且y随x增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，函数与x轴的交点坐标为，且y随x增大而减小， ∵函数是函数函数向右平移2个单位长度得到的， ∴函数与x轴的交点坐标为，且y随x增大而减小， ∴关于x的不等式的解集是， 故选：C 4．（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知不等式的解集是，则一次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数的图象，熟知一次函数与一元一次不等式之间的关系是解题的关键． 利用数形结合的数学思想，得出函数在轴上方的部分所对应的自变量取值范围是，据此可解决问题． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴函数的图象在轴上方的部分所对应的自变量的取值范围是． A：图象在轴上方的部分所对应的自变量的取值范围是，故该选项符合题意； B：图象在轴上方的部分所对应的自变量的取值范围是，故该选项不符合题意； C：图象在轴上方的部分所对应的自变量的取值范围是，故该选项不符合题意； D：图象在轴上方的部分所对应的自变量的取值范围是，故该选项不符合题意． 故选：A ． 5．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知关于x的一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直接写出当x取何值时，． 【答案】(1)； (2)当时，． 【分析】本题考查了待定系数法法求一次函数的解析式．一次函数图象上的点都满足一次函数解析式． （1）利用待定系数法即可求解； （2）作出点和，过两点作直线，根据图象，求出直线位于轴下面的部分的的取值范围． 【详解】（1）解：把点和代入一次函数得：， 解得， 则一次函数的解析式是：； （2）解：函数图象如图所示： 根据图象可得：当时，． 6．（24-25九年级下·北京西城·期中）小婧为了研究函数的性质，对其进行了如下探究： (1)完成表格，画出函数图象： …… 0 1 2 3 4 …… …… 1 0 3 …… (2)根据函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而_____________； ②当_____________时，函数取到最_____________值为_____________； ③观察图象可知，不等式的解集是_____________． 【答案】(1)表格见解析，图见详解 (2)①减小；②2；小；；③ 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据“五点描法”可进行作图； （2）①②③根据（1）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：当时，则有； 当时，则有； 完成表格如下： …… 0 1 2 3 4 …… …… 1 0 0 3 …… 函数图象如下： （2）解：由（1）中函数图象可知： ①当时，随的增大而减小； ②当时，函数取到最小值为； ③观察图象可知，不等式的解集是； 故答案为减小，2，小，，． 考点五： 图像法解二元一次方程组 1．（21-22八年级下·广东广州·期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 【答案】D 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值． 2．（21-22八年级上·江西抚州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2）， ∴方程组的解是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 3．（2021·广东广州·二模）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A．B．C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得． 【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则这个一次函数的解析式为， 同理可得：另一个一次函数的解析式为， 则所解的二元一次方程组为， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 4．（20-21八年级上·安徽安庆·期中）图中以两直线，的交点坐标为解的方程组是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成的方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组． 【详解】解：设一次函数的解析式为：． ①直线经过、， ， 解得，， 函数解析式为，即； ②直线经过、， ， 解得，， 函数解析式为，即； 因此以两条直线，的交点坐标为解的方程组是：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的解析式，待定系数法求函数解析式，二元一次方程组与一次函数的关系，熟悉相关性质是解题的关键． 考点六： 两直线的交点与二元一次方程组的解 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，直线（是常数，且）与直线相交于点，已知点的纵坐标为1，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的解，根据两条直线的交点的横纵坐标即为由两条直线的解析式组成的方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：， ∴， ∴直线（是常数，且）与直线的交点坐标为：； ∴关于，的方程组，即的解为：； 故选：C． 2．（24-25八年级下·四川资阳·期中）函数与的图象相交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C．任意数对 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断即可． 【详解】解：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标， 所以方程组的解是． 故选：B． 3．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组无解，则一次函数的图象经过的象限是（   ） A．一、二、四 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、三 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，一次函数的性质，根据方程组无解可知两条直线无交点，即两直线平行，从而列方程求得k的值，然后再根据一次函数图象性质作出判断． 【详解】解：∵关于、的二元一次方程组无解， ∴直线与直线无交点，即两直线平行， ∴， 解得：， 当时，一次函数， 其函数图象经过第一、二、四象限， 故选：A． 4．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，直线和直线的交点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查两条直线的交点问题，联立方程组求得交点坐标，进而可得答案． 【详解】解：联立方程组，解得， ∴直线和直线的交点坐标为，即交点在第二象限， 故选：B． 5．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示． （1）关于的方程的解为 ，关于的不等式的解集为 ； （2）关于，的二元一次方程组的解是 （3）不等式的解集为 【答案】 ， ； ； ． 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）由图象可知一次函数与轴的交点为，由此进行分析即可； （2）由图象可知函数和的图象的交点纵坐标为，由此进行分析即可； （3）由（2）知函数和的图象的交点为，由此进行分析即可得出不等式的解集． 【详解】解：（1）由图象可知：一次函数与轴的交点为， 当时，， 即关于的方程的解为， 当时，， 即关于的不等式的解集为， 故答案为：，； （2）由图象可知函数和的图象的交点纵坐标为， 当时，代入，得，解得， 关于，的二元一次方程组的解是； 故答案为：； （3）由（2）知函数和的图象的交点为， 不等式的解集为． 故答案为：． 考点七： 根据两条直线的交点求不等式的解集 1．（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知直线与的交点在第三象限，则常数b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，熟练掌握求一次函数的交点的方法是解题的关键．联立两解析式求出交点坐标，根据交点在第三象限，列一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：联立， 解得， 根据题意，得， 解得：， 故选：A． 2．（2025·广东肇庆·二模）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数的解析式，利用待定系数法求出直线的解析式为，根据解析式可以求出当时，，由图象可知，一次函数的随增大而减小，所以当时，． 【详解】解：直线经过点和， 可得：， 解得：， 为， 当时，， 一次函数与的交点坐标是， 由图象可知，一次函数的随增大而减小， 当时，． 故选：A． 3．（2025·山东德州·二模）如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用两直线交点求不等式解集，在数轴上表示解集，利用数形结合的思想是解题关键．根据两直线的交点，结合图象，得到不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：一次函数与的图象相交于点， 不等式的解集为， 在数轴上表示如下： 故选：C． 4．（2025·宁夏吴忠·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下结论错误的是（   ） A．由图象可知； B．方程组的解为； C．方程的解为； D．当时． 【答案】D 【分析】先观察直线与y轴交点的位置在直线与y轴交点的上方，可判断；再根据两条直线的交点可得方程组的解；然后根据直线与x轴交点的坐标可判断C；最后根据直线在直线的上方，确定自变量的取值范围解答D即可． 【详解】解：因为直线与y轴交点的位置在直线与y轴交点的上方，所以； 则A正确； 因为直线与直线的交点坐标是， 所以方程的解是， 则B正确； 因为直线与x轴交点的坐标是， 所以方程的解是， 则C正确； 因为从交点向左时直线在直线的上方， 所以当时，， 则D不正确． 故选：D． 5．（2025·河南南阳·三模）已知点在直线上，且在直线的下方，则的值可能是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数和一元一次不等式的联系，解法一：画出图象根据交点坐标即可求出答案；解法二：．求得，即可得到答案． 【详解】解法一：如图，由图象可得直线与直线的交点坐标为， 数形结合，可得， 故选：A． 解法二：点在直线上， ． 对于，当时， ∵点在直线的下方， ，即， 解得． ， 即 故选：A． 6．（24-25河南省平顶山市期中）一次函数和的图象如图所示，且，． (1)关于的不等式的解集为______； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据观察函数图象，即可求解； （2）先求出，再由不等式的解集是，可得点的横坐标为，即可求解． 【详解】（1）解；∵在中，， ∴随x增大而增大， ∵的函数图象经过， ∴∴不等式的解集为； （2）解：把点代入，得： ，解得， ∴， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标为， ∴在中，当时，， ∴点的坐标为． 考点八： 一次函数图像与坐标轴交点问题 1．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)填空： ①线段的长度为 ； ②方程组的解为 ； (2)结合图形直接写出的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①解方程得到，，得，根据勾股定理得，代入数据计算即可； ②根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到结论； （2）根据图形可知，两函数图象的交点，再结合图形可得结论； （3）利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：①在中， 当时，；当时，， ∴，， ∴， ∴， ∴线段的长度为， 故答案为：； ②∵直线与直线交于点， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）∵直线与直线交于点，直线与轴交于点， 当时，直线的图象在直线的下方且在轴的上方， ∴的解集为； （3）∵，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，一次函数与二元一次方程组的关系，利用图象解不等式，三角形的面积等知识点，掌握一次函数的图象与性质，利用图象解不等式及求三角形的面积是解题的关键． 2．（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知直线l：，O是坐标原点 (1)画出l的图象； (2)直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积； (3)标出直线l上横坐标为的点D，并求点D的纵坐标； (4)标出直线l上和x轴距离是1的点E，并求点E坐标 【答案】(1)见解析 (2)； (3)图见解析，； (4)图见解析，或 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）分别求出直线直线l与x轴交于点，与y轴交于点，描点连线即可； （2）由（1）可知，点A的坐标为，点B的坐标为，即可求出面积即可； （3）求出点D的纵坐标，标出点D； （4）求点E坐标，并标出点E即可 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得， ∴直线直线l与x轴交于点，与y轴交于点， 如图，过点和作直线即为所求， （2）由（1）可知，点A的坐标为，点B的坐标为， ∴的面积； （3）如图点D即为所求， 当， ∴点D的纵坐标为 ∴点D的坐标为； （4）当时，，解得， 当时，，解得， ∴点E的坐标为或 如图点即为所求， 考点九： 求直线围成的图形面积 1．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C． (1)求此一次函数的解析式； (2)求出的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、求两条直线的交点等知识，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立两个函数的解析式求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴此一次函数的解析式为； （2）解：解方程组， 得， ∴点C的坐标是， ∴的面积． 2．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）已知，直线与轴、轴分别交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）求出点D的坐标，利用计算解题； （3）根据，列方程求出的值，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （2）当时，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 解得或， 当时，，点P的坐标为； 当时，，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 3．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，点C为上一点，点M为上一点，交于N，． (1)求直线和直线的解析式； (2)若，求点M的坐标； (3)若，求点M的坐标． 【答案】(1)解析式：；解析式： (2) (3) 【分析】（1）先把点坐标代入求出的值，从而得到直线的解析式为，然后求出点坐标，接着利用三角形面积公式计算出，即可得到的坐标，待定系数法求解析式即可求解． （2）根据得出，则直线的解析式为，联立直线的解析式，即可求解； （3）连，由已知得，得出，代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴, 解得：， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将代入得，， 解得：， 的解析式为：，直线的解析式为； （2）解：， ， ，将代入得：， 设直线的解析式为， ∴，解得：， 直线的解析式为， 由得． ； （3）解：连接，由已知得， ，将代入得 ． 【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了待定系数法求一次函数解析式． 4．（23-24九年级上·重庆·开学考试）如图直线：与直线：交于点B． (1)求的面积； (2)点C为线段上一动点（点C不与点O，B重合），作轴交直线于点D，过点C向轴作垂线，垂足为E，若四边形的面积为120，求点C的坐标． 【答案】(1)216 (2) 【分析】本题主要考查了两条直线的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，三角形与四边形的面积． （1）根据直线的解析式求出A点坐标，将两直线的解析式联立求出B点坐标，根据三角形的面积公式列式计算即可； （2）设点C的坐标为，则，那么，根据四边形的面积为120列出方程，解方程即可求出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵直线：， ∴时，， ∴， 由，解得， ∴， ∴的面积； （2）解：如图，设点C的坐标为，则， ∴， ∵四边形的面积为120，， ∴， 解得， ∴点C的坐标为． 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用一次函数的性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两直线的位置关系对④进行判断． 本题考查了一次函数图象的性质以及一次函数与与一元一次不等式组的关系，熟练掌握一次函数图象的性质及数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴，， 所以①正确； ∵直线与y轴的交点在x轴下方， ∴， 所以②错误； ∵当时，， ∴关于x的方程的解为， 所以③正确； ∵当，直线在直线的下方， ∴时，． 所以④错误． 故答案为：C． 2．（2025·陕西西安·二模）如图，一次函数与的图象如图所示．则下列结论正确的是（    ） A．在一次函数中，的值随着值的增大而增大 B．方程的解为 C． D．方程组的解为 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合是解题的关键． 根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、与一元一次方程、与一元一次不等式的关系对各项判断即可解答． 【详解】解：A、由图象可知：的值随着值的增大而减小， 故A错误，不符合题意； B、一次函数的图象过点， ， ， ， 当时，， ∴， 方程的解为， 故B错误，不符合题意； C、直线过， ， ， ； 故C错误，不符合题意； D、由图象可知：方程组的解为， 故D正确，符合题意 故选：D． 3．（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由一次函数的交点求二元一次方程组的解，由图象可得一次函数的图象与的图象相交于点，由此即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得一次函数的图象与的图象相交于点， ∴方程组的解为， 故选：C． 4．（24-25八年级下·山西大同·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式．直接利用函数图象，找出一次函数图象在的图象上方的部分即可得出x的取值范围． 【详解】解：由图可得：不等式的解集为：， 故选：D． 5．（2025·河北唐山·二模）如图，直线交轴、轴于两点，直线交轴、轴于两点，点是内部（不包括边界）的一点，则整数可能是（    ） A．3 B． C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，由于P的纵坐标为1，故点P在直线y=1上，要求符合题意的m值，则P点为直线与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得． 【详解】解：∵点是内部（包括边上）的一点， 故点P在直线上，如图所示， 当P为直线与直线的交点时，m取最大值， 当P为直线与直线的交点时，m取最小值， 由解得，即m的最大值为2； 由解得，即m的最小值为． ∴只有0符合题意， 故选：D． 6．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线与相交于点P，点P的纵坐标为，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先求得点P的横坐标，根据函数图象求得不等式的解集，进而表示在数轴上，结合选项即可求解． 【详解】解：∵直线与相交于点P，点P的纵坐标为， ∴， 解得：，即点P的横坐标为， 根据函数图象不等式的解集为， 用数轴表示为： 故选：D． 【点睛】 7．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知在平面直角坐标系中，一次函数与（k、b为常数，且）的图象交点的横坐标为3，则关于x、y的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数交点解二元一次方程组，根据题意，把代入得到交点坐标，由此即可求解． 【详解】解：由条件可知， ∴交点坐标为， ∴关于x、y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 8．（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知，随的增大而减小，故①符合题意； 由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故②符合题意； 把代入， 得， 解得， 故与的交点为， 令，则 解得， 即与轴的交点为， 由图象可知：当时，则， 故③不符合题意； 由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故④符合题意． 故答案为：①②④ 9．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在y轴上找一点，使得的值最大，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，三角形三边关系的应用，正确利用数形结合解题是解题关键． （1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）利用两直线与轴交点横坐标，结合图象得出答案； （3）①利用三角形面积公式求得即可；②记交轴于点，此时最大，再求解直线解析式即可． 【详解】（1）解：∵一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，， ∴关于x的方程的解是，关于x的不等式的解集是， 故答案为：， （2）∵关于x的不等式的解集是，关于x的不等式的解集是， ∴关于x的不等式组的解集， 故答案为： （3）①点C的坐标为．, ∴的面积为， 故答案为： ②，记交轴于点，    此时，此时最大， 设直线为， ∴，解得， 直线为， 令，则， 10．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知y与成正比例，当时，．试求： (1)y与x之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． (3)直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意设，然后将时，代入求解即可； （2）将代入求解即可； （3）首先得到y随x的增大而增大，进而求解即可． 【详解】（1）解：已知y与成正比例， ∴设， 当时，， ， ， ； （2）解：点在这个函数的图象上， ， ； （3）解：由（2）得，点在这个函数的图象上， ∵中， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，． 11．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过和两点，直线与直线相交于点P，与y轴相交于点C． (1)求直线的解析式． (2)求时x的取值范围． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式∶从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法求一次函数解析式．利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）将点A和点B的坐标代入直线的解析式得到关于k、b的方程组，从而可求得k、b的值，于是可得到直线的解析式； （2）写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：把和代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：联立方程组， 解得， 则的取值范围为． 12．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）已知：如图一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积； (3)结合图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法和三角形面积的求法，求出点A、B、C的坐标是解题的关键． （1）将两个函数表达式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标； （2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据函数图象和点A的坐标即可得到结果． 【详解】（1）解：联立，解得， ∴点A坐标为． （2）解：当时，，即，则B点坐标为； 当时，，即，则C点坐标为； ， 的面积为：． （3）解：根据图象可知，时，x的取值范围是． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 一次函数与方程、不等式 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：9大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，会根据一次函数的图像解决一元一次方程和一元一次不等式的求解问题； 2.理解一次函数与二元一次方程组的关系，会利用图像法解二元一次方程组. 知识点 1 一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程的解⇔函数中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程的解⇔函数的图像与x轴交点的横坐标. 1．（2025·甘肃陇南·一模）若直线经过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为 ． 3．（22-23八年级上·全国·课前预习）一般地，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程 的解．从图象上看，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的 就是方程kx＋b＝0的解． 4．（22-23八年级上·全国·课前预习）看图填空： (1)当y＝0时，x＝ ； (2)直线对应的函数表达式是 ； (3)一元一次方程0.5x＋1＝0与一次函数y＝0.5x＋1有什么联系？ 知识点 2 一次函数与一元一次不等式 思路：任何一个一元一次不等式都能写成的形式. 从“数”的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从“形”的角度看：就是确定直线在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件. . 1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，根据图中信息． (1)点P的坐标为 ． (2)当时，x的取值范围是多少？ (3)求． 3（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)结合图象，求不等式的解集． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线：与轴交于点，与一次函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)列表并画出一次函数的图象； (3)如果，写出的取值范围． 知识点 3 一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程都能写成的形式，因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. . 1．（20-21八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于、的方程组的解是(　　) A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，直线与的交点坐标为，根据图象，小敏认为点坐标可以看作是两个二元一次方程的公共解，其中一个方程是，则另一个方程是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知关于，的方程组的解是，则函数和的图象交点坐标为 ． 5．（24-25八年级上·广西梧州·期中）综合与实践 学习小组根据学习一次函数的经验，对函数和的交点问题进行了探究．下面是探究的过程，请补充完成： 【动手操作】 （1）如图所示，在同一坐标系中，作出这两个函数的图象：经过点（2， ）和画的图象；经过点（ ，0）和画的图象． 【观察实践】 （2）观察发现，这两个函数图象在第二象限内相交，请写出这个交点的坐标； 【应用迁移】 （3）结合图象，直接写出方程组的解； （4）结合图象，直接写出当时x的取值范围． 考点一： 图像法解一元一次方程 1．（2025·甘肃兰州·一模）如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，则关于x的方程的解为 ．    3．（24-25七年级上·全国·期末）直线与x轴交于点，下列说法正确的是（　　） A． B．直线上两点，若，则 C．直线经过第四象限 D．关于x的方程的解为 4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)填空：①当时， ． ②当时， ． ③当时， ． (2)在平面直角坐标系中作出函数的图象 (3)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有_____个交点，方程有____个解： ②方程有_____个解： ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． 考点二： 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 1．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知一次函数的图像经过点，则关于x的一元一次方程的解是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 2．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）若一次函数 (k为常数且)的图象经过点，则关于x的方程的解为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）将直线向上平移个单位长度后与直线交于点，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）直线分别与的负半轴和的正半轴交于点和点，若，，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 6．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为________； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，回答下列问题： ①当________时，函数有最大值，最大值为________； ②方程的解是________． (3)已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________． 考点三： 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 1．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在直角坐标系中，有两点，在x轴上有一动点，当周长最小时，n的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 4．（23-24八年级下·四川内江·期中）将直线沿y轴向上平移4个单位后，与x轴的交点坐标是 ． 5．（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知一次函数的图象平行于直线，且经过点，则这个一次函数与坐标轴围成的图形面积为 ． 6．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)求的面积； (3)在y轴上存在一点P，使最小．在图中画出点P的位置，则点P为（______，______）． 考点四： 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．（2025·贵州贵阳·一模）一次函数（k，b为常数，）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·北京昌平·期中）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，根据图象可知的解集为 （    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南通·二模）若函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知不等式的解集是，则一次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知关于x的一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直接写出当x取何值时，． 6．（24-25九年级下·北京西城·期中）小婧为了研究函数的性质，对其进行了如下探究： (1)完成表格，画出函数图象： …… 0 1 2 3 4 …… …… 1 0 3 …… (2)根据函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而_____________； ②当_____________时，函数取到最_____________值为_____________； ③观察图象可知，不等式的解集是_____________． 考点五： 图像法解二元一次方程组 1．（21-22八年级下·广东广州·期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 2．（21-22八年级上·江西抚州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．（2021·广东广州·二模）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A．B．C． D． 4．（20-21八年级上·安徽安庆·期中）图中以两直线，的交点坐标为解的方程组是（    ） A．B．C． D． 考点六： 两直线的交点与二元一次方程组的解 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，直线（是常数，且）与直线相交于点，已知点的纵坐标为1，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川资阳·期中）函数与的图象相交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C．任意数对 D．不能确定 3．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组无解，则一次函数的图象经过的象限是（   ） A．一、二、四 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、三 4．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，直线和直线的交点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示． （1）关于的方程的解为 ，关于的不等式的解集为 ； （2）关于，的二元一次方程组的解是 （3）不等式的解集为 考点七： 根据两条直线的交点求不等式的解集 1．（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知直线与的交点在第三象限，则常数b的取值范围是 ． 2．（2025·广东肇庆·二模）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东德州·二模）如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·宁夏吴忠·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下结论错误的是（   ） A．由图象可知； B．方程组的解为； C．方程的解为； D．当时． 5．（2025·河南南阳·三模）已知点在直线上，且在直线的下方，则的值可能是（   ） A． B． C．1 D．2 6．（24-25河南省平顶山市期中）一次函数和的图象如图所示，且，． (1)关于的不等式的解集为______； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 考点八： 一次函数图像与坐标轴交点问题 1．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)填空： ①线段的长度为 ； ②方程组的解为 ； (2)结合图形直接写出的解集； (3)求的面积． 2．（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知直线l：，O是坐标原点 (1)画出l的图象； (2)直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积； (3)标出直线l上横坐标为的点D，并求点D的纵坐标； (4)标出直线l上和x轴距离是1的点E，并求点E坐标 考点九： 求直线围成的图形面积 1．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C． (1)求此一次函数的解析式； (2)求出的面积． 2．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）已知，直线与轴、轴分别交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，点C为上一点，点M为上一点，交于N，． (1)求直线和直线的解析式； (2)若，求点M的坐标； (3)若，求点M的坐标． 4．（23-24九年级上·重庆·开学考试）如图直线：与直线：交于点B． (1)求的面积； (2)点C为线段上一动点（点C不与点O，B重合），作轴交直线于点D，过点C向轴作垂线，垂足为E，若四边形的面积为120，求点C的坐标． 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2025·陕西西安·二模）如图，一次函数与的图象如图所示．则下列结论正确的是（    ） A．在一次函数中，的值随着值的增大而增大 B．方程的解为 C． D．方程组的解为 3．（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山西大同·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北唐山·二模）如图，直线交轴、轴于两点，直线交轴、轴于两点，点是内部（不包括边界）的一点，则整数可能是（    ） A．3 B． C．2 D．0 6．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线与相交于点P，点P的纵坐标为，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．B．C．D． 7．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知在平面直角坐标系中，一次函数与（k、b为常数，且）的图象交点的横坐标为3，则关于x、y的二元一次方程组的解为 ． 8．（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为 ．（写出所有正确结论的序号） 9．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在y轴上找一点，使得的值最大，求点的坐标． 10．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知y与成正比例，当时，．试求： (1)y与x之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． (3)直接写出时，的取值范围． 11．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过和两点，直线与直线相交于点P，与y轴相交于点C． (1)求直线的解析式． (2)求时x的取值范围． 12．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）已知：如图一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积； (3)结合图象，直接写出时x的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$