衔接点02 式与方程-2025年小升初数学无忧衔接（北师大版2024）

衔接点02 式与方程 学习要求 1 知识链接 2 题型探究 3 题型1、字母表示数 3 题型2、探究与表达规律 6 题型3、等量代换 10 题型4、等式与方程的概念辨析 13 题型5、等式的性质及其运用 17 题型6、方程的解及其运用 20 题型7、解方程 24 基础通关 35 拓展提优 45 小学阶段 初中阶段 主要学习字母表示数（能用字母表示常见数量关系、运算定律、常见几何体的公式等）、简单的一元一次方程及解法，培养的核心数学素养是学生的符号意识和运算能力。 在字母表示数的基础上进一步深化，“数与式”是代数的基本语言，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性，重点关注规律探究；“方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系（相等和不等关系），是初中应用广泛的数学工具，初中一元一次方程的解法与小学的方法有所区别。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、推理能力等。 衔接指引 其实小学数学与初中数学实际上是有很多关联的。只要从小六到初一的过度在老师的引导下，找出“数”与“式”之间的内在联系以及区别，在知识间架起衔接的桥梁，也为后面的更多内容打下坚实的基础，这样才能在初中众多的考试面前不乱阵脚，游刃有余。 1．用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 1）用字母表示数和数量关系 ①一班有男生a人，女生b人，一共有（a＋b）人；②每袋面粉重25千克，x袋面粉共重25x干克； ③路程＝速度×时间，用字母表示s＝vt；④正比例：（一定），反比例：x×y＝k（一定）。 2）用字母表示计算公式及运算定理 长方形周长：C＝2（a＋b）； 长方形面积：S＝ab； 长方体体积：V＝abh或V＝Sh； 加法交换律：a＋b＝b＋a； 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）； 乘法交换律：ab＝ba； 乘法结合律：（ab）c＝a（bc）； 乘法分配律：（a＋b）c=ac＋bc。 注意：①数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面；②两个相同的字母相乘时，可写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2。 2．等式与方程 1）等式与方程的意义及关系 意义 关系 等式 表示相等关系的式子叫作等式 所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程 方程 含有未知数的等式叫作方程 2）等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 3）解方程 （1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 （2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。 （3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 （4）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 题型1、字母表示数 【解题技巧】1）字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明的将数量关系表示出来。 2）用字母表示数的意义：有助于揭示概念的本质特征，能使数量之间的关系更加简明，更具有普遍意义。使思维过程简约化，易于形成概念系统。 例1．（2024·重庆涪陵·小升初真题）小明从家到学校，每分钟走a米，走了5分钟，此时距离学校还有b米，小明家到学校的路程是( )米。照这样的速度，小明还需行( )分钟才能到达学校。 【答案】 （5a＋b） 【分析】小明每分钟走“米，走了5分钟，根据路程＝速度×时间，求出小明5分钟走的路程，再加上距离学校的b米就是小明家到学校的路程；已知剩下的路程为b米，速度是每分钟4米，根据时间＝路程÷速度，代入数据计算即可解答。 【详解】5×a＋b＝（5a＋b）米 b÷a＝（分钟） 所以小明家到学校的路程是（5a＋b）米，照这样的速度，小明还需行分钟才能到达学校。 例2．（2024·四川·小升初真题）如果受季节影响，某商品每件售价按原价降低再降价8元后的售价是100元，那么该商品每件原售价可表示为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】再降价8元后售价是100元，则按原价降低是108元。按照原价降低就是现价比原价降低，以原价为单位“1”，108元是原价的（1－），求原价用除法。 【详解】100＋8＝108（元） 原价：108÷（1－）＝（元） 故答案为：B 例3．（2024·湖南岳阳·小升初真题）有6根a厘米和10根b厘米长的小棒，淘气用其中的12根搭成了一个长方体框架。用含有字母的式子表示这个长方体框架的棱长总和是( )厘米。当a＝7，b＝9时，这个长方体框架的棱长总和是( )厘米。 【答案】 4a＋8b 100 【分析】长方体有4条长、4条宽、4条高，一共12条棱，所以可以用4根a厘米的小棒作为长，4根b厘米的小棒作为宽，4根b厘米的小棒作为高，再根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，即可用含有字母的式子表示这个长方体框架的棱长总和； 然后把a＝7，b＝9，代入前面得到的式子中，计算出得数即可。 【详解】（a＋b＋b）×4 ＝（a＋2b）×4 ＝4a＋8b 用含有字母的式子表示这个长方体框架的棱长总和是（4a＋8b）厘米。 当a＝7，b＝9时 4a＋8b ＝4×7＋8×9 ＝28＋72 ＝100（厘米） 当a＝7，b＝9时，这个长方体框架的棱长总和是100厘米。 例4．（2024·四川绵阳·小升初真题）已知a是一个两位数，b是一个三位数，若把b放在a的左边，组成一个五位数，则这个五位数是（    ）。 A．100b＋a B．10b＋a C．b＋a D．1000a＋b 【答案】A 【分析】因为a是一个两位数，把b放在a的左边，相当于把三位数b扩大到原来的100倍，两位数a的大小不变，则用b的100倍加a，即可得到这个五位数。 【详解】据分析可知，已知a是一个两位数，b是一个三位数，若把b放在a的左边，组成一个五位数，则这个五位数是100b＋a。 故答案为：A 变式1．（2024·湖南衡阳·小升初真题）“祝融号”火星车拥有六个可以独立驱动、独立转向的车轮，作为一台火星科考探测仪，它的时速仅为40m。如果“祝融号”火星车要到200m远的区域进行探测，那么行驶a小时后（a≤5），距离目的地还有( )m；当a＝3时，距离目的地还有( )m。 【答案】 200－4a 80 【分析】先根据“路程＝速度×时间”求出这台火星科考探测仪a小时行驶的路程；再用全程减去行驶的路程，即是距离目的地的路程；然后把a＝3代入上述的式子中，计算出得数即可。 【详解】200－a×40＝（200－40a）（m） 当a＝3时 200－40×3 ＝200－120 ＝80（m） 距离目的地还有（200－4a）m；当a＝3时，距离目的地还有80m。 变式2．（2024·广东·小升初模拟）微信零钱提取现金每人累计享有1000元免费额度，超出额度后，按提取现金金额的0.1%收取手续费。一位微信新用户，首次从微信零钱中提取现金a（a＞1000）元，需支付手续费( )元。 【答案】0.001a－1 【分析】用从微信零钱中提取的现金－1000元，求出需要支付手续费的钱数，再乘0.1%，即可解答。 【详解】（a－1000）×0.1%＝（0.001a－1）元 微信零钱提取现金每人累计享有1000元免费额度，超出额度后，按提取现金金额的0.1%收取手续费。一位微信新用户，首次从微信零钱中提取现金a（a＞1000）元，需支付手续费（0.001a－1）元。 变式3．（2024·贵州铜仁·小升初真题）强强在半期测试中语文、数学、英语三科的平均分是m分，语文和数学的平均分是9分，那么强强的英语成绩是( )分。 【答案】3m－18 【分析】总数＝平均数×个数，可知三科总分是3m，语文和数学的总分是（2×9）分，相减即可求出英语成绩。 【详解】3×m－2×9＝（3m－18）分 则强强的英语成绩是（3m－18）分。 【点睛】解答此题的关键是掌握平均数的相关公式。 变式4．（2024·全国·小升初模拟）已知每个人做某项工作的效率相同，个人做天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加人，现在总人数是人，用工作总量除以总人数，即可求出完成工作所需的天数。 【详解】设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加人，则完成工作所需的天数为。 故答案为：D 题型2、探究与表达规律 【解题技巧】观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 例1．（2024·浙江金华·小升初真题）学校报告厅第一排有a个座位，第二排有（a＋2）个座位，第三排有（a＋4）个座位，后面每一排比前面一排多2个座位。第n排有（    ）个座位。 A．a＋2n B．a＋2（n－1） C．2n D．a＋2n＋2 【答案】B 【分析】分析题目，第一排有a个座位，以后每次多增加2个座位，则第n排比第一排多了（n－1）个2，据此可知第n排有[a＋（n－1）×2]。 【详解】a＋（n－1）×2＝[a＋2（n－1）]个 学校报告厅第一排有a个座位，第二排有（a＋2）个座位，第三排有（a＋4）个座位，后面每一排比前面一排多2个座位。第n排有[a＋2（n－1）]个座位。 故答案为：B 例2．（2024·河南郑州·小升初真题）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫作三角形数，它有一定的规律性，则第100个三角形数和第98个三角形数的差为 。 【答案】199 【分析】根据体验可知，第二个数比第一个是大2，第三个数比第二个数大3；第四个数比第三个数大4；以此类推，可以得到：第n个数比第n－1个数大n，据此解答。 【详解】根据分析可知，第100个三角形数比第99个数大100；第99个三角形数比第98个数大99；第100个三角形数和第98个三角形数的差为： 100＋99＝199 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫作三角形数，它有一定的规律性，则第100个三角形数和第98个三角形数的差为199。 例3．（2024·山东德州·小升初真题）幸福小学六年级学生到野外参加研学活动，需要搭建宿营帐篷。搭建如图1的单顶帐篷，需要17根钢管。这样的帐篷按图2、图3的方式串起来搭建，则可节省结合处的钢管，那么串搭20顶这样的帐篷需要( )根钢管。 【答案】226 【分析】观察图形可知： 搭一顶帐篷需要17根钢管，17＝11×1＋6； 搭2顶帐篷需要28根钢管，28＝11×2＋6； 搭3顶帐篷需要39根钢管，39＝11×3＋6； …… 规律：搭n顶帐篷需要钢管（11n＋6）根，据此规律解答。 【详解】规律：搭n顶帐篷需要钢管（11n＋6）根。 当n＝20时 11n＋6 ＝11×20＋6 ＝220＋6 ＝226（根） 那么串搭20顶这样的帐篷需要（226）根钢管。 例4．（2024·湖南怀化·小升初真题）如图是按规律排列的一组图形，从左边开始，第一个图形是由4根小棒拼成的正方形，从第2个图形开始，是由若干个正方形拼成的长方形。如果用n表示正方形的个数，m表示小棒的根数，那么两个数之间可以建立的一个等量关系是( )，第199个图形用了( )根小棒。 【答案】 m＝3n＋1 598 【分析】（1）找等量关系。 观察图形，第1个图形是正方形，有4根小棒，此时n＝1，m＝4。 第2个图形由2个正方形拼成，有7根小棒，此时n＝2，m＝7。可以发现，相比第1个图形，多了1个正方形，多用了3根小棒。 第3个图形由3个正方形拼成，有10根小棒，此时n＝3，m＝10 。相比第2个图形，又多了1个正方形，同样多用了3根小棒。 以此类推，每增加1个正方形，就增加3根小棒。那么n个正方形时，除了第1个正方形用4根小棒，后面（n－1）个正方形每个都需要3根小棒，所以小棒根数m＝4＋3×（n－1），化简可得m＝3n＋1 （2）计算第199个图形用的小棒数。 已知等量关系m＝3n＋1，当n＝199时，把n＝199代入到m＝3n ＋1中，就可以求出小棒的根数 【详解】（1）求等量关系 m＝4＋3×（n－1）＝4＋3n－3＝3n＋1。 （2）计算第199个图形小棒数 当n＝199时，m＝3×199＋1＝597＋1＝598（根）。 如果用n表示正方形的个数，m表示小棒的根数，那么两个数之间可以建立的一个等量关系是3n＋1，第199个图形用了598根小棒。 变式1．（2024·山东临沂·小升初真题）用小棒按图所示的方法拼成若干个图案，照这样拼下去，第4个图案中有( )根小棒，第( )个图案有42根小棒，第n个图案有( )根小棒。 【答案】 18 10 （4n＋2）/（2＋4n） 【分析】观察可得，第1个图形有（4×1＋2）根小棒，第2个图形有（4×2＋2）根小棒，第3个图形有（4×3＋2）根小棒，……第n个图案有（4n＋2）根小棒，照此规律第一空把4代入计算即可；第二空由题意可知4n＋2＝42，解方程即可；第三空据分析解答。 【详解】第1个图形有（4×1＋2）根小棒，第2个图形有（4×2＋2）根小棒，第3个图形有（4×3＋2）根小棒，……第4个图案有小棒： 4×4＋2 ＝16＋2 ＝18（根） 有42根小棒的图案序数是： 4n＋2＝42 解：4n＋2－2＝42－2 4n＝40 4n÷4＝40÷4 n＝10 用小棒按图所示的方法拼成若干个图案，照这样拼下去，第4个图案中有18根小棒，第10个图案有42根小棒，第n个图案有（4n＋2）或（2＋4n）根小棒。 变式2．（2024·山东滨州·小升初真题）用小棒按下图方式搭图形。（第一个图形用6根小棒搭成），第10个图形需用( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。 【答案】 42 4n＋2/2＋4n 【分析】看图，第一个图形用2＋4×1＝6（根）小棒搭成，第2个图形用2＋4×2＝10（根）小棒搭成，第3个图形用2＋4×3＝14（根）小棒搭成，每次搭成的图形在上个图形的基础上增加4根小棒。那么，第10个图形需要用（2＋4×10）根小棒，第n个图形需要用（2＋4×n）根小棒。 【详解】2＋4×10 ＝2＋40 ＝42（根） 2＋4×n＝2＋4n＝4n＋2 所以，第10个图形需用42根小棒，第n个图形需要（4n＋2）根小棒。 【点睛】本题考查了数与形，有一定观察总结能力是解题的关键。 变式3．（2024·浙江宁波·小升初真题）将小正方体按如图的规律摆放：摆1个小正方体有5个面露在外面，摆2个小正方体有8个面露在外面，摆6个小正方体有( )个面露在外面，摆n个小正方体有( )个面露在外面。 【答案】 20 3n＋2 【分析】从图中可知，摆1个、2个、3个小正方体分别有5个、8个、11个面露在外面，发现每增加一个小正方体，露在外面的面就会增加3个，据此找出规律，并按规律解答。 【详解】观察图形可知： 摆1个小正方体有5个面露在外面，5＝1×3＋2； 摆2个小正方体有8个面露在外面，8＝2×3＋2； 摆3个小正方体有11个面露在外面，11＝3×3＋2； …… 摆6个小正方体露在外面的面有： 3×6＋2 ＝18＋2 ＝20（个） …… 规律：摆n个小正方体露在外面的面有（3n＋2）个。 填空如下： 摆6个小正方体有（20）个面露在外面，摆n个小正方体有（3n＋2）个面露在外面。 题型3、等量代换 【解题技巧】等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。如果能应用等量代换思考问题，不仅有助于学生找到锯决问题的便捷方法，而且有助于锻炼学生的思维，提高学生解决实际问题的能力。 例1．（2024·云南西双版纳·小升初真题）△、□各代表一个数，如果△＋□＋□＝29，△＋△＋△＋□＋□＝55，那么□＝( )。 【答案】8 【分析】根据题意，△＋□＋□＝29，则□＋□＝29－△，把□＋□＝29－△代入数据△＋△＋△＋□＋□＝55算式中，化为：△＋△＋△＋29－△＝55，据此求出△的值，进而求出□的值，据此解答。 【详解】△＋□＋□＝29，则□＋□＝29－△。 △＋△＋△＋29－△＝55 解：2△＋29＝55 2△＝55－29 2△＝26 △＝26÷2 △＝13 □＋□＋13＝29 解：2□＝29－13 2□＝16 □＝16÷2 □＝8 △、□各代表一个数，如果△＋□＋□＝29，△＋△＋△＋□＋□＝55，那么□＝8。 例2．（2024·四川成都·小升初真题）体育教师到商店买6个足球和3个篮球，要付396元；则买10个足球和5个篮球要付( )元。 【答案】660 【分析】6个足球和3个篮球是396元，将这些球每2个足球和1个篮球放在一起，能分成3份，每一份就是132元。将10个足球和5个篮球也是每2个足球和1个篮球放在一起，这样可以分成5份。每一份是132元，5份要多少钱，用乘法。 【详解】396÷3＝132（元） 132×5＝660（元） 则买10个足球和5个篮球要付660元。 例3．（2023·江苏南京·小升初真题）1瓶水倒满7个大杯和6个小杯后，还余30克的水，或倒满9个大杯和4个小杯后，还余10克的水，这瓶水可以倒满( )个大杯和( )个小杯后，没有剩余。 【答案】 10 3 【分析】把第二次倒的方法乘3，也就是说看成3瓶水，3瓶可以倒27个大杯和12个小杯还剩30克，减去第一次倒的除以2后可得： 2瓶水可以倒20个大杯和6个小杯， 所以1瓶可以倒10个大杯和3个小杯。 【详解】倒满9个大杯和4个小杯后，还余10克的水，所以当为3瓶水时，可以倒27个大杯和12个小杯还剩30克， 减去第一次倒的除以2后可得： 2瓶水可以倒20个大杯和6个小杯， 所以1瓶水可以倒10个大杯和3个小杯。 【点睛】此题的关键是根据第二次倒完后剩的10克，乘3，也就是看成是3瓶，然后和第一次倒的进行整体相减，从而求解。 变式1．（2023·重庆永川·小升初真题）一辆小汽车的牌照是渝C8S○□△，已知○＋○＝□，○＋□＋□＋5＝15，△＋△＝○，那么牌照号码的后三位数是( )。 【答案】241 【分析】首先把〇＋〇＝□代入〇＋□＋□＋5＝15，求出〇的值是多少；然后根据：〇＋〇＝□、△＋△＝〇，分别求出□、△的值各是多少，进而判断出牌照号码的后三位数是多少即可。 【详解】因为〇＋〇＝□， 所以□＝〇×2； 因为〇＋□＋□＋5＝15， 所以〇×5＋5＝15， 解得〇＝2， 所以□＝〇×2＝4， 所以△＝〇÷2＝1， 所以牌照号码的后三位数是241。 【点睛】此题主要考查了简单的等量代换问题，要熟练掌握，解答此题的关键是弄清楚三个图形代表的数之间的关系。 变式2．（2023·广西柳州·小升初真题）妈妈去花市买了4盆月季花和6盆长寿花，一共花了234元，2盆月季花的价钱等于6盆长寿花的价钱。每盆长寿花多少钱？ 想：4盆月季花的价钱相当于（    ）盆长寿花的价钱，因此，234元相当于（    ）盆长寿花的价钱。 【答案】12；18；13元 【分析】由题意可知，2盆月季花的价钱等于6盆长寿花的价钱，则4盆月季花的价钱相当于（4÷2×6）盆长寿花的价钱，4盆月季花和6盆长寿花相当于（4÷2×6＋6）盆长寿花，根据单价＝总价÷数量，代入数据即可求出每盆长寿花的单价，据此解答。 【详解】4÷2×6＝12（盆） 12＋6＝18（盆） 4盆月季花的价钱相当于12盆长寿花的价钱，因此，234元相当于18盆长寿花的价钱。 234÷18＝13（元） 答：每盆长寿花13元。 变式3．（2023·四川成都·小升初真题）小敏购买4种教学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数如下表： 品名 件数 计算器 圆规 三角板 量角器 总钱数 第一次购买件数 1 3 4 5 78 第二次购买件数 1 5 7 9 98 则4种教学用品各买一件共需要( )元。 【答案】58 【分析】根据题意可知，计算器×1＋圆规×3＋三角板×4＋量角器×5＝78元；计算器×1＋圆规×5＋三角板×7＋量角器×9＝98元；据此可知，圆规×（5－3）＋三角板×（7－4）＋量角器×（9－5）＝圆规×2＋三角板×3＋量角器×4＝（98－78）元，再用78－（98－78）即可求出计算器×1＋圆规×1＋三角板×1＋量角器×1。 【详解】98－78＝20（元） 78－20＝58（元） 4种教学用品各买一件共需要58元。 【点睛】本题主要考查了等量代换，通过等式间数量上的加减找到对应要求的数量。 变式4．（2025·山东·小升初模拟）若，则的值是( )。 【答案】1 【详解】4（）=3a+2b-20=24-20=4，故=4÷4＝1。 题型4、等式与方程的概念辨析 【解题技巧】 1）等式：表示相等关系的式子叫作等式。 2）方程：含有未知数的等式。 3）方程一定是等式，等式不一定是方程。 注意：如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 例1．（2024·重庆璧山·小升初真题）下列式子（    ）是方程。 A．a÷0.3＜2.8 B．n＋7 C．8x＋12＝112 D．91.2÷0.57＝160 【答案】C 【分析】含有未知数的等式叫做方程，由方程的意义可知，方程必须同时满足以下两个条件：（1）是等式；（2）含有未知数；两个条件缺一不可，据此判断。 【详解】A．a÷0.3＜2.8，含有未知数a，但a÷0.3＜2.8不是等式，所以a÷0.3＜2.8不是方程； B．n＋7，含有未知数n，但n＋7不是等式，所以n＋7不是方程； C．8x＋12＝112，含有未知数x，8x＋12＝112也是等式，所以8x＋12＝112是方程； D．91.2÷0.57＝160是等式，但91.2÷0.57＝160不含未知数，所以91.2÷0.57＝160不是方程。 故答案为：C 【点睛】此题主要考查根据方程的意义来辨识方程，明确只有含有未知数的等式才是方程。 例2．（2023·重庆黔江·小升初真题）下面的说法中，错误的是（    ）。 A．平面图形都是由线段围成的 B．正方体和圆柱体的体积都可以用底面积乘高来计算 C．是方程 D．小数、分数的加减法都必须是相同计数单位才能相加减 【答案】D 【分析】根据题意，对各选项进行依次分析、进而得出结论。 【详解】A．平面图形都是由线段围成的。说法正确； B．正方体和圆柱体的体积都可以用底面积乘高来计算，说法正确； C．5x＝0是方程，说法正确； D．小数、分数的加减法都必须是相同计数单位才能相加减，说法错误，小数小数点要对齐，分数分母相同才能相加减。 故答案为：D 【点睛】此题涉及到的知识点较多，但比较简单，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累。 例3．（2024·山东济宁·小升初真题）小学阶段学了很多数学知识，它们之间有密切的联系。下列不能正确表示它们之间关系的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】合数：除了1和它本身，还有其它因数的数是合数；偶数：能被2整除的数是偶数；等腰三角形：两条边相等的三角形是等腰三角形；正三角形：三条边相等的三角形是正三角形；正三角形是特殊的等腰三角形；方程：含有未知数的等式就是方程；方程是等式，等式不是方程，据此即可逐项分析。 【详解】A．偶数和合数不是包含关系，2是偶数，但不是合数，所以选项A不能表示它们之间的关系。 B．等腰三角形两腰相等，两个底角相等，当三条边都相等时，就变成了正三角形，所以B能表示它们之间的关系。 C．方程是等式，是含有未知数的等式，所以选项C能表示它们之间的关系。 故答案为：A 【点睛】解答本题需熟练掌握分类标准，明确分类方法。 变式1．（2023·黑龙江鸡西·小升初真题）下面属于方程的是（    ）。 A．x＋5 B．5＋6＝11 C．x－10＝3 D．x÷12＞20 【答案】C 【分析】含有未知数的等式叫做方程；由方程的意义可知，方程必须同时满足以下两个条件：（1）是等式；（2）含有未知数；两个条件缺一不可，据此逐项分析后再选择。 【详解】A．x＋5，虽然含有未知数，但它不是等式，所以不是方程； B．5＋6＝11，虽然是等式，但它没含有未知数，所以不是方程； C．x－10＝3，既含有未知数，又是等式，符合方程需要满足的两个条件，所以是方程； D．x÷12＞20，虽然含有未知数，但它不是等式，所以不是方程。 故答案为：C 【点睛】此题主要根据方程需要满足的条件来辨识方程，明确只有含有未知数的等式才是方程。 变式2．（2023·湖南湘西·小升初真题）小学阶段我们学习了很多知识，知识之间有着密切的联系。下图中： 如果A表示长方形，那么B可以表示正方形； 如果A表示等腰三角形，那么B表示( )； 如果B表示方程，那么A可以表示( )。 【答案】 等边三角形 等式 【分析】长方形和正方形的关系是长方形包括正方形，正方形是特殊的长方形；等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包含等边三角形；方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子。据此解答。 【详解】根据分析得，如果A表示等腰三角形，那么B表示等边三角形；如果B表示方程，那么A可以表示等式。 【点睛】此题主要考查长方形与正方形、等边三角形与等腰三角形、方程与等式之间的关系，应熟练理解并掌握它们的意义与联系。 变式3．（2023·四川成都·小升初真题）小学阶段学了很多数学知识，它们之间有密切的联系。下面不能正确表示它们之间关系的是（    ）。 A．   B．   C．  D．   【答案】D 【分析】正方形是特殊的长方形； 三角形按角分类分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； 含有未知数的等式叫方程； 如果一个量变化另一个量也随之变化，并且这两个量的比值一定，那么这两个量成正比例关系；如果一个量变化另一个量也随之变化，并且这两个量的乘积一定，那么这两个量成反比例关系；据此解答。 【详解】A．，因为正方形是特殊的长方形，所以关系图正确； B．，因为三角形按角分类分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，所以关系图正确； C．，因为含有未知数的等式叫方程，方程一定是等式，而等式不一定是方程，所以关系图正确； D．，因为如果一个量变化另一个量也随之变化，并且这两个量的比值一定，那么这两个量成正比例关系；如果一个量变化另一个量也随之变化，并且这两个量的乘积一定，那么这两个量成反比例关系；正比例和反比例不一样，所以关系图不正确。 故答案为：D 【点睛】本题考查长方形与正方形的关系、三角形的分类、方程与等式的关系、正比例与反比例的意义。 题型5、等式的性质及其运用 【解题技巧】等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 例1．（2025·吉林·小升初模拟）下面关于等式性质的运用，正确的式子是（    ）。 A．如果x＝y，那么5x＝y＋5 B．如果x＝y，那么x＋y＝2y C．如果2x＋3＝5x，那么x＝2 D．如果x＝y，那么x＋a＝y－a 【答案】B 【分析】根据等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。据此解答。 【详解】A．如果x＝y，等式两边同时乘5，可得5x＝5y，所以5x＝y＋5错误。 B．如果x＝y，等式两边同时加y，可得x＋y＝y＋y，又因为y＋y＝2y，所以x＋y＝2y正确。 C．如果2x＋3＝5x，先根据加数等于和减另一个加数，转化为5x－2x＝3，3x＝3，等式两边再同时除以3，可得x＝1，所以x＝2错误。 D．如果x＝y，等式两边同时加a，可得x＋a＝y＋a，所以x＋a＝y－a错误。 故答案为：B 例2．（2025·全国·小升初模拟）下面的说法中，正确的有（    ）个。 ①方程都是等式，所以等式也都是方程。     ②x＝6是方程1＋0.25x＝2.5的解。 ③如果a＋6＝b－1，那么a＞b。 ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】①含有未知数的等式叫做方程，则方程都是等式，而不含未知数的等式不是方程，此说法错误； ②把x＝6代入原方程，左边＝1＋0.25×6＝2.5，右边＝2.5，左边＝右边，则x＝6是方程1＋0.25x＝2.5的解，此说法正确； ③设a＋6＝b－1＝7，则a＝7－6＝1，b＝7＋1＝8，1＜8，即a＜b，此说法错误； ④根据等式的性质2，等式两边同时除以同一个数（0除外），等式仍然成立，此说法没有把0排除，说法错误。 【详解】通过分析可得： ①方程都是等式，但等式不一定是方程，说法错误； ②把x＝6代入原方程检验，x＝6是方程1＋0.25x＝2.5的解，说法正确； ③设a＋6＝b－1＝7，则a＝1，b＝8，则a＜b，说法错误； ④根据等式的性质2，0不能作除数，此说法没有把0排除，说法错误。 上面的说法中，只有1个正确。 故答案为：A 例3．（2025·福建·小升初模拟）如图，等量关系不成立的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察可知，等量关系式是，根据等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。据此逐项分析是否能转化为判断即可。 【详解】A．根据等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。等式两边同时加，转化为，等量关系成立。 B．等式两边的算式交换位置，即可转化为，等量关系成立。 C．根据等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 等式两边同时加，转化为，等量关系成立。 D．根据等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。等式两边同时减，转化为，等量关系不成立。 故答案为：D 例4．（2024·湖南岳阳·小升初真题）若，那么A，B，C，D中最小的是( )。 【答案】D 【分析】已知，因为分子都是1，根据分子相同分数相等则分母相等，得到A－2021＝B＋2022＝C＋2023＝D＋2024。 我们可以这样理解：对于A－2021＝B＋2022，可以想成A去掉2021和B加上2022后一样多那肯定是A比B大。就好像有两堆东西，一堆拿走2021个，另一堆添上2022个后数量相同，那原来第一堆肯定比第二堆多。 对于A－2021＝C－2023，可以理解为A少了2021个和C少了2023个后数量相等，少的多的原来就多，所以C比A大。 对于B＋2022＝D＋2024，就是B添上2022个和D添上2024个后一样多添的多的原来就少，所以B比D大。 比较大小确定最小值 由A－2021＝B＋2022可知A比B大。 由A－2021＝C－2023可知C比A大。 由B＋2022＝D＋2024可知B比D大。 这样综合比较下来，就能得出C＞A＞B＞D，所以D最小。 【详解】因为，且分子都是1，所以A－2021＝B＋ 2022＝C－2023＝D＋2024。 由A－2021＝B＋2022可知A比B大，所以，A＞B。 由A－2021＝C－2023可知C比A大，所以，C＞A。 由B＋2022＝D＋2024可知B比D大，所以，B＞D。 综上所述，C＞A＞B＞D 【点睛】本题主要考查对分数性质的理解与运用，以及数的大小比较。解题的关键在于利用“分子相同的分数，分母相等则分数值相等”这一性质，得出A－2021＝B＋2022＝C－2023＝D＋2024。 变式1．（2025·江苏·小升初模拟）根据等式的性质，在括号里填上合适的数。 已知a＋3b＝4.8，则a＋3b－1.2＝( )，2a＋6b＝( )。 【答案】 3.6 9.6 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式的性质2：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立。 【详解】已知a＋3b＝4.8，等式左边减去1.2，为了使等式仍然成立，等式右边也需要减去1.2，即a＋3b－1.2＝4.8－1.2＝3.6； 因为2a＋6b＝2（a＋3b），已知a＋3b＝4.8，等式两边同时乘2，得到2（a＋3b）＝2×4.8＝9.6，所以2a＋6b＝9.6。 变式2．（2024·浙江·小升初模拟）运用等式性质进行的变形，正确的是( ) A．如果x=y，那么x+n=y-b B．如果x÷n=y÷n，那么x=y C．如果x=y，那么x÷n=y÷n D．如果x2=3x，那么x=3或x=0 【答案】D 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去一个数或式子，等式值不变；等式性质2：等式两边同时乘或除以一个不为0的数或式子，等式值不变．由此即可得出答案． 【详解】A：x=y，x+n=y+n；B：x÷n=y÷n，当n≠0时x=y；C：如果x=y，那么x÷n=y÷n（n≠0）；D：x2=3x，所以x=3或x=0． 故答案为D 变式3．（2025·全国·小升初模拟）下列说法正确的是（    ）。 A．如果m＋4＝n＋6，那么n比m大 B．方程x＝8是方程2x÷16＝0的解 C．如果24＋x＝60，那么24＋x－b＝60＋b D．5×0.6＝1.5×2是等式，但不是方程 【答案】D 【分析】A．两个加法算式的和相等，那么一个加数大，另一个加数就小； B．根据等式的性质求出2x÷16＝0的解，方程两边先同时乘16，再同时除以2，即可求解； C．等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 D．含有未知数的等式叫做方程；含有等号的式子叫做等式。 【详解】A．如果m＋4＝n＋6，和相等，4＜6，则m＞n，即m比n大，原题说法错误； B．2x÷16＝0 解：2x÷16×16＝0×16 2x＝0 2x÷2＝0÷2 x＝0 方程x＝0是方程2x÷16＝0的解，原题说法错误； C．如果24＋x＝60，那么24＋x－b＝60－b，原题说法错误； D．5×0.6＝1.5×2是等式，但不含有未知数，所以不是方程，原题说法正确。 故答案为：D 题型6、方程的解及其运用 【解题技巧】 1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值； 2）解方程：求方程的解的过程； 3）会利用方程的解，求字母的数值。 例1．（2024·浙江·小升初模拟）x＝4是下面（    ）方程的解。 A．2x－2＝4 B．10－x＝6＋x C．1÷x＝4 D．5x＋5＝25 【答案】D 【分析】要将求出的未知数值x＝4分别代入到4个选项的方程中，分别计算等号左右两边的结果，如果两边相等，则为原方程的解；如不相等，则不是原方程的解。据此解答。 【详解】A．将x＝4代入到方程2x－2＝4中， 左边＝2×4－2＝8－2＝6 右边＝4 左边≠右边 所以x＝4不是方程2x－2＝4的解。 B．将x＝4代入到方程10－x＝6＋x中， 左边＝10－4＝6 右边＝6＋4＝10 左边≠右边 所以x＝4不是方程10－x＝6＋x的解。 C．将x＝4代入到方程1÷x＝4中， 左边＝1÷4＝0.25 右边＝4 左边≠右边 所以x＝4不是方程1÷x＝4的解。 D．将x＝4代入到方程5x＋5＝25中， 左边＝5×4＋5＝20＋5＝25 右边＝25 左边＝右边 所以x＝4是方程5x＋5＝25的解。 故答案为：D 【点睛】此题考查方程的解，也可以根据等式的性质，求出选项中x的值，再进行选择。 例2．（2024·福建·小升初模拟）当时，a等于（    ）。 A．1或0 B．2或0 C．3或0 D．4或0 【答案】B 【分析】分等于0和不等于0两种情况讨论即可。 【详解】当a＝0时，a2＝0，2a＝0，a2＝2a； 当a≠0时，将a2＝2a的两边同时除以a，得a＝2 综上可知：a等于0或2。 故答案为：B 【点睛】解题时不要丢掉a≠0这种情况。 例3．（2024·浙江杭州·小升初模拟）如果方程（n—3）x＝30的解是x＝6，那么n＝( )。 【答案】8 【分析】将x＝6代入到方程（n—3）x＝30中，利用等式的性质，解方程求出n的值即可。 【详解】把x＝6代入到原方程，可得： （n—3）×6＝30 解：n—3＝30÷6 n—3＝5 n＝5＋3 n＝8 【点睛】此题主要考查解方程，利用等式的性质，认真计算即可。 变式1．（2024·上海·小升初模拟）x＝6是下面哪个方程的解。（    ） A．72÷x＝1.2 B．8x＝96÷2 C．（30－x）×5＝100 D．9x－48＝20 【答案】B 【分析】（1）未知数相当于除数，根据“除数＝被除数÷商”求出未知数； （2）先求出方程右边除法的商，再根据“因数＝积÷另一个因数”求出未知数； （3）先把括号看作一个整体，再根据“因数＝积÷另一个因数”求出括号的值，最后根据“减数＝被减数－差”求出未知数； （4）先根据“被减数＝减数＋差”求出9x的值，再根据“因数＝积÷另一个因数”求出未知数的值，据此解答。 【详解】A．72÷x＝1.2 解：x＝72÷1.2 x＝60 B．8x＝96÷2 解：8x＝48 x＝48÷8 x＝6 C．（30－x）×5＝100 解：30－x＝100÷5 30－x＝20 x＝30－20 x＝10 D．9x－48＝20 解：9x＝20＋48 9x＝68 x＝68÷9 x＝ 故答案为：B 【点睛】掌握加减法和乘除法运算中各部分之间的关系是解方程的关键。 变式2．（2024·江苏·小升初模拟）已知方程20＋mx＝28的解是x＝4，那么m＝( )。 【答案】2 【分析】先把x＝4代入20＋mx＝28，则方程变为：20＋4m＝28，再根据等式的性质1，方程两边同时减去20，再根据等式的性质2，方程两边同时除以4，即可解答。 【详解】当x＝4时，方程变为：20＋4m＝28。 20＋4m＝28 解：20－20＋4m＝28－20 4m＝8 4m÷4＝8÷4 m＝2 已知方程20＋mx＝28的解是x＝4，那么m＝2。 【点睛】本题考查了方程的解以及根据等式的性质1和2解方程。 变式3．（2024·河南·小升初模拟）已知8x－42＝30和□＋x＝9.1的解相同，那么□里应填( )。 【答案】0.1 【分析】先利用等式的性质1和等式的性质2求出8x－42＝30的解，再把方程的解代入□＋x＝9.1，求出□里应填的数，据此解答。 【详解】8x－42＝30 解：8x－42＋42＝30＋42 8x＝72 8x÷8＝72÷8 x＝9 当x＝9时 □＋9＝9.1 解：□＋9－9＝9.1－9 □＝0.1 所以，口里应填0.1。 【点睛】题中两个方程的解相同，那么两个方程中x的值相等，掌握等式的性质是求出方程中未知数值的关键。 题型7、解方程 【解题技巧】 1）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 2）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 例1．（2024·湖南衡阳·小升初真题）解方程。                            【答案】； ； 【分析】（1）先根据比例的基本性质将比例方程改写成，然后方程两边同时除以，求出方程的解； （2）先把方程化简成，然后方程两边同时除以，求出方程的解； （3）方程两边先同时减去，再同时除以，求出方程的解； （4）方程两边先同时除以，再同时减去，求出方程的解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： 例2．（2024·浙江杭州·小升初真题）解方程或比例。 （x－6.4）÷4＝0.16        x－0.6x＝6         ＝0.5∶8 【答案】x＝7.04；x＝90；x＝23.2 【分析】（x－6.4）÷4＝0.16，根据等式的性质2，方程两边同时乘4，再根据等式的性质1，方程两边同时加上6.4即可。 x－0.6x＝6，先化简方程左边含有x的算式，即求出－0.6的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以－0.6的差即可。 ＝0.5∶8，解比例，原式化为：0.5×（0.8＋x）＝1.5×8，再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.5，再根据等式的性质1，方程两边同时减去0.8即可。 【详解】（x－6.4）÷4＝0.16 解：（x－6.4）÷4×4＝0.16×4 x－6.4＝0.64 x－6.4＋6.4＝0.64＋6.4 x＝7.04 x－0.6x＝6 解：x－x＝6 x－x＝6 x＝6 x÷＝6÷ x＝6×15 x＝90 ＝0.5∶8 解：0.5×（0.8＋x）＝1.5×8 0.5×（0.8＋x）＝12 0.5×（0.8＋x）÷0.5＝12÷0.5 0.8＋x＝24 0.8＋x－0.8＝24－0.8 x＝23.2 例3．（2024·河南郑州·小升初真题）定义符号“☆”的意义是：a☆b＝（a＋1）×b，如果（x☆2）☆3＝27，那么x的值等于 。 【答案】3 【分析】根据新定义运算知道a☆b等于a与1的和乘b，由此把（x☆2）☆3＝27转化为关于x的方程[（x＋1）×2＋1]×3＝27，通过解该方程即可求得x的值。 【详解】[（x＋1）×2＋1]×3＝27 解：[2x＋2＋1]×3＝27 [2x＋3]×3＝27 [2x＋3]×3÷3＝27÷3 2x＋3＝9 2x＋3－3＝9－3 2x＝6 2x÷2＝6÷2 x＝3 例4．（2024·全国·小升初模拟）解方程。            【答案】； 【分析】先应用乘法分配律把计算出来，方程两边再同时加减73.5，化简后得到方程，对化简后的方程两边再同时加12后除以6，可以解出未知数； 把和分别看作整体，方程两边同时加和，化简后含和的项分别在等号两边，再逆用分配律，分别提出和进行化简后，方程两边同时乘6去掉分母后，运用等式的性质解方程。 【详解】 解： 解： 例5．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）解方程。 （1） （2）（7.6×35%＋6.5×0.76）∶＝1∶2 【答案】（1）＝； （2）＝15.2 【详解】（1）等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；根据等式的性质，方程两端同时乘6，去分母；再利用乘法的分配律，将括号去掉，然后将等式的两边的整理，有的可以利用乘法的分配律合并，得出5＋3＝12－6，再根据等式的基本性质，先两边同时减去3，交换等号两边式子的位置，再同时减去5，然后两边同时加上9，最后根据等式的性质2，将等式的两边同时除以7即可； （2）先运用乘法分配律将可以算的先算出；在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质；根据比例的性质对比例进行改写，最后根据等式的性质解方程。 【解答】（1） 解： 2（2－1）（＋5）＝6（2－1） 4－25＝12－6 5＋3＝12－6 5＋3－3＝12－6－3 5＝12－9 12－9－5＝5－5 7－9＝0 7－9＋9＝0＋9 7＝9 7÷7＝9÷7 ＝ （2）（7.6×35%＋6.5×0.76）∶＝1∶2 解：（7.6×0.35＋6.5×0.76）∶＝1∶2 （0.76×3.5＋6.5×0.76）∶＝1∶2 [0.76×（3.5＋6.5）]∶＝1∶2 [0.76×10]∶＝1∶2 7.6∶＝1∶2 ＝7.6×2 ＝15.2 【点睛】掌握乘法分配律，以及等式的性质，还有比例的基本性质，是解答本题的关键。 变式1．（2024·浙江宁波·小升初真题）解方程或解比例。          【答案】x＝1；x＝；x＝ 【分析】①先算等号左边的乘法，×＝，再根据等式的性质1，两边再同时减去，最后两边再同时除以0.75； ②先化简等号左边的算式为x，再算等号右边的除法为，然后根据等式的性质2，两边再同时乘； ③根据比例的基本性质把比例化为x＝25%×，两边再同时乘。 【详解】①0.75x＋×＝1 解：0.75x＋＝1 0.75x＋－＝1－ 0.75x＝0.75 0.75x÷0.75＝0.75÷0.75 x＝1 ②x－x＝÷ 解：x＝× x＝ x×＝× x＝ ③25%∶＝x∶ 解：x＝25%× x＝ x×＝× x＝ 变式2．（2024·云南西双版纳·小升初真题）求未知数x。 （1）3x＋22.9＝32.5            （2） （3）（5x－5.4）÷0.5＝21       （4） 【答案】（1）x＝3.2；（2）x＝； （3）x＝3.18；（4）x＝0.6 【分析】（1）根据等式的性质，方程的两边同时减去22.9，然后方程的两边同时除以3求解； （2）根据比例的基本性质，把原式化为x＝×，然后根据等式的性质，方程的两边同时除以求解； （3）根据等式的性质，方程的两边同时乘0.5，方程的两边同时加上5.4，然后方程的两边同时除以5求解； （4）根据比例的基本性质，把原式化为5x×4＝2.4×5，再把方程化为20x＝12，最后根据等式的性质，方程的两边同时除以20求解。 【详解】（1）3x＋22.9＝32.5 解：3x＋22.9－22.9＝32.5－22.9 3x＝9.6 3x÷3＝9.6÷3 x＝3.2 （2） 解：x＝× x＝ x÷＝÷ x＝×12 x＝ （3）（5x－5.4）÷0.5＝21 解：（5x－5.4）÷0.5×0.5＝21×0.5 5x－5.4＝10.5 5x－5.4＋5.4＝10.5＋5.4 5x＝15.9 5x÷5＝15.9÷5 x＝3.18 （4） 解：5x×4＝2.4×5 20x＝12 20x÷20＝12÷20 x＝0.6 变式3．（2024·湖南长沙·小升初真题）解方程。              【答案】； 【分析】，先把括号去掉，然后将左边合并为，再根据等式的性质1，将方程左右两边同时加上9y，再同时加上7，最后根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以23即可； ，根据等式的性质2，将方程左右两边同时乘6，然后根据乘法分配律，将方程变为，再通过计算去掉分数，即，然后去掉括号，将左边合并为，接着根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时加上8，再同时减去3，最后再同时除以5。 【详解】 解： 解： 变式4．（2024·辽宁·小升初模拟）解方程。 3x－4（x＋）＝2x－                                4.8÷3x＋29＝33                           【答案】x＝；x＝2.8； x＝4.4；x＝0.4； x＝；x＝ 【分析】去括号，移项，再根据等式的性质2方程的两边同时除以3即可； 移项合并同类项，再根据等式的性质2方程的两边同时除以2即可； 根据等式的性质2方程的两边同时乘1.2，去括号，移项，合并同类项，再根据根据等式的性质2方程的两边同时除以4即可； 根据等式的性质1，方程的两边同时减去29；再根据等式的性质2，方程的两边同时乘3x，再同时除以12即可； 根据等式的性质2，方程的两边同时乘即可； 方程的两边同时乘42x，去括号，移项，合并同类项，再根据根据等式的性质2方程的两边同时除以4.6×42即可； 【详解】3x－4（x＋）＝2x－ 解：3x－4x－＝2x－ 3x＝－ x＝1÷3 x＝ 解：（4－0.875－2）x＝5.6 x＝5.6÷2 x＝2.8 解：6（x－2）－2（x＋1）＝3×1.2 4x＝3.6＋14 x＝17.6÷4 x＝4.4 4.8÷3x＋29＝33 解：4.8÷3x＝33－29 4×3x＝4.8 x＝4.8÷12 x＝0.4    解：x＝3÷× x＝ 解：35－12＝4.6×42x x＝23÷（4.6×42） x＝ 1．（2024·安徽·小升初模拟）王刚比李红小3岁，比邓强大2岁。如果李红是岁，邓强是（    ）岁。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，比一个数少几就减几，即李红的年龄－3岁＝王刚的年龄，已知一个数比另一个数大多少，求另一个数，用减法，即王刚的年龄－2岁＝邓强的年龄，据此用字母表示出邓强的年龄。 【详解】（岁） 邓强是（）岁。 故答案为：C 2．（2024·河北石家庄·小升初真题）一个三位数，它的个位上的数字是a，十位上的数字是b，百位上的数字是c。这个三位数是（    ）。 A．100a＋10b＋c B．100c＋10b＋a C．100abc D．abc 【答案】B 【分析】百位上的数字是几就表示几个百，十位上的数字是几就表示几个十，个位上的数字是几就表示几个一。这个百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c，那么它有a个百，b个十，c个一，据此解答。 【详解】a个百是100a，b个十是10b，c个一是c 所以这个三位数是100c＋10b＋a。 故答案为：B 3．（2024·江苏·小升初模拟）如果把一个长、宽、高分别为a厘米、b厘米和h厘米的长方体的高增加3厘米，那么这个长方体的表面积比原来增加（    ）平方厘米。 A．3ab B．3（a＋b） C．6（a＋b） D．6ab 【答案】C 【分析】由题意知：增加的表面积实际上就是长为a厘米，宽为b厘米，高为3厘米的长方体的侧面积，利用侧面积＝底面周长×高，代入数据计算即可。 【详解】（a＋b）×2×3 ＝（a＋b）×6 ＝6（a＋b）平方厘米 表面积增加6（a＋b）平方厘米。 故答案为：C。 【点睛】理解增加的表面积就是长为a厘米，宽为b厘米，高为3厘米的长方体的侧面积是解答本题的关键。 4．（2024·重庆丰都·小升初真题）用小棒摆五边形，如图：按这个规律，摆n个五边形，需要( )根小棒；照这样摆，用97根小棒能摆( )个五边形。 【答案】 4n＋1 24 【分析】观察图形可知，摆1个五边形需要5根小棒，摆2个五边形需要（5＋4×1）根小棒，摆3个五边形需要（5＋4×2）根小棒……则摆n个五边形需要[5＋4×（n－1）]根小棒，据此解答即可。 【详解】5＋4×（n－1） ＝5＋4n－4 ＝（4n＋1）根 （97－1）÷4 ＝96÷4 ＝24（个） 用小棒摆五边形，如图：按这个规律，摆n个五边形，需要（4n＋1）根小棒；照这样摆，用97根小棒能摆24个五边形。 5．（2024·福建莆田·小升初真题）用相同长度的小棒摆成一组有规律的图案，如图所示。第1个图案需要4根小棒，第2个图案需要10根小棒……按此规律摆下去，第7个图案需要( )根小棒。 【答案】40 【分析】通过观察可知，在原有图形的基础上依次增加两个正方形，每增加两个正方形需要6根小棒，那么第个图案在4根的基础上，需要增加6的倍个小棒，据此解答。 【详解】 根 当时 （根） 第7个图案需要40根小棒。 6．（2024·重庆垫江·小升初真题）1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图。 (1)观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加( )人。 (2)如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐( )人。 (3)按这样拼下去，m张餐桌可坐( )人。（用含有字母的式子表示） 【答案】(1)2(2)22(3)2m＋2 【详解】（1）发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加2人。 （2）10张桌子拼在一起，相当于增加了10－1＝9（张）桌子。 4＋2×9＝4＋18＝22（人） 因此如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐22人。 （3）4＋2×（m－1）＝4＋2m－2＝（2m＋2）人 因此按这样拼下去，m张餐桌可坐（2m＋2）人。 7．（2024·全国·小升初模拟）●、▲、■分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡。如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放（    ）个■。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】观察第一架天平，在天平的左右两边各拿走1个●，可知1个●的质量等于1个■的质量，再观察第二架天平可知1个▲的质量等于2个●的质量。所以第三架天平中1个●和1个▲的质量和应该等于3个●的质量，也就是等于3个■的质量。据此解答。 【详解】由图示知：●＋●＝■＋● ●＋●-●＝■＋●-● ●＝■ ▲＝●＋■＝2个● 所以▲＋●＝3个●＝3个■ 故答案为：B 【点睛】本题考查了等式的性质，找出▲、●、■三者之间的关系，是解答此题的关键。 8．（2024·河南三门峡·小升初真题）一辆小汽车的牌照是豫M8L〇□△，已知〇＋〇＝□，〇＋□＋□＋5＝15，△＋△＝〇，那么牌照号码的后三位数是( )。 【答案】241 【分析】分析题目，根据“〇＋〇＝□，〇＋□＋□＋5＝15”可知：〇＋〇＋〇＋〇＋〇＋5＝15，据此可知〇＝（15－5）÷5，进而求出○，再用○＋○求出□，最后根据△＋△＝〇，用○除以2即可求出△。 【详解】因为〇＋〇＝□，〇＋□＋□＋5＝15，所以〇＋〇＋〇＋〇＋〇＋5＝15，那么 〇＝（15－5）÷5 ＝10÷5 ＝2 □＝2＋2＝4 △＝2÷2＝1 因此，牌照号码的后三位数是241。 9．（2024·河南·小升初模拟）已知瓶子、杯子、罐子和盘子的质量有如下关系：1个瓶子＋1个杯子＝1个罐子；1个瓶子＝1个杯子＋1个盘子；2个罐子＝3个盘子。那么1个瓶子的质量等于（    ）个杯子的质量。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式仍然成立； 根据等式的性质，通过不断的等量代换，找出瓶子和杯子的质量关系即可。 【详解】1个瓶子＝1个杯子＋1个盘子，则3个瓶子＝3个杯子＋3个盘子。又因为2个罐子＝3个盘子，所以3个瓶子＝3个杯子＋2个罐子； 1个瓶子＋1个杯子＝1个罐子，则2个瓶子＋2个杯子＝2个罐子，那么3个瓶子＝3个杯子＋2个瓶子＋2个杯子，将左右两边各减去2个瓶子得1个瓶子＝3个杯子＋2个杯子＝5个杯子。 所以，1个瓶子的质量等于5个杯子的质量。 故答案为：B 10．（2025·江西·小升初模拟）下面式子中，是方程的是（    ）。 A．3x＋2.5 B．x－0.8x＝1.6 C．4.5＋3.6＝8.1 D．5x＞6 【答案】B 【分析】含有未知数的等式就是方程，据此逐一分析各选项即可。 【详解】A．3x＋2.5含有未知数的式子，但不是等式，所以不是方程。该选项不符合题意。 B．x－0.8x＝1.6含有未知数且是等式，所以是方程。该选项符合题意。 C．4.5＋3.6＝8.1是等式，但不含有未知数，所以不是方程。该选项不符合题意。 D．5x＞6含有未知数但不是等式，所以不是方程。该选项不符合题意。 故答案为：B 11．（2024·江苏·小升初模拟）已知5x＝8y，根据等式的性质，下面的等式不成立的是（    ）。 A．25x＝40y B．5x＋7y＝15y C．2x＝8y－3x D．8x＝5y 【答案】D 【分析】根据等式的性质1，等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式； 根据等式的性质2，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式，据此解答。 【详解】A．根据等式的性质2，5x＝8y两边同时乘5，可得到25x＝40y；等式成立，不符合题意； B．根据等式的性质1，5x＝8y两边同时加上7y，可得到5x＋7y＝15y；等式成立，不符合题意； C．根据等式的性质1，5x＝8y边同时减去3x，可得到2x＝8y－3x；等式成立，不符合题意； D．根据等式的性质1，5x＋3x＝8y＋3x无法得到8x＝5y，等式不成立，符合题意。 已知5x＝8y，根据等式的性质，下面的等式不成立的是8x＝5y。 故答案为：D 【点睛】熟练掌握等式的性质1和性质2是解答本题的关键。 12．（2024·上海·小升初模拟）下列等式变形正确的是（    ）。 A．若ax＝ay，那么x＝y B．若x＝y，那么x－5＝5－y C．若ax－b＝0（a≠0），那么x＝ D．若4x＝1，那么x＝4 【答案】C 【分析】根据等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式； 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；据此逐项分析，进行解答。 【详解】A．若ax＝ay，那么x＝y； 只有当a≠0时，ax＝ay两边同时除以a，才能得到x＝y；原题干说法错误； B．若x＝y，那么x－5＝5－y； x－5＝y－5，原题干说法错误； C．若ax－b＝0（a≠0），那么x＝； ax－b＝0 解：ax－b＋b＝0＋b ax＝b ax÷a＝b÷a x＝ 原题干说法正确； D．若4x＝1，那么x＝4； 4x＝1 解：4x÷4＝1÷4 x＝ 若4x＝1，那么x＝，原题干说法错误。 下列等式变形正确的是若ax－b＝0（a≠0），那么x＝。 故答案为：C 【点睛】熟练掌握等式的性质1和性质2是解答本题的关键。 13．（2024·上海·小升初模拟）已知方程：（1）；（2）；（3）。则所满足的方程是（    ）。 A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】由于要使x＝1满足方程，则把x等于1代入方程，分别计算出等号左边的式子的结果和等号右边式子的结果，看两边结果是否相等，如果相等，则满足，如果不相等，则不满足，据此即可分析。 【详解】（1）3x＋2 ＝3×1＋2 ＝3＋2 ＝5 7x－2 ＝7×1－2 ＝7－2 ＝5 5＝5；满足x＝1； （2）－×1 ＝－ ＝ ＝，所以满足x＝1； （3）（x－1）（x－2）＝0 当x＝1时，x－1＝0，0乘任何数都是0， 所以（x－1）（x－2）＝0，满足x＝1。 故答案为：D 【点睛】本题主要根据方程的解代入方程验算方程是否成立，要清楚的知道数字和字母相乘，乘号可以省略。 14．（2024·陕西宝鸡·小升初真题）解方程。            4x－12＝28           【答案】x＝110；x＝10；x＝ 【分析】（1）先把方程化简为x＝22，再根据等式的基本性质给方程两边同时除以即可； （2）先根据等式的基本性质给方程两边同时加上12，再给方程两边同时除以4即可； （3）先根据比例的基本性质把方程写成x＝×，再根据等式的基本性质给方程两边同时除以即可。 【详解】x－x＝22 解：x＝22 x÷＝22÷ x＝22×5 x＝110 4x－12＝28 解：4x－12＋12＝28＋12 4x＝40 4x÷4＝40÷4 x＝10 ∶x＝∶ 解：x＝× x＝ x÷＝÷ x＝× x＝ 15．（2025·四川·小升初模拟）解方程。 4x－3×（20－x）＝5x                 【答案】x＝30；x＝ 【分析】4x－3×（20－x）＝5x，先将左边合并成，将3×（20－x）看成一个整体，根据乘法分配律，3分别与括号里的数相乘，再相减，此时应该注意3前边是减号，去掉括号，括号里的减号变加号，即4x－（60－3x）＝4x－60＋3x，进而将左边合并成7x－60，方程转化为7x－60＝5x，根据等式的性质1和2，两边同时＋60－5x，再同时÷2即可； ，根据等式的性质1和2，两边同时×14，方程转化为（5x＋1）×7＝（8x＋9）×2，根据乘法分配律，再转化成35x＋7＝16x＋18，两边同时－16x－7，再同时÷19即可。 【详解】4x－3×（20－x）＝5x 解：4x－（60－3x）＝5x 4x－60＋3x＝5x 7x－60＝5x 7x－60＋60－5x＝5x＋60－5x 2x＝60 2x÷2＝60÷2 x＝30 解： （5x＋1）×7＝（8x＋9）×2 35x＋7＝16x＋18 35x＋7－16x－7＝16x＋18－16x－7 19x＝11 19x÷19＝11÷19 x＝ 【点睛】关键是掌握并灵活运用等式的性质，将复杂的方程转化成较为简单的方程进行解方程。 16．（2024·广东·小升初模拟）解方程。      7x－5×（x＋）＝x＋27     【答案】x＝68；x＝28；x＝ 【分析】x÷4＋3＝x÷3－，根据分数与除法的关系，把x÷4写出；x÷3写出，原式化为：＋3＝－，再根据等式的性质1，方程两边同时减去，再加上，原式化为：－＝3＋，化简含有x的算式，即求出－的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以－的差即可； 7x－5×（x＋）＝x＋27，化简，去掉括号，原式化为：7x－5x－1＝x＋27，再根据等式的性质1，方程两边同时减去x，再加上1，原式化为：7x－5x－x＝27＋1，再进行计算； ＝（5x＋5）÷6，把（5x＋5）÷6化为，＝，解比例，原式化为：6×（4x－1）＝3×（5x＋5），化简，原式化为：24x－6＝15x＋15，再根据等式的性质1，方程两边同时减去15x，再加上6，原式化为：24x－15x＝15＋6，化简方程左边含有x的算式，即求出24－15的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以24－15的差，即可。 【详解】x÷4＋3＝x÷3－ 解：＋3＝－ －＋3＋＝－－＋ －＝ x－x＝ x＝ x÷＝÷ x＝×12 x＝68 7x－5×（x＋）＝x＋27 解：7x－5x－1＝x＋27 2x－1＝x＋27 2x－x－1＋1＝x－x＋27＋1 x＝28 ＝（5x＋5）÷6 解：＝ 6×（4x－1）＝3×（5x＋5） 24x－6＝15x＋15 24x－15x－6＋6＝15x－15x＋15＋6 9x＝21 x＝21÷9 x＝ 1．（2024·四川成都·小升初真题）（比较大小）（）是一个真分数，下面各分数中最大的一个是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。所以选项A、C的分数与原分数相等。假设真分数是，分别写出选项B、D的分数，并比较大小（分子除以分母化成小数，从高位到低位比较每个数位的数字大小），据此解答。 【详解】根据分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，所以；假设真分数是，，；因为，所以，最大的分数是。 故答案为：D 【点睛】本题考查分数的基本性质，及比较分数的大小。 2．（2025·山东·小升初模拟）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”。从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（    ）。 A．25＝9＋16 B．36＝15＋21 C．49＝18＋31 D．64＝31＋33 【答案】B 【分析】根据题目可知，三角形数的规律为：第1个三角形个数＝1，第2个三角形个数＝1＋2＝3，第3个三角形个数＝1＋2＋3＝6，第4个三角形个数＝1＋2＋3＋4＝10，……第n个三角形个数＝1＋2＋3＋4＋…＋n，而任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，逐项分析后进行选择，据此解答。 【详解】根据分析： A．1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，1＋2＋3＋4＋5＝15，那么9和16都不是“三角形数”，不符合题意； B．1＋2＋3＋4＋5＝15，1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，那么15和21都是“三角形数”，且是两个相邻的“三角形数”，符合题意； C．1＋2＋3＋4＋5＝15，1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，那么18和31都不是“三角形数”，不符合题意； D．1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，那么31和33都不是“三角形数”，不符合题意； 所以符合这一规律的是36＝15＋21。 故答案为：B 【点睛】找出三角形数的规律，是解答本题的关键。 3．（2024·陕西西安·小升初真题）若用an表示n2的个位数字。 例如：a1表示12的个位数字，即a1＝1；a2表示22的个位数字，即a2＝4；a3表示32的个位数字，即a3＝9；a4表示42的个位数字，即a4＝6；… 则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2011＋a2012＋a2013＝( )。 【答案】9059 【分析】由于12＝1、22＝4、32＝9、42＝16、52＝25、62＝36、72＝49、82＝64、92＝81、102＝100、112＝121…每10个数组成一个周期，个位数字成1、4、9、6、5、6、9、4、1、0周期出现，确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数格周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个。据此先求出一个周期的数字和，以及周期数，一个周期的数字和×周期数＋余下的几个数＝这组数据的和。 【详解】根据分析，个位数按照1，4，9，6，5，6，9，4，1，0，…进行变化，每10个数重复一次。 1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0＝45 2013÷10＝201（组）……3（个） a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2011＋a2012＋a2013 ＝1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0…＋1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0＋1＋4＋9 ＝45×201＋（1＋4＋9） ＝9045＋14 ＝9059 a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2011＋a2012＋a2013＝9059。 【点睛】解决本题的关键是理解an表示n2的个位数字，确定周期。 4．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）某款手机充电5分钟，能够通话2小时，或者玩游戏1.5小时，某人将一部完全没电的手机充电4分钟，之后打了20分钟的电话。这部手机还能玩( )分钟的游戏。 【答案】57 【分析】已知手机充电5分钟，能够通话2小时，也就是120分钟，如果只充4分钟，则只能通话120分钟的，根据分数乘法的意义，用120×即可求出充电4分钟后能通话的时间，减去20分钟通话时间后，即可求出剩下通话的时间；1.5小时＝90分钟，则能够通话120分钟相当于玩游戏90分钟，则通话1分钟相当于玩游戏分钟，用剩下通话的时间×即可求出剩下通话的时间相当于玩游戏多少时间。 【详解】2小时＝120分钟 120×＝96（分钟） 96－20＝76（分钟） 1.5小时＝90分钟 76×＝57（分钟） 这部手机还能玩57分钟的游戏。 【点睛】本题主要考查了等量代换以及分数乘法的应用，注意统一单位。 5．（2024·江苏·小升初模拟）、、代表大小不同的3个不是0的自然数，并且满足：。那么最小是（    ）。 A．2 B．10 C．30 D．90 【答案】B 【分析】因为，为偶数，，也为偶数，所以只需将各个选项中的数代入，看能否求出自然数即可。 【详解】A．若，，不能得出自然数； B．若，，； C．若，，不能得出自然数； D．若，，； ，所以最小为10。 故答案为：B 【点睛】本题考查用字母表示数和求代数式的值，学生需熟练掌握。 6．（2024·山东德州·小升初真题）刘刚在人工智能课上编制了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数（如图）。根据这个计算程序：输入数6会输出数( )；输入数( )会输出数25；如果输入数为n，则输出数为( )。 【答案】 13 12 2n＋1 【详解】发现规律：输入数n，则输出数为（2n＋1）。 当n＝6时2n＋1＝6×2＋1＝12＋1＝13 2n＋1＝25 解：2n＋1－1＝25－1 2n＝24 2n÷2＝24÷2 n＝12 填空如下： 输入数6会输出数（13）；输入数（12）会输出数25；如果输入数为n，则输出数为（2n＋1）。 7．（2024·全国·小升初模拟）解方程或比例。      【答案】； 【分析】，依据比例的基本性质，先写成的形式，根据等式的性质1和2，两边同时×，再同时＋1即可。 ，等式左边的部分，依据分数的基本性质，将小数化成整数，然后根据等式的形式1和2，两边同时×6，去分母，再将能合并的合并起来，解方程即可； 【详解】 解： 解： 8．（2024·广东汕尾·竞赛）解方程。 （1）5（2x－2）－4x＝7（x－2）              （2）2（0.3x＋4）－5（0.2x－7）＝9 （3）6x－3（x－1）＝12－2（x＋2）            （4）＝－1 （5）＝－                （6）2x－＝2＋ （7）÷（x－0.45）＝                  （8）20%x－＝24÷ （9）x－5%x＝12.5＋10×                 （10）x－x＝÷ 【答案】（1）x＝4；（2）x＝85； （3）x＝1；（4）x＝； （5）x＝42；（6）x＝3； （7）x＝；（8）x＝112.5； （9）x＝25；（10）x＝20 【分析】解方程进行计算，需要根据方程的计算步骤来做，有括号先算括号里的，利用基本解方程的步骤即可，移项，去括号等，最后在进行计算。 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： （7）解： （8）解： （9）解： （10）解： 37 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衔接点02 式与方程 学习要求 1 知识链接 2 题型探究 3 题型1、字母表示数 3 题型2、探究与表达规律 4 题型3、等量代换 5 题型4、等式与方程的概念辨析 6 题型5、等式的性质及其运用 7 题型6、方程的解及其运用 8 题型7、解方程 9 基础通关 10 拓展提优 12 小学阶段 初中阶段 主要学习字母表示数（能用字母表示常见数量关系、运算定律、常见几何体的公式等）、简单的一元一次方程及解法，培养的核心数学素养是学生的符号意识和运算能力。 在字母表示数的基础上进一步深化，“数与式”是代数的基本语言，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性，重点关注规律探究；“方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系（相等和不等关系），是初中应用广泛的数学工具，初中一元一次方程的解法与小学的方法有所区别。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、推理能力等。 衔接指引 其实小学数学与初中数学实际上是有很多关联的。只要从小六到初一的过度在老师的引导下，找出“数”与“式”之间的内在联系以及区别，在知识间架起衔接的桥梁，也为后面的更多内容打下坚实的基础，这样才能在初中众多的考试面前不乱阵脚，游刃有余。 1．用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 1）用字母表示数和数量关系 ①一班有男生a人，女生b人，一共有（a＋b）人；②每袋面粉重25千克，x袋面粉共重25x干克； ③路程＝速度×时间，用字母表示s＝vt；④正比例：（一定），反比例：x×y＝k（一定）。 2）用字母表示计算公式及运算定理 长方形周长：C＝2（a＋b）； 长方形面积：S＝ab； 长方体体积：V＝abh或V＝Sh； 加法交换律：a＋b＝b＋a； 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）； 乘法交换律：ab＝ba； 乘法结合律：（ab）c＝a（bc）； 乘法分配律：（a＋b）c=ac＋bc。 注意：①数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面；②两个相同的字母相乘时，可写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2。 2．等式与方程 1）等式与方程的意义及关系 意义 关系 等式 表示相等关系的式子叫作等式 所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程 方程 含有未知数的等式叫作方程 2）等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 3）解方程 （1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 （2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。 （3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 （4）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 题型1、字母表示数 【解题技巧】1）字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明的将数量关系表示出来。 2）用字母表示数的意义：有助于揭示概念的本质特征，能使数量之间的关系更加简明，更具有普遍意义。使思维过程简约化，易于形成概念系统。 例1．（2024·重庆涪陵·小升初真题）小明从家到学校，每分钟走a米，走了5分钟，此时距离学校还有b米，小明家到学校的路程是( )米。照这样的速度，小明还需行( )分钟才能到达学校。 例2．（2024·四川·小升初真题）如果受季节影响，某商品每件售价按原价降低再降价8元后的售价是100元，那么该商品每件原售价可表示为（    ）。 A． B． C． D． 例3．（2024·湖南岳阳·小升初真题）有6根a厘米和10根b厘米长的小棒，淘气用其中的12根搭成了一个长方体框架。用含有字母的式子表示这个长方体框架的棱长总和是( )厘米。当a＝7，b＝9时，这个长方体框架的棱长总和是( )厘米。 例4．（2024·四川绵阳·小升初真题）已知a是一个两位数，b是一个三位数，若把b放在a的左边，组成一个五位数，则这个五位数是（    ）。 A．100b＋a B．10b＋a C．b＋a D．1000a＋b 变式1．（2024·湖南衡阳·小升初真题）“祝融号”火星车拥有六个可以独立驱动、独立转向的车轮，作为一台火星科考探测仪，它的时速仅为40m。如果“祝融号”火星车要到200m远的区域进行探测，那么行驶a小时后（a≤5），距离目的地还有( )m；当a＝3时，距离目的地还有( )m。 变式2．（2024·广东·小升初模拟）微信零钱提取现金每人累计享有1000元免费额度，超出额度后，按提取现金金额的0.1%收取手续费。一位微信新用户，首次从微信零钱中提取现金a（a＞1000）元，需支付手续费( )元。 变式3．（2024·贵州铜仁·小升初真题）强强在半期测试中语文、数学、英语三科的平均分是m分，语文和数学的平均分是9分，那么强强的英语成绩是( )分。 变式4．（2024·全国·小升初模拟）已知每个人做某项工作的效率相同，个人做天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（    ）。 A． B． C． D． 题型2、探究与表达规律 【解题技巧】观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 例1．（2024·浙江金华·小升初真题）学校报告厅第一排有a个座位，第二排有（a＋2）个座位，第三排有（a＋4）个座位，后面每一排比前面一排多2个座位。第n排有（    ）个座位。 A．a＋2n B．a＋2（n－1） C．2n D．a＋2n＋2 例2．（2024·河南郑州·小升初真题）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫作三角形数，它有一定的规律性，则第100个三角形数和第98个三角形数的差为 。 例3．（2024·山东德州·小升初真题）幸福小学六年级学生到野外参加研学活动，需要搭建宿营帐篷。搭建如图1的单顶帐篷，需要17根钢管。这样的帐篷按图2、图3的方式串起来搭建，则可节省结合处的钢管，那么串搭20顶这样的帐篷需要( )根钢管。 例4．（2024·湖南怀化·小升初真题）如图是按规律排列的一组图形，从左边开始，第一个图形是由4根小棒拼成的正方形，从第2个图形开始，是由若干个正方形拼成的长方形。如果用n表示正方形的个数，m表示小棒的根数，那么两个数之间可以建立的一个等量关系是( )，第199个图形用了( )根小棒。 变式1．（2024·山东临沂·小升初真题）用小棒按图所示的方法拼成若干个图案，照这样拼下去，第4个图案中有( )根小棒，第( )个图案有42根小棒，第n个图案有( )根小棒。 变式2．（2024·山东滨州·小升初真题）用小棒按下图方式搭图形。（第一个图形用6根小棒搭成），第10个图形需用( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。 变式3．（2024·浙江宁波·小升初真题）将小正方体按如图的规律摆放：摆1个小正方体有5个面露在外面，摆2个小正方体有8个面露在外面，摆6个小正方体有( )个面露在外面，摆n个小正方体有( )个面露在外面。 题型3、等量代换 【解题技巧】等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。如果能应用等量代换思考问题，不仅有助于学生找到锯决问题的便捷方法，而且有助于锻炼学生的思维，提高学生解决实际问题的能力。 例1．（2024·云南西双版纳·小升初真题）△、□各代表一个数，如果△＋□＋□＝29，△＋△＋△＋□＋□＝55，那么□＝( )。 例2．（2024·四川成都·小升初真题）体育教师到商店买6个足球和3个篮球，要付396元；则买10个足球和5个篮球要付( )元。 例3．（2023·江苏南京·小升初真题）1瓶水倒满7个大杯和6个小杯后，还余30克的水，或倒满9个大杯和4个小杯后，还余10克的水，这瓶水可以倒满( )个大杯和( )个小杯后，没有剩余。 变式1．（2023·重庆永川·小升初真题）一辆小汽车的牌照是渝C8S○□△，已知○＋○＝□，○＋□＋□＋5＝15，△＋△＝○，那么牌照号码的后三位数是( )。 变式2．（2023·广西柳州·小升初真题）妈妈去花市买了4盆月季花和6盆长寿花，一共花了234元，2盆月季花的价钱等于6盆长寿花的价钱。每盆长寿花多少钱？ 想：4盆月季花的价钱相当于（    ）盆长寿花的价钱，因此，234元相当于（    ）盆长寿花的价钱。 变式3．（2023·四川成都·小升初真题）小敏购买4种教学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数如下表： 品名 件数 计算器 圆规 三角板 量角器 总钱数 第一次购买件数 1 3 4 5 78 第二次购买件数 1 5 7 9 98 则4种教学用品各买一件共需要( )元。 变式4．（2025·山东·小升初模拟）若，则的值是( )。 题型4、等式与方程的概念辨析 【解题技巧】 1）等式：表示相等关系的式子叫作等式。 2）方程：含有未知数的等式。 3）方程一定是等式，等式不一定是方程。 注意：如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 例1．（2024·重庆璧山·小升初真题）下列式子（    ）是方程。 A．a÷0.3＜2.8 B．n＋7 C．8x＋12＝112 D．91.2÷0.57＝160 例2．（2023·重庆黔江·小升初真题）下面的说法中，错误的是（    ）。 A．平面图形都是由线段围成的 B．正方体和圆柱体的体积都可以用底面积乘高来计算 C．是方程 D．小数、分数的加减法都必须是相同计数单位才能相加减 例3．（2024·山东济宁·小升初真题）小学阶段学了很多数学知识，它们之间有密切的联系。下列不能正确表示它们之间关系的是（    ）。 A． B． C． 变式1．（2023·黑龙江鸡西·小升初真题）下面属于方程的是（    ）。 A．x＋5 B．5＋6＝11 C．x－10＝3 D．x÷12＞20 变式2．（2023·湖南湘西·小升初真题）小学阶段我们学习了很多知识，知识之间有着密切的联系。下图中： 如果A表示长方形，那么B可以表示正方形； 如果A表示等腰三角形，那么B表示( )； 如果B表示方程，那么A可以表示( )。 变式3．（2023·四川成都·小升初真题）小学阶段学了很多数学知识，它们之间有密切的联系。下面不能正确表示它们之间关系的是（    ）。 A．   B．   C．  D．   题型5、等式的性质及其运用 【解题技巧】等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 例1．（2025·吉林·小升初模拟）下面关于等式性质的运用，正确的式子是（    ）。 A．如果x＝y，那么5x＝y＋5 B．如果x＝y，那么x＋y＝2y C．如果2x＋3＝5x，那么x＝2 D．如果x＝y，那么x＋a＝y－a 例2．（2025·全国·小升初模拟）下面的说法中，正确的有（    ）个。 ①方程都是等式，所以等式也都是方程。     ②x＝6是方程1＋0.25x＝2.5的解。 ③如果a＋6＝b－1，那么a＞b。 ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立。 A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（2025·福建·小升初模拟）如图，等量关系不成立的是（    ）。 A． B． C． D． 例4．（2024·湖南岳阳·小升初真题）若，那么A，B，C，D中最小的是( )。 变式1．（2025·江苏·小升初模拟）根据等式的性质，在括号里填上合适的数。 已知a＋3b＝4.8，则a＋3b－1.2＝( )，2a＋6b＝( )。 变式2．（2024·浙江·小升初模拟）运用等式性质进行的变形，正确的是( ) A．如果x=y，那么x+n=y-b B．如果x÷n=y÷n，那么x=y C．如果x=y，那么x÷n=y÷n D．如果x2=3x，那么x=3或x=0 变式3．（2025·全国·小升初模拟）下列说法正确的是（    ）。 A．如果m＋4＝n＋6，那么n比m大 B．方程x＝8是方程2x÷16＝0的解 C．如果24＋x＝60，那么24＋x－b＝60＋b D．5×0.6＝1.5×2是等式，但不是方程 题型6、方程的解及其运用 【解题技巧】 1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值； 2）解方程：求方程的解的过程； 3）会利用方程的解，求字母的数值。 例1．（2024·浙江·小升初模拟）x＝4是下面（    ）方程的解。 A．2x－2＝4 B．10－x＝6＋x C．1÷x＝4 D．5x＋5＝25 例2．（2024·福建·小升初模拟）当时，a等于（    ）。 A．1或0 B．2或0 C．3或0 D．4或0 例3．（2024·浙江杭州·小升初模拟）如果方程（n—3）x＝30的解是x＝6，那么n＝( )。 变式1．（2024·上海·小升初模拟）x＝6是下面哪个方程的解。（    ） A．72÷x＝1.2 B．8x＝96÷2 C．（30－x）×5＝100 D．9x－48＝20 变式2．（2024·江苏·小升初模拟）已知方程20＋mx＝28的解是x＝4，那么m＝( )。 变式3．（2024·河南·小升初模拟）已知8x－42＝30和□＋x＝9.1的解相同，那么□里应填( )。 题型7、解方程 【解题技巧】 1）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 2）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 例1．（2024·湖南衡阳·小升初真题）解方程。                            例2．（2024·浙江杭州·小升初真题）解方程或比例。 （x－6.4）÷4＝0.16        x－0.6x＝6         ＝0.5∶8 例3．（2024·河南郑州·小升初真题）定义符号“☆”的意义是：a☆b＝（a＋1）×b，如果（x☆2）☆3＝27，那么x的值等于 。 例4．（2024·全国·小升初模拟）解方程。            例5．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）解方程。 （1） （2）（7.6×35%＋6.5×0.76）∶＝1∶2 变式1．（2024·浙江宁波·小升初真题）解方程或解比例。          变式2．（2024·云南西双版纳·小升初真题）求未知数x。 （1）3x＋22.9＝32.5            （2） （3）（5x－5.4）÷0.5＝21       （4） 变式3．（2024·湖南长沙·小升初真题）解方程。              变式4．（2024·辽宁·小升初模拟）解方程。 3x－4（x＋）＝2x－                                4.8÷3x＋29＝33                           1．（2024·安徽·小升初模拟）王刚比李红小3岁，比邓强大2岁。如果李红是岁，邓强是（    ）岁。 A． B． C． D． 2．（2024·河北石家庄·小升初真题）一个三位数，它的个位上的数字是a，十位上的数字是b，百位上的数字是c。这个三位数是（    ）。 A．100a＋10b＋c B．100c＋10b＋a C．100abc D．abc 3．（2024·江苏·小升初模拟）如果把一个长、宽、高分别为a厘米、b厘米和h厘米的长方体的高增加3厘米，那么这个长方体的表面积比原来增加（    ）平方厘米。 A．3ab B．3（a＋b） C．6（a＋b） D．6ab 4．（2024·重庆丰都·小升初真题）用小棒摆五边形，如图：按这个规律，摆n个五边形，需要( )根小棒；照这样摆，用97根小棒能摆( )个五边形。 5．（2024·福建莆田·小升初真题）用相同长度的小棒摆成一组有规律的图案，如图所示。第1个图案需要4根小棒，第2个图案需要10根小棒……按此规律摆下去，第7个图案需要( )根小棒。 6．（2024·重庆垫江·小升初真题）1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图。 (1)观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加( )人。 (2)如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐( )人。 (3)按这样拼下去，m张餐桌可坐( )人。（用含有字母的式子表示） 7．（2024·全国·小升初模拟）●、▲、■分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡。如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放（    ）个■。 A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2024·河南三门峡·小升初真题）一辆小汽车的牌照是豫M8L〇□△，已知〇＋〇＝□，〇＋□＋□＋5＝15，△＋△＝〇，那么牌照号码的后三位数是( )。 9．（2024·河南·小升初模拟）已知瓶子、杯子、罐子和盘子的质量有如下关系：1个瓶子＋1个杯子＝1个罐子；1个瓶子＝1个杯子＋1个盘子；2个罐子＝3个盘子。那么1个瓶子的质量等于（    ）个杯子的质量。 A．4 B．5 C．6 D．7 10．（2025·江西·小升初模拟）下面式子中，是方程的是（    ）。 A．3x＋2.5 B．x－0.8x＝1.6 C．4.5＋3.6＝8.1 D．5x＞6 11．（2024·江苏·小升初模拟）已知5x＝8y，根据等式的性质，下面的等式不成立的是（    ）。 A．25x＝40y B．5x＋7y＝15y C．2x＝8y－3x D．8x＝5y 12．（2024·上海·小升初模拟）下列等式变形正确的是（    ）。 A．若ax＝ay，那么x＝y B．若x＝y，那么x－5＝5－y C．若ax－b＝0（a≠0），那么x＝ D．若4x＝1，那么x＝4 13．（2024·上海·小升初模拟）已知方程：（1）；（2）；（3）。则所满足的方程是（    ）。 A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 14．（2024·陕西宝鸡·小升初真题）解方程。            4x－12＝28           15．（2025·四川·小升初模拟）解方程。 4x－3×（20－x）＝5x                 16．（2024·广东·小升初模拟）解方程。      7x－5×（x＋）＝x＋27     1．（2024·四川成都·小升初真题）（比较大小）（）是一个真分数，下面各分数中最大的一个是（    ）。 A． B． C． D． 2．（2025·山东·小升初模拟）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”。从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（    ）。 A．25＝9＋16 B．36＝15＋21 C．49＝18＋31 D．64＝31＋33 3．（2024·陕西西安·小升初真题）若用an表示n2的个位数字。 例如：a1表示12的个位数字，即a1＝1；a2表示22的个位数字，即a2＝4；a3表示32的个位数字，即a3＝9；a4表示42的个位数字，即a4＝6；… 则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2011＋a2012＋a2013＝( )。 4．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）某款手机充电5分钟，能够通话2小时，或者玩游戏1.5小时，某人将一部完全没电的手机充电4分钟，之后打了20分钟的电话。这部手机还能玩( )分钟的游戏。 5．（2024·江苏·小升初模拟）、、代表大小不同的3个不是0的自然数，并且满足：。那么最小是（    ）。 A．2 B．10 C．30 D．90 6．（2024·山东德州·小升初真题）刘刚在人工智能课上编制了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数（如图）。根据这个计算程序：输入数6会输出数( )；输入数( )会输出数25；如果输入数为n，则输出数为( )。 7．（2024·全国·小升初模拟）解方程或比例。      8．（2024·广东汕尾·竞赛）解方程。 （1）5（2x－2）－4x＝7（x－2）              （2）2（0.3x＋4）－5（0.2x－7）＝9 （3）6x－3（x－1）＝12－2（x＋2）            （4）＝－1 （5）＝－                （6）2x－＝2＋ （7）÷（x－0.45）＝                  （8）20%x－＝24÷ （9）x－5%x＝12.5＋10×                 （10）x－x＝÷ 37 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $$