专项10 全等三角形的综合探究-【王朝霞系列丛书】2024-2025学年七年级下册数学期末试卷精选（北师大版2024）河北专版

期末复习第2步·攻专项 专项10全等三角形的综合探究 根据最新教材及河北省最新中考考情编写 满分：40分得分： 编者按：本专项重点考查全等三角形的判定与性质的综合应用，以综合探究的方式呈现全等三角形 的常见模型、动点问题等核心压轴题，助力同学们突破期未难点， 1.〔郑州市改编〕(8分)下面是小方同学学习轴对称的相关知识时遇到的一个问题和引发的 思考，请帮助小方完成以下学习任务 (1)如图1，点M,N分别是∠AOB的边OA和OB上的点，OM=ON,点P是射线OC上一点， 测得PM=PN.请说明OP平分∠AOB. (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD+BC,点P为DC的中点，连接PB.将四边形ABCD 沿着AP所在直线翻折，点D刚好与AB上的点E重合，请判断AD与BC的位置关系，并说 明理由， M 图1 图2 2.〔望都县)(10分)如图1所示，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接 期末复习第 AD,以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角三角形ADF,连接CF,AB=AC, 2 ∠CAB=90° 步 (1)当点D在线段BC上时（不与点B重合），线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是 攻专 什么？请说明理由， (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由. D 图1 图2 河北专版数学七年级下册北师 31 3.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,P,Q分别是边AC,BC上的动 点，PD⊥AB于点D,QE⊥AB于点E,设点P,Q运动的时间是ts(t>0). (1)若点P,Q分别从A,B两点同时出发，沿AC,BC向点C匀速运动，运动速度都为每秒1 个单位长度，其中一点到达终点C后，另一点也随之停止运动.在运动过程中，△APD 和△OBE是否保持全等？判断并说明理由， (2)若点P从点C出发沿CA以每秒3个单位长度的速度向点A匀速运动，到达点A后立 刻以原来的速度沿AC返回到点C.同时，点Q仍从点B出发沿BC以每秒1个单位长度 的速度向点C匀速运动，当其中一点到达点C后，另一点也停止运动.当为何值时， △APD和△QBE全等？ 6 备用图 4.〔南宁市〕(12分)如图，等腰三角形ACB中，∠ACB=90°，AC=BC,E为射线CB上一动点， 连接AE,作AF⊥AE,且AF=AE. 期末复习第2 (1)如图1，过点F作FG⊥AC,交AC于点G,试说明：△AGF≌△ECA (2)如图2，连接BF交AC于点D,若A0 CD =3,试说明：E为BC的中点， (3)如图3，当点E在CB的延长线上时，连接BF,与AC的延长线交于点D.若 能则 ·攻专项 AD CD 图1 图2 图3 32 河北专版数学七年级下册北师因为HM平分∠CHF,EN平分LBEF, 专项10全等三角形的综合探究 所以∠MHF= ∠CHF,LRME=LBEN= 1 1.解：(1)因为0M=ON,PM=PN,OP=0P, 所以△OPM≌△OPN. LBEF. (4分) 所以∠MOP=∠NOP. 因为∠CHF=180°-∠FHD, 所以OP平分LAOB. (3分) 所以∠MaF=CF=90-PD (2)AD∥BC (4分) 所以∠GMH=∠MHD=∠MHF+∠FHD= 理由如下：由折叠的性质，得PD=PE,∠PDA= 90+m ∠PEA,AD=AE. 因为AB=AD+BC,AB=AE+BE, 因为∠GMH+∠HME+∠RME=180°， 所以BE=BC 所以90+FPHD+LHNE+号LBEF= 因为点P为DC的中点，所以PD=PC 180°， 所以PE=PC. 即HME+FHD+LBEP)=90:.(白分) 因为PB=PB,所以△PEB≌△PCB. 所以LPEB=∠PCB. (6分) 由(I)知，∠EFH=∠BEF+∠FHD. 所以∠PDA+∠PCB=∠PEA+∠PEB=18O°， 1 所以LHME+2EFH=90, 所以AD∥BC. (8分) 即∠EFH+2∠HME=180°. (9分) 2.解：(1)CF=BD,CF⊥BD. (1分) (3)180-1a+B) (12分) 理由如下：因为△ADF为等腰直角三角形， n 所以AF=AD,∠FAD=90°. 【解析】如图③，过点M作MK∥AB. 因为∠CAB=90°， M 所以∠FAD-∠CAD=∠CAB-∠CAD,即 ∠FAC=∠DAB. 图③ 因为AC=AB, 因为AB∥CD,所以MK∥AB∥CD 所以△FAC≌△DAB. (3分) 所以∠KMH=∠MHC,∠KME=∠BEN. 所以CF=BD,∠ACF=∠B 因为∠BEN=片LBEr,∠MC=日4C. 因为∠B+∠ACB=90°， 所以∠ACF+∠ACB=90°，即∠BCF=90°. ∠CHF=180°-∠FHD,∠BEF=a,∠FHD=B, 所以CF⊥BD. (5分) 所t以∠KME=L∠BEF=La,∠KMH=∠MHC= n (2)(1)中的结论仍然成立， (6分) 片180-4FHD)=180-B. 理由如下：因为△ADF为等腰直角三角形， n 所以AF=AD,∠FAD=90° 所以∠HME=∠KMH-∠KME=18O-(a n 因为∠CAB=90°， +B). 所以∠FAD+∠CAD=∠CAB+∠CAD,即 河北专版数学七年级下册北师 ∠FAC=∠DAB. (2)过点F作FG⊥AC,交AC于点G,如图① 因为AC=AB, 所以△FAC≌△DAB. (8分) 所以CF=BD,∠ACF=∠B. 因为LB+∠ACB=90°， 图① 所以LACF+∠ACB=90°，即∠BCF=90°. 与(1)同理，得△AGF≌△ECA. 所以CF⊥BD. (10分) 所以FG=AC=BC,AG=CE. 3.解：(1)△ADP≌△QEB.理由如下：根据题 意，得AP=BQ=t.因为∠C=90°，PDLAB, 因为FG⊥AC,所以∠FGD=90° QE⊥AB,所以∠ADP=∠C=∠QEB=90°.所 因为LACB=90°，所以∠FGD=∠ACB. 以∠A+∠APD=90°，∠A+∠B=90°.所以 因为∠FDG=∠BDC,所以△FGD≌△BCD ∠APD=∠B.所以△ADP≌△QEB. (4分) (6分) (2)根据题意，得当点P运动到点A时，t=8÷ 所以DG=CD. 3-号当点P返回到点C时1=8×2+3= 3； 因为20-3，所以2 CD =2所以8=号 AC 当点Q运动到点C时，t=6÷1=6 因为AG=CE,AC=BC,所以Sg=1 BC =2 所以当△APD和△QBE全等时，分为两种情 所以E为BC的中点。 (9分) 况：①当点P从点C向点A运动，即0<1< 8 (®号 (12分) 时，则CP=3t,AP=8-3t,BQ=t.因为 【解析】过点F作FGLAD,交AD的延长线于 △ADP≌△QEB,所以AP=BQ,即8-3t=k. 点G,如图②. 解得t=2. (7分) ②当点P从点4向点C运动，即19时。 因为e-营C=AC,CE=BC+B, 则AP=3t-8,BQ=t因为△ADP≌△QEB,所 所以AC、4 以AP=BQ,即3t-8=t.解得t=4. 综上所述，当t的值为2或4时，△APD和 △QBE全等. (10分) 4.解：(1)因为AF⊥AE, 所以LFAG+∠CAE=90°. 因为FG⊥AC 图② 所以LFGA=90°，∠FAG+LF=90°. 与(2)同理，得△AGF≌△ECA,△FGD≌△BCD 所以LCAE=∠F. (2分) 所以CD=DG,4AG=CB所以名=号所以 因为LACB=90°，所以LFGA=∠ACB. AC4 因为AF=AE,所以△AGF≌△ECA. (4分) CG=3 河北专版数学 七年级下册北师 10 所品-号所以20：号 -2.5=0.5.因为点P与点R关于OB对称，所 CD=3 以RN=PN=3.5.所以QR=QN+RN=4. 期末复习第3步·练真题 15.21 试卷1保定市竞秀区 16.50【解析】因为AD∥BC,所以∠1=∠DEG 一、选择题 由折叠的性质，得∠DEG=∠MEG.所以 1.B2.D3.D4.A5.C6.C ∠MED=2∠1.同理得∠MFA=2∠2.所以 7.A8.B9.A10.C ∠MED+∠MFA=2(∠1+∠2)=2×115°= 11.D【解析】根据题图可知，直线MW垂直平 230°.因为∠MED+∠MEF=180°，∠MFA+ 分线段AB,所以CB=AC.因为a∥b,∠1= ∠MFE=180°，以∠MEF+∠MFE=180 38°，所以∠CBA=∠1=38°.所以∠CAB= -∠MED+180°-∠MFA=360°-（∠MED+ ∠CBA=38°.所以∠ACB=180°-∠CBA- ∠MFA)=130°.所以∠EMF=180°-（∠MEF +∠MFE)=50°. ∠CAB=104°.故选D 12.B【解析】因为AB=AC=BC,所以∠BAC= 三、解答题 17.解：(1)原式=-3+1-4 (2分) ∠ABC=∠ACB=60°.所以∠EBD=180°- =-6. (4分) ∠ABC=120°，所以∠BED+∠BDE=180°- (2)原式=20232-(2023-1)×(2023+1) ∠EBD=60°.①正确.因为DE=DF=AD,所 (2分) 以∠DAE=∠BED,∠DAC=∠CFD.因为 =20232-20232+1 ∠BAC=∠DAE+∠DAC=60°，所以∠BED+ =1. (4分) ∠CFD=60°.②正确.因为∠BED+∠BDE= 18.解：原式=-3x3+2x2-3x2+3x=-x2 60°，所以∠BDE=∠CFD.因为∠DCF=180° (4分) -∠ACB=120°=∠EBD,ED=DF,所以 △EBD≌△DCF.③正确.因为△EBD≌ 当时，原式-（子 (6分)》 △DCF,所以BE=CD.所以CAeD=BD+BE 19.解：(1)76 (2分) +DE=BD+CD+AD=BC+AD.因为点D (2)h=6n+40 (4分) 从点B运动到点C的过程中，BC的长不变， (3)能叠放8个 (5分) AD的长先变小后变大，所以△BED周长的 理由：当n=8时，h=6×8+40=88. 变化规律是先变小后变大④错误，综上所 因为88<92，所以能叠放8个 (7分) 述，正确的是①②③.故选B. 20.解：(1)因为墙a⊥地面b,所以∠AWB= 二、填空题 ∠DNC=90° 13.10 因为∠ABN=∠NCD,AB=DC, 14.4【解析】因为点P与点Q关于0A对称，所 所以△ABN≌△DCN. 以QM=PM=2.5.所以QN=MN-QM=3 所以DN=AN. (4分) 河北专版数学七年级 下册北师