专项10 三角形的综合探究-【王朝霞系列丛书】2024-2025学年八年级下册数学期末试卷精选（北师大版）河北专版

,四边形ABCD是平行四边形， ..AE GE. ..AD BC...AD FH. (4分) ∴.∠EAG=∠EGA. (2):四边形ABCD是平行四边形 ,∠EAG+LEGA=LBEG, ∴.∠DAB=∠DCB BC=EC,.∠BEC=∠EBC=75°. LEGA-7BEG..LEGA ZGEC. ∴.∠BCE=180°-∠BEC-∠EBC=30° .AF∥EC ∴.∠DCB=∠DCE+∠BCE=40° 四边形AECF为平行四边形 (5分) ∴∠DAB=40°. (8分) (2),四边形AECF为平行四边形， 3.解：(1)①如图所示 ∴.EC=AF,AE=CF=5. △BCE翻折后为△GCE, ∴GE=BE,BC=GC (7分) :△GCE的周长为GE+CC+EC=20, ∴.BE+BC+EC=20. ..BE BC+AF=20. (3分) ∴.四边形ABCF的周长为BE+BC+AF+AE+ ②证明：由作图可知，D是BC的中点. CF=30. (10分) 6.解：(1)2 (3分) DB=DC=ZBC. (2)根据题意，AE=4(t+2)cm,BF=8tcm.当 AFC. 以A,E,C,F为顶点的四边形是平行四边形 时，AE=CF ..AF DC. 分两种情况：①当点F在点C左侧时， :AF∥BC, 则4(t+2)=24-8t. ∴.四边形ADCF是平行四边形 (6分) (2)18√/3 (8分) 解得1=号 (6分) 4.解：(1)①（或②） (3分) ②当点F在点C右侧时，则4(t+2)=8t-24. (2)若选择①.证明：四边形ABCD是平行四 解得t=8. 边形，∴.AD=BC,AD∥BC.∠DAE=∠BCF .AF=CE, 综上所述，当：的值为号或8时，以A,BC.F ..AF-EF=CE-EF,AE CF. 为顶点的四边形是平行四边形 (9分) .△ADE≌△CBF (6分) 专项10三角形的综合探究 ∴，DE=BF,AED=∠CFB. 1.解：(1)△ABC和△ADE均为等边三角形， .180°-∠AED=180°-∠CFB,即∠DEF= ∴.AB=BC=AC=6,AD=AE=3,∠BAC= ∠BFE..DE∥BF. ∠DAE=60°..△ABD≌△ACE..BD=CE. :,四边形DEBF是平行四边形 (8分) .CD=AC-AD=6-3=3, [或若选择②.证明：，四边形ABCD是平行四 AD=CD=3,即点D为AC的中点 边形， ..BDLAC. ∴.AD=BC,AD∥BC.∴.∠DAE=∠BCF. :∠ADE=∠CBF,.△ADE≌△CBF.(6分) .在Rt△ABD中，BD=√AB2-AD2=3√3. .DE=BF,∠AED=∠CFB. ∴CE=BD=3W3 (3分) ∴180°-∠AED=180°-∠CFB,即∠DEF= (2)证明：如图①，分别过点A作AMLCE于点 ∠BFE.DE∥BF. M,AN⊥BD于点N .四边形DEBF是平行四边形 (8分)月 5.解：(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， .AB∥CD ,△BCE翻折后为△GCE, ∴.BE=GE,∠BEC=∠GEC= 24BEG. :E为AB的中点， ∴.AE=BE (2分) 图① 河北专版数学 八年级下册北师 :△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°. CE=BD=313+3 2 ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD= 综上所述，线段cB的长度为3厅-3或 LCAE. 2 ∴.△ABD≌△ACE. 3W13+3 ∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE. 2 .∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠BFC, 2.解：(1)A'C∥BD,△BOD为等腰三角形.(2分) ∴∠BAC=∠BFC=60° 理由如下：根据折叠的性质，得LABD=∠A'BD, ,AM⊥CE,AN⊥BD, AB=A'B. ∴.∠AMC=∠ANB=90°. ,四边形ABCD是平行四边形， ∴，△ACM≌△ABN ∴.AB∥CD,AB=CD. ∴.AM=AN ∴.∠ABD=LCDB,A'B=CD. .FA为∠BFE的平分线. ∴.LA'BD=∠CDB..OB=OD. ∠AFB=ZAFE=BFE=I80-∠BFG)= .△BOD为等腰三角形. (5分) .A'B=CD, 60° ∴.A'B-OB=CD-OD,即OA'=OC. ∴，∠BFC=∠AFB=LAFE. (8分) ∴.∠OA'C=∠OCA' (3)CE的长为3W?-3或33+3 :∠BOD=∠A'OC,∠BOD+∠A'BD+∠CDB 2 =∠A'OC+∠OCA'+∠0A'C=180°， (10分) ∴∠CDB=∠OCA'..A'C∥BD. (7分) 【解析】分两种情况：①如图②，当点B,D,E (2)AD的长为4-2√3或2√3-2. (10分) 恰好在一条直线上且点D在B和E之间时，过 【解析】根据题意，分两种情况：①当∠A'D0= 点A作AH⊥BE于点H. 90°时，如图①. △A0E为等边三角形A0=3,01-号 在R△ADH中，AH=AD-DH=3V3 21 在R△ABH中，BH=VAB-AF=3 2 图① 图② ∠0A'D=∠A=60°，∠A'OD=30. BD=BH-DH=3√13-3 .CD∥AB,.∠ABA'=∠A'OD=30° 2 1 与(1)同理可得△ABD≌△ACE. ∠ABD=2∠ABA'=15°.过点D作DELAD .'.CE=BD= 3√13-3 交AB于点E.∠AED=30°. ∴.∠BDE=∠AED-∠EBD=15 ∴.DE=BE.设AD=x,则AE=2AD=2x. .DE=√AE-AD2=√3x.BE=√3x AE+BE=AB=2,∴.2x+√3x=2. 解得x=4-2√3..AD=4-2√3. ②当∠A'0D=90°时，如图②. 图② 图③ :CD∥AB,.∠ABA'=∠A'OD=90° ②如图③，当点B,D,E恰好在一条直线上且 .ABD -AR45. 点E在B和D之间时，过点A作AH⊥BD于点H. 过点D作DF⊥AB于点F. 与0洞理可得0A=号，Bm:3 ∴DF=BF.设AD=x.∠A=60°， 2 ..BD BH+DH= 3√13+3 ADF-30.AF 2 与(1)同理可得△ABD≌△ACE. 六DF=√AD-AF= 2t“BF= 2 河北专版数学八年级下册北师 10 。1 综上所述，平移的距离是6或10时，以A,C,O AF+BF=AB=2,2+实=2 为顶点的三角形是等腰三角形 解得x=2√3-2.∴.AD=2√3-2 综上所述，AD的长为4-2√3或2√3-2 期末复习第3步·练真题 3.解：(1)证明：，AB=AC,AD是BC边上的中线， 试卷1保定市竞秀区 ..ADLBC,BC=2BD 2CD =4. 一、选择题 ∴.∠ADB=90°，BD=2. 1.A2.C3.D4.B5.D6.D7.A8.C 9.B【解析】PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE, AD=√AB2-BD2=√(2√5P-22=4. ∴.OP平分∠AOB.D不符合题意.PD=PE, ∴.AD=BC. (3分) OP=OP,∠PE0=∠PD0=90°，∴Rt△ODP≌ (2)①AB=BE,AB⊥BE. (4分) Rt△OEP.,∠DP0=∠EPO.A,C均不符合题 理由：由旋转的性质，得CD=CE,∠DCE=90°. 意.在Rt△PCE中，CP>PE,∴.CP>PD.B符 .BD CD,.BD CE. 合题意.故选B. ∠ADB=90°，.∠ADB=∠DCE. 10.A .AD=BC,∴.△ADB≌△BCE 11.C【解析】由题意得，a=(320-200)÷6= ∴.AB=BE,∠ABD=∠BEC 20,①正确.：直到放入第4个小铁块后，发 ∠CBE+∠BEC=90°， 现有水溢出，∴.46>400-320.②不正确.根 .∠CBE+∠ABD=90°，即∠ABE=90° AB⊥BE (7分) 表超意得之网二0解得20<69 3b≤400-320. ②当平移的距离是6或10时，以A,C,0为顶 .120<6b≤160.400-200=200>160， 点的三角形是等腰三角形 (10分) .杯子中仅放人6个小铁块，水不会溢出. 【解析】连接AG.AG∥CP,AG=CP,.四边 ③正确.由①得，12a=12×20=240>200. 形ACPG是平行四边形.∴.OA=OP,OC=OG. “杯子中仅放人12个小玻璃球，水一定会溢 当以A,C,O为顶点的三角形是等腰三角形 出.④正确.综上所述，正确的有①③④.故 时，分三种情况： 选C. I.当0A=0C时，则0A=0C=0P 12.B【解析】由作图步骤，得DB=DC=BC. ∴.∠OAC=∠OCA,∠OCP=LOPC. AB=AC,∴.AD垂直平分BC.A不符合题意 ∠OAC+∠OCA+∠0CP+∠OPC=180°， :AB=AC,AD⊥BC,∴.∠BAD=∠CAD.∴AD .∠0CA+∠OCP=90°，即LACP=90°. 平分∠BAC,即点D一定在∠BAC的平分线上. .∠ACD=90°，与题目条件矛盾，此情况不 B符合题意.AD⊥BC,∴.S形AB=SAAD+ 存在 S=AD-BE+7AD-CE=ZAD-BC.C Ⅱ.当0A=AC=2W√5时，如图① 符合题意.AB=AC,∠BAC=60°，.△ABC是 ∴0P=0A=2W5..AP=45. 等边三角形..AB=BC.AB=DB.BCL 在Rt△ADP中，由勾股定理，得DP=√AP2-AD AD,.AE=DE.∴BC垂直平分AD.D不符合 =√(45y-42=8. 题意.故选B. 二、填空题 ∴.CP=DP-CD=8-2=6,即平移的距离为6. 13.3(x-3)214.x2-4x+415.x>1 16.(1)3(2)203【解析】(1)：EF=9cm, AF EF,..AF EF =9 cm..'AC=12 cm, D ∴.CF=AC-AF=3cm.(2)连接EH,过点G 图① B D C 图② 作GP⊥EH于点P,如图所示， Ⅲ.当AC=OC=2W5时，过点C作CR⊥AG于 H 点R,如图②，则CR=AD=4,AR=CD=2. 0G=0C=2w5,∴.CG=4vW5. B .GR=√CG-CR2=8. ,BC=AC,∠BAC=60°，∴△ABC为等边三 .AG=AR+GR=2+8=10,即平移的距离为10. 角形..∠ACB=60°. 河北专版数学 八年级 下册北师期末复习第2步·攻专项 王朝 专项10三角形的综合探究 根据河北省最新中考考情编写 满分：30分得分： 编者按：本专项精选期末考试中的高频考法，聚焦于特殊三角形的性质和判定，图形的变换两大核 心知识，助力同学们突破期末难点。 1.〔保定市莲池区)(10分)图中△ABC和△ADE是两个等边三角形，其中AB=6,AD=3. (1)将两三角形按图1放置（点A,D,C在同一条直线上），连接BD,CE,求线段CE的长. (2)将△ADE绕点A逆时针旋转α到图2的位置，直线BD,CE相交于点F,连接AF,求证： ∠BFC=∠AFB=∠AFE. (3)以图1的位置为起点，将△ADE绕点A逆时针旋转a(0°<a<360°)，当点B,D,E恰好 在一条直线上时，直接写出线段CE的长度 B 图1 图2 备用图 期末复习第 2.〔郑州市〕(10分)八年级某数学兴趣小组在学习过平行四边形之后，决定利用对称变换来 2步 探究平行四边形背景下特殊三角形的一类存在性问题.以下是该小组讨论的一个片段， 攻 请仔细阅读，完成下列各题， 项 (1)猜想证明：如图1，在口ABCD中，AB>AD,将△ABD沿BD翻折至△A'BD,A'B交CD 于点O,连接A'C,猜想A'C与BD之间的位置关系及△BOD的形状，并说明理由： (2)应用探究：在(1)的条件下，如图2，若∠A=60°，AB=2,当△A'OD是直角三角形时，请 直接写出AD的长. A B 图1 图2 河北专版数学八年级下册北师 31 3.〔太原市改编)(10分)综合与实践： 问题情境：数学课上，老师让每个组准备了一张如图1所示的等腰三角形纸片（即△ABC),其 中AB=AC=2√5，BC=4,AD是BC边上的中线.老师要求各个小组结合所学图形变化 的知识展开数学探究， 初步分析：(1)勤学小组发现图1中的AD与BC相等，请你证明这一结论 操作探究：(2)善思小组将△ABC纸片沿AD剪开，然后保持△ABD不动，将△ACD从图1 的位置开始移动。 ①如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△FCE,点E,F分别是D,A的对应点，连接 BE.猜想线段AB与BE之间的数量关系与位置关系，并说明理由 ②如图3，将△ACD沿射线BC方向平移得到△GPH,点G,P,H分别是A,C,D的对应点， 连接AP,CG,交于点O.当以A,C,O为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出平移的 距离 D 图1 图2 图3 期末复习第2步·攻专项 32 河北专版数学八年级下册北师