第十讲 二次函数（4个知识点5大典例）暑假预习讲义2025－2026学年人教版数学九年级上册

2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（4个知识点5大典例） 第十讲 二次函数 知识点梳理 知识点1、二次函数的定义 1.定义：形如y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 2.要点诠释： 二次函数定义的核心是用自变量的二次整式表示的函数，（1）整式（2）二次项系数不为0 知识点2. 二次函数的一般形式 1.一般形式：y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数） 2.要点诠释： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 知识点3、二次函数定义的应用 1.判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等. 2.求解二次函数的值的思维方法 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值. 3. 要点诠释： 应用一次函数定义解决有关问题时一要注意二次项系数不为0，二要注意二次项指数必须是2 知识点4、列二次函数关系式 1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言； 2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； 3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式. 要点诠释： （1）明确题目中的已知量、未知量及变量间的基本关系，识别等量关系。 设定自变量和因变量，注意单位统一。 （2）建立函数关系式  （3）将实际问题转化为数学模型，通过等量关系列出二次函数表达式 对于几何问题，常结合勾股定理、三角形面积公式等工具推导。 典例精讲1 题型1 二次函数识别 【例1】．关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 变式训练1 1．下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．在圆的面积公式中，与的关系是（   ） A．一次函数关系 B．正比例函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 3．下列函数关系中，是二次函数的是（    ）． A．生产100吨钢材，工作效率和工作时间之间的关系 B．当速度为时，汽车行驶的距离与时间之间的关系 C．长方形的周长一定时，长方形的长与宽之间的关系 D．圆的面积与半径之间的关系 4．如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数． 5．下列函数中，哪些是关于的二次函数？ ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦． 典例精讲2 题型2 二次函数一般形式 【例2】．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 变式训练2 1．关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（　　） A．y是x的二次函数 B．二次项系数是﹣10         C．一次项是100       D．常数项是20000 2．二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 3．把y＝（2－3x）（6＋x）变成y＝ax²＋bx＋c的形式，二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 4．已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 5．下列函数哪些是二次函数？并写出它们的二次项、一次项、常数项． ①； ②； ③； ④． 典例精讲3 题型3 由二次函数定义求参数 【例3】．已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离； (2)若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件． 变式训练 1．若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的解析式为，满足如下四个条件：；；，，则 ， ． 3．已知二次函数，求的值． 4．已知关于的函数． (1)若该函数为二次函数，求的值； (2)若该函数为一次函数，求的值． 5．已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)判断点是否在该二次函数图象上． 典例精讲4 题型4 二次函数的函数值 【例4】．已知一个关于x的二次函数，当x分别为1，2，3时，对应函数值分别为3，0，4，求这个二次函数的表达式． 变式训练4 1．已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 2．定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）． (1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值； (2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围． 3．已知：二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)设、、均在该函数图象上， ①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由； ②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由． 4．已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系： 则代数式的值是 ． 典例精讲5 题型5 列二次函数关系式 【例5】．如图，中，，，，点从点出发，沿边以每秒个单位的速度向终点运动，过点作，交边（或边）于点，设点运动的时间为秒．    (1)用含的代数式表示线段的长为______． (2)当点与点重合时，求的值． (3)若的面积为，求与之间的函数关系式． (4)当线段把分成的两部分图形面积之比为：时，直接写出的值． 变式训练 1．一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ． 2．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ． 3．某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 4． 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计打印图纸方案？ 素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ）构成．已知，点分别在和上，且，设． 素材2 为了打印精准，拟在图2中的边 上设置一排间距为的定位坐标（为坐标原点），计算机可根据点的定位坐标精准打印出图案． 问题解决 任务1 确定关系 用含的代数式表示： 区块Ⅰ的面积   、 区块Ⅱ的面积 、 区块Ⅲ的面积 ． 任务2 拟定方案 为美观，拟将区块Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是以为腰的等腰三角形，求所有方案中区域乙的面积或函数表达式． 任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为范围内的整数时，此时的点为最佳定位点，请直接写出所有的最佳定位点E的坐标． 5．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 能力提升 创新拓展 1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点．连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记的交点为． (1)线段与有什么数量关系？______． ①当点坐标时，点的坐标是______； ②当点坐标时，点的坐标是______． (2)在轴上改变点的位置，可得到不同的点，试着把得到的点用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线，猜想它是我们学过的哪种曲线．______． (3)验证（2）的猜想：对于曲线上任意一点，设点的坐标是，请根据与的关系求出满足的关系式．你得出的结论与先前你的猜想一样吗？ 2．若函数y=（a-1）xb+1+x2+1是二次函数，试讨论a、b的取值范围. 3．矩形中，，，点为射线上的动点与点不重合）将矩形沿某一直线对折，使点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)如图1，若，求的长； (2)当在边上时，设，，求与之间的函数关系式，并直接写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（4个知识点5大典例） 第十讲 二次函数（解析版） 知识点梳理 知识点1、二次函数的定义 1.定义：形如y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 2.要点诠释： 二次函数定义的核心是用自变量的二次整式表示的函数，（1）整式（2）二次项系数不为0 知识点2. 二次函数的一般形式 1.一般形式：y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数） 2.要点诠释： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 知识点3、二次函数定义的应用 1.判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等. 2.求解二次函数的值的思维方法 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值. 3. 要点诠释： 应用一次函数定义解决有关问题时一要注意二次项系数不为0，二要注意二次项指数必须是2 知识点4、列二次函数关系式 1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言； 2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； 3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式. 要点诠释： （1）明确题目中的已知量、未知量及变量间的基本关系，识别等量关系。 设定自变量和因变量，注意单位统一。 （2）建立函数关系式  （3）将实际问题转化为数学模型，通过等量关系列出二次函数表达式 对于几何问题，常结合勾股定理、三角形面积公式等工具推导。 典例精讲1 题型1 二次函数识别 【例1】．关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙的说法对，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的定义，配方法的应用，将配方得出，从而得出无论取何值，，结合二次函数的定义即可得解． 【详解】解：乙的说法对，理由如下： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，， ∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对． 变式训练1 1．下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意； B、是二次函数，故此选项合题意； C、不是二次函数，故此选项不符合题意； D、不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：B． 2．在圆的面积公式中，与的关系是（   ） A．一次函数关系 B．正比例函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可判断，解题的关键是正确理解：一般地形如（是常数，）的函数叫做二次函数． 【详解】解：圆的面积公式中，与的关系是二次函数关系， 故选：． 3．下列函数关系中，是二次函数的是（    ）． A．生产100吨钢材，工作效率和工作时间之间的关系 B．当速度为时，汽车行驶的距离与时间之间的关系 C．长方形的周长一定时，长方形的长与宽之间的关系 D．圆的面积与半径之间的关系 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． A．根据题意得到工作效率和工作时间之间的关系为，利用二次函数的定义来判断． B．根据题意得到汽车行驶的距离与时间之间的关系为，利用二次函数的定义来判断． C．根据题意得到长方形的长与宽之间的关系为，利用二次函数的定义来判断． D．根据题意得到圆的面积与半径之间的关系为，利用二次函数的定义来判断． 【详解】解：A．生产100吨钢材，工作效率和工作时间之间的关系为，它不是二次函数，故此项不符合题意． B．当速度为时，汽车行驶的距离与时间之间的关系为，它不是二次函数，故此项不符合题意． C．长方形的周长一定时，长方形的长与宽之间的关系为，它不是二次函数，故此项不符合题意． D．圆的面积与半径之间的关系为，它是二次函数，故此符合题意． 故选：D． 4．如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数． 【答案】 二次 【分析】本题主要考查函数的概念、图形的变化类规律等知识点，由题目图形的变化、发现规律是解题的关键． 先根据题目图形的变化发现规律，然后根据规律确定函数解析式，再判定函数类型即可． 【详解】解：由图可知，从第（2）个图形开始，每个图形除去中间的点，每条分支上的点数比分支数少1，那么第（n）个图形有n条分支，每条分支的点数是，因此，它是二次函数． 故答案为：，二次． 5．下列函数中，哪些是关于的二次函数？ ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦． 【答案】①②④⑥ 【分析】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意是不等于零的常数．根据二次函数的定义：（且是常数）判断即可得答案． 【详解】解：①是二次函数； ②是二次函数； ③不是整式，不是二次函数； ④是二次函数； ⑤不是整式，不是二次函数； ⑥可变形为：是二次函数； ⑦是一次函数． 故二次函数的有①②④⑥． 典例精讲2 题型2 二次函数一般形式 【例2】．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 【答案】见解析 【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理． 【详解】解： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） 2 （2） 0 （3） 1 0 （4） 1 0 0 【点睛】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 变式训练2 1．关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（　　） A．y是x的二次函数 B．二次项系数是﹣10         C．一次项是100       D．常数项是20000 【答案】C 【分析】先化简，整理成一般式，然后对每个选项判断即可. 【详解】∵y=（500﹣10x）（40+x） =-10x2+100x+20000， ∴y是x的二次函数，二次项系数是-10，一次项系数是100，常数项是20000， ∴A、B、D正确，C错误. 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，据此求解即可. 2．二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 5 【分析】根据二次函数的定义判断即可。 【详解】解：二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是， 故答案为：①，② ，③ ， 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 3．把y＝（2－3x）（6＋x）变成y＝ax²＋bx＋c的形式，二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 －16 12 【解析】略 4．已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 【分析】本题考查了二次函数的一般形式和二次项、一次项系数及常数项的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．把方程化为二次函数的一般形式，根据定义即可得到答案． 【详解】（1）解： 该二次函数的一般形式是； （2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 5．下列函数哪些是二次函数？并写出它们的二次项、一次项、常数项． ①； ②； ③； ④． 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义． 根据形如是二次函数，可得答案． 【详解】解：①：化简得：，是二次函数，二次项是，一次项是，常数项是； ②：化简得：，是二次函数，二次项是，一次项是，常数项是2； ③：整理得：，是二次函数，二次项是，一次项是0，常数项是3； ④：化简得：，不是二次函数． 典例精讲3 题型3 由二次函数定义求参数 【例3】．已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离； (2)若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件． 【答案】(1)，，原点到直线的距离是 (2)当且时，这个函数是二次函数 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的定义、一次函数图象和性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握一次函数与二次函数相关知识点． （1）先由是关于x的一次函数得出，且，再代入点，即可求出n的值，再根据等面积法求解即可得出原点到直线的距离； （2）先由是关于x的二次函数得出，再求解即可． 【详解】（1）解：根据一次函数的定义，得， 解得：或， 又∵，即． ∴当时，这个函数是一次函数． 此时，函数， 将点代入得：； 令，则， 令，则， 故函数与坐标轴的交点为和， 两交点的距离为， 故原点到直线的距离． （2）解：根据二次函数的定义，得， 解得且． ∴当且时，这个函数是二次函数． 变式训练 1．若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式的表示，掌握二次函数的定义是关键． 二次函数的一般式为，由此判定即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， ∴， 解得，， 故选：D ． 2．二次函数的解析式为，满足如下四个条件：；；，，则 ， ． 【答案】 4 【分析】本题考查了二次函数的定义，有理数的加法和乘法运算，解二元一次方程组，掌握相关知识点是解题关键．由二次函数的定义可得，进而得到或，再分别求解即可． 【详解】解：二次函数的解析式为， ， ， 或， 当时，，， 解得：，，满足，符合题意； 当时，，， 解得：，，不满足，不符合题意； 故答案为：；4． 3．已知二次函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数． 【详解】解：由题意可知：， 解得， 又∵，即， 综上所述： 4．已知关于的函数． (1)若该函数为二次函数，求的值； (2)若该函数为一次函数，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的概念，熟练掌握其概念并能正确分类讨论是解决此题的关键． （1）根据二次函数的概念得，且，求解即可； （2）根据一次函数的概念得且，，求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得，且， 解得 ∴时，该函数为二次函数； （2）解：依题意，当首项次数为1，且合并同类项后一次项系数不为零时， 且， 解得， 当首项系数为零时，， 解得和， 综上，，和时，该函数为一次函数． 5．已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)判断点是否在该二次函数图象上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的点的坐标特征，熟练掌握函数的定义是解题的关键． （1）根据二次函数的定义得到，然后解之即可得到满足条件的m的值； （2）将代入函数关系式，求出y的值，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：函数解析式为：， 当时，， 点不在该二次函数图象上. 典例精讲4 题型4 二次函数的函数值 【例4】．已知一个关于x的二次函数，当x分别为1，2，3时，对应函数值分别为3，0，4，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】将x与y的三对值代入二次函数解析式求出a、b、c的值，即可确定出解析式． 【详解】解：设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c， 将x=1，y=3；x=2，y=0；x=3，y=4代入得： ， 解得： ， 则二次函数解析式为y=x2-x+13． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 变式训练4 1．已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据二次函数的定义即可求解； （）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，且， 解得， ∴当时是的二次函数； （2）解：∵， ∴， ∵点在此函数图象上， ∴． 2．定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）． (1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值； (2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可； （2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可． 【详解】（1）解：依题意把点代入解析式， 得，化简得：，解得：； （2）解：设点是函数的一个不动点， 则有，化简得，， 关于的方程有实数解， ，解得：． 【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与判别式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题． 3．已知：二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)设、、均在该函数图象上， ①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由； ②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由． 【答案】(1) (2)①当时，、、不能作为同一个三角形三边的长，理由见解析；②见解析 【分析】（1）把代入二次函数即可求解； （2）①把m=4代入解析式求出、、，然后根据三角形构成的条件：任意两边之和大于第三边判断即可；②把、、代入求得、、，根据三角形构成的条件，当时，>0来判断即可。 【详解】（1）解：把代入二次函数得：， ． （2）解：①答：当时，、、不能作为同一个三角形三边的长． 理由是当时，、、， 代入抛物线的解析式得：，，， ， 当时，、、不能作为同一个三角形三边的长． ②理由是：把、、代入得： ，，， ， ，，，都是大于的， ， ， 根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边）， 当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长． 【点睛】本题考查了二次函数点的坐标特征，和构成三角形的条件，掌握三角形三边关系定理是解题的关键。 4．已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入计算即可． 【详解】解：由题意得： 把代入得： 等号两边同除以得： 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数，熟练掌握代入法转化为关于的关系式是解决本题的关键． 5．已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系： 则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】根据表格得出时，；时，，然后计算的值即可． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，； ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数的函数值，找出合适的自变量代入是解题的关键． 典例精讲 题型5 列二次函数关系式 【例5】．如图，中，，，，点从点出发，沿边以每秒个单位的速度向终点运动，过点作，交边（或边）于点，设点运动的时间为秒．    (1)用含的代数式表示线段的长为______． (2)当点与点重合时，求的值． (3)若的面积为，求与之间的函数关系式． (4)当线段把分成的两部分图形面积之比为：时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）勾股定理求得，当与点重合时，则，进而勾股定理求得，根据路程除以速度，即可求解； （3）分，两种情况，根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解； （4）同（3）的方法，分2种情况讨论，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， ∴ 故答案为：． （2）解：在中，，，， ∴，； 当与点重合时，则 ∵，， ∴ 在中， ∴    （3）解：当时，，， ∴ 当时，在上，如图所示，    ∵中，，， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ （4）∵中，，，， ∴, ∴， 当时，点在上，当时， 解得：（负值舍去） 当时，则 解得：（舍去）或（舍去） 当时，在上， ∵， ∴ 依题意，时， 即 解得：或（舍去） 当， 解得：（舍去）或（舍去）    综上所述，或时，线段把分成的两部分图形面积之比为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，列代数式，分类讨论是解题的关键． 变式训练 1．一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，先计算出原正方形的面积，再计算出边长减少后的正方形的面积，作差即可得解． 【详解】解：原正方形面积为（平方厘米）， 边长减少厘米后，新正方形边长为厘米，面积为平方厘米， 则， 故答案为：． 2．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】此题考查求二次函数解析式，根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解答． 【详解】解：， 故答案为：． 3．某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 【答案】(1) (2)售价的取值范围是 (3)能，60元 【分析】本题主要考查求函数解析式、不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据日销售利润、售价、进价、销售量的关系列出函数关系式为即可； （2）由题意，，则，解得：，再结合要保证盈利即可解答； （3）根据（1）所得的关系式，列一元二次方程求解并结合（2）的条件即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得： 日销售利润与的函数关系式为． （2）解：由题意，， 则，解得：， 要保证盈利 售价的取值范围是． （3）解：由， 则，解得：（舍去）或． 答：当定价为60元时，日销售利润为1600元． 4． 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计打印图纸方案？ 素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ）构成．已知，点分别在和上，且，设． 素材2 为了打印精准，拟在图2中的边 上设置一排间距为的定位坐标（为坐标原点），计算机可根据点的定位坐标精准打印出图案． 问题解决 任务1 确定关系 用含的代数式表示： 区块Ⅰ的面积   、 区块Ⅱ的面积 、 区块Ⅲ的面积 ． 任务2 拟定方案 为美观，拟将区块Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是以为腰的等腰三角形，求所有方案中区域乙的面积或函数表达式． 任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为范围内的整数时，此时的点为最佳定位点，请直接写出所有的最佳定位点E的坐标． 【答案】（1）任务1：；；；任务2：或；任务3：有2个最佳定位点，分别为， 【分析】任务1：由题中数据，结合正方形性质及三角形面积公式代值求解即可得到答案； 任务2：由题意，分两种情况，作出图形，结合正方形性质及三角形面积公式代值求解即可得到答案； 任务3：由区域乙的面积为，结合任务2中所求区域乙的面积函数，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：任务1，如图所示： 正方形中，，， 区块Ⅰ的面积； ， ，，则区块Ⅱ的面积； 区块Ⅲ的面积; 故答案为：；；； 任务2，如图所示： 在正方形中，，， ， ， ， ， ； 当为中点时，是等腰三角形，且，此时； 综上所述，或； 任务3，由任务2可知或， 区域乙的面积为， ，且满足， ，则， ，即， 解得，或， 则或， ， ， 的结果为整数， 必须是偶数，则可取， 即有2个最佳定位点，分别为，． 【点睛】本题考查二次函数解应用题，涉及正方形性质、三角形面积、全等三角形的判定与性质、等腰三角形判定与性质、不规则图形面积的求法、配方法、解不等式等知识，读懂题意，数形结合表示出区域面积是解决问题的关键． 5．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用； （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）解：依题意， 即 ∵， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和不能等于（） 能力提升 创新拓展 1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点．连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记的交点为． (1)线段与有什么数量关系？______． ①当点坐标时，点的坐标是______； ②当点坐标时，点的坐标是______． (2)在轴上改变点的位置，可得到不同的点，试着把得到的点用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线，猜想它是我们学过的哪种曲线．______． (3)验证（2）的猜想：对于曲线上任意一点，设点的坐标是，请根据与的关系求出满足的关系式．你得出的结论与先前你的猜想一样吗？ 【答案】(1)①；②；③ (2)抛物线 (3)，得出的结论与猜想一致 【分析】（1）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得到答案；②根据题意画出对应的图形即可得到答案；③据题意画出对应的图形即可得到答案； （2）根据题意画出对应的曲线L即可得到答案； （3）先求出点M的坐标，再利用勾股定理得到，进而推出，由此可得结论． 【详解】（1）解：①由题意得，点P在线段的垂直平分线上， ∴， 故答案为：； ②如图所示，当点坐标时，点的坐标是； ③如图所示，当点坐标时，点的坐标是； （2）解：观察画出的曲线，可知曲线L是抛物线， 故答案为：抛物线； （3）解：∵点的坐标是，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴得出的结论与猜想一致． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，线段垂直平分线的性质，勾股定理，二次函数的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 2．若函数y=（a-1）xb+1+x2+1是二次函数，试讨论a、b的取值范围. 【答案】①a≠0；②b=0或-1，a取全体实数③当a=1，b为全体实数时，y=x2+1是二次函数 【详解】试题分析：根据二次函数的二次项的次数是2，二次项的系数不等于零，列出相应的不等式和方程，分类讨论，求解即可. 试题解析：①b+1=2， 解得b=1， a-1+1≠0， 解得a≠0； ②b+1≠2，则b≠1， ∴b=0或-1， a取全体实数． ③当a=1，b为全体实数时，y=x2+1是二次函数． 3．矩形中，，，点为射线上的动点与点不重合）将矩形沿某一直线对折，使点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)如图1，若，求的长； (2)当在边上时，设，，求与之间的函数关系式，并直接写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)1 (2)； (3)的长为或2或． 【分析】（1）证明，即可求解； （2），，由勾股定理即可求解； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设交于点， 则， ，， ， ， ，， 则； （2）解：由题意得：则，， ，， ，， ， 则， 化简得：； （3）解：①当时， 过点作，则， 则， 连接，则， 在中，， 即：②， 联立①②并解得：， 故； ②当时， 则， 点与点重合， 即：； ③当时， 则， 即：是的角平分线， 故：， 则，而， 则； 故的长为或2或． 【点睛】本题为四边形综合应用题，涉及到矩形与折叠问题、勾股定理运用、二次函数基本知识等，其中（3），关键是按条件分类，正确画图、确立线段间的关系，进而求解，本题综合性强，难度较大． 学科网（北京）股份有限公司 $$