专题03 平行四边形的性质与判定（9大题型提分练）（山西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题03 平行四边形的性质与判定 题型概览 题型01 利用平行四边形的性质求角度 题型02利用平行四边形的性质求线段长 题型03 利用平行四边形的性质求周长或面积 题型04利用平行四边形的性质证明 题型05 平行四边形判定的条件 题型06平行四边形判定的证明 题型07 三角形的中位线的应用 题型08平行四边形与尺规作图 题型09 平行四边形的性质与判定的综合运用 利用平行四边形的性质求角度题型01 1．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）在中（如图），连接，已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）在□ABCD中，已知∠A﹣∠B=20°，则∠C=（　　） A．60° B．80° C．100° D．120° 3．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）已知一个平行四边形的一个角为，则另外三个角分别为 ； 4．（23-24八年级下·山西临汾·期末）在中，，则 ． 5．（2013·江西·中考真题）如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为 °． 利用平行四边形的性质求线段长题型02 6．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在平行四边形中，，，平分，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．5 D．不确定 7．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，的对角线，交于点，已知，，的周长为，则的长为（    ）． A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·山西晋中·期末）如图在中，的平分线交于点E，，的周长是20，则CD的长度是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D．7 9．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在中，与的平分线，分别与相交于点，．若，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 10．（23-24八年级下·山西太原·期末）如图，的对角线与相交于点O．若，，，则的长度为（    ） A． B．10 C． D． 利用平行四边形的性质求周长或面积题型03 11．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，的对角线相交于点O，且，．则的周长为（    ） A．13 B．8 C．7 D．5 12．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，过平行四边形对角线的交点O，交于E，交于F，若平行四边形的周长为36，，则四边形的周长为（    ） A．24 B．26 C．28 D．20 13．（23-24八年级下·山西太原·期末）如图，平行四边形中，对角线、交于点E，，，，则这个平行四边形面积为（    ） A．24 B．40 C．20 D．12 14．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，四边形是平行四边形，其周长为20厘米，对角线相交于点，过点作直线交分别于点，其中厘米，则四边形的周长为 厘米． 利用平行四边形的性质证明题型04 15．（23-24八年级下·山西太原·期末）已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF．    16．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，在中，是它的一条对角线，点，在上，且，连接，，求证： 17．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，小丽画了一个，然后延长到点，延长到点，连接后，她发现当四边形是平行四边形时，和总是相等的，请你帮她证明． 18．（23-24八年级下·山西太原·期末）作平行四边形ABCD的高CE，B是AE的中点，如图． （1）小琴说：如果连接DB，则DB⊥AE，对吗？说明理由． （2）如果BE：CE＝1： ，BC＝3cm，求AB． 19．（23-24八年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 小明在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下的性质：平行四边形的四条边的边长的平方和等于对角线长的平方和，即：如图1，在中，． 小明在老师的提示下，对该性质进行了证明． 证明：如图1，过点，作的垂线，分别与交于点，与的延长线交于点． 四边形是平行四边形， （依据），，． 设，，，则． ． 在中，，即． 在中，． …… 任务： (1)证明过程中的“依据”是指：______． (2)请你补全小明的证明过程． (3)如图2，在中，，，，则的周长为______． 平行四边形判定的条件题型05 20．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）下列说法：①一组对边相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形；④一组对角相等、一组对边平行的四边形是平行四边形．其中能判定一个四边形是平行四边形的是（   ） A．②③ B．②④ C．①④ D．①②③ 22．（23-24八年级下·山西太原·期末）在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级下·山西太原·期末）下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B． C． D．， 24．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ） A． B．AB＝AD C． D． 25．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，平行四边形中，点E、F分别为边的中点，则图中共有平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 26．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，点，在对角线上，连结，，，．添加下列一个条件能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 平行四边形的判定的证明题型06 27．（23-24八年级下·山西太原·期末）已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF．    28．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，在中，是它的一条对角线，点，在上，且，连接，，求证： 29．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，小丽画了一个，然后延长到点，延长到点，连接后，她发现当四边形是平行四边形时，和总是相等的，请你帮她证明． 30．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）作平行四边形ABCD的高CE，B是AE的中点，如图． （1）小琴说：如果连接DB，则DB⊥AE，对吗？说明理由． （2）如果BE：CE＝1： ，BC＝3cm，求AB． 31．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在四边形中，，分别是，边上的点，且，连结，交对角线于点，且与互相平分．求证：四边形是平行四边形． 三角形的中位线的应用题型07 32．（23-24八年级下·山西大同·期末）某居民小区为美化居住环境，要在如图所示的三角形空地上围一个四边形花坛．已知点E，F分别是边，的中点，测量得米，则的长是（    ） A．8米 B．10米 C．16米 D．32米 33．（23-24八年级下·山西晋中·期末）如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点 ， 连接 ， ， 分别取 ， 的中点 ， ，连接．若 的长为， 则， 两地间的距离为 ． 34．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，CD是的中线，E，F分别是AC，DC的中点，，则BD的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．（23-24八年级下·山西太原·期末）如图，在中，，点，分别是，的中点，的平分线交于点，的平分线交于点．若，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，点E是的中点，若平分，线段的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 平行四边形与尺规作图题型08 38．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，点、在直线上，为直线外一点，连结，分别以点、为圆心，、的长为半径画弧，两弧交于点，连接、，则四边形是平行四边形的理由是 ．    39．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 40．（23-24八年级下·山西长治·期末）数学活动课上，已知，惠卓图同学利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形，以下是其作图过程：（）作；（）以点为圆心，长为半径作弧交与点；（）连接，则四边形即为所求．在上述做图中，可直接判定四边形为平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 41．（22-23八年级下·山西晋中·期末）如图所示：在中，连接．    (1)作线段的垂直平分线交于点E，交于点F（尺规作图保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是平行四边形． 42．（23-24八年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图1，给定不在同一直线上的三个点，，，如何利用无刻度的直尺和圆规在点，之间画一条过点A的直线，且点和点到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图，第一步：以点为圆心，以的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点； 第三步：作直线，则点和点到直线的距离相等． 下面是部分证明过程： 证明：如图．连接，，过点作于点，过点作于点，连接交于点． 由作图可知，， 四边形ABDC是平行四边形．（依据） ．（依据） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线． 任务： (1)填空：材料中的“依据”是指______；“依据”是指______． (2)请将小明的证明过程补充完整． (3)尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点和点之间作直线，使得点和点到直线的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 43．（23-24八年级下·山西太原·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 等周线 问题：一个平面图形的周长能被一条直线平分吗？ 答案是肯定的．由于一个平面图形的周长是可以度量的，那就一定能度量其一半．过这一半的两个端点就能作出这条直线． 定义：一条直线平分一个平面图形的周长，我们称这条直线为这个平面图形的等周线．例如，如图1，已知一个圆，点O是它的圆心，过圆心的每一条直线都是它的等周线． 操作实验：如图2，在中，小雨发现用无刻度的直尺就能画出任意平行四边形的一条等周线． 深入探究：小雨继续思考，能否通过尺规作图，求作任意三角形的一条等周线呢？ 情形1：当等周线经过三角形的一个顶点时： 已知∶如图3，． 求作：直线m，使直线m经过点A且平分的周长． 小雨的想法是：以点B为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点D（点D在点B的左侧）．通过“截长补短”，将平分周长的问题转化为平分线段的问题． 情形2：当等周线不经过三角形的顶点时： 利用小雨的思路同样可以作出此时三角形的等周线； 发现结论：通过操作实验我们可以发现一个平面图形有无数条等周线． 任务： (1)在图2中，请你用无刻度的直尺画出的一条等周线（保留作图痕迹，不写画法，指出所求）； (2)如图3是小雨用尺规所作的不完整的图形，请你将小雨的图形补全．（保留作图痕迹，不写作法，指出所求）； (3)结论应用∶如图4，在中，，点Q为的中点，直线是的等周线，请你直接写出线段的长度． 平行四边形的性质与判定的综合运用题型09 44．（23-24八年级下·山西晋中·期末）如图，在中，点、分别在、的延长线上，，．若，，则的长是（      ） A． B．4 C． D． 45．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，在四边形中，，，E是边上一点，连接，过点E作于点F，且．若，，则的长为 ． 46．（23-24八年级下·山西忻州·期末）如图，四边形为平行四边形，分别为边上的点，且． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)分别为的中点，若，求四边形的周长． 47．（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC． (1)求证：O是线段AC的中点： (2)连接AF、EC，证明四边形AFCE是平行四边形． 48．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EFBC． (1)求证：四边形BDEF是平行四边形； (2)线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论． 1．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，其中，，，则等于（    ） A．4 B． C． D．2 2．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，是对角线上的两点，添加下列选项中的一个条件，不一定能使四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB = 4，则OE的长是 （    ） A．2 B． C．1 D． 4．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）在四边形中，对角线，相交于点，给出下列四组条件： ①，；②，； ③，；④，． 其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 5．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在延长线上的点处，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，已知的顶点，，，若将先沿轴进行第一次对称变换，所得图形沿轴进行第二次对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴…的规律进行，则经过第2018次变换后，顶点坐标为（）    A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·山西晋中·期末）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为 ． 8．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，点是垂足，连接交于点，则的长为 ． 9．（23-24八年级下·山西太原·期末）如图，在中，平分交对角线于点，平分交对角线于点，连接，．求证∶． 10．（22-23八年级下·山西太原·期末）已知：如图，中，点，是对角线上的两点，顺次连接点A，，，，A，得到四边形．若四边形也是平行四边形，求证：．    11．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，为边上一点，且． （1）求证：． （2）若平分，，求的度数． 12．（22-23八年级下·山西太原·期末）如图，已知是等边三角形，点是边上的一点．    (1)求作：直线，使于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作图中，取边上的点，使，连接，．若，请按要求补全图形，并证明四边形是平行四边形（若完成第（1）题有困难，可画草图完成第（2）题）． 13．（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形的性质与判定 题型概览 题型01 利用平行四边形的性质求角度 题型02利用平行四边形的性质求线段长 题型03 利用平行四边形的性质求周长或面积 题型04利用平行四边形的性质证明 题型05 平行四边形判定的条件 题型06平行四边形判定的证明 题型07 三角形的中位线的应用 题型08平行四边形与尺规作图 题型09 平行四边形的性质与判定的综合运用 利用平行四边形的性质求角度题型01 1．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）在中（如图），连接，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ABCD ∴∠DCA＝∠CAB， ∵∠DCA+∠ACB，， ∴40º+80º=120º， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟记性质并熟练运用． 2．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）在□ABCD中，已知∠A﹣∠B=20°，则∠C=（　　） A．60° B．80° C．100° D．120° 【答案】C 【详解】分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A+∠B=180°，又由∠A-∠B=20°，即可求得∠A的度数，继而求得答案． 详解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B=180°， ∵∠A-∠B=20°， ∴∠A=100°， ∴∠C=∠A=100°． 故选C． 点睛：此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补． 3．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）已知一个平行四边形的一个角为，则另外三个角分别为 ； 【答案】、、 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质． 根据平行四边形的对角相等求解即可． 【详解】解：∵一个平行四边形的一个角为，， ∴另外三个角分别是、、． 故答案为：、、． 4．（23-24八年级下·山西临汾·期末）在中，，则 ． 【答案】/70度 【分析】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键 根据平行四边形对角相等求出． 【详解】解：如图， 在中，， ， 故答案为：．    5．（2013·江西·中考真题）如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为 °． 【答案】 【详解】∵□ABCD与□DCFE的周长相等，且有公共边CD， ∴AD＝DE，∠ADE＝∠BCF＝60°＋70°＝130°． ∴． 利用平行四边形的性质求线段长题型02 6．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在平行四边形中，，，平分，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．5 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质和角平分线的定义，得到，进而得出，即可求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：A． 7．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，的对角线，交于点，已知，，的周长为，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，，进而由的周长为即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵的周长为， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：． 8．（22-23八年级下·山西晋中·期末）如图在中，的平分线交于点E，，的周长是20，则CD的长度是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】利用平行线性质和角平分线性质易得到，然后设，列出平行四边形周长方程，解方程即可 【详解】∵为的平分线， ∴， 又∵中，， ∴， 则有， ∴， 设， ∵， ∴， ∴平行四边形的周长为：， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和角平分线性质，熟练掌握基本性质是解题关键． 9．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在中，与的平分线，分别与相交于点，．若，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行四边形性质与等腰三角形的判定．证明，则，同理，求出，从而即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵平分， ． ． ． 同理． ， ， ． 故选：D． 10．（23-24八年级下·山西太原·期末）如图，的对角线与相交于点O．若，，，则的长度为（    ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 先根据平行四边形的性质得出，，再推出，则，进而利用勾股定理，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：A． 利用平行四边形的性质求周长或面积题型03 11．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，的对角线相交于点O，且，．则的周长为（    ） A．13 B．8 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质即得出，，，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵的对角线相交于点O， ∴，，， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形的对角线互相平分，对边相等是解题关键． 12．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，过平行四边形对角线的交点O，交于E，交于F，若平行四边形的周长为36，，则四边形的周长为（    ） A．24 B．26 C．28 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．先利用证明，从而得，，再求得平行四边形周长的一半为多少，然后利用关系式，即可求得答案． 【详解】解：四边形为平行四边形，对角线的交点为， ， ， 又， ， ，， 平行四边形的周长为36， ， 四边形的周长为： ． 故选：A． 13．（23-24八年级下·山西太原·期末）如图，平行四边形中，对角线、交于点E，，，，则这个平行四边形面积为（    ） A．24 B．40 C．20 D．12 【答案】A 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得出CE=5，结合∠CBD=90°，BC=4可知BE==3，从而得BD=2BE=6，再根据平行四边形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10， ∴AE=CE=AC=5，BE=DE=BD， ∵∠CBD=90°，BC=4， ∴BE==3， ∴BD=2BE=6， 则这个平行四边形面积为BD•BC=6×4=24， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分的性质及其面积公式、勾股定理． 14．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，四边形是平行四边形，其周长为20厘米，对角线相交于点，过点作直线交分别于点，其中厘米，则四边形的周长为 厘米． 【答案】13 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，由平行四边形的性质得出，，，证明得出，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，周长为20厘米， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形的周长（厘米）， 故答案为：． 利用平行四边形的性质证明题型04 15．（23-24八年级下·山西太原·期末）已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF．    【答案】证明见解析． 【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥DC，再得出∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，即可推出△COF≌△AOE，从而得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥DC， ∴∠F=∠E，∠DCA=∠CAB， ∵AB=CD，FD=BE， ∴CF=AE， 在△COF和△AOE中， ∵∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB， ∴△COF≌△AOE， ∴OE=OF． 16．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，在中，是它的一条对角线，点，在上，且，连接，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形判定的方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质，运用“边角边”即可求证，由此即可求证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 17．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，小丽画了一个，然后延长到点，延长到点，连接后，她发现当四边形是平行四边形时，和总是相等的，请你帮她证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对角线互相平分是解题关键．连接交于点，由平行四边形的性质可得，，，分别作差即可证明． 【详解】证明：如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 18．（23-24八年级下·山西太原·期末）作平行四边形ABCD的高CE，B是AE的中点，如图． （1）小琴说：如果连接DB，则DB⊥AE，对吗？说明理由． （2）如果BE：CE＝1： ，BC＝3cm，求AB． 【答案】（1）BD⊥AE，理由见解析；（2）（cm）． 【分析】（1）直接利用平行四边形的性质得出BD∥CE，进而得出答案； （2）直接利用勾股定理得出BE的长，进而得出答案． 【详解】解：（1）对， 理由：∵ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB且CD＝AB． 又B是AE的中点， ∴CD∥BE且CD＝BE． ∴BD∥CE， ∵CE⊥AE， ∴BD⊥AE； （2）设BE＝x，则CE＝x， 在Rt△BEC中：x2+（x）2＝9， 解得：x＝， 故AB＝BE＝（cm）． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确应用平行四边形的性质是解题关键． 19．（23-24八年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 小明在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下的性质：平行四边形的四条边的边长的平方和等于对角线长的平方和，即：如图1，在中，． 小明在老师的提示下，对该性质进行了证明． 证明：如图1，过点，作的垂线，分别与交于点，与的延长线交于点． 四边形是平行四边形， （依据），，． 设，，，则． ． 在中，，即． 在中，． …… 任务： (1)证明过程中的“依据”是指：______． (2)请你补全小明的证明过程． (3)如图2，在中，，，，则的周长为______． 【答案】(1)平行四边形的对边相等 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行四边形的性质求解即可； （2）首先证明出，得到，，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； （3）根据题意设，，根据列方程求解即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴依据是平行四边形的对边相等； （2）补全证明如下： ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴在中， ∴ ∴； （3）∵ ∴设，， ∵ ∴ ∴ ∴，， ∴的周长为． 平行四边形判定的条件题型05 20．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； B．∵，， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； C．， 不能判定四边形为平行四边形，故本选项符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； 故选：C． 21．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）下列说法：①一组对边相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形；④一组对角相等、一组对边平行的四边形是平行四边形．其中能判定一个四边形是平行四边形的是（   ） A．②③ B．②④ C．①④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：①两组对边相等的四边形是平行四边形，原说法不能判定一个四边形是平行四边形； ②两组对边分别平行的四边形是平行四边形，原说法能判定一个四边形是平行四边形； ③一组对边平行、另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，原说法不能判定一个四边形是平行四边形； ④一组对角相等、一组对边平行的四边形是平行四边形，由于一组对边平行，那么一组邻角互补，再根据一组对角互补可得另一组邻角互补，进而可得两组对边互相平行，原说法能判定一个四边形是平行四边形． 故选：B． 22．（23-24八年级下·山西太原·期末）在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； B．根据，不能判定四边形为平行四边形，故本选项错误，符合题意； C．∵， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； 故选：B． 23．（23-24八年级下·山西太原·期末）下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B． C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质．根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项A符合题意； B、，， 四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、，， 四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由，， 四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：A． 24．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ） A． B．AB＝AD C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、由，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵， ， ∴不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D．∵， ， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 25．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，平行四边形中，点E、F分别为边的中点，则图中共有平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质的判定． 根据点E、F分别为边的中点以及四边形是平行四边形，得出，，即可证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，即可求解； 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，又已知四边形是平行四边形， ∴题图中共有4个平行四边形． 故选：B． 26．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，点，在对角线上，连结，，，．添加下列一个条件能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质． 连接，交于点O，根据平行四边形对角线的性质和判定方法即可解答． 【详解】解：连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． ∴B选项符合题意，添加ACD选项的条件都不能证明四边形是平行四边形． 故选：B 平行四边形的判定的证明题型06 27．（23-24八年级下·山西太原·期末）已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF．    【答案】证明见解析． 【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥DC，再得出∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，即可推出△COF≌△AOE，从而得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥DC， ∴∠F=∠E，∠DCA=∠CAB， ∵AB=CD，FD=BE， ∴CF=AE， 在△COF和△AOE中， ∵∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB， ∴△COF≌△AOE， ∴OE=OF． 28．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，在中，是它的一条对角线，点，在上，且，连接，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形判定的方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质，运用“边角边”即可求证，由此即可求证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 29．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，小丽画了一个，然后延长到点，延长到点，连接后，她发现当四边形是平行四边形时，和总是相等的，请你帮她证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对角线互相平分是解题关键．连接交于点，由平行四边形的性质可得，，，分别作差即可证明． 【详解】证明：如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 30．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）作平行四边形ABCD的高CE，B是AE的中点，如图． （1）小琴说：如果连接DB，则DB⊥AE，对吗？说明理由． （2）如果BE：CE＝1： ，BC＝3cm，求AB． 【答案】（1）BD⊥AE，理由见解析；（2）（cm）． 【分析】（1）直接利用平行四边形的性质得出BD∥CE，进而得出答案； （2）直接利用勾股定理得出BE的长，进而得出答案． 【详解】解：（1）对， 理由：∵ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB且CD＝AB． 又B是AE的中点， ∴CD∥BE且CD＝BE． ∴BD∥CE， ∵CE⊥AE， ∴BD⊥AE； （2）设BE＝x，则CE＝x， 在Rt△BEC中：x2+（x）2＝9， 解得：x＝， 故AB＝BE＝（cm）． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确应用平行四边形的性质是解题关键． 31．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在四边形中，，分别是，边上的点，且，连结，交对角线于点，且与互相平分．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质． 连接，，根据与互相平分得到四边形是平行四边形，从而，，进而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证． 【详解】解：连接，， ∵与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，即， ∴四边形是平行四边形． 三角形的中位线的应用题型07 32．（23-24八年级下·山西大同·期末）某居民小区为美化居住环境，要在如图所示的三角形空地上围一个四边形花坛．已知点E，F分别是边，的中点，测量得米，则的长是（    ） A．8米 B．10米 C．16米 D．32米 【答案】A 【分析】本题考查了中位线．解题的关键在于熟练掌握中位线的性质，平行于底边且等于底边的一半．由题意知，是的中位线，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，是的中位线， ∴米， 故选：A． 33．（23-24八年级下·山西晋中·期末）如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点 ， 连接 ， ， 分别取 ， 的中点 ， ，连接．若 的长为， 则， 两地间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：点，分别为，的中点， ， 故答案为：． 34．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，CD是的中线，E，F分别是AC，DC的中点，，则BD的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先利用中位线性质求得AD，再由中线知BD=AD即可解答． 【详解】解：∵点E、F分别是AC、DC的中点， ∴EF是△ACD的中位线， ∴AD=2EF=2， ∵CD是△ABC的中线， ∴BD=AD=2 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的中线和中位线，熟练掌握中位线的性质是解答的关键． 35．（23-24八年级下·山西太原·期末）如图，在中，，点，分别是，的中点，的平分线交于点，的平分线交于点．若，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理得，由三角形中位线定理得，，，，结合角平分线的定义得，，进一步得，，即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点，分别是，的中点，，， ∴，，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴线段的长度为． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形中位线定理，角分平线的定义，平行线的性质，等角对等边等知识点．解题的关键是掌握勾股定理，三角形中位线定理． 36．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，点E是的中点，若平分，线段的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长度的一半． 延长交于，证明，则，，，可证是的中位线，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交于， 由题意知，，， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴是的中点，， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的长为． 故选：B． 37．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理得到，利用等腰三角形的性质得到，延长交于点M，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可． 【详解】如图，延长交于点M， ∵，E、F、G分别是的中点，，， ∴， ∴，，， ∴， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 平行四边形与尺规作图题型08 38．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，点、在直线上，为直线外一点，连结，分别以点、为圆心，、的长为半径画弧，两弧交于点，连接、，则四边形是平行四边形的理由是 ．    【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】先根据分别以点、为圆心，、的长为半径画弧，两弧交于点，连接、，得出，，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：根据尺规作图的画法可得，，， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 39．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质．由作法可得垂直平分，再由平行四边形的性质，可得，可判定A；再证明，可判定B，C，D，即可求解． 【详解】解：由作法得：垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 根据条件无法得到， ∴无法得到，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，，故B、D选项错误，不符合题意； ∴， 即，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 40．（23-24八年级下·山西长治·期末）数学活动课上，已知，惠卓图同学利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形，以下是其作图过程：（）作；（）以点为圆心，长为半径作弧交与点；（）连接，则四边形即为所求．在上述做图中，可直接判定四边形为平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而可得，，根据根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∵，， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形， 故选：． 41．（22-23八年级下·山西晋中·期末）如图所示：在中，连接．    (1)作线段的垂直平分线交于点E，交于点F（尺规作图保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本作图，分别以B点和D点为圆心，以大于线段长的一半为半径画弧即可作的垂直平分线； （2）先利用线段垂直平分线的性质得到，，再利用平行四边形的性质和平行线的性质得到，则可证明，所以，根据，从而可判断四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图即为所求，      （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了作图一复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的判定与性质． 42．（23-24八年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图1，给定不在同一直线上的三个点，，，如何利用无刻度的直尺和圆规在点，之间画一条过点A的直线，且点和点到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图，第一步：以点为圆心，以的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点； 第三步：作直线，则点和点到直线的距离相等． 下面是部分证明过程： 证明：如图．连接，，过点作于点，过点作于点，连接交于点． 由作图可知，， 四边形ABDC是平行四边形．（依据） ．（依据） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线． 任务： (1)填空：材料中的“依据”是指______；“依据”是指______． (2)请将小明的证明过程补充完整． (3)尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点和点之间作直线，使得点和点到直线的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【答案】(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分 (2)证明过程补充完整见解析 (3)（答案不唯一）见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定，垂直平分线的应用等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键， （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分； （2）根据题意补充完整，证明即可； （3）第一种利用垂直平分线的尺规作图得到的中点；第二种延长到点，使得，然后作的中位线即可， 【详解】（1）解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 平行四边形的对角线互相平分 （2），， ， ， （3） 43．（23-24八年级下·山西太原·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 等周线 问题：一个平面图形的周长能被一条直线平分吗？ 答案是肯定的．由于一个平面图形的周长是可以度量的，那就一定能度量其一半．过这一半的两个端点就能作出这条直线． 定义：一条直线平分一个平面图形的周长，我们称这条直线为这个平面图形的等周线．例如，如图1，已知一个圆，点O是它的圆心，过圆心的每一条直线都是它的等周线． 操作实验：如图2，在中，小雨发现用无刻度的直尺就能画出任意平行四边形的一条等周线． 深入探究：小雨继续思考，能否通过尺规作图，求作任意三角形的一条等周线呢？ 情形1：当等周线经过三角形的一个顶点时： 已知∶如图3，． 求作：直线m，使直线m经过点A且平分的周长． 小雨的想法是：以点B为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点D（点D在点B的左侧）．通过“截长补短”，将平分周长的问题转化为平分线段的问题． 情形2：当等周线不经过三角形的顶点时： 利用小雨的思路同样可以作出此时三角形的等周线； 发现结论：通过操作实验我们可以发现一个平面图形有无数条等周线． 任务： (1)在图2中，请你用无刻度的直尺画出的一条等周线（保留作图痕迹，不写画法，指出所求）； (2)如图3是小雨用尺规所作的不完整的图形，请你将小雨的图形补全．（保留作图痕迹，不写作法，指出所求）； (3)结论应用∶如图4，在中，，点Q为的中点，直线是的等周线，请你直接写出线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，过的交点作直线l，即可； （2）在直线上作，再取的中点，即可求解； （3）延长至点H，使，连接，在上取点G，使，连接，证明，可得，可得到是等边三角形，再由直线是的等周线，可得，然后根据三角形中位线定理可得，过点A作于点M，在上取点N，使，设，则，根据直角三角形的性质可得，再由，可求出x，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线l即为所求； （2）解：如图，直线m即为所求； （3）解：如图，延长至点H，使，连接，在上取点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵直线是的等周线， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过点A作于点M，在上取点N，使， ∴是等腰直角三角形， ∴可设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，理解新定义是解题的关键． 平行四边形的性质与判定的综合运用题型09 44．（23-24八年级下·山西晋中·期末）如图，在中，点、分别在、的延长线上，，．若，，则的长是（      ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质．根据平行四边形的判定和性质得到四边形是平行四边形，求得，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴， 即, 故选：D． 45．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，在四边形中，，，E是边上一点，连接，过点E作于点F，且．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，角平分线的判定，先证明，再由角平分线的判定定理得到，进而证明四边形是平行四边形得到；利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出的长，进而利用勾股定理求出的长． 【详解】解：， ， ， ∵，，， 是的平分线， ， ， 四边形是平行四边形， ． ，，， ， ， ，即， 解得， ， ∴ 故答案为：． 46．（23-24八年级下·山西忻州·期末）如图，四边形为平行四边形，分别为边上的点，且． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)分别为的中点，若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的性质； （1）先证明，，再证明，从而可得结论； （2）利用三角形的中位线的性质可得，再结合平行四边形的性质可得答案； 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ． ， ，即， 四边形为平行四边形． （2）解：分别为的中点， ． 四边形为平行四边形， ， 四边形的周长为． 47．（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC． (1)求证：O是线段AC的中点： (2)连接AF、EC，证明四边形AFCE是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明四边形ABCD是平行四边形，则结论得出； （2）证明△OAE≌△OCF，则OE＝OF，可得出结论． 【详解】（1）证明：∵∠E＝∠F， ∴ADBC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AC，BD互相平分， 即O是线段AC的中点； （2）证明：如图， ∵AD BC， ∴∠EAC＝∠FCA， 在△OAE和△OCF中， ， ∴△OAE≌△OCF， ∴OE＝OF， 又AO=CO， ∴四边形AFCE是平行四边形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质与判断，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 48．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EFBC． (1)求证：四边形BDEF是平行四边形； (2)线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论． 【答案】(1)见解析 (2)BF＝（AB﹣AC），证明见解析 【分析】（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论； （2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）． 【详解】（1）证明：延长CE交AB于点G， ∵AE⊥CE， ∴∠AEG＝∠AEC＝90°， 在△AEG和△AEC中， ∴△AGE≌△ACE（ASA）． ∴GE＝EC． ∵BD＝CD， ∴DE为△CGB的中位线， ∴DE∥AB． ∵EF∥BC， ∴四边形BDEF是平行四边形． （2）解：BF＝（AB﹣AC）． 理由如下： ∵四边形BDEF是平行四边形， ∴BF＝DE． ∵D、E分别是BC、GC的中点， ∴BF＝DE＝BG． ∵△AGE≌△ACE， ∴AG＝AC， ∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明GE＝EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键． 1．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，其中，，，则等于（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、平行四边形的性质，由勾股定理得出，由平行四边形的性质得出，，再由勾股定理求出的长，即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，是对角线上的两点，添加下列选项中的一个条件，不一定能使四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， 当时， ∴， ∴四边形是平行四边，故B选项不合题意； 当时，同理可得，故C选项不合题意， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ 当时，， ∴， ∴，则四边形是平行四边，故D选项不合题意 当时不能证明三角形全等，无条件证明四边形是平行四边，故A选项符合题意， 故选：A． 3．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB = 4，则OE的长是 （    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得BO=DO，所以OE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 【详解】解：在▱ABCD中，AC与BD相交于点O， ∴BO=DO， ∵点E是边BC的中点， 所以OE是△ABC的中位线， ∴OE=AB=2． 故选A． 【点睛】本题利用平行四边形的性质和三角形的中位线定理求解，需要熟练掌握． 4．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）在四边形中，对角线，相交于点，给出下列四组条件： ①，；②，； ③，；④，． 其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故①正确； ∵，，， ∴， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ，不能证明四边形是平行四边形，故③错误； ，，可以根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故④正确； 故选B．    【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 5．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在延长线上的点处，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，这的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，根据平行四边形的性质可得，即，根据平行线的性质，折叠的性质可得，根据三角形内角和定理可得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴，，，， ∴， 在中，， ∴， 故选：B ． 6．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，已知的顶点，，，若将先沿轴进行第一次对称变换，所得图形沿轴进行第二次对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴…的规律进行，则经过第2018次变换后，顶点坐标为（）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由平行四边形的性质求得A的坐标，然后根据“关于轴轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”以及“关于轴轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求得每一次轴对称变换A的坐标，得出每4次轴对称变换为一个循环周期的规律，由此得出经过第2018次变换后，A点的坐标． 【详解】∵平行四边形OABC的顶点O（0,0），B(2,2），C(1.6,0.8） ∴A的横坐标为2-1.6=0.4，纵坐标为2-0.8=1.2，即A(0.4,1.2) 将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，得A(-0.4,1.2）； 所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，得A(-0.4,-1.2）； 第三次轴对称变换，得A（0.4,-1.2）； 第四次轴对称变换，得A（0.4,1.2），即A点回到原处． 由此可知，每4次轴对称变换为一个重复周期． 2018÷4=504……2 所以经过第2018次变换后，平行四边形顶点A位于第三象限，其坐标为(-0.4,-1.2)． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，轴对称图象变换，找出周期性变化规律是解题的关键． 7．（23-24八年级下·山西晋中·期末）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为 ． 【答案】． 【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）． 8．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，点是垂足，连接交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质和勾股定理，得出，再根据等角对等边的性质和勾股定理，得出，即可求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， ， ， ，， ， 在中，， ， 故答案为： 9．（23-24八年级下·山西太原·期末）如图，在中，平分交对角线于点，平分交对角线于点，连接，．求证∶． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，证明，再证明四边形为平行四边形即可得证．证明是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∴． 10．（22-23八年级下·山西太原·期末）已知：如图，中，点，是对角线上的两点，顺次连接点A，，，，A，得到四边形．若四边形也是平行四边形，求证：．    【答案】见解析 【分析】根据四边形是平行四边形，得出，根据四边形是平行四边形，得出，根据，即可证明结论． 【详解】证明：连接交于点，如图所示：    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点，在边上， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形对角线互相平分． 11．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，为边上一点，且． （1）求证：． （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析（2） 【分析】（1）△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B=∠DAE即可证明． （2）根据全等三角形的性质，利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）四边形为平行四边形， ． ． ． ． ． （2）， ． 为等边三角形． ． ． ， . 12．（22-23八年级下·山西太原·期末）如图，已知是等边三角形，点是边上的一点．    (1)求作：直线，使于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作图中，取边上的点，使，连接，．若，请按要求补全图形，并证明四边形是平行四边形（若完成第（1）题有困难，可画草图完成第（2）题）． 【答案】(1)见解析 (2)补全图形，证明见解析 【分析】（1）按：过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图的作法，即可求作； （2）可证是等边三角形，从而可证，可证，即可求证． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求；    （2）解：补全图形如下：    证明： 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， 又 ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图，平行四边形的判定，等边三角形的性质等，掌握作法，判定方法及性质是解题的关键． 13．（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$