第十二讲 二次函数y=ax²+k的图象和性质（2个知识点4大典例）暑假预习讲义2025－2026学年人教版数学九年级上册

2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（2个知识点4大典例） 第十二讲 二次函数y=ax2+k的图象和性质（解析版） 知识点梳理 知识点1二次函数Y=ax2+k的图像 1.要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下： ①列表：先取点（0，k），然后以点（0，k）为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． 2.形状位置：形状与y＝ax²相同，对称轴Y轴，位置不同 二次函数y＝ax²向上平移k个单位长度 二次函数y＝ax²＋h(k＞0)， 二次函数y＝ax²向下平移k个单位长度 二次函数y＝ax²＋h(k＜0) 口诀：上加下减． 3. 要点诠释： 解二次函数 y=ax²+k（a≠0）的图象问题注意两点： 1.熟练掌握y=ax2的图象画法； 2.抛物线y=ax2 +k可由抛物线y=ax2 向上或下平移得到，可简记为“上加下减” 知识点2 二次函数Y=ax2+k的性质 y＝ax²＋h(a≠0) a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，h)  (图象有最低点) (0，h)  (图象有最高点) 对称轴 y轴(直线x＝0) y轴(直线x＝0) 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小(在对称轴的左侧，从左向右看，图象呈下降趋势)；当x＞0时，y随x的增大而增大(在对称轴的右侧，从左向右看，图象呈上升趋势). 当x＜0时，y随x的增大而增大(在对称轴的左侧，从左向右看，图象呈上升趋势)；当x＞0时，y随x的增大而减小(在对称轴的右侧，从左向右看，图象呈下降趋势). 最值 当x＝0时，y最小＝h. 当x＝0时，y最大＝h. 草图 要点诠释： 解二次函数 y=ax²+k（a≠0）的问题注意 1 .二次函数的符号 开口方向； 2.二次项系数的绝对值相等 抛物线的形状相同 3.K 顶点纵坐标 典例精讲1 题型1二次函数 y=ax²+k的图象的位置 【例1】．【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)上，4 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象； （2）根据律抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可； （3）先求得和时，的值，然后结合（1）中图象即可得出结论． 【详解】（1）解：， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点，， 令，则，即该抛物线经过点，， 所以此抛物线的大致图象如下图即为所求： （2）解：由上加下减的原则可得，向上平移4个单位可得出． 故答案为：上，4． （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 结合（1）中图象可知，当时，的取值范围为：或． 故答案为：或． 变式训练1 1．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是； 故选A． 2．对于抛物线 ，下列说法不正确的是（    ） A．图象开口向下 B．最小值是1 C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的相关性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向下，故A正确，不符合题意； ∵， ∴对称轴为y轴，顶点坐标为，故C、D正确，不符合题意； ∴当时，函数的最大值为，故B不正确，符合题意； 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数（，）的顶点坐标为，即可判断C、D它的开口方向向下，即可判断A、B，即可解答． 本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向． 【详解】解：二次函数（，）的顶点坐标为，选项C、D错误 对称轴为y轴，它的开口方向向下，选项B错误． 故选：A． 4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（   ） A．D点 B．C点 C．B点 D．A点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得对称轴为轴，进而结合选项，即可求解． 【详解】解：∵ ∴对称轴为直线，即轴， ∴坐标原点可能是点， 故选：B． 5．若抛物线的开口向上，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴； 故答案为：． 典例精讲2 题型2 二次函数 y=ax²+k的图象的增减性性、最值 【例2】．已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 【答案】(1) (2)当时，函数随的增大而减少 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数的关系式． （1）利用待定系数法即可求出函数的关系式． （2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数随的增大而减少． 【详解】（1）解：把点和点代入得 ，解得 所以这个函数的关系式为； （2）解：这个函数的关系式为； 对称轴， ， 抛物线开口向下， 当时，函数随的增大而减少． 变式训练2 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线顶点坐标的求解，解题的关键是掌握抛物线形式的顶点坐标公式． 根据抛物线的顶点坐标为，直接代入题目中的解析式求解． 【详解】对于抛物线，其形式为（其中）． 根据抛物线的顶点坐标公式，可知其顶点坐标为，即． 对比选项，B选项符合． 故选：B． 2．关于二次函数，下列说法错误的是（         ） A．y的最大值为1 B．图象与y轴的交点坐标为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，由表达式得到二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，进而得到当时，y随x增大而减小，由此即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，最小值为， ∴A选项错误，符合题意； 当时，，则图象与y轴的交点坐标为，故B选项正确； ∴当时，y随x增大而减小，故C选项正确； ∵对称轴为轴，故D选项正确． 故选：A． 3．甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“当时，函数值y随自变量x的增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】依题意，利用二次函数的性质，可得出，，即可作答．本题考查了二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵当时，函数值y随自变量x的增大而增大，函数图象经过点 ∴，且， 令，则 故答案为：（答案不唯一）． 4．点，都在二次函数的图象上，则 ．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键．根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴是y轴，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为： 5．如图，点，和点，分别在和的图像上．若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．依据题意，分别连接、，从而若点A，C的横坐标均为，点B，D的横坐标均为4，进而可得轴，又上面的抛物线为向下平移可得4个单位可得下面的抛物线，从而，可得四边形为平行四边形，结合平移的性质，从而阴影部分的面积为平行四边形的面积，进而得解． 【详解】解：如图，分别连接、． ∵若点A，C的横坐标均为，点B，D的横坐标均为4， ∴轴． 又∵上面的抛物线为向下平移可得4个单位可得下面的抛物线， ∴． ∴四边形为平行四边形． 又由平移可得， ∴阴影部分的面积为平行四边形的面积． 故答案为：24． 典例精讲3 题型3 二次函数 y=ax²+k的图象的平移 【例3】抛物线可由抛物线沿轴向 平移 个单位得到，它的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 点 【答案】 下 轴(或) 低 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 而抛物线的顶点坐标为， ∴平移方法为向下平移个单位． ∵，它的开口向上，顶点坐标为，对称轴为轴，有最低点， 故答案为：上，，上，，轴，低． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，掌握平移规律是解题的关键． 变式训练3 1．抛物线向上平移5个单位，所得抛物线顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数图象的平移规律可得平移后的抛物线解析式，由此即可得出答案． 【详解】抛物线向上平移5个单位所得抛物线为， 则其顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律、二次函数的顶点坐标，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键． 2. 二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( ) A. 抛物线y＝3x2向左平移1个单位得到的 B. 抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到的 C. 抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到的 D. 抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的 【答案】. D 【解析】二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的． 故选D． 3. 如图，两条抛物线y1＝－x2＋1，y2＝－x2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( ) A. 8 B. 6 C. 10 D. 4 【答案】A 【解析】∵两解析式的二次项系数相同，∴两抛物线的形状完全相同， ∴两条抛物线是上下平移得到，由平移性质得两个阴影部分的面积相等， ∴y1－y2＝－x2＋1－(－x2－1)＝2， ∴S阴影＝(y1－y2)×|2－(－2)|＝2×4＝8， 故选A． 4.能否适当地上下平移抛物线y＝x2，使得到的新图象经过点(3，－5)?若能，请你求出平移的方向和距离，若不能，请说明理由. 【答案】能，把抛物线y＝x2向下平移8个单位. 【解析】解：设平移y＝x2的图象后经过点(3，－5)的图象的函数解析式为y＝x2＋k，则有－5＝×32＋k，解得k＝－8， 故经过点(3，－5)的函数关系式为y＝x2－8， 即把抛物线y＝x2向下平移8个单位. 5.已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为____. 【答案】2 【解析】解：∵二次函数y=2x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A，B两点， ∴2x2=2，x=±1， ∴A，B两点相当于在原坐标系中的坐标为（-1，2），（1，2）， ∴S△OAB=×2×2=2， 故答案为2． 典例精讲 题型4 二次函数 y=ax²+k的实际应用 【例4】 如图,河上有一座抛物线形桥洞,已知桥下的水面离桥拱顶部3m时,水面宽,建立如图所示的坐标系. (1)当水位上升0.5 m时,求水面宽度为多少米?(结果可保留根号) (2)当水面的宽度为时,有一艘游船,它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚,此船正对着桥洞在上述河流中航行,若游船宽(最大宽度)2m,从水面到棚顶高度为1.8 m.问这艘游船能否从桥洞下通过? 答案：(1)设抛物线形桥洞的函数解析式为，把，代入得，解得，. 由题意得点C与点D的纵坐标为0.5，. 解得， ， 则水面的宽度为. (2)这艘游船能从桥洞下通过.理由如下: 当时，， ，这艘游船能从桥洞下通过. 变式训练4 1．某公路有一个抛物线形状的隧道，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点．（长度单位：） (1)求该隧道截面的最大跨度（即的长度）是 米． (2)该隧道为双向车道，现有一辆货运卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【答案】(1) (2)卡车能顺利通过隧道，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点C坐标代入解析式，求出对应的函数解析式，再令函数值为0，求出x的值得到A、B坐标即可得到答案； （2）把代入解析式求出此时y的值即可得到结论． 【详解】（1）解：∵抛物线的解析式为且过顶点， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴， ∴； （2）解：卡车能顺利通过隧道，理由如下： 在中，当时，， ∴卡车能顺利通过隧道． 2．图1是某学校的大门，门拱形状可近似地看作抛物线，图2是其示意图，门拱底部与地面的交点记为，，最高点记为点，以所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组测得，，且．    (1)求门拱所在的抛物线表达式； (2)如图2，线段和线段分别表示大门两侧一钢笔造型的建筑．经测量和等高且，在距离点右侧处的门拱上方及其右侧对称位置悬挂标语框，已知一工作人员伸手到地面距离最高，求悬挂标语框时脚手架的最低高度； (3)为迎校庆，拟在抛物线型的门拱上悬挂相同尺寸的彩旗．彩旗悬挂点到彩旗底部的距离为1米，彩旗宽为米，悬挂方式如图3所示，为了安全，彩旗底部距离地面不小于2米，为了实效，相邻两面彩旗悬挂点的水平间距均为米；为了美观，要求在符合条件处都挂上彩旗，且挂满后成轴对称分布．则符合所有悬挂条件的彩旗数量可以是__________面．（参考数据：） 【答案】(1) (2)悬挂标语框时脚手架的高度最低为 (3)10或11 【分析】本题主要考查了 二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）求出，则，再由题意可得，据此把解析式设为交点式，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得挂标语框的位置与原点的距离为米，那么只需要把代入解析式中求出的值即可得到答案； （3）由于彩旗自身高度为1米，且离底面的最低距离为2米，故彩旗的顶部离底面的最小距离为3米，据此求出时，x的值；再分两种情况，第一种情况，在点P左边，与点P距离为米处的位置，挂第一面彩旗，根据求得的x的值，可确定左边可以挂的彩旗数量，根据对称性可求出右边挂的数量；第二种情况，在点P处挂一面彩旗，再分别求出点P左边和右边可以挂的数量即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵且． ∴， 设抛物线解析式为， 把代入到中，得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：， 在中，当时，， ∵， ∴悬挂标语框时脚手架的最低高度为； （3）解：在中，当时，解得， 当在点P左边，离点P的距离为米时开始悬挂彩旗时， ∵， ∴在点P左边一共可以挂5面彩旗， 由对称性可知，此时在点P右边一共可以挂5面彩旗， ∴此时一共可以挂面彩旗； 当从点P处开始悬挂彩旗时， ∵， ∴此时在点P的左边和点P的右边都可以挂5面彩旗， ∴此时一共可以挂面彩旗； 综上所述，一共可以挂10面或11面彩旗． 3．根据以下素材，探索完成任务． 材料 如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线桥拱形彩虹桥，已知道路的宽为（路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行），桥面最高处与路面的距离为． 任务1 以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求该抛物线形彩虹桥的解析式． 任务2 按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最小高度． 任务3 若在该彩虹桥下方有一个限高的横杆，现要在横杆上方悬挂一个宽、高的横幅，在不超出桥面的情况下，横幅能否按计划悬挂（不考虑横杆的宽度）？请通过计算说明． 【答案】任务1：；任务2：支撑柱的最小高度为米．任务3：横幅能按计划悬挂． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确建立坐标系、求得函数解析式成为解题的关键． 任务1：先根据题意建立直角坐标系，然后运用待定系数法求解即可； 任务2：先求出支撑柱到的距离至少为8米，再令，求得y的值即可解答； 任务3：由题意可得：横幅的上边沿离路面的最小距离为米，令，求得x的值，进而求得当横幅的上边沿离路面距离为6米，桥面的宽度为10米，据此即可即可． 【详解】解：任务1：根据题意建立直角坐标系如下：顶点坐标为：，点， 设该抛物线的解析式为：， 则，解得：， 所以该抛物线形彩虹桥的解析式为． 任务2：∵要确保道路的正常通行， ∴两个支撑柱之间的距离最少为， ∴支撑柱到的距离至少为8米， 令，则． 所以支撑柱的最小高度为米． 任务3：由题意可得：横幅的上边沿离路面的最小距离为米， 令，则，解得：， ∴当横幅的上边沿离路面距离为6米，桥面的宽度为10米， ∵， ∴横幅能按计划悬挂． 4．陕西某水库的截面图如图所示，水库底呈抛物线形，以水平地面为轴，垂直于水平地面且位于水库中心的线为轴，建立平面直角坐标系，水库的宽，水库底的最深处距离水平地面． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)若水库原来的水面宽，水库现在水面的宽度减少为原来的一半，求水库底的最深处到水面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，经过点，设抛物线的函数解析式为，利用待定系数法解答即可求解； （）求出时的值，进而即可求解； 本题考查了二次函数的实际应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，经过点， ∴可设抛物线的函数解析式为， 把点代入得，， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，， ∴此时水库底的最深处到水面的距离． 5．如图1，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下行分离的四车道高速公路长隧道．如图2是单向隧道的示意图，洞宽米，其中两侧分别设人行检修道米，左侧设侧向宽度米，右侧设侧向宽度米，行车道宽米．假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图2所示的平面直角坐标系，其中O为的中点，隧道的净高度米．（参考数据：） (1)求该抛物线的解析式． (2)如果一货运汽车装载货物后的高度为4.6米，宽度为2.25米．隧道内两个行车道用实线隔开（实线的宽度忽略不计），不允许车辆随意变道．试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，走右侧车道 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式． （1）根据待定系数法求解即可； （2）分别求出，时，对应的函数值，即可判断． 【详解】（1）解：∵O为的中点，， ∴， ∴， 设抛物线解析式为， 则， ∴， ∴； （2）解：∵，，，，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴左侧车道不能通过， 当时，， ∴右侧车道能通过， ∴该货车应按右侧车道行驶能通过． 能力提升 创新拓展 1．如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． (1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ (2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； (3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)； (3)． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质． （1）根据抛物线的性质得出二次项系数相同抛物线的“完美三角形”全等，据此求解即可； （2）由题意可知为等腰直角三角形，设出点的坐标为，根据二次函数的性质得出的值，然后得出，由此列出方程，求解即可； （3）由（2）的结论，列式整理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线①；③的形状与抛物线相同， ∴抛物线和与的“完美三角形”的斜边长相等； 故答案为：①③； （2）解：设交轴于， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设点坐标为，代入抛物线， 得， ∴，（舍去）， ∴， ∴， ∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴抛物线与抛物线的“完美三角形”全等， ∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴，∴； （3）解：由（2）知抛物线的“完美三角形”的斜边长为， 抛物线的“完美三角形”的斜边长为， ∵， ∴， 整理得． 2．如图，点A，C为抛物线为常数，且上两定点，点B为点A，C之间的抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点B作x轴垂线，交直线于点，过点A，C作直线的垂线，垂足分别为F，D． (1)若，点A，B，C的横坐标分别为，m，1，， ①求直线的函数关系式； ②______；（用含m的代数式表示） ③试猜想，，之间的数量关系并证明： (2)若（1）中a的值改为，其余条件不变，请直接写出，，之间的数量关系； (3)当a的值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时，，，之间的数量关系是______． 【答案】(1)①；②； ③；证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图像与性质，求点的坐标，整式的乘法． （1）①若，抛物线的表达式为：，从而得到，，， 根据待定系数法即可求出直线的解析式； ②求出点E的坐标，根据即可解答； ③根据各点坐标得到，，，即可得到； （2）同（1）思路即可解答； （3）设点，点，由点A、C的坐标得，直线的表达式为：，设点，则点，表示出，，即可解答． 【详解】（1）解：①若，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为：； ②对于直线：，当时，， ∴， ∴， 故答案为：； ③，理由如下： ，，，， ，，， ； （2）解：，理由如下： 当时，抛物线的表达式为：， ∴，，， 同理可得：直线的表达式为：， ∴， ∴， ，， ∴； （3）解：，理由如下： 设点，点， 由点A、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， ，， 则， ， ， 故答案为： 3 .在线段上取点，分别以、为边在的同一侧构造正方形和正方形，点、分别是、的中点，连接，若，则线段的最小值为______． 【答案】4 【分析】 过点Q作QH⊥BG，垂足为H，求出PH，设CG=2x，利用勾股定理表示出PQ，根据x的值即可求出PQ的最小值． 解：如图，过点Q作QH⊥BG，垂足为H， ∵P，Q分别为BC，EF的中点，BG=8， ∴H为CG中点， ∴PH=4，设CG=2x， 则CH=HG=EQ=x，QH=2x， ∴PQ===， 则当x=0时，PQ最小，且为4， 故答案为：4． 【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，勾股定理，线段最值问题，解题的关键是表示出PQ的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（2个知识点4大典例） 第十二讲 二次函数y=ax2+k的图象和性质 知识点梳理 知识点1二次函数Y=ax2+k的图像 1.要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下： ①列表：先取点（0，k），然后以点（0，k）为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． 2.形状位置：形状与y＝ax²相同，对称轴Y轴，位置不同 二次函数y＝ax²向上平移k个单位长度 二次函数y＝ax²＋h(k＞0)， 二次函数y＝ax²向下平移k个单位长度 二次函数y＝ax²＋h(k＜0) 口诀：上加下减． 3. 要点诠释： 解二次函数 y=ax²+k（a≠0）的图象问题注意两点： 1.熟练掌握y=ax2的图象画法； 2.抛物线y=ax2 +k可由抛物线y=ax2 向上或下平移得到，可简记为“上加下减” 知识点2 二次函数Y=ax2+k的性质 y＝ax²＋h(a≠0) a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，h)  (图象有最低点) (0，h)  (图象有最高点) 对称轴 y轴(直线x＝0) y轴(直线x＝0) 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小(在对称轴的左侧，从左向右看，图象呈下降趋势)；当x＞0时，y随x的增大而增大(在对称轴的右侧，从左向右看，图象呈上升趋势). 当x＜0时，y随x的增大而增大(在对称轴的左侧，从左向右看，图象呈上升趋势)；当x＞0时，y随x的增大而减小(在对称轴的右侧，从左向右看，图象呈下降趋势). 最值 当x＝0时，y最小＝h. 当x＝0时，y最大＝h. 草图 要点诠释： 解二次函数 y=ax²+k（a≠0）的问题注意 1 .二次函数的符号 开口方向； 2.二次项系数的绝对值相等 抛物线的形状相同 3.K 顶点纵坐标 典例精讲1 题型1二次函数 y=ax²+k的图象的位置 【例1】．【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 变式训练1 1．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．对于抛物线 ，下列说法不正确的是（    ） A．图象开口向下 B．最小值是1 C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴 3．在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（   ）． A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（   ） A．D点 B．C点 C．B点 D．A点 5．若抛物线的开口向上，则的取值范围是 ． 典例精讲2 题型2 二次函数 y=ax²+k的图象的增减性性、最值 【例2】．已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 变式训练2 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．关于二次函数，下列说法错误的是（         ） A．y的最大值为1 B．图象与y轴的交点坐标为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴 3．甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“当时，函数值y随自变量x的增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式： ． 4．点，都在二次函数的图象上，则 ．（填“”、“”或“”）． 5．如图，点，和点，分别在和的图像上．若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是 ． 典例精讲3 题型3 二次函数 y=ax²+k的图象的平移 【例3】抛物线可由抛物线沿轴向 平移 个单位得到，它的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 点 变式训练3 1．抛物线向上平移5个单位，所得抛物线顶点坐标是 ． 2. 二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( ) A. 抛物线y＝3x2向左平移1个单位得到的 B. 抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到的 C. 抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到的 D. 抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的 3. 如图，两条抛物线y1＝－x2＋1，y2＝－x2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( ) A. 8 B. 6 C. 10 D. 4 4.能否适当地上下平移抛物线y＝x2，使得到的新图象经过点(3，－5)?若能，请你求出平移的方向和距离，若不能，请说明理由. 5.已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为____. 典例精讲4 题型4 二次函数 y=ax²+k的实际应用 【例4】 如图,河上有一座抛物线形桥洞,已知桥下的水面离桥拱顶部3m时,水面宽,建立如图所示的坐标系. (1)当水位上升0.5 m时,求水面宽度为多少米?(结果可保留根号) (2)当水面的宽度为时,有一艘游船,它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚,此船正对着桥洞在上述河流中航行,若游船宽(最大宽度)2m,从水面到棚顶高度为1.8 m.问这艘游船能否从桥洞下通过? 变式训练4 1．某公路有一个抛物线形状的隧道，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点．（长度单位：） (1)求该隧道截面的最大跨度（即的长度）是 米． (2)该隧道为双向车道，现有一辆货运卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由． 2．图1是某学校的大门，门拱形状可近似地看作抛物线，图2是其示意图，门拱底部与地面的交点记为，，最高点记为点，以所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组测得，，且．    (1)求门拱所在的抛物线表达式； (2)如图2，线段和线段分别表示大门两侧一钢笔造型的建筑．经测量和等高且，在距离点右侧处的门拱上方及其右侧对称位置悬挂标语框，已知一工作人员伸手到地面距离最高，求悬挂标语框时脚手架的最低高度； (3)为迎校庆，拟在抛物线型的门拱上悬挂相同尺寸的彩旗．彩旗悬挂点到彩旗底部的距离为1米，彩旗宽为米，悬挂方式如图3所示，为了安全，彩旗底部距离地面不小于2米，为了实效，相邻两面彩旗悬挂点的水平间距均为米；为了美观，要求在符合条件处都挂上彩旗，且挂满后成轴对称分布．则符合所有悬挂条件的彩旗数量可以是__________面．（参考数据：） 3．根据以下素材，探索完成任务． 材料 如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线桥拱形彩虹桥，已知道路的宽为（路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行），桥面最高处与路面的距离为． 任务1 以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求该抛物线形彩虹桥的解析式． 任务2 按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最小高度． 任务3 若在该彩虹桥下方有一个限高的横杆，现要在横杆上方悬挂一个宽、高的横幅，在不超出桥面的情况下，横幅能否按计划悬挂（不考虑横杆的宽度）？请通过计算说明． 4．陕西某水库的截面图如图所示，水库底呈抛物线形，以水平地面为轴，垂直于水平地面且位于水库中心的线为轴，建立平面直角坐标系，水库的宽，水库底的最深处距离水平地面． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)若水库原来的水面宽，水库现在水面的宽度减少为原来的一半，求水库底的最深处到水面的距离． 5．如图1，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下行分离的四车道高速公路长隧道．如图2是单向隧道的示意图，洞宽米，其中两侧分别设人行检修道米，左侧设侧向宽度米，右侧设侧向宽度米，行车道宽米．假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图2所示的平面直角坐标系，其中O为的中点，隧道的净高度米．（参考数据：） (1)求该抛物线的解析式． (2)如果一货运汽车装载货物后的高度为4.6米，宽度为2.25米．隧道内两个行车道用实线隔开（实线的宽度忽略不计），不允许车辆随意变道．试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由． 能力提升 创新拓展 1．如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． (1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ (2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； (3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 2．如图，点A，C为抛物线为常数，且上两定点，点B为点A，C之间的抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点B作x轴垂线，交直线于点，过点A，C作直线的垂线，垂足分别为F，D． (1)若，点A，B，C的横坐标分别为，m，1，， ①求直线的函数关系式； ②______；（用含m的代数式表示） ③试猜想，，之间的数量关系并证明： (2)若（1）中a的值改为，其余条件不变，请直接写出，，之间的数量关系； (3)当a的值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时，，，之间的数量关系是______． 3 .在线段上取点，分别以、为边在的同一侧构造正方形和正方形，点、分别是、的中点，连接，若，则线段的最小值为______． 学科网（北京）股份有限公司 $$