专题07 一次函数的综合题（3大题型提分练）（山西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题07 一次函数的综合题 题型概览 题型01 一次函数与图形面积的问题 题型02 一次函数与三角形的综合运用问题 题型03 一次函数与四边形的综合运用问题 一次函数与面积问题题型01 1．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，，与直线交于点，点与点关于轴对称，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)连接，求的面积． 2．（22-23八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图所示，直线与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若直线上有一点，且，求点的坐标 3．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B． (1)求该一次函数的解析式： (2)判定点是否在该函数图象上？说明理由； (3)若该一次函数的图象与x轴交于D点，求的面积． 4．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，与轴相交于点B． (1)求a，b的值； (2)在轴上存在点C，使得的面积等于的面积，求点C的坐标． (3)请根据图象直接写出不等式的解集． 5．（22-23八年级下·山西忻州·期末）综合与探究 如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，一次函数与轴交于点，与轴交于点，且它们的图像交于点．    (1)求点与点的坐标． (2)当时，求自变量的取值范围（直接写出结果）． (3)在轴上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 6．（23-24八年级下·山西朔州·期末）综合与探究 如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点． (1)求直线的函数解析式； (2)直线m垂直平分，垂足为E，交于点D．点P是直线m上一动点，且在直线上方，设点P的纵坐标为n． ①用含n的代数式表示的面积； ②当的面积为8时，点P的坐标为______． 7．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线经过，两点，点C在直线上，C的纵坐标为4． (1)求k、b的值及点C坐标； (2)若点D为直线上一动点，且的面积是面积的一半，试求点D的坐标． 8．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点． (1)直接写出点B的坐标为 ； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 9．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，直线与x轴交于点D，与直线交于点C，且点C的横坐标是． (1)求k的值及点A，D的坐标． (2)若点E的坐标是（），过点E作x轴的垂线交直线于点F，交直线于点G． ①当时，求点E的坐标； ②当时，直接写出四边形的面积． 一次函数与三角形的综合运用问题题型02 10．（22-23八年级下·山西运城·期末）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，点C在y轴上，平分． (1)求点A、B的坐标； (2)求线段的长； (3)在平面直角坐标系中是否存在点D，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 11．（23-24八年级上·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点为直线与轴的交点． (1)求点P的坐标． (2)点D是y轴上一动点，当时，求点D坐标． (3)点Q是线段上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线于点M，点N，设点Q的横坐标为m，当时，请直接写出m的值． 12．（22-23八年级下·山西吕梁·期末）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴，轴分别交于点，，两条直线交于点，且点的横坐标为；连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求的面积； (3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，等腰直角三角形OAB的三个定点分别为、、，过A作y轴的垂线.点C在x轴上以每秒的速度从原点出发向右运动，点D在上以每秒的速度同时从点A出发向右运动，当四边形ABCD为平行四边形时C、D同时停止运动，设运动时间为.当C、D停止运动时，将△OAB沿y轴向右翻折得到△，与CD相交于点E，P为x轴上另一动点. (1)求直线AB的解析式，并求出t的值. (2)当PE+PD取得最小值时，求的值. (3)设P的运动速度为1，若P从B点出发向右运动，运动时间为，请用含的代数式表示△PAE的面积. 14．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，长方形在平面直角坐标系中，若、的长满足，把沿对折 ，点B落在点处 ，线段与x轴交于点D． (1)求B、C两点的坐标 ； (2)求直线的表达式 ； (3)在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在 ，请直接写出点的坐标 ； 若不存在 ，请说明理由． 15．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，点B是第二象限一次函数的图象上一点，且，点C的坐标为． (1)求A，B的坐标； (2)若点D是线段上一点，且三角形的面积是三角形的一半，求的面积和点D的坐标； (3)在（2）的条件下，x轴是否存在一点P，使得为等腰三角形．若存在，请求出点P的坐标．若不存在，请说明理由． 16．（24-25八年级上·山西太原·期末）已知y关于x的一次函数（且k为常数），无论k为何值，函数图象必过定点F． (1)直接写出该定点F的坐标； (2)如图，当时，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，过点F作直线，点C在线段上运动，过点C作x轴的垂线交直线于点D，交直线于点E． ①当点C的坐标是，求的面积； ②以为直角边作等腰直角三角形，点G在第一象限内，直接写出点G的坐标； ③在平面内有点H，以点O，B，H为顶点的三角形与全等，直接写出点H的坐标． 一次函数与四边形的综合运用问题题型03 17．（23-24八年级下·山西临汾·期末）综合与探究：如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点． (1)求的面积； (2)过点B作轴垂线交直线于点D，过点D作轴平行线交直线于点E，过点E作轴的垂线交轴于点F． ①求线段的长； ②点G是第一象限内一点，且以G，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点G的坐标． 18．（23-24八年级下·山西临汾·期末）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将如图放置在平面直角坐标系中，点D的坐标为，直线经过点C，交x轴于点E． (1)求点C的坐标和m的值； (2)若点是线段上的动点（P不与点O，B重合），经过点P且平行于x轴的直线交于点M，交于点N．当四边形是平行四边形，求点P的坐标； (3)若点是y轴正半轴上的一个动点，当t为何值时，是等腰三角形？ 19．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线与x轴，y轴分别交于点P，C，连接，直线，交于点D． (1)求点D的坐标． (2)求的面积． (3)若点E为坐标平面内的任意一点，试探究：是否存在以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，□的顶点、、的坐标分别为，，． (1)点的坐标为________． (2)求证：□为菱形． (3)若直线上有一动点，点的横坐标为，当点在□内部不包含边界时，求的取值范围． 21．（23-24八年级下·山西忻州·期末）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，顶点的坐标为，点的坐标为为线段的中点，为线段上的一动点(不与点重合)，直线交的延长线于点． (1)当为的中点时，求直线的函数解析式． (2)求点的坐标(用含的代数式表示)． (3)当点在线段的垂直平分线上时，请直接写出直线的函数解析式． 22．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点．      (1)①直线的解析式为__________． ②若点P在y轴上，则的最小值为_______． (2)点Q在x轴上，过点Q作直线l⊥x轴，交直线于点D，交直线于点E．若，求点Q的坐标． (3)若H为坐标平面内任意一点，是否存在这样的点H，使以A，O，C，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（23-24八年级下·山西临汾·期末）综合与探究 如图1，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．      (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)如图2，在轴上有一点，过点作直线轴，交直线于点，交直线于点，若的长为3．求点的坐标； (3)在平面内找一点，使其与点、、构成平行四边形，请直接写出点的坐标． 24．（23-24八年级下·山西大同·期末）【建立模型】：如图1，已知，，，顶点在直线上． 【操作】：过点作于点，过点作于点．求证：． 【模型应用】： （1）如图2，在直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转得到．求的函数表达式． （2）如图3，在直角坐标系中，点，作轴于点，作轴于点是线段上的一个动点，点位于第一象限内．问点能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时的值，若不能，请说明理由． 1．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，一次函数的图象与一次函数的图象交于点A，与y轴交于点B，根据图象，解决下列问题： (1)根据图象直接写出方程组的解； (2)直线与x轴交于点C，连接，求的面积． 2．（22-23八年级下·山西吕梁·期末）如图，一次函数的图象经过点，交轴于点B，直线交轴于点C，交轴于点D，与直线交于点E． (1)若，请求出的值并确定直线的解析式； (2)在（1）的条件下，请求出四边形的面积． 3．（22-23八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，直线经过点和，点B的坐标为，点P是线段上的动点（点P不与点A重合），直线恒过x轴负半轴上的点D与点P， ，并与交于点M． (1)求直线的函数表达式； (2)当直线的函数表达式为时， ① 求点M的坐标； ② 求； (3)点P在移动的过程中，设直线的表达式为，求点D的坐标及k的取值范围． 4．（23-24八年级下·山西朔州·期末）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，线段两端点的坐标分别为，，线段两端点的坐标分别为，． (1)求所在直线的函数解析式． (2)如图，点P从点C出发向点D运动，速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒． ①当直线与线段有交点时，求t的取值范围． ②当时，平面内存在一点Q，满足轴，且的值最小，请直接写出符合条件的点Q的坐标． 5．（22-23八年级下·山西阳泉·期末）综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C．    (1)直接写出k，b，m的值． (2)如图2，P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线，于点D，E，连接．设点P的坐标为． ①点D的坐标为 ，点E的坐标为 ；（用含n的代数式表示） ②当时，求点P的坐标． (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（22-23八年级下·山西临汾·期末）如图①，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点．    (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)点P在y轴上，若的面积为6，求点P的坐标； (3)如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值． 7．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，过A（0，6），B（6，0）两点的直线与直线y=x交于点F，平行于y轴的直线l从y轴出发，以每秒0.5个单位长度的速度沿x轴向右平移，到达F点时停止．直线l分别与AB，OF交于点C、D．以CD为斜边向左侧作等腰直角三角形，设与重叠部分图形的周长为p，直线l的运动时间为t秒． (1)求直线AB的解析式及点F的坐标． (2)当点E落在y轴上时，求p的值． (3)试探究当直线l从y轴出发，向右移动过程中，p与t的函数关系式（直线l在y轴上与经过F点的两种情况不考虑）． 8．（22-23八年级上·山西晋中·期末）如图，直线和直线与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线与y轴相交于点． (1)求点A的坐标及直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)试探究在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一次函数的综合题 题型概览 题型01 一次函数与图形面积的问题 题型02 一次函数与三角形的综合运用问题 题型03 一次函数与四边形的综合运用问题 一次函数与面积问题题型01 1．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，，与直线交于点，点与点关于轴对称，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】主要考查了待定系数法求直线解析式、一次函数图像与性质、坐标与图形等知识，解题的关键是求出直线的解析式． （1）首先确定点坐标，根据点的对称性质求得点的坐标，然后利用待定系数法确定直线解析式即可； （2）首先确定点坐标，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：对于直线，当时，可有， ∴ ∵点与点关于轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为； （2）联立方程组，解得， ∴， ∵，，， ∴． 2．（22-23八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图所示，直线与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若直线上有一点，且，求点的坐标 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数与坐标轴围成的三角形面积问题，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可确定为底边，为高，进而利用面积公式建立等式求解即可． 【详解】（1）解：（1）设直线的解析式为：，将点，点代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：如图，以为底，为高， ， ，， 解得：或， 将代入中得：， 将代入中得：， 点的坐标为或． 3．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B． (1)求该一次函数的解析式： (2)判定点是否在该函数图象上？说明理由； (3)若该一次函数的图象与x轴交于D点，求的面积． 【答案】(1) (2)点在该函数图象上 (3) 【分析】本题主要考查一次函数，掌握待定系数法是解题的关键． （1）首先求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）把C的坐标代入一次函数的解析式进行检验即可； （3）首先求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴点B的坐标为， 设一次函数的解析式为：，把和代入得 ，解得 ∴一次函数的解析式为； （2）当时，， ∴点在该函数图象上； （3）解：令，则，解得， ∴点D的坐标为， ∴． 4．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，与轴相交于点B． (1)求a，b的值； (2)在轴上存在点C，使得的面积等于的面积，求点C的坐标． (3)请根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是： （1）利用正比例函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出b的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合的面积等于的面积，即可得出点C的坐标； （3）根据A、D的坐标，结合图象即可求得． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴； （2）解：由（1）知， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴， 设， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得， ∴C的坐标为或； （3）解：设与y轴相交于D， 当时，， ∴， 由图象得， 当时，一次函数 的图象在正比例函数的图象的上方，且在直线的下方， ∴不等式的解集为． 5．（22-23八年级下·山西忻州·期末）综合与探究 如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，一次函数与轴交于点，与轴交于点，且它们的图像交于点．    (1)求点与点的坐标． (2)当时，求自变量的取值范围（直接写出结果）． (3)在轴上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) ， ； (2)； (3) 【分析】（1）由于与相交于点，可以求出与的中的，的值，进而确定与的函数解析式，根据一次函数与分别与轴相交于、两点，列出对应的方程，即可求出、两点坐标． （2）通过观察与的函数图象，就能发现当自变量时，． （3）要使，就要找到两个三角形共同的底，即为，设点到的距离是，点到的距离是，通过三角形面积公式的比较，得出，从而得到，最后得到点坐标． 【详解】（1）一次函数与一次函数的图像交于点， ， 解得：， 一次函数的表达式：，． 设点坐标为，点坐标为， 又一次函数与轴交于点，一次函数与轴交于点， ， 解得：， 点坐标为，点坐标为． （2）由函数图象可知，在点时，， 在点右侧，的图象在图象的上方， 即，自变量的取值范围是． （3）如下图，以为底，设点到的距离是，点到的距离是，    ，， ， ， 即点到的距离与点到的距离相等， 点的纵坐标为， ． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 6．（23-24八年级下·山西朔州·期末）综合与探究 如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点． (1)求直线的函数解析式； (2)直线m垂直平分，垂足为E，交于点D．点P是直线m上一动点，且在直线上方，设点P的纵坐标为n． ①用含n的代数式表示的面积； ②当的面积为8时，点P的坐标为______． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）用待定系数法求出的解析式即可； （2）①由题知直线m垂直平分可知，将代入直线的解析式可求得点的坐标，设点的坐标为，然后依据可得到的面积与n的函数关系式； ②由得到关于n的方程可求得的值，从而得到点的坐标． 【详解】（1）解：把点，点代入直线得： ， 解得：， 直线的函数解析式：； （2）解：①∵直线m垂直平分，垂足为E，交于点D， ∴， ∴点D的横坐标为， ∵将代入得：， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴． ∴， ； ②∵， ∴， 解得：． ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用、割补法求面积、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合思想思考并解决问题． 7．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线经过，两点，点C在直线上，C的纵坐标为4． (1)求k、b的值及点C坐标； (2)若点D为直线上一动点，且的面积是面积的一半，试求点D的坐标． 【答案】(1)，， (2)D点坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的综合，涉及待定系数法求解析式和三角形的面积， （1）利用待定系数法求出一次函数解析式，从而得到k、b的值，结合C的纵坐标所对应的自变量的值得到C点坐标； （2）设，利用三角形面积公式求出t，从而得到D点坐标． 【详解】（1）解：依题意得：   解得 ∴ ∵点C在直线AB上，C的纵坐标为4 ， 解得： ∴点C坐标为 （2）由（1）得： 设， ∵，， ∴，， ∵的面积是面积的一半， ∴ 解得或， ∴D点坐标为或． 8．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点． (1)直接写出点B的坐标为 ； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解：由直线可知：令，则， ∴； （2）解： ， ∴点与轴的距离是2， ∵， 的面积； （3）解：存在； 由（2）知的面积为， ， 设， ， ， 或， 代入直线得，或， 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点，坐标与图形以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 9．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，直线与x轴交于点D，与直线交于点C，且点C的横坐标是． (1)求k的值及点A，D的坐标． (2)若点E的坐标是（），过点E作x轴的垂线交直线于点F，交直线于点G． ①当时，求点E的坐标； ②当时，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)，点A的坐标是，点D的坐标是 (2)①点E的坐标是；② 【分析】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、一次函数与坐标轴的交点以及与坐标轴围成的面积， 把代入求得点C的坐标，进一步代入求得的k值，令求得点A的坐标，令，求得点D的坐标； ①由题意得点F的坐标是，点G的坐标是，即可求得，．结合题意列出方程求得a，即可知点E的坐标； ②由题意得点E的坐标为．可得，进一步求得点F的坐标和点G的坐标，即可得和，利用分割法即可求得． 【详解】（1）解：把代入，得． ∴点C的坐标是． 把点代入，得，解得． ． 对于，令，得，解得， 点A的坐标是． 对于，令，得，解得． 点D的坐标是． （2）①∵点E的坐标是（）， ∴点E在点C的右侧． 轴， ∴点F的坐标是，点G的坐标是． ，． ， ，解得． ∴点E的坐标是． ②当时，点E的坐标为． ∵点D的坐标为， ． 把代入，得． ∴点F的坐标为． 把代入，得． ∴点G的坐标为． ，． ． 一次函数与三角形的综合运用问题题型02 10．（22-23八年级下·山西运城·期末）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，点C在y轴上，平分． (1)求点A、B的坐标； (2)求线段的长； (3)在平面直角坐标系中是否存在点D，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为、B的坐标为； (2)； (3)点D的坐标为或或或． 【分析】（1）令，求得；令，求得；即可求解； （2）证明，设，则，，利用勾股定理列方程求解即可； （3）分四种情况讨论．如图，作轴于点F，证明，可求点D的坐标；其他也同样画出图形，作出辅助线，同法求解即可． 【详解】（1）解：令，则，解得； 令，则； ∴点A的坐标为、B的坐标为； （2）解：过点C作于点E， ∵点A的坐标为、B的坐标为， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵，即， 解得， ∴； （3）解：如图，作轴于点F， 由题意得，， ∵， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为； 同理，点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为； ∴点D的坐标为或或或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了求一次函数图象与坐标轴的交点，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键． 11．（23-24八年级上·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点为直线与轴的交点． (1)求点P的坐标． (2)点D是y轴上一动点，当时，求点D坐标． (3)点Q是线段上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线于点M，点N，设点Q的横坐标为m，当时，请直接写出m的值． 【答案】(1)点P的坐标为； (2)点D的坐标为或； (3)或8． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积． （1）联立解析式，构成方程组，解方程组即可求解； （2）求得点C与点E的坐标，利用三角形面积公式，列式，求解即可； （3）点Q的横坐标为m，由轴，得点Q，M，N三点横坐标都为m，求得点M坐标为，点N坐标为，根据列式求得即可． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点P， ∴联立方程组， 解得， ∴点P的坐标为； （2）解：如图，设点D的坐标为，点E为直线与轴的交点， 令，则； 令，则，解得； ∴点C的坐标为，点E的坐标为， ∴， 由题意得， 解得或， ∴点D的坐标为或； （3）解：点Q的横坐标为m， ∵轴， ∴点Q，M，N三点横坐标都为m， ∴点M坐标为，点N坐标为， ∴，， 由题意得， 整理得或， 解得：或． 12．（22-23八年级下·山西吕梁·期末）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴，轴分别交于点，，两条直线交于点，且点的横坐标为；连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求的面积； (3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为， 【分析】（1）根据题意得出，进而求得的解析式； （2）由，当时，；当时，，可得点，，进而得出，根据三角形的面积公式即可求解． （3）当时，可得，根据，，，即可求解，勾股定理的逆定理可得，进而可得，当时，，则点与点重合，根据矩形的性质以及平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：点在上，点的横坐标为， 当时，， ， 将点和代入中， 得：， 解得． 直线的函数解析式为：； （2）直线与轴，轴分别交于点，， 当时，；当时， 点，， ， ． ，； （3）当时，轴，则的纵坐标为， 将代入，解得：，即， ∵，， ∴ ，，， ∴，，， ∴，即， 则 当时，，则点与点重合， ∵到可以看作向左平移个单位，向上平移个单位， 则点可以看作点向左平移个单位，向上平移个单位，得到 ∴满足条件的点的坐标为，． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，等腰直角三角形OAB的三个定点分别为、、，过A作y轴的垂线.点C在x轴上以每秒的速度从原点出发向右运动，点D在上以每秒的速度同时从点A出发向右运动，当四边形ABCD为平行四边形时C、D同时停止运动，设运动时间为.当C、D停止运动时，将△OAB沿y轴向右翻折得到△，与CD相交于点E，P为x轴上另一动点. (1)求直线AB的解析式，并求出t的值. (2)当PE+PD取得最小值时，求的值. (3)设P的运动速度为1，若P从B点出发向右运动，运动时间为，请用含的代数式表示△PAE的面积. 【答案】（1）；（2）； (3)①当时，S△PAE=,②当时, S△PAE=. 【分析】（1）设直线AB为，把B(-3,0)代入，求得k，确定解析式；再设设秒后构成平行四边形，根据题意列出方程，求出t即可； （2）过E作关于轴对于点,连接EE′交x轴于点P,则此时PE+PD最小.由（1）得到当t=2时，有C（，0），D(,3)，再根据AB∥CD，求出直线CD和AB1的解析式，确定E的坐标；然后再通过乘法公式和线段运算，即可完成解答. （3）根据（1）可以判断有和两种情况，然后分类讨论即可. 【详解】（1）解：设直线AB为，把B(-3,0)代入得： ∴ ∴ 由题意得： 设秒后构成平行四边形，则 解之得：， （2）如图:过E作关于轴对于点, 连接EE′交x轴于点P,则此时PE+PD最小. 由（1）t=2得： ∴C（，0），D(,3) ∵AB∥CD ∴设CD为 把C（，0）代入得 b1= ∴CD为： 易得为： ∴ 解之得：E(,) ∴ (3)①当时 S△PAE=S△PAB1-S△PEB1= ②当时： S△PAE=S△PAB1-S△PEB1= 【点睛】本题是一次函数的综合题型，主要考查了用待定系数求一次函数的关系式，点的坐标的确定，动点问题等知识点.解题的关键是扎实的基本功和面对难题的自信. 14．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，长方形在平面直角坐标系中，若、的长满足，把沿对折 ，点B落在点处 ，线段与x轴交于点D． (1)求B、C两点的坐标 ； (2)求直线的表达式 ； (3)在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在 ，请直接写出点的坐标 ； 若不存在 ，请说明理由． 【答案】(1)B点坐标为，C点坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）先根据与满足的方程以及非负数的性质得出、的长，再由矩形对边相等可得出、的长，由A、C在坐标轴上即可得出B、C的坐标； （2）根据三角形全等，得出的长，再根据两点之间的距离公式即可得出的坐标，根据待定系数法可得出的解析式； （3）设，，得到，则，，，再根据勾股定理分情况列方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴B点坐标为，C点坐标为． （2）解：根据折叠可知：， ∴，， ∵，， 设的坐标为， ∵，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴的坐标为， 设的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴的解析式为． （3）解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ， ①当为直角时，， 故， 解得，则； ②当为直角时，， 即 此时无解； ③当为直角时，， 即， 解得，则； 综上可得，P为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，两点间距离公式，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握勾股定理． 15．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，点B是第二象限一次函数的图象上一点，且，点C的坐标为． (1)求A，B的坐标； (2)若点D是线段上一点，且三角形的面积是三角形的一半，求的面积和点D的坐标； (3)在（2）的条件下，x轴是否存在一点P，使得为等腰三角形．若存在，请求出点P的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为： (2)的面积是12；点的坐标为 (3)或或或或 【分析】（1）先求点A的坐标，根据三角形面积公式可知：，可得的横坐标为：，因为点是第二象限一次函数的图象上一点，可得的坐标； （2）根据可得面积；利用三角形中线的性质：将面积分为相等的两部分，反之，可知：D是的中点，利用中点坐标公式或构建直角三角形得点的坐标； （3）分为三种情况分类讨论即可求解； 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是第二象限一次函数的图象上一点， ∴的横坐标为：， 则， ∴点的坐标为：； （2）解：如图，过点作轴，过点作轴于点，交于点， ∵点的坐标为， ， ， ∵点是线段上一点，且三角形的面积是三角形的一半， ∴点是的中点， ∴点的坐标为：； （3）解：设， ∵，， ∴， ∵为等腰三角形， 当时，，解得：或， 则或； 当时，，解得：或， 则或； 当时，，解得： 则； 综上，或或或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点、三角形面积、等腰三角形的性质、勾股定理、中点坐标公式，第三问有难度，利用分类讨论的思想，与方程相结合，是解决问题的关键． 16．（24-25八年级上·山西太原·期末）已知y关于x的一次函数（且k为常数），无论k为何值，函数图象必过定点F． (1)直接写出该定点F的坐标； (2)如图，当时，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，过点F作直线，点C在线段上运动，过点C作x轴的垂线交直线于点D，交直线于点E． ①当点C的坐标是，求的面积； ②以为直角边作等腰直角三角形，点G在第一象限内，直接写出点G的坐标； ③在平面内有点H，以点O，B，H为顶点的三角形与全等，直接写出点H的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或；③点H的坐标或或． 【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）将一次函数变形，根据图象过定点，得到与k值无关，可求出x、y的值，即可确定定点的坐标即可； （2）根据已知条件得到点A坐标为；点B坐标为．①求得直线的解析式为，得到C的坐标是，求得，根据三角形的面积公式求解即可；②如图：过点F作轴于N，过点G作轴于M，求得，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，再确定点G的坐标即可；同理可得：当时，点G的坐标；③当时，，根据对称性得；当时，，根据全等三角形的性质和平行四边形的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数（且k为常数）， ∴， ∵不论k为何值，上式都成立， ∴， ∴． ∴无论k 为何值，函数图象必过定点． （2）解：当时，一次函数可化为， 当时，；当时，，即， ∴点A坐标为；点B坐标为． ①∵， ∴直线的解析式为， ∴C的坐标是， ∴当时，， ∴， ∴的面积； ②如图：过点F作轴于N，过点G作轴于M， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：当时，； 综上，点G的坐标为或； ③如图，∵是公共边，故有两种情况： 当时，， 根据对称性得； 当时，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴中点的坐标为， ∵， ∴由中点坐标公式得， 当时，． 综上所述，在平面内有点H，以点O，B，H为顶点的三角形与全等，点H的坐标或或． 一次函数与四边形的综合运用问题题型03 17．（23-24八年级下·山西临汾·期末）综合与探究：如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点． (1)求的面积； (2)过点B作轴垂线交直线于点D，过点D作轴平行线交直线于点E，过点E作轴的垂线交轴于点F． ①求线段的长； ②点G是第一象限内一点，且以G，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点G的坐标． 【答案】(1)36 (2)①；②存在这样的点G坐标为或或． 【分析】本题主要考查一次函数，方程组，三角形的面积以及平行四边形的性质，坐标与图形等知识： （1）分别令直线的解析式中，求出x的值，从而得出点A、B的坐标，联立直线的解析式成方程组，解方程组即可求出交点C的坐标，利用三角形的面积公式即可求出的面积； （2）①分别求出点，，的坐标，据此即可求解；②分，为对角线，，为对角线，，为对角线，分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：令直线中，则， 解得，， ∴； 令直线中，则， 解得，， ∴， ∴． 联立直线的解析式成方程组，， 解得，， ∴交点C的坐标为， ∴； （2）解：①∵，且轴，点D在上， ∴， ∴， 当时，解得， ∴， ∵轴， ∴； ②∵，，， 设， 当，为对角线， ∴，， 解得，，， 所以，点G坐标为； ②当，为对角线时， ∴，， 解得，，， 所以，点G坐标为； ③当，为对角线时， ∴，， 解得，，， 所以，点G坐标为； 综上所述，存在这样的点G坐标为或或． 18．（23-24八年级下·山西临汾·期末）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将如图放置在平面直角坐标系中，点D的坐标为，直线经过点C，交x轴于点E． (1)求点C的坐标和m的值； (2)若点是线段上的动点（P不与点O，B重合），经过点P且平行于x轴的直线交于点M，交于点N．当四边形是平行四边形，求点P的坐标； (3)若点是y轴正半轴上的一个动点，当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1)， (2) (3)当或4或时，△CDP是等腰三角形 【分析】(1)根据确定，计算，结合平行四边形性质确定点C的坐标，将其代入解析式即可确定m的值． (2)根据解析式确定E的坐标，计算利用，，表示M，N的坐标，根据列出等式计算即可． (3)分三种情形计算即可． 【详解】（1）∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴，， ∵点D的坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 将）代入， 得， 解得． （2）∵直线与x轴交于点E， ∴E的坐标为， ∵点D的坐标为， ∴． ∵直线，与过点且平行x轴的直线分别交于点N，M， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得． 故． （3）∵，， ∴， ∵点D的坐标为，， ∴，． 当，则． 解得（舍去）． 当，则点P与B重合．此时，． 当时，则． 解得． 综上所述，当或4或时，△CDP是等腰三角形． 【点睛】本题考查了一次函数解析式的确定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，两点间的距离公式，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，两点间的距离公式是解题的关键． 19．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线与x轴，y轴分别交于点P，C，连接，直线，交于点D． (1)求点D的坐标． (2)求的面积． (3)若点E为坐标平面内的任意一点，试探究：是否存在以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，， 【分析】（1）根据题意得，解方程组可得出答案； （2）求得的解析式，由，当时，；当时，，可得点，，进而得出，根据三角形的面积公式即可求解； （3）分三种情况，根据平行四边形的性质分别求解即可． 本题考查了一次函数的性质，两一次函数的交点坐标，平行四边形的性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线与x轴，y轴分别交于点P，C， ∴， 解得， 点的坐标为； （2）解：由题意可知，，． ． ，点的坐标为， ； （3）解：存在， ． ，，， 以点，，，为顶点的四边形是平行四边形可分三种情况， ①若以为对角线， 则 ∴ 则点的坐标为： ②若以为对角线， 则 则点； ③若以为对角线， ，； 综上所述，点的坐标为，， 20．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，□的顶点、、的坐标分别为，，． (1)点的坐标为________． (2)求证：□为菱形． (3)若直线上有一动点，点的横坐标为，当点在□内部不包含边界时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合平移的性质，即可求解； （2）根据点的坐标特征可得，进而根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解； （3）先求直线与相交，进而待定系数法求得直线的解析式，联立，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别为，，． ∴从平移到的平移方式是向左平移1个单位，向下平移2个单位 ∴ 向左平移1个单位，向下平移2个单位得到， 故答案为：． （2）证明：∵点、、、的坐标分别为，，． ∴轴，轴 ∴ ∴平行四边形是菱形； （3）解：∵ 当时，随的增大而减小， 当时，，当时， 又∵的纵坐标为，， ∴当与的交点在上， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得： ∴ 设直线的解析式为 将，代入得， 解得： ∴ 联立，解得：， 联立，解得： ∵点的横坐标为，当点在内部（不包含边界）时， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，坐标与图形，一次函数与几何图形综合，待定系数法求直线解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21．（23-24八年级下·山西忻州·期末）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，顶点的坐标为，点的坐标为为线段的中点，为线段上的一动点(不与点重合)，直线交的延长线于点． (1)当为的中点时，求直线的函数解析式． (2)求点的坐标(用含的代数式表示)． (3)当点在线段的垂直平分线上时，请直接写出直线的函数解析式． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）先求出点M、N的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）用待定系数法求出直线的函数解析式，再根据点Q的横坐标是2，点Q在直线上求解即可； （3）运用垂直平分线的性质得出，即，再根据两点间的距离公式求出和，从而建立方程求出n，从而代入（2）中结论得解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，顶点的坐标为，点的坐标为， ∴， 又∵为线段的中点， ∴ ∵点的坐标为，为的中点， ∴， 设直线的函数解析式为． 将点代入， 得解得 直线的函数解析式为． （2）设直线的函数解析式为． 将点代入， 得解得 直线的函数解析式为． 将代入上式，得， 点的坐标为． （3）．理由如下： 点在线段的垂直平分线上， ， ， ∵，，， ，， ， 解得， 由（2）可知直线的函数解析式为． 将点代入得：直线的函数解析式为． 22．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点．      (1)①直线的解析式为__________． ②若点P在y轴上，则的最小值为_______． (2)点Q在x轴上，过点Q作直线l⊥x轴，交直线于点D，交直线于点E．若，求点Q的坐标． (3)若H为坐标平面内任意一点，是否存在这样的点H，使以A，O，C，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)点Q的坐标为或； (3)存在，点H的坐标为或或． 【分析】（1）①将点的坐标代入直线的解析式即可得出的值，即得点坐标，再用待定系数法求直线的表达式即可；②作点A关于y轴的对称点，连接交轴于点P，连接，此时的值最小，据此求解即可； （2）设点的坐标为，根据点、点、点在同一直线上，写出点、点的坐标，利用，列方程求解即可； （3）存在；根据平行四边形的性质，可知一定存在3个这样的点，规律为、坐标之和等于、坐标之和，设出代入即可得出的坐标． 【详解】（1）①点在直线上， ， 解得， ； 将，代入直线，得： ， 解得， 直线的解析式为：； 故答案为：； ②如图，作点A关于y轴的对称点，连接交轴于点P，连接，此时的值最小，     点关于y轴的对称点，， 的最小值为， 故答案为：； （2）根据题意设点坐标为， 点、、三点在同一直线上，且点在直线上，点在上， ，， 又， ， 解得或， 点Q的坐标为或； （3）存在， 如图所示： ，， 若以为对角线， 则， 的横坐标为，的纵坐标与点的纵坐标相等， 点的坐标为：； 同理若以为对角线， 则， 点； 若以为对角线， 则点与点 可得； 点的坐标为：或或． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，线段之和最短问题以及平行四边形的性质等等有关知识，有一定的综合性，难度中等偏上．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 23．（23-24八年级下·山西临汾·期末）综合与探究 如图1，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．      (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)如图2，在轴上有一点，过点作直线轴，交直线于点，交直线于点，若的长为3．求点的坐标； (3)在平面内找一点，使其与点、、构成平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)点C的坐标为；直线的表达式为 (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为或或 【分析】（1）将点的坐标代入直线的解析式即可得出的值，即得点坐标，再用待定系数法求直线的表达式即可； （2）设点的坐标为，根据点、点、点在同一直线上，写出点、点的坐标，利用，列方程求解即可； （3）根据题意在平面内找一点，使其与点、、构成平行四边形，则分为对角线；为对角线；为对角线；三种情况分别求出点坐标即可． 本题主要考查一次函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质：对角线互相平分，两点间距离等知识点，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）解： 点在直线上， ， 解得， ； 将，代入直线，得： ， 解得， 直线的解析式为：； （2）根据题意设点坐标为， 点、、三点在同一直线上，且点在直线上，点在上， ，， 又， ， 解得或， 点的坐标为或； （3）解：设， ∵直线的解析式为：与轴交于点 ∴ ∴ ∵在平面内找一点，使其与点、、构成平行四边形 当为对角线； ∴ 则 ∵，， ∴ ∴ ∴ 当为对角线； ∴ 则 ∵，， ∴ ∴ ∴ 当为对角线； ∴ 则 ∵，， ∴ ∴ ∴ 综上：或或 24．（23-24八年级下·山西大同·期末）【建立模型】：如图1，已知，，，顶点在直线上． 【操作】：过点作于点，过点作于点．求证：． 【模型应用】： （1）如图2，在直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转得到．求的函数表达式． （2）如图3，在直角坐标系中，点，作轴于点，作轴于点是线段上的一个动点，点位于第一象限内．问点能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时的值，若不能，请说明理由． 【答案】操作：见解析；模型应用：（1）直线的解析式为：；（2）点能构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，的值为或 【分析】操作：根据同角的余角相等得出，利用“”证明即可； 模型应用： （1）求出，，得到，，过点作交直线于点，过点作轴于，证明得出，，从而得到，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）分两种情况分别画出图形，利用等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，分别建立一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】操作： 证明：如图，过点作于点，过点作于点， ， 则， ，， ， 在和中， ， ； 模型应用： （1）在直线中，当时，，当时，，解得， ，， ，， 如图，过点作交直线于点，过点作轴于， ， 则， ，， ， 将直线绕着点顺时针旋转得到， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：； （3）点位于第一象限内， 点是直线上的一点， 点，作轴于点，作轴于点， ，， 如图，当在下方时，是等腰直角三角形，过点作轴，分别交轴和直线于点、， ， 则，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 解得：； 如图，当Q在上方时，是等腰直角三角形，过点作轴，分别交轴和直线于点、， ， 则，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，点能构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，的值为或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、一次函数与轴的交点问题、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 1．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，一次函数的图象与一次函数的图象交于点A，与y轴交于点B，根据图象，解决下列问题： (1)根据图象直接写出方程组的解； (2)直线与x轴交于点C，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质、一次函数与二元一次方程组、一次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先根据函数图象可得，根据两一次函数图像的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解即可解答； （2）先根据函数图象可得，即；再求得，即；再运用割补法求解即可． 【详解】（1）解：根据函数图象可得， ∵方程组可化为，一次函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴方程组的解为． （2）解：根据函数图象可得，即； ∵直线与x轴交于点C， ∴令，则，即点，则， ∴． 2．（22-23八年级下·山西吕梁·期末）如图，一次函数的图象经过点，交轴于点B，直线交轴于点C，交轴于点D，与直线交于点E． (1)若，请求出的值并确定直线的解析式； (2)在（1）的条件下，请求出四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点代入即可解得的值，再根据确定、两点的坐标，将、两点的坐标代入直线的解析式即可． （2）先确定交点的坐标，然后根据四边形的面积进行计算． 【详解】（1）解：将点代入中， 得：， 解得 ， ， ， ， ， ，， 设直线的解析式为， 把，分别代入中， 得：， 解得， 直线的解析式为． （2）解：联立， 解得， ， ，，， ，，， ， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法和求两直线的交点坐标是解决本题的关键． 3．（22-23八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，直线经过点和，点B的坐标为，点P是线段上的动点（点P不与点A重合），直线恒过x轴负半轴上的点D与点P， ，并与交于点M． (1)求直线的函数表达式； (2)当直线的函数表达式为时， ① 求点M的坐标； ② 求； (3)点P在移动的过程中，设直线的表达式为，求点D的坐标及k的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②； (3)；． 【分析】（1）设直线的表达式为，利用待定系数法求出和的值，即可得到直线的函数表达式； （2）①联立直线和直线，求解即可得到点M的坐标； ②根据点P是线段上的动点，得到点P的纵坐标为2，代入直线函数关系式，求出，得到，即可求出； （3）根据，求出，即可得到点D的坐标，分别求出直线经过点、和、时的值，即可得到k的取值范围． 【详解】（1）解： 直线经过点和， 设直线的函数表达式为， ，解得：， 直线的函数表达式为； （2）解：①直线和直线相交于点M， ，解得：， 点M的坐标为； ②，，点P是线段上的动点， 点P的纵坐标为2， 点P在直线上， ， ， ， ，， ； （3）解：， ， ， ， 点D在x轴负半轴上， ， 无论取何值，直线：恒过x轴负半轴上的点D， 当直线经过点和时，得， ， 当直线经过点和时，得， ， 点P不与重合， k的取值范围为：． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形面积公式，两直线交点坐标，二元一次方程组的应用等知识，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键． 4．（23-24八年级下·山西朔州·期末）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，线段两端点的坐标分别为，，线段两端点的坐标分别为，． (1)求所在直线的函数解析式． (2)如图，点P从点C出发向点D运动，速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒． ①当直线与线段有交点时，求t的取值范围． ②当时，平面内存在一点Q，满足轴，且的值最小，请直接写出符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1)所在直线的函数解析式为 (2)①；② 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，一次函数图象上点坐标的特征，动点等问题，解题的关键是用含t的代数式表示相关点的坐标． （1）用待定系数法求出函数关系式即可； （2）①先求出所在直线的函数解析式为，令，则．解得，可得，将点代入，得，解得，可得．令，则，解得，可得，最后确定t的范围即可； ②作点C关于的对称点．连接，由对称可知，直线与的交点即为符合条件的点Q．求出直线的函数解析式为，将代入上式，得，从而可得答案． 【详解】（1）解：设所在直线的函数解析式为． 将点，代入上式，得， 解得． 所在直线的函数解析式为； （2）解：①设所在直线的函数解析式为． 将点代入上式，得，解得， ． 令，则．解得， ； 将点代入，得，解得， ． 令，则，解得， ， ． ②． 当时，，则点． 轴点Q的横坐标为，即点Q在直线上． 如图，作点C关于的对称点．连接． 由对称可知，直线与的交点即为符合条件的点Q． 设直线的函数解析式为． 将点，代入， 得，解得， 直线的函数解析式为． 将代入上式，得， 点． 5．（22-23八年级下·山西阳泉·期末）综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C．    (1)直接写出k，b，m的值． (2)如图2，P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线，于点D，E，连接．设点P的坐标为． ①点D的坐标为 ，点E的坐标为 ；（用含n的代数式表示） ②当时，求点P的坐标． (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①，；②点的坐标为或 (3)点的坐标为时，点的坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为 【分析】（1）把代入，求得，得直线的解析式为，把代入，求得，得点，将其代入，即可求得的值； （2）①将代入，分别求出即可求解； ②由两点坐标可得，当时，即，求得，即可； （3）由（2）可知点的坐标为或， 分两种情况，当点的坐标为时，当点的坐标为时，再根据，，，求出，再结合点在线段上，且即可得点点的坐标． 【详解】（1）解：把代入，得，解得：， 即直线的解析式为：， 把代入，得，解得：， 即， 把代入，得，解得：； （2）①∵，过点P作y轴的垂线，分别交直线，于点D，E， ∴对于，当时，，可得，即：， 对于，当时，，可得，即：， 故答案为：，； ②由①知，，则， ∵， ∴， 当时，即：，解得：或， 此时，点的坐标为或； （3）由（2）可知点的坐标为或， 当点的坐标为时，此时点，则， ∵，点在线段上，且 ∴，即：，解得：， ∴，即，    当点的坐标为时，此时点，则， ∵，点在线段上，且 ∴，即：，解得：， ∴，即； 综上，点的坐标为时，点的坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为． 【点睛】此题考查了一次函数的综合题，图形与坐标，三角形的面积，解题的关键是利用数形结合的思想． 6．（22-23八年级下·山西临汾·期末）如图①，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点．    (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)点P在y轴上，若的面积为6，求点P的坐标； (3)如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值． 【答案】(1)，直线AB的表达式； (2)点P的坐标为或； (3)m的值为4或6或3． 【分析】（1）将点的坐标代入直线可得出的值，即得点坐标，再用待定系数法求直线的表达式即可； （2）设点的坐标为，先求出点B的坐标，然后根据 的面积为4求解即可； （3）分三种情况：当时，过点作轴于，过点作轴于，当时，过点作轴于，延长交直线于，当时，过点作直线于，过点作直线于，分别利用全等三角形的判定和性质列出方程即可得到结论． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得， ， 将，代入直线，得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：设点的坐标为， 直线的解析式为， ， ， 的面积为4，， ， 或， 点的坐标为或； （3）解：以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况： ①当时，过点作轴于，过点作轴于，    ， ， ， ， ， ， ≌， ，， ，， ∴，， ， ； ②当时，过点作轴于，延长交直线于，    同理：≌， ，， ； ③当时，过点作直线于，过点作直线于，    同理：≌， ，， 设， ，， ，，，，， ， 解得 ， ； 综上，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，的值为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键． 7．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，过A（0，6），B（6，0）两点的直线与直线y=x交于点F，平行于y轴的直线l从y轴出发，以每秒0.5个单位长度的速度沿x轴向右平移，到达F点时停止．直线l分别与AB，OF交于点C、D．以CD为斜边向左侧作等腰直角三角形，设与重叠部分图形的周长为p，直线l的运动时间为t秒． (1)求直线AB的解析式及点F的坐标． (2)当点E落在y轴上时，求p的值． (3)试探究当直线l从y轴出发，向右移动过程中，p与t的函数关系式（直线l在y轴上与经过F点的两种情况不考虑）． 【答案】(1)y=－x+6，点F的坐标为（3，3） (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求出直线AB的解析式，再将直线AB与直线y=x联立求出交点F的坐标即可； （2）作EM⊥CD于点M，设点D的坐标为（a，a），根据为等腰直角三角形，求出，由点E在y轴上，求出，再求出周长P； （3）分两种情况讨论：①当0<t<3时，点E在y轴的左侧，重叠部分为四边形CKLD；②当3<t<6时，点E在y轴右侧，重叠部分为△CDE，分别计算即可． 【详解】（1）设过A（0，6），B（6，0）两点的直线解析式为y=kx+b， 代入点的坐标，得， 解得k=－1，b=6． 故直线AB的解析式为y=－x+6， 联立方程，得，解得， ∴点F的坐标为（3，3）． （2）过点E作EM⊥CD于点M， 设点D的坐标为（a，a），则C（a，6－a）． ∵为等腰直角三角形， ∴ ∵点E在y轴上， ∴， ∴，解得， ∴CD=6－2a=3，， ∴． （3）由（2）可知时，点E恰好在y轴上． 当0<t<3时，点E在y轴的左侧，如图，过C作轴于点I，过D作DJ⊥y轴于点J，设CE与y轴相交于点K，DE与y轴相交于点L． 点D坐标为，，CD=6－t． ∵△CED为等腰直角三角形， ∴∠CKI=∠ECD=45° ∴，． 同理可得． ∵， ∴， 即． 如图，当3<t<6时，点E在y轴右侧， ∴， ∴ ， 即． 综上， 【点睛】本题考查一次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的性质、三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 8．（22-23八年级上·山西晋中·期末）如图，直线和直线与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线与y轴相交于点． (1)求点A的坐标及直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)试探究在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，直线的函数表达式为： (2)12 (3)， 【分析】（1）对于，令可求出，得到点A的坐标，结合可求出，得到点B的坐标，再根据待定系数法可求出直线的函数表达式； （2）求出直线和的交点，再根据三角形面积公式求解即可； （3）分点P在点B右侧的x轴上和在点B左侧的x轴上两种情况，结合勾股定理列出方程求解即可 【详解】（1）将代入得，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 设直线的函数表达式为： 将、分别代入得： ， 解得 ∴直线的函数表达式为：． （2）∵点C是直线和的交点， ∴，解得 ∴ ∵， ∴． ∴的面积为：． （3）①点P在点B右侧的x轴上时，过点作于点，过点作轴，垂足为，如图3-1， ∴ ∴ 易证： ∴ ∴点坐标为， ∴直线解析式为：， ∴直线与轴交点的坐标为； ②点P在点B左侧的x轴上时， 过点作于点，过点作轴，垂足为，过作轴，如图3-2， 同理易证：, ∴，， 设，则， 解得：， ∴， ∴点坐标为， ∴直线解析式为：， ∴直线与轴交点的坐标为； 综上，在x轴上存在点P，使得，点P的坐标为或 【点睛】本题考查了一次函数综合题，难度一般，关键是一次函数点的坐标的求法和三角形面积的求法． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$