专题04 特殊平行四边形的性质与判定（7大题型提分练）（山西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题04 特殊平行四边形的性质与判定 题型概览 题型01 矩形的性质 题型02 矩形的性质与判定是综合 题型03 菱形的性质 题型04菱形的性质与判定的综合 题型05 正方形的性质 题型06正方形的性质与判定的综合 题型07特殊平行四边形的综合运用 矩形的性质题型01 1．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，三角尺的顶点，分别在矩形的边，上，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，根据平行线的性质得出，根据三角形内角和定理得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ 故选：B． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由四边形是矩形，得出，从而得到是等边三角形，进而得到，根据得到，进而得到，之后利用三角形外角定理得到即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 为等腰三角形， ， ． 故选：C． 3．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在矩形中，，将沿着射线的方向平移得到，则四边形的周长为（    ） A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，平移的性质和勾股定理，根据矩形的性质和平移的性质，可以得到的长，然后即可求得四边形的周长，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将沿着射线的方向平移得到， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的周长为：， 故选：A． 4．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和，得到四边形．若，则四边形的面积等于（　　）． A．30 B．35 C．40 D．60 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据三角形中位线得到、成为解题的关键． 先根据三角形中位线得到、，再判定平行四边形是矩形，最后根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵点E，F分别为边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 同理可得：，， ∴， 同理可得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴矩形的面积为：，即四边形的面积为30． 故选：A． 5．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，矩形纸片，，，点P在边上．将沿折叠，点C落在点E处．、分别交于点O、F，且．则的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，在直角三角形中，通过勾股定理建立方程是解题的关键．根据折叠的性质可得，，，以此可通过“”证明，得到，，则，设，由勾股定理列方程，解方程即得答案． 【详解】根据折叠的性质可得，，，， 四边形为矩形，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 设，则， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． 故选：B． 6．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，点是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据勾股定理求得，进而求得，根据中位线的性质求得，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∵点是矩形的对角线的中点，为的中点． ∴，，， 在中，， ∴的周长为， 故答案为：． 矩形的判定题型02 7．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和底边垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（  ） A．矩形的对角线相等 B．三个角都是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质． 根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 【详解】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意． 故选：C． 8．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（    ） A．OA＝OC B．AB＝CD C．∠BCD＝90° D．AD//BC 【答案】B 【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可． 【详解】解：A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO， ∴OA＝OB＝OD， ∵AO＝OC， ∴AO＝OB＝OD＝OC， 即对角线平分且相等， ∴四边形ABCD为矩形，不符合题意； B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD， 无法得出△ABO≌△DCO， 故无法得出四边形ABCD是平行四边形， 进而无法得出四边形ABCD是矩形，符合题意； C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO， ∴OA＝OB＝OD， ∵∠BCD＝90°， ∴AO＝OB＝OD＝OC， 即对角线平分且相等， ∴四边形ABCD为矩形，不符合题意； D、∵AD//BC，∠BAD＝90°,BO＝DO， ∴∠CBO＝∠ADO， ∵∠COB＝∠DOA， ∴△AOD≌△BOC（ASA）， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠BAD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理． 9．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，在中，相交于点O，点E、F在上，，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形是矩形，则该条件可以是 .（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，由矩形的判定可得出答案，熟记矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加使得四边形是矩形． 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F． (1)试判断四边形的形状，并说明你的理由； (2)求证：． 【答案】(1)矩形，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查的是菱形的性质、矩形的性质和判定； （1）先证明四边形为平行四边形，再由由菱形的性质可证明，从而可证明四边形是矩形； （2）依据矩形的性质可得到，然后依据菱形的性质可得到． 【详解】（1）解：四边形是矩形，证明如下： ∵， 四边形是平行四边形． 又菱形对角线交于点 ，即． 四边形是矩形． （2）证明：四边形是矩形 ， 在菱形中，． ． 菱形的性质题型03 11．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，菱形中，，，交于点O，若E是边的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，证明出是的中位线是本题的关键．根据菱形的性质得出， ，，根据三角形中位线定理得出，得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵是边的中点，， ∴是的中位线， ， ∴， ， 故选：B． 12．（23-24八年级下·山西临汾·期末）已知菱形的面积为，且两条对角线之比为，则菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质及勾股定理是解题的关键．根据菱形的性质及勾股定理可进行求解即可． 【详解】解：如图所示： 设，则， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∴，则， 在菱形中，，，， ∴； 故选：C． 13．（23-24八年级下·山西临汾·期末）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图所示的中国结可近似地看为一个菱形，菱形的周长为，对角线的长为，则对角线的长为 ． 【答案】32 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理． 根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，又由菱形的周长可得，从而根据勾股定理求得，又根据菱形对角线的性质即可求得的长． 【详解】解：如图，设菱形的对角线，相交于点O， ∴，， ∵， ， ∴， ∵， ∴在中，， ∴在菱形中，． 故答案为：32 14．（23-24八年级下·山西忻州·期末）如图，在菱形中，交于点O，于点E，连接，若，则的度数是 ． 【答案】/25度 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质得，，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由等腰三角形的性质得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在菱形中，，，动点E、F分别在线段、上，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，过点作于，先证明、都是等边三角形，得到，进而证明得到，进一步证明是等边三角形，得到，则当与重合时，此时最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴、都是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当与重合时，此时最小，即最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及最小值等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 菱形的性质与判定的综合题型04 16．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，下列条件中不能使成为菱形的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、四边形是平行四边形，且， ∴是菱形，故不符合题意； B、四边形是平行四边形，且， ∴是菱形，故不符合题意； C、四边形是平行四边形，且， ∴是菱形，故不符合题意； D、四边形是平行四边形，且，不能判定是菱形，故符合题意， 故选：D． 17．（23-24八年级下·山西大同·期末）用尺规在一个平行四边形内作菱形，如图所示的作法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的判定和作图痕迹解答即可． 【详解】解：A、由作图可知，，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确； B、由作图可知，即四边相等的平行四边形是菱形，正确； C、由作图可知，只能得出四边形是平行四边形，错误； D、由作图可知，对角线平分对角，可以得出是菱形，正确； 故选：C． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型． 18．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得，之间的距离为，，之间的距离为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，连接相交于点，过点作于，于，由题意可得，，，可得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即得到四边形是菱形，再利用菱形的性质即可求解，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接相交于点，过点作于，于， ∵四边形由两张等宽的纸条重叠在一起形成的， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴ ，， ∴， ∴， 故选：． 19．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识．先证明是等腰三角形，设交于点．证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】证明：连接，设交于点，由作图可知，平分， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ； 由作图可知：，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， 在中，， ， ． 故答案为：16． 20．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿图中的虚线剪下，已知 ，再将剪下的纸片展开，则得到一个新的四边形，它的面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，根据菱形的性质求出对角线的长度，再根据菱形的面积计算公式计算即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，所得四边形的对角线互相垂直且平分， ∴得到的新的四边形为菱形，其边长，为对角线的一半， ∵，， ∴， ∴菱形的对角线长分别为和， ∴它的面积为， 故答案为：． 正方形的性质题型05 21．（23-24八年级下·山西朔州·期末）科技改变生活，科技的发展提升了我们的生活品质．如图，这是某公司生产的正方形玻璃清理机器人，当机器人到达玻璃窗的边沿清理时，机器人的顶点A，D分别在玻璃框上，玻璃窗的顶角，，．机器人的型号和相关数据如下，可知此次参与清理的机器人的型号为（    ） 型号 对角线长 5001 10cm 5030 cm 5075 15cm 6010 cm A．5001 B．5030 C．5075 D．6010 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理及含30度直角三角形的性质，掌握这些知识是关键；连接，在中由含30度直角三角形的性质求得，在中由勾股定理可求得，机器人的型号和相关数据即可判断出机器人的型号． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ； ∵四边形为正方形， ，， 在中，由勾股定理得， 机器人的型号和相关数据可知，机器人的型号为5030． 故选：B． 22．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在和边上，，，，则的面积为（   ） A．3 B．8 C． D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形中面积的计算，解题关键是发现平行四边形． 本题主要考查了正方形中面积的计算，解题关键是发现平行四边形．由正方形，，，，得，得四边形为平行四边形，得，得，即可得的面积． 【详解】解：在正方形中，，，， 得， 得四边形为平行四边形， 得， 得， 得的面积． 故选：D． 23．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图、为正方形外一点，且，连接，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质得，，，即可得，又由得到，即得，最后证明即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：． 24．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在边长为3的正方形中，点E在边上，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段于点F．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，设，则，，由勾股定理列方程，可求解． 【详解】解：∵ 设， 则，． 在中，， ， 解得． 则 故选：D 25．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，点F是矩形的边上一点，连结，作于点E，且满足，则下列结论中①，②，③，④，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，证明可得，可证②；证明 ，推出，，可证③，④． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， 在和中，， ， 故②正确； ，， ， 在和中，， ， ，， ， 故③，④正确； 现有条件不能证明，故①错误， 综上可知，正确的有②，③，④，共3个， 故选C． 26．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，正方形的边长为3，点E为上的一点，且满足，连接，过点A作的垂线交于点F，连接．则的长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 27．（22-23八年级下·山西临汾·期末）四边形是正方形，E、F分别是和的延长线上的点，且，连接、、．    (1)求证：，． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，证明，得出，根据，得出，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理求出，进而可求出面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是正方形，，， ∴， 在中，， ∴ ∴的面积：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，证明是解题的关键． 正方形的性质与判定的综合题型06 28．（23-24八年级下·山西临汾·期末）同学们总结梳理四边形的知识时，好学小组中的4位同学分别提出了自己的想法，下面的说法中，不正确的是（    ） A．小李：对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．小王：对角线相等的四边形是矩形 C．小孙：对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．小马：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定，难度较小．根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法错误，符合题意； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，不符合题意； D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，正确，不符合题意． 故选：B． 29．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，解题的关键是证明出四边形是正方形． 延长，交于点F，首先证明出四边形是正方形，得到，，求出，，然后利用的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，延长，交于点F， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴的面积 ． 故选：A． 30．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，以边长为2的正方形的四边中点为顶点作第一个四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为 ；所作的第n个四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，图形类规律探究，以及正方形的周长的求法，根据已知得出规律是解题关键． 根据正方形的性质以及勾股定理，求出第二个，第三个的周长，从而发现规律，即可求出第n个四边形的周长，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知：得到的四边形都是正方形， 根据勾股定理得， 围成的第一个四边形的边长为：，周长为：， 第二个四边形的边长为：，周长为：， 第三个四边形的边长为：，周长为：， 第四个四边形的边长为：，周长为：， 故第个四边形的边长为：，周长为：， 故答案为：． 31．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，正方形的周长为，顺次连接正方形各边中点、、、，得到四边形的面积等于 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时利用三角形的中位线的性质求解是关键．连接，，根据三角形的中位线的性质，可以得出四边形为正方形，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：连接，，    ∵点、、、是正方形各边的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵，，， ∴， ∴四边形是正方形 ∵正方形的周长为，， ∴， 在中，由勾股定理，得，， ∴ ∴四边形的面积 ． 故答案为：． 32．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形．延长，分别交，于点，，连结，．图中两块阴影部分面积分别记为，，若，四边形，则四边形的面积为（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】结合题意，根据正方形面积比，计算得，从而得；根据勾股定理性质，计算得；再根据勾股定理计算，得；结合，通过计算得；通过证明，得，结合矩形和四边形、的面积关系计算，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵四边形与四边形是正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵四边形+梯形 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴，即 ∵四边形与四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴四边形 ∵ ∴四边形是矩形 ∴矩形四边形四边形四边形 ∴四边形 矩形 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形、正方形、勾股定理、全等三角形、平方根、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、正方形、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解． 特殊平行四边形的综合运用题型07 33．（22-23八年级下·山西长治·期末）如图1，一张菱形纸片，点A、D、C、B分别是、、、边上的点，连接、、、、，且， ；如图2，若将、、、分别沿、、、对折，点E、F都落在上的点P处，点H、G都落在上的点Q处． (1)求证：四边形是矩形 (2)求菱形纸片的面积和边长． 【答案】(1)证明见解析 (2)；3 【分析】（1）由对折可知，，利用等角关系可求出，同理可求出．即可得出四边形是矩形． （2）由对折可知即可求出的面积，由对折可得出点A，C为中点，连接，得．利用勾股定理就可得出边长． 【详解】（1）证明：由对折可知，， ， 即． 同理可得，． ∴四边形是矩形； （2）解：由对折可知：，，，． 又， ∴A为的中点．同理有C为的中点．即， 且，如图2，连接， ∴四边形为平行四边形，得． ． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，勾股定理，菱形的性质及矩形的判定，解题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 34．（23-24八年级下·山西阳泉·期末）如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接．    (1)试猜想、与有怎样的数量关系和位置关系． (2)将正方形绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在边上，如图2，连接和，你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，，证明见解析 (2)（1）中结论仍然成立，证明见解析． 【分析】（1）如图所示，延长交于点H，根据正方形的性质得到，，，进而证明得到，，再由得到，进而证明，由此即可得到结论； （2）如图所示，延长和相交于点H，证明，得到，，再证明，进而得到，则，即可得到（1）中结论仍然成立． 【详解】（1）解：，，证明如下： 如图所示，延长交于点H， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，；    （2）证明：如图所示，延长和相交于点H， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（1）中结论仍然成立．    【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 35．（22-23八年级下·山西吕梁·期末）综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师引导学生用一块等腰直角三角板和一个正方形展开探究活动．将正方形的一个顶点与等腰直角三角板的斜边的中点重合，观察不同的摆放方法下其中某些线段之间的数量关系与位置关系． 知识初探： 将等腰直角三角形与正方形如图摆放，使正方形的顶点与等腰直角三角板斜边的中点重合，且边经过点，请你直接写出与的数量关系和位置关系． 类比再探： 如图，正方形的顶点与等腰直角三角板斜边的中点重合，边不经过点，连接，，此时与又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 拓展延伸： 如图，正方形的顶点与等腰直角三角板斜边的中点重合，正方形的两条对角线交于点，连接，，取的中点，连接，请你直接写出与之间的数量关系与位置关系．    【答案】知识初探：，；类比再探：，，理由见解析；拓展延伸：， 【分析】知识初探：连接，根据、是等腰直角三角形，可得答案； 类比再探：连接，利用证明，得，，则，进而解决问题； 拓展延伸：连接，由类比探究同理可得，，，再证明为的中位线，得 ，，从而得出答案． 【详解】解：知识初探：，； 连接，   四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形，则， 是等腰直角三角形，为的中点， ，，，即 是等腰直角三角形，则， ，即， ，； 类比再探：，， 理由如下：连接，与交于点，   点是等腰直角斜边的中点， ，． 四边形是正方形， ，． ，， ， ， ，，， ． 拓展延伸：，， 由类比探究同理可得，，， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ，， ，， 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识，证明是解决问题的关键． 1．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，，，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由直角三角形斜边中线的性质求出，由勾股定理即可求出的长．由直角三角形斜边中线的性质推出，又，得到，由勾股定理即可求出． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 故选：A 2．（23-24八年级下·山西忻州·期末）如图，矩形中，对角线交于O点，若，，则BC的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练矩形的性质得到是解题的关键． 根据矩形的性质可得、，再根据直角三角形的性质可得，然后运用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故选：B． 3．（23-24八年级下·山西忻州·期末）有以下4个命题：①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线互相垂直的四边形是正方形；③两条对角线相等的四边形是菱形；④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．其中正确命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据菱形、平行四边形、矩形、正方形的判定去判断结论是否正确即可． 【详解】解：①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，属于平行四边形的判定定理，成立． ②两条对角线互相垂直的四边形有可能是一般四边形，不成立． ③两条对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，不成立． ④两条对角线相等且互相垂直的四边形有可能是等腰梯形，不成立． 正确的命题只有1个， 故选A． 【点睛】此题考查的知识点：菱形、平行四边形、矩形、正方形的判定，准确掌握特殊四边形的判定定理是解答此题的关键． 4．（23-24八年级下·山西临汾·期末）将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点，，在同一条直线上，点在边上，连结，，．若，，则的面积为（    ） A．13 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】首先根据矩形的性质和勾股定理求出，然后得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】∵将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴的面积为． 故选：D． 5．（23-24八年级下·山西忻州·期末）长方体容器中装有一定量的水，将其倾斜放置，水面恰好经过长方体容器的顶点，以经过的中点的水平线为轴，经过点的竖直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系．若点的坐标分别为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，坐标与图形，过点作轴于点，设交轴于点，则矩形为矩形，由性质得，，根据勾股定理求出，最后由线段和差即可求解，解题的关键是掌握矩形及等腰三角形的判定和性质． 【详解】如图，过点作轴于点，设交轴于点， ∴， ∵轴， ∴矩形为矩形， ∴，， ∵和点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故选：． 6．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）中经过两条对角线的交点O，分别交、于点E、F，在对角线上通过作图得到点M、N，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是（　　）                                                    以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点M、N 分别作、中、边上的中线、 分别作、中、的平分线、 A．都为矩形 B．都为菱形 C．图1为平行四边形，图2、图3为矩形 D．图1为矩形，图2、图3为平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了几何作图，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据平行四边形的性质易证，可得，由图1作图可知，即可得证图1以点F，M，E，N为顶点的四边形为矩形；在图2中证，即可得证图2以点F，M，E，N为顶点的四边形为平行四边形；在图3中证明，可得，即可得证图3以点F，M，E，N为顶点的四边形为平行四边形． 【详解】解：在平行四边形中，，， ，， 在和中， ， ， ， 由图1作图可得， 以点F，M，E，N为顶点的四边形为平行四边形，且， 图1以点F，M，E，N为顶点的四边形为矩形； 由图2作图可得    ，， ， ， 又， ∴图2以点F，M，E，N为顶点的四边形为平行四边形； 由图3作图可得，， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 图3以点F，M，E，N为顶点的四边形为平行四边形． 故选D． 7．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在正方形中，，点在边上，将沿对折得到，再将沿对折，与恰好重合．①；② ；③连接，则；④当时，．以上结论中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①根据正方形的性质和翻折的性质即可证明，即可判断①正确； ②先求出，再根据三角形内角和定理求出，即可判断②错误； ③根据和的边、上的高相等，，得出，判断③错误； ④先求出，，设，则可得，根据翻折可得，，再根据勾股定理可得x的值，进而证明，判断④正确． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，， ①由翻折可知： ，，，，，，，， ∴， ∴、F、E在同一直线上， ∴，故①正确； ②∵，， 又∵， ∴， ∴，故②错误； ③∵和的边、上的高相等， 又∵， ∴，故③错误； ④∵，， ∴， ∴， 设，则， 由翻折可知：， ∴， ∴在中，根据勾股定理，得： ， 解得， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、正方形的性质、三角形内角和定理应用，解决本题的关键是通过图形的性质找到边与边、角与角的关系． 8．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，菱形中交于点O，于点E，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上中线的性质及等腰三角形的性质；由菱形的性质知，；由得，由直角三角形斜边上中线的性质得，从而得，则可求得的度数． 【详解】解：菱形中，； ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·山西太原·期末）如图，正方形的对角线，交于点O，点E是上一点，交于点F，若，，则的长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 过作于，根据正方形的性质得到，再根据等腰三角形的判定证得，然后利用勾股定理和含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】过作于，   ， 四边形是正方形， ， ， ． 在中，， ， ． 在中 ． ． 故答案为：4． 10．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．根据正方形的性质与正方形关于对角线对称可得所给选项的正误． 【详解】解：①正确，连接， 可得，， ∴． ②正确，， ③正确，， ④正确；延长，交于点N，则，可得． 故答案为：①②③④． 11．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在矩形中，，点E在边的延长线上，且，连接，F为的中点，连接．若，则 （用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质等知识，作辅助线利用三角形中位线定理是关键．取的中点G，连接，易得为的中位线，则，从而有；由，，得，结合矩形的性质得，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，取的中点G，连接， ． ， ． F为的中点， 为的中位线， ， ． ，， ． 四边形为矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在矩形中，，，点E为的中点，以为边在矩形的外部作正方形，连接，点H为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，延长交于点G，先得出，，，再证明，再得出，证明，得出，，再根据勾股定理得出，进而得出答案． 【详解】如图，延长交于点G． ∵四边形为矩形， ，，． ∵点E为的中点， ． ∵四边形为正方形， ，，， ． ∴B，C，G三点在一条直线上． ． ， ． ∵点H为的中点， ， 又， ． ，， ，． 在中，由勾股定理，得， ． 故答案为： 13．（22-23八年级下·山西临汾·期末）如图，四边形是矩形，E、F分别是线段上的点，点O是与的交点．若将沿直线折叠，则点E与点F重合． 求证：四边形是菱形．    【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质可得，则，由折叠的性质可得，，则，，进而结论得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，菱形的判定与性质，等角对等边．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 14．（22-23八年级下·山西长治·期末）如图，已知矩形的两条对角线相交于点，，且相交于点．    (1)判断四边形的形状，并加以证明； (2)若，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，证明四边形为平行四边形，再根据矩形的性质得到，即可解答； （2）利用菱形的性质和矩形的性质，证明四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】（1）（1）四边形是菱形                     证明：∵， ∴四边形为平行四边形. 又∵四边形为矩形， ， ， ∴四边形为菱形 （2）解：由（1）可知四边形为菱形， ， 又∵， ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，菱形的判定及性质，熟知上述概念是解题的关键． 15．（22-23八年级下·山西阳泉·期末）综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）等边三角形；（2）；（3） 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，根据即可得是等边三角形； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的数量关系； （3）由折叠可知：，，易知为等腰直角三角形，延长交于，可知，由平行四边形的性质可得，，，进而可知由的面积为24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，，则 由折叠可知：，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2），理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， 则， ∴， 由三角形外角可知：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）由折叠可知：，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 延长交于，则    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，，即：， ∴， 则， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，翻折的性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 特殊平行四边形的性质与判定 题型概览 题型01 矩形的性质 题型02 矩形的性质与判定是综合 题型03 菱形的性质 题型04菱形的性质与判定的综合 题型05 正方形的性质 题型06正方形的性质与判定的综合 题型07特殊平行四边形的综合运用 矩形的性质题型01 1．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，三角尺的顶点，分别在矩形的边，上，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在矩形中，，将沿着射线的方向平移得到，则四边形的周长为（    ） A．26 B．24 C．22 D．20 4．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和，得到四边形．若，则四边形的面积等于（　　）． A．30 B．35 C．40 D．60 5．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，矩形纸片，，，点P在边上．将沿折叠，点C落在点E处．、分别交于点O、F，且．则的长为（　　） A．2 B． C． D． 6．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，点是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为 ． 矩形的判定题型02 7．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和底边垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（  ） A．矩形的对角线相等 B．三个角都是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形 8．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（    ） A．OA＝OC B．AB＝CD C．∠BCD＝90° D．AD//BC 9．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，在中，相交于点O，点E、F在上，，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形是矩形，则该条件可以是 .（填一个即可） 10．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F． (1)试判断四边形的形状，并说明你的理由； (2)求证：． 菱形的性质题型03 11．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，菱形中，，，交于点O，若E是边的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·山西临汾·期末）已知菱形的面积为，且两条对角线之比为，则菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级下·山西临汾·期末）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图所示的中国结可近似地看为一个菱形，菱形的周长为，对角线的长为，则对角线的长为 ． 14．（23-24八年级下·山西忻州·期末）如图，在菱形中，交于点O，于点E，连接，若，则的度数是 ． 15．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在菱形中，，，动点E、F分别在线段、上，且，则的最小值为 ． 菱形的性质与判定的综合题型04 16．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，下列条件中不能使成为菱形的是（    ）    A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·山西大同·期末）用尺规在一个平行四边形内作菱形，如图所示的作法中错误的是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得，之间的距离为，，之间的距离为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ． 20．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿图中的虚线剪下，已知 ，再将剪下的纸片展开，则得到一个新的四边形，它的面积是 ．    正方形的性质题型05 21．（23-24八年级下·山西朔州·期末）科技改变生活，科技的发展提升了我们的生活品质．如图，这是某公司生产的正方形玻璃清理机器人，当机器人到达玻璃窗的边沿清理时，机器人的顶点A，D分别在玻璃框上，玻璃窗的顶角，，．机器人的型号和相关数据如下，可知此次参与清理的机器人的型号为（    ） 型号 对角线长 5001 10cm 5030 cm 5075 15cm 6010 cm A．5001 B．5030 C．5075 D．6010 22．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在和边上，，，，则的面积为（   ） A．3 B．8 C． D．12 23．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图、为正方形外一点，且，连接，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在边长为3的正方形中，点E在边上，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段于点F．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 25．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，点F是矩形的边上一点，连结，作于点E，且满足，则下列结论中①，②，③，④，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，正方形的边长为3，点E为上的一点，且满足，连接，过点A作的垂线交于点F，连接．则的长为（    ） A． B． C． D．4 27．（22-23八年级下·山西临汾·期末）四边形是正方形，E、F分别是和的延长线上的点，且，连接、、．    (1)求证：，． (2)若，，求的面积． 正方形的性质与判定的综合题型06 28．（23-24八年级下·山西临汾·期末）同学们总结梳理四边形的知识时，好学小组中的4位同学分别提出了自己的想法，下面的说法中，不正确的是（    ） A．小李：对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．小王：对角线相等的四边形是矩形 C．小孙：对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．小马：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 29．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 30．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，以边长为2的正方形的四边中点为顶点作第一个四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为 ；所作的第n个四边形的周长为 ． 31．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，正方形的周长为，顺次连接正方形各边中点、、、，得到四边形的面积等于 ．    32．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形．延长，分别交，于点，，连结，．图中两块阴影部分面积分别记为，，若，四边形，则四边形的面积为（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 特殊平行四边形的综合运用题型07 33．（22-23八年级下·山西长治·期末）如图1，一张菱形纸片，点A、D、C、B分别是、、、边上的点，连接、、、、，且， ；如图2，若将、、、分别沿、、、对折，点E、F都落在上的点P处，点H、G都落在上的点Q处． (1)求证：四边形是矩形 (2)求菱形纸片的面积和边长． 34．（23-24八年级下·山西阳泉·期末）如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接．    (1)试猜想、与有怎样的数量关系和位置关系． (2)将正方形绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在边上，如图2，连接和，你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 35．（22-23八年级下·山西吕梁·期末）综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师引导学生用一块等腰直角三角板和一个正方形展开探究活动．将正方形的一个顶点与等腰直角三角板的斜边的中点重合，观察不同的摆放方法下其中某些线段之间的数量关系与位置关系． 知识初探： 将等腰直角三角形与正方形如图摆放，使正方形的顶点与等腰直角三角板斜边的中点重合，且边经过点，请你直接写出与的数量关系和位置关系． 类比再探： 如图，正方形的顶点与等腰直角三角板斜边的中点重合，边不经过点，连接，，此时与又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 拓展延伸： 如图，正方形的顶点与等腰直角三角板斜边的中点重合，正方形的两条对角线交于点，连接，，取的中点，连接，请你直接写出与之间的数量关系与位置关系．    1．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，，，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（23-24八年级下·山西忻州·期末）如图，矩形中，对角线交于O点，若，，则BC的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 3．（23-24八年级下·山西忻州·期末）有以下4个命题：①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线互相垂直的四边形是正方形；③两条对角线相等的四边形是菱形；④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．其中正确命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24八年级下·山西临汾·期末）将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点，，在同一条直线上，点在边上，连结，，．若，，则的面积为（    ） A．13 B．26 C． D． 5．（23-24八年级下·山西忻州·期末）长方体容器中装有一定量的水，将其倾斜放置，水面恰好经过长方体容器的顶点，以经过的中点的水平线为轴，经过点的竖直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系．若点的坐标分别为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）中经过两条对角线的交点O，分别交、于点E、F，在对角线上通过作图得到点M、N，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是（　　）                                                    以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点M、N 分别作、中、边上的中线、 分别作、中、的平分线、 A．都为矩形 B．都为菱形 C．图1为平行四边形，图2、图3为矩形 D．图1为矩形，图2、图3为平行四边形 7．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在正方形中，，点在边上，将沿对折得到，再将沿对折，与恰好重合．①；② ；③连接，则；④当时，．以上结论中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，菱形中交于点O，于点E，连接，若，则 ． 9．（23-24八年级下·山西太原·期末）如图，正方形的对角线，交于点O，点E是上一点，交于点F，若，，则的长为 ．    10．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 11．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在矩形中，，点E在边的延长线上，且，连接，F为的中点，连接．若，则 （用含的代数式表示）． 12．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在矩形中，，，点E为的中点，以为边在矩形的外部作正方形，连接，点H为的中点，连接，则的长为 ． 13．（22-23八年级下·山西临汾·期末）如图，四边形是矩形，E、F分别是线段上的点，点O是与的交点．若将沿直线折叠，则点E与点F重合． 求证：四边形是菱形．    14．（22-23八年级下·山西长治·期末）如图，已知矩形的两条对角线相交于点，，且相交于点．    (1)判断四边形的形状，并加以证明； (2)若，求的长． 15．（22-23八年级下·山西阳泉·期末）综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$