第七讲 第八讲 实际问题与一元二次方程（二）（三）（3个知识点3大典例）暑假预习讲义2025－2026学年人教版数学九年级上册

2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点3大典例） 第七讲 实际问题与一元二次方程（二）（解析版） 知识点梳理 知识点1 与图形有关的问题 与图形有关的问题通常涉及面积、周长、边长等几何量的计算。这类问题可能需要利用一元二次方程来求解。例如，已知矩形的面积和一边长，求另一边长；或者知道三角形的两边长和第三边的方程，求三角形的周长等。 要点诠释： 面积问题应注意三点： （1）图形的面积公式是基本的等量关系 （2）利用平移的性质把零散的图形拼接在一起 （3）取舍根时注意图形中边长的限制。 知识点2 动态几何问题 动态几何问题涉及图形在运动或变化过程中的性质。这类问题可能需要通过一元二次方程来描述图形的运动轨迹或变化规律。例如，一个点在一个圆上运动，其到圆心的距离与运动时间的关系可能符合一元二次方程。 要点诠释： （1）明确动点的运动方向、速度及终止条件（如到达终点停止），将运动过程分段处理。分阶段计算。 （2）注意时间变量的取值范围 知识点3 图形图表信息问题 一元二次方程实际问题中图表信息问题的解题要点主要包括以下几个步骤‌： ‌分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系‌：首先，需要仔细阅读题目，理解题目中的条件和要求，明确需要求解的未知数。然后，找出题目中给出的条件与未知数之间的关系，通常这种关系可以通过等式来表示。 ‌设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数‌：根据找到的相等关系，设定一个或多个未知数。然后，用这些未知数表示题目中给出的其他数值或条件。 ‌找出相等关系，并用它列出方程‌：根据设定的未知数和找到的相等关系，列出包含这些未知数的等式。这个等式就是一元二次方程。 ‌解方程求出题中未知数的值‌：使用代数方法解这个一元二次方程，求出未知数的值。这一步可能需要使用配方法、公式法等方法。 ‌检验所求的答案是否符合题意‌：最后，将求得的答案代入原问题中进行检验，确保答案符合题目的所有条件。 典例精讲 1 题型1 图形面积问题 【例1】．如图，某校课外生物小组的试验园地是长32米､宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为578平方米，则小道的宽为多少米? 【答案】米． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用面积问题，解题的关键是巧妙的运用等积代换． 设小道的宽为米，则长、宽分别为米、米，根据矩形的面积公式就可以列出方程，解方程即可． 【详解】解：设该小道的宽为米，依题意得 ， 解得，． 因为，不合题意，舍去． 所以． 答：小道宽米． 变式训练1 1．某园林公司举行盆景展览，如图所示是用这两种盆景摆成的图案，黑色圆点为六月雪盆景，黑色正方形为九里香盆景．图1中六月雪盆景数量为4，九里香盆景数量为2；图2中六月雪盆景数量为6，九里香盆景数量为6；图3中六月雪盆景数量为8，九里香盆景数量为12；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)图5中，六月雪盆景数量为_______，九里香盆景数量为_______； (2)若园林公司用这两种盆景共132盆按如上规律摆成一个图案，请求出该图案中六月雪和九里香这两种盆景分别多少盆？ 【答案】(1)12；30 (2)六月雪盆景有22盆，九里香盆景有110盆 【分析】本题考查了图形规律探索、一元二次方程的应用，观察图形的变化找到隐含的规律是解题的关键． （1）观察图形，得出第个图中六月雪盆景数量为，九里香盆景数量为，再代入即可求解； （2）设该图案为如上规律的第个图，根据题意列出方程，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：图1中六月雪盆景数量为，九里香盆景数量为， 图2中六月雪盆景数量为，九里香盆景数量为， 图3中六月雪盆景数量为，九里香盆景数量为， 图4中六月雪盆景数量为，九里香盆景数量为， … 第个图中六月雪盆景数量为，九里香盆景数量为， 当时，，， 图5中，六月雪盆景数量为12，九里香盆景数量为30． 故答案为：12；30． （2）解：设该图案为如上规律的第个图， 由题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 此时六月雪盆景数量为盆，九里香盆景数量为盆， 答：六月雪盆景有22盆，九里香盆景有110盆． 2．某社区计划将一个长12米、宽8米的长方形花坛扩建为公共休息区．扩建方案是在花坛四面修建一条宽度相同的小道，使扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米． (1)求这条小道的宽度； (2)如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要多少米篱笆？ 【答案】(1)这条小道的宽度为2米 (2)需要56米篱笆 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设这条小道的宽度为米，根据扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米建立方程，解方程即可得； （2）根据（1）的结果求出扩建后的长方形公共休息区的长与宽，再利用长方形的周长公式计算即可得． 【详解】（1）解：设这条小道的宽度为米， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：这条小道的宽度为2米． （2）解：由（1）可知，扩建后的长方形公共休息区的长为（米），宽为（米）， 则（米）， 答：如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要56米篱笆． 3．综合与实践． 项目主题：制作新学期的开学手册封面 素材一：小华设计的开学手册的封面是尺寸为长，宽的长方形，正中央有一个长方形边框，其四周是边衬．上下边衬等宽，左右边衬等宽，且上下边衬的宽度是左右边衬宽度的一半．小华设计的边衬面积为172． 素材二：封面边框内需要张贴一张长方形的校园照片．为了使排版规范，照片的长宽比例等于边框的长宽比例．小华设计照片到边框下方的下距为，到边框左右的左距与右距，以及到边框上方的上距都为． 【任务一】设上边衬的宽度为，用含x的代数式表示边框的长和宽． 【任务二】求边框的长和宽． 【任务三】通过计算说明，小华的设计是否规范． 【答案】任务一：边框的长和宽为，；任务二：长和宽为与；任务三：设计符合规范，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：根据各边之间的关系，用含的代数式表示出边框的长和宽；找准等量关系，正确列出一元二次方程；验证照片的长宽比例是否等于边框的长宽比例． [任务一]设上边衬的宽度为，则下边衬的宽度为，左、右边衬的宽度为，利用边框的长上边衬的宽度下边衬的宽度及边框的宽左边衬的宽度又边衬的宽度，即可用含的代数式表示出边框的长和宽； [任务二]根据小华设计的边衬面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其符合题意的值代入及中，即可求出结论； [任务三]求出照片的长、宽，结合照片的长宽比例等于边框的长宽比例，即可得出结论． 【详解】解：[任务一]设上边衬的宽度为，则下边衬的宽度为，左、右边衬的宽度为， 边框的长为，宽为； [任务二]根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， ． 答：边框的长为，宽为； [任务三]小华的设计规范，理由如下： 照片的长为， 照片的宽为， 边框的长为，宽为，且， 小华的设计规范． 4．根据以下素材，探索完成任务． 探索设计停车场 背景 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，空地四周围墙，需留出通道出行，入口在左上角，出口在右下角．已知，．按照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都相同，且停车位的宽度不小于． 方案 如图，设计四列阴影部分为停车位，且停车位的宽度相同，即，其余部分是等宽的通道． 任务1 若停车位总面积为，请计算停车位的宽度是否符合标准． 任务2 若通道的宽度要求不小于，当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并求出最大停车位总面积． 【答案】任务1：停车位的宽度符合标准；任务2：当停车位的宽度为时，停车位的总面积最大为 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，配方法的应用，读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键： 任务1：设停车位的宽度为，通道的宽度为，根据图形可知：，进而得到，根据停车位总面积为，列出方程进行求解后，结合停车位的宽度不小于进行判断即可； 任务2：设停车位的总面积为，面积公式表示出，配方法求最值即可． 【详解】解：任务1：设停车位的宽度为，通道的宽度为，由图和题意可知：， ∴， ∵停车位总面积为， ∴， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∵， ∴停车位的宽度符合标准． 任务2：设停车位的总面积为，由任务1可知：， ∴ ， ， ∵且， ∴， ∴当时，最大， 答：当停车位的宽度为时，停车位的总面积最大为． 5．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； （2）解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 典例精讲2 题型2 动态几何问题 【例2】．如图，在中，，，，动点 P从点 A 出发沿边向点B以的速度移动，同时动点Q从点 B 出发沿边向点 C 以的速度移动，当 P 运动到 B 点时 P、Q 两点同时停止运动，设运动时间为． (1) ； ；（用t的代数式表示） (2)D是的中点，连接、，t为何值时的面积为？ 【答案】(1)， (2)或4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． （1）根据速度时间路程，列出代数式即可； （2）过点D作于H，利用三角形中位线定理求得的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）根据题意得： ，， ， 故答案为：，． （2）如图，过点D作于H， ∵，即， ∴， 又∵D是的中点， ∴，是的中位线， ∴， 根据题意，得， 整理，得， 解得：，， 当或4时，的面积是． 变式训练2 问题 1．如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 【答案】(1)t， (2) (3)经过5秒或9秒，的长为 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的判定和性质是解题的关键 （1）根据路程=速度乘以时间列式即可； （2）四边形为矩形，根据，列方程求解即可； （3）根据勾股定理，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）由题意，得线段， 故答案为：t，； （2）解：∵四边形为矩形， 则，即， 解得：； （3）解：过点作于点 在中，根据勾股定理， 已知， ， 则可得方程， 即， 移项可得， 两边同时开平方得； 当时， 移项可得， 解得； 当时， 移项可得， 解得； 所以，经过秒或秒，的长为． 2．如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向移动，点从点开始以的速度沿边向点移动．如果、分别从、同时出发，设移动的时间为t． 求： (1)当t为多少时，的面积等于？ (2)当t为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】(1)不存在某一时刻使得的面积等于 (2)当为秒或6秒时，是以为斜边的直角三角形 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式列出方程可得出答案． （2）用含的代数式分别表示图中各线段，在中，利用勾股定理可求出，同理，在中利用勾股定理也可以求出，联合起来，得到关于的一元二次方程，解即可，然后根据实际意义确定的值． 【详解】（1）解：不存在． 设出发秒时的面积等于． ， ， ， ， 原方程无实数根， 即不存在某一时刻使得的面积等于． （2）解：， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ，即， 整理得， 解之得，， 即当为秒或6秒时，是以为斜边的直角三角形． 3．如图，在中，，动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，另一动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，点同时出发，当有一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为，那么经过多长时间，的面积为？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据的面积为列方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， ， ， 整理，得 解得， ，则， ， 经过，的面积为． 4．综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】(1)； (2)1 (3)7 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴ 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； （3）解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 5．如图，菱形中， 交于点 O， ，动点 M 从 A 点出发沿方向以匀速直线运动到 C 点，动点 N 从 B 点出发沿方向以匀速直线运动到 D 点．若 M，N 同时出发，设运动时间为 t 秒：    (1)当时， ， ．（用 t 表示） (2)当秒时， 的面积为多少？ (3)点 M 到达点 C 后立即原路返回，速度保持不变，直到点 N 到达 D 后同时停止运动，那么在整个移 动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，求出运动时间；若不存在，请说 明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)或或 【分析】本题主要考查了菱形的性质，动点问题，一元二次方程的应用， 对于（1），先根据菱形的性质求出，可确定时，两个点的位置，即可得出答案； 对于（2），先分别求出，再根据面积公式求出答案； 对于（3），分，，，四种情况，分别表示，再根据面积等于列出方程，求出解即可． 【详解】（1）∵四边形时菱形， ∴． 根据题意可知， 当时， 点M在上，点N在上， ∴，． 故答案为：，； （2）当时，， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： 当时， 根据题意得， ∴， ∴， 解得或（舍）； 当时， 根据题意得， ∴， ∴， 无解； 当时， 根据题意得， ∴， ∴， 解得或（舍）； 当时， 根据题意得， ∴， ∴， 解得或（舍）． 所以或或． 典例精讲3 题型3 图表信息问题 【例3】．某商店购进800个旅游纪念品，进价为每个50元，第一周以每个80元的价格售出200个，第二周若按每个80元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品以及清仓处理，以每个40元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利9000元． （1）填表（结果需化简）    时间   第一周     第二周     清仓时 单价（元）    80          40 销售量（件）    200 （2）求第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 【答案】（1）填表见解析；（2）第二周每个旅游纪念品的销售价格为70元． 【分析】（1）第二周的单价=第一周的单价-降低的价格，销售量=200+10×降低的单价；清仓时的销售量为：800-第一周的销售量-第二周的销售量； （2）等量关系为：总售价-总进价=9000．把相关数值代入计算即可． 【详解】解：（1）填表（结果需化简）    时间    第一周     第二周    清仓时 单价（元）      80     80-x     40 销售量（件）      200    200+10x    400-10x 故答案为：80-x，200+10x，400-10x； （2）80×200+（80-x）（200+10x）+40×(400-10x）-800×50=9000， x2-20x+100=0， 解得：x1=x2=10， 当x=10时，80-x=70． 答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为70元． 【点睛】本题主要考查了列代数式以及一元二次方程的应用，找出相等关系列一元二次方程求解是解题的关键． 变式训练 1．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1)10% (2)2500000张 【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 【答案】（1）②；（2）． 【分析】（1）仿照案例构造图形，即可判断正确构图； （2）仿照案例构造图形即可求得x的值． 【详解】解：（1）应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形的面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．故正确构图的是②． 故答案为：②； （2）首先构造了如图2所示的图形． 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得． 【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程．体现了数形结合的思想． 3．小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图所示，其中月功能费为5元，请你根据统计图的信息完成下列各题： （1）该月小王手机话费共有________元． （2）扇形统计图中，表示短信费的扇形的圆心角______度． （3）请将条形统计图补充完整． （4）电信公司为让利给用户，从下月起每月将对长途话费进行打折优惠，如果小王每月长途电话的通话时间不变，那么两个月后，月长途花费将降至28.8元，那么长途话费的月平均折扣为多少？ 【答案】（1）125元；（2）72°；（3）见解析；（4）长途话费的月平均折扣为八折 【分析】（1）根据月功能费在扇形统计图中所占比例计算即可. （2）用短信费所占比例乘以即可. （3）用第（1）问中求出的总话费，分别乘以基本话费和长途话费所占比例，求出两者具体金额后填图. （4）可设长途话费的月平均减少率为，根据题意“两个月后，月长途花费将降至28.8元”可得，解一元二次方程即可. 【详解】（1）元 （2）. （3）如图， （4）解：设平均减少率为，据题意得     解得 答：长途话费的月平均折扣为八折. 【点睛】本题综合考查了条形统计图与扇形统计图中的数据关系，和一元二次方程解决问题中的增长率问题，熟练掌握相关知识点，找到其中的数量关系并列式计算是解答关键. 4．已知：p为实数. p k q … … … 3 16×3＋26 2×2×6 4 16×4＋26 2×3×7 5 16×5＋26 2×4×8 6 16×6＋26 2×5×9 7 16×7＋26 2×6×10 … … … 根据上表中的规律，回答下列问题： (1)当p为何值时，k＝38? (2)当p为何值时，k与q的值相等？ 【答案】(1) p＝；(2)当p＝8或p＝－2时，k＝q. 【分析】（1）首先根据表格总结出k、p之间的关系，然后将38代入求得p值即可； （2）根据表格中有关数字的规律找到q与p之间的关系，与上题中的关系式联立组成有关p的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）由题意得：k=16p+26． 当k=38时，38=16p+26， 则p=． 答：当p=时，k=38． （2）根据题意，得 ：q=2（p﹣1）（p+3）． 当k=q时，则有16p+26=2（p﹣1）（p+3）． 整理，得：p2﹣6p﹣16=0． 解方程，得：p1=8，p2=﹣2． 答：当p=8或p=﹣2时，k=q． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及数字的变化类问题，解题的关键是通过观察题目中的表格总结出各个未知数之间的关系． 5．某旅行社一则旅游消息如下： 旅游人数 收费标准 不超过人 人均收费元 超过人 每增加一人，人均收费减少元，但人均收费不低于元 (1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社元和元，甲公司员工有__________人． (2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社元，乙公司员工多少人？ 【答案】(1)15； (2)乙公司人． 【分析】（1）设甲公司员工有x人，根据第一次、第二次支付的费用和人均收费标准，判断出两次都不超过10人，直接用总费用除以人均收费，即可得出答案； （2）设乙公司员工人，根据支付的费用先判断出公司去的人数超过了10人，再根据每增加一人，人均收费减少60元，列出方程，求出的值，再根据人均收费不低于1500元，即可得出乙公司去的人数． 【详解】（1）解：设甲公司有人， ， ， （人）． 故答案为： （2）设乙公司人， ， ，， 若，每人费用：，不符舍去， 若，每人费用：，符合， 答：乙公司人． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意正确列式和列方程是解题的关键． 能力提升 创新拓展 1．在数学综合与实践课上，李老师让同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． 【具体操作】如图1，在正方形中，将沿过点的直线翻折，点落在正方形内部的点处，得到，折痕为；再将沿过点的直线翻折，使与重合，得到，折痕为．由以上操作，不难发现，，三点在同一条直线上． 【问题解决】 （1）请直接写出 ； （2）若，，求正方形的边长； 【深入探究】 （3）如图2，再将沿所在直线折叠，点恰好落在线段的点处，得到，线段与相交于点，请写出，，三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）正方形的边长为6；（3），见解析 【分析】（1）由正方形的性质可得，由折叠的性质可得，，再由计算即可得解； （2）由折叠可知，，，设正方形边长为，则，，再由勾股定理计算即可得解； （3）由正方形的性质可得，由折叠的性质可知，，，，证明，得出，从而得出，再求出，由直角三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）∵四边形为正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴； （2）由折叠可知，， 所以， 设正方形边长为，则，， 因为在中，， 所以， 整理得，， 解得，或（舍去）， 所以正方形的边长为6； （3）， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可知，，，， ∴， 又∵， ∴， 由（1）得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∵点，，共线， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 【答案】（1）证明见解析；（2）这5个数中最大数为29．（3）嘉琪的说法不正确． 【分析】（1）、根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）、设最大数为x，列出方程组解答即可； （3）参考（2）问题思路，解出最大数，然后根据最大数所在位置即可判定． 【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7）， ∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7）， =a2﹣1﹣（a2﹣49）， =48． （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14）， 依题意，得：x（x﹣14）＝435， 解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）． 答：设这5个数中最大数为29． （3）嘉琪的说法不正确． 设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），依题意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合题意，舍去）．∵19在日历的最后一列，∴不符合题意，∴嘉琪的说法不正确． 【点睛】本题考查方程的应用问题，解题关键是准确的设未知数，然后列出方程解答． 3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，求的值． 【答案】(1)当时的长度能为，理由见解析 (2)的面积能为，理由见解析 (3)， 【分析】（1）由题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定； （2）设运动秒后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，则，取的中点，连接，则，根据直角三角形的性质可得，再根据两点间的距离公式，可得，解方程即可求得． 【详解】（1）解：的长度能为，理由如下： 根据题意可知：，，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得：（舍去）或， 当时的长度能为； （2）解：不能，理由如下： 设运动秒后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ， 即， ， ， 方程无实数根， 的面积不能为； （3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，， 的中点为 ， 又，， 取的中点，连接，则， ， ， ， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质，坐标与图形，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解答本题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并灵活运用． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（4个知识点4大典例） 第八讲 实际问题与一元二次方程（三）（解析版） 知识点梳理 知识点1 营销问题 营销问题涉及商品的销售、定价、利润等。这类问题可能需要利用一元二次方程来找出最优的定价策略或预测销售趋势。例如，某商品降价销售，降价后的售价为原价的某个百分比，通过销售量和降价幅度的关系，可以建立一元二次方程来求解。 要点诠释： 混淆成本与售价：在营销问题中，学生容易混淆产品的成本和售价，导致利润计算错误。 未考虑折扣和优惠：如果问题中涉及折扣或优惠活动，学生可能未正确考虑这些因素对最终售价和利润的影响。 知识点2 工程问题 工程问题涉及工程项目的进度、成本、效率等。这类问题可能需要利用一元二次方程来建模，以求解最优的工程进度安排或成本控制策略。例如，某工程队需要完成一段道路建设，每天完成的工程量与天数的关系可能符合一元二次方程。 要点诠释：工程问题主要出现如下错误 工作量与效率关系不清：在工程问题中，学生可能未正确理解工作量、工作时间和工作效率之间的关系，导致方程设置错误。 忽视多阶段工程：如果工程问题涉及多个阶段或多种工种协作，学生可能未充分考虑这些因素对总工作量和时间的影响。 知识点3 行程问题 行程问题涉及物体的运动速度、时间、距离等。这类问题通常需要利用速度、时间和距离的关系来建立一元二次方程。例如，一辆汽车从甲地开往乙地，先以一定速度行驶一段时间后减速行驶，通过总时间和总距离的关系可以建立一元二次方程来求解。 要点诠释：行程问题易出现如下错误 速度、时间和距离关系混淆：行程问题中速度、时间和距离之间的关系是解题的关键，学生容易混淆这些概念或错误地应用它们。 忽视相对运动：在涉及相对运动的行程问题中（如两车相向而行、同向而行等），学生可能未正确考虑相对速度对行程时间的影响。 知识点4 其他问题 除了上述几类问题外，还有一些其他问题也可能涉及一元二次方程的实际应用。例如，物理学中的某些问题（如抛体运动）、经济学中的某些模型（如供需关系）等都可能通过一元二次方程来描述和求解。 要点诠释：其他问题易出现如下错误 方程设立不准确：在将实际问题转化为数学问题时，学生可能未准确设立方程或设立的方程不符合题意。 解方程方法不当：在解方程时，学生可能未根据方程的特点选择合适的解法（如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等），导致计算过程复杂或结果错误。 未进行验证：在得出解后，学生应验证解是否符合原问题的实际情况和约束条件，但部分学生可能忽视了这一步。 典例精讲 1 题型1 营销问题 【例1】．2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（sì）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若A款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售A款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出A款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则A款吉祥物售价应降低多少元？ 【答案】(1)款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元； (2)售价应降低20元． 【分析】本题考查了分式方程及一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解． （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据题意即可列出等量关系求解． 【详解】（1）解：设款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元. （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量减少库存， . 答：售价应降低20元. 变式训练1 1．某超市销售的葡萄，根据市场调查以后发现，每箱售价（单位：元）与每天销量（单位：箱）之间满足如图所示的函数关系． (1)求与之间的函数关系式．（不必写出自变量的取值范围） (2)葡萄的进价是30元/箱，若该超市每天销售葡萄盈利800元，尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是多少元？ 【答案】(1) (2)尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是38元 【分析】题目主要考查一次函数与一元二次方程的应用，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）直接根据题意列一元二次方程求解，并取最小解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系是， 根据题意，可得，解得： 故与之间的函数关系式是． （2）解：由题意得：． 解得：，． ∵尽量要使顾客要得到实惠，售价低， ∴． 答：尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是38元． 2．当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表： 销售单价（元） 销售量（件） (1)求与之间的函数关系式； (2)该商家每天想获得元的利润，应将销售单价定为多少元？ 【答案】(1) (2)或元 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练根据题意列出相关式子． （1）根据给出，的值，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）设销售单价定为元，则单件利润为元，销售量为件，利用“每天想获得元的利润”列式求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设销售单价定为元，则每天销售量为件， 根据题意得：， 解得：，， 所以，应将销售单价定为或元． 3．商场某种商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件；当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件，据此规律请回答： (1)当每件商品售价定为55元时，商场获得的日盈利是多少？ (2)在上述条件不变，商品销售正常的情况下，让顾客能得到实惠，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？ 【答案】(1)6750元； (2)每件商品售价为60元时，商场日盈利达到8000元． 【分析】此题考查了一元二次方程和有理数四则混合运算的应用，根据题意正确列出方程是关键． （1）首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利； （2）设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当每件商品售价为55元时，比每件商品售价50元高出5元， 即（元）， 则每天可销售商品450件，即（件）， 商场可获日盈利为（元）． 答：每件商品售价定为55元时，商场获得的日盈利是6750元； （2）设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元． 则每件商品比50元高出元，每件可盈利元， 每日销售商品为（件）． 依题意得方程， 整理，得， 解得，． ∵让顾客能得到实惠， ∴ 答：每件商品售价为60元时，商场日盈利达到8000元． 4．“当你背单词的时候，阿拉斯加的鲟鱼正跃出水面；当你算数学的时候，南太平洋的海鸥掠过海岸；当你晚自习的时候，地球的极圈正五彩斑斓．但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人，和遇不到的风景，都终将在生命里出现……”这是某直播平台推销某本书时的台词，所推销书的成本为每套20元，当售价为每套40元时，每天可销售100套．为了吸引更多的顾客，平台采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天多销售10套．设每套辅导书的售价为x元，每天的销售量为y套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)不忘公益初心，热心教育事业，公司决定从每天利润中捐出200元帮助云南贫困山区的学生，为了保证捐款后每天利润达到1800元，且要最大限度让利消费者，求此时每套书的售价为多少元？ 【答案】(1) (2)此时每套辅导书的售价为30元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）根据题意列出y关于x的一次函数即可． （2）根据总利润为列出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， 与之间的函数关系式为：； （2）由题意可得： 整理得：， 解得：，， 要最大限度让利消费者， ， 答：此时每套辅导书的售价为30元． 5．某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克． (1)若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克樱桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种樱桃平均每天获利可以达到2400元吗？如果可以，请求出应降价多少元；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)①每千克樱桃应降价4元或6元；②该店应按原售价的9折出售 (2)不可以达到，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）①设每千克樱桃应降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可； ②为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折． （2）设每千克樱桃应降价y元，利用销售量×每件利润=2400元列出方程，化简为一元二次方程一般式，利用根的判别式即可判断． 【详解】（1）①解：设每千克樱桃应降价x元，根据题意，得： ， 解得  ，， 答：每千克樱桃应降价4元或6元； ②由（1）可知每千克樱桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克樱桃应降价6元． 此时，售价为（元）， ∴． 故答案是：9． （2）设每千克樱桃应降价y元，根据题意，得： ， 即， ∵， ∴原方程没有实根． 答：该专卖店销售这种樱桃平均每天获利不可以达到2400元． 典例精讲2 题型2 工程问题 【例2】．某公司主营铁路建设施工． (1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？ (2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值． 【答案】(1)4； (2)2． 【分析】（1）设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为千米，利用隧道施工至少是桥梁施工的9倍，列不等式求解即可； （2）求出一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数，设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x，利用总成本为254亿元，列方程求出x，找出二季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数及每千米的成本，利用二季度总成本与一季度相同，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为千米， ∵隧道施工至少是桥梁施工的9倍， ∴， 解之得：， ∴桥梁施工最多是4千米． （2）解：由（1）可知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工分别为106千米，36千米和4千米， 设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x， ∵总成本为254亿元， ∴， 解之得：， 由题意可知：二季度平地施工里程为千米，隧道施工里程为千米，桥梁施工里程为千米；平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为：1，3， ∵二季度总成本与一季度相同， ∴， 即， 解之得：（舍去）或， 故． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用和一元二次方程的应用．（1）的关键是根据各数量之间的关系，列出不等式求解即可；（2）的关键找出等量关系列出一元一次方程和一元二次方程求解． 变式训练2 1．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 2．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 3．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 4．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【分析】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 5．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 典例精讲3 题型3 行程问题 【例3】．如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点A沿数轴向右移动个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．    (1)a的值为 ，c的值为 ； (2)动点 P，Q分别同时从点A，C 出发，点P以每秒3个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A 移动，点P表示的数为x． ①若点P，Q在点B处相遇，求m的值； ②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x 的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据点A沿数轴向右移动个单位长度后到达点B，得出，根据相反数的定义得出，即可求出a的值；根据绝对值的非负性，即可求出c的值； （2）解：①先得出点B表示的数为6，求出点P 从点A 运动到点B 所用时间为（秒），再求出．即可求解；②设运动时间为t秒，t秒后点P 表示的数为，点Q 表示的数为，根据两点之间距离的求法得出，求出或2；即可求出x的值． 【详解】（1）解：∵点A沿数轴向右移动个单位长度后到达点B， ∴， ∵点A，B表示的数互为相反数， ∴，则， 解得：， ∵， ∴，解得：， 故答案为：，10； （2）解：①∵，点A，B表示的数互为相反数， ∴，即点B表示的数为6， ∵点P 的速度是每秒3个单位长度，点P，Q在点B处相遇，， ∴点P 从点A 运动到点B 所用时间为（秒）， ∵， ∴； ②设运动时间为t秒，t秒后点P 表示的数为，点Q 表示的数为， ， 则或， 解得：或2； ∴或， 综上：x的值为或0． 【点睛】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，以及相反数．关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，能根据题意列出算式或方程． 变式训练3 1．如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； (2)若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 【答案】(1)4；6 (2)①4秒；②20米 【分析】本题主要查了一元二次方程的应用： （1）根据速度每秒增加，完成表格，即可求解； （2）①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒，则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程，即可求解；②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒，由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：4；6 （2）解：①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒， 则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程为： ，解得：， ∵， ∴， 答：设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过4秒； ②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒， 由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒， ∴， 解得：， 则（米） 答：钢球最多离N处20米就会返回往下滚． 2．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 3．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 4．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 5．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 典例精讲4 题型4 其他问题 【例4】．我校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．已知每瓶硫酸铜溶液的售价比氯化钠溶液的售价多2.5元，花100元用于购买的氯化钠溶液比花400元购买硫酸铜溶液少40瓶． (1)求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ (2)为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现每瓶硫酸铜溶液的成本是元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第二次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商家获利330元，求的值． 【答案】(1)每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元、元 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设每瓶氯化钠溶液的售价为元，则每瓶硫酸铜溶液的售价为元，根据题意列方程得，解方程即可得到答案； （2）根据题意得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设每瓶氯化钠溶液的售价为元，则每瓶硫酸铜溶液的售价为元， 根据题意列方程得， 解得：， 经检验是原方程的解， ， 答：每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元、元； （2）解：根据题意得 解得：或 ， 不符合题意，舍去， 的值为． 变式训练4 1．某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，求停车位的宽． 【答案】停车位的宽为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设停车位的宽为，则停车位的长为，车道宽为，根据题意得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设停车位的宽为，则停车位的长为，车道宽为， 根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：停车位的宽为． 2．足球被称为“世界第一运动”，精彩赛事让许多球迷回味不已． (1)若球赛以小组为单位进行单循环制，组共比赛了场，则组有多少支球队？ (2)在（1）的条件下，若球赛以积分形式决定球队是否晋级，胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某球队在组目标是积分，则该球队胜、平、负的场数分别可以是多少？请列举说明． 【答案】(1)支 (2)该球队胜、平、负的场数可以有种情况：胜场、平场、负场；胜场、平场、负场 【分析】本题考查了一元二次方程和二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，并正确找出等量关系． （1）设组有支球队，根据题意列方程即可求解； （2）由（1）知组共有支球队，则每支队伍比赛场．设该球队胜了场，平了场，则负了场，根据题意列方程即可求解． 【详解】（1）解：设组有支球队， 依题意得：， 解得：，（舍去）． 答：组有支球队； （2）由（1）知组共有支球队，则每支队伍比赛场． 设该球队胜了场，平了场，则负了场． 依题意得：， 化简得：， 当时，，此时； 当时，，此时． 答：该球队胜、平、负的场数可以有种情况：胜场、平场、负场；胜场、平场、负场． 3．某果园原计划种100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种1棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵． (1)如果多种棵桃树，那么每棵桃树的产量会减少______个；此时果园的总产量为______个； (2)如果要使总产量增加，那么应多种多少棵桃树？ 【答案】(1)； (2)应多种20棵桃树 【分析】本题主要考查了列代数式和一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据每多种1棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个可得第一空答案，根据总产量等于桃树数量乘以每棵桃树平均结的果子数量可得第二空答案； （2）根据总产量增加建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，如果多种棵桃树，那么每棵桃树的产量会减少个，此时果园的总产量为个， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得或（舍去）， 答：应多种20棵桃树． 4．其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 【答案】(1) (2)万元/吨 (3)需要采购蓝莓的重量为吨 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，求平均数，理解题意是解题的关键； （1）设与的函数解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据条形统计图，根据加权平均数求得平均数，即可求解． （3）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为 代入， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意，平均销售价为（万元/吨） （3）解：依题意， 原方程组整理得， 解得：（舍去） 答：需要采购蓝莓的重量为吨 5．为了丰富市民的文化生活，我市某湿地自然保护区特推出了如下门票收费标准： 标准一：如果人数不超过20人，门票价格70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元/人． (1)若我校组织28名师生去该湿地自然保护区旅游，购买门票共需费用多少元？ (2)若我校共支付该湿地自然保护区门票费用共计1500元，试求我校这次共有多少名师生去该湿地自然保护区旅游？ 【答案】(1)购买门票共需费用1540元 (2)共有25名师生去该湿地自然保护区旅游 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出算式和方程是解题的关键． （1）先计算出按照标准2每张门票的费用，若小于54，则每张门票价格为55元，若不小于55，则每张门票的费用为计算的结果，据此求出总费用即可； （2）设我校这次共有x名师生去该湿地自然保护区旅游，可求出，据此根据标准后表示出每张门票的费用，进而根据总费用为1500元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴每张门票的价格为55元， ∴总费用为元， 答：购买门票共需费用1540元； （2）解：设我校这次共有x名师生去该湿地自然保护区旅游， ∵， ∴， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：共有25名师生去该湿地自然保护区旅游． 能力提升 创新拓展 1．阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第n行有n个点．容易发现，三角点阵中前5行的点数之和为15． (1)三角点阵中前7行的点数之和为________，前n行的点数之和为________；（用含n的代数式表示） (2)三角点阵中前n行的，点数之和________（填“能”或“不能”）为520； (3)某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用630盆同样规格的花，按照第一排摆3盆，第二排摆6盆，第三排摆9盆，…第n排摆盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)28；； (2)不能 (3)一共能摆放20排 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，图形规律探索，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是520，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （3）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前7行的点数之和为： ， 前行的点数之和为： ； （2）解：不能，理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， ∴三角点阵中前n行的点数和不能是520； （3）解：同理，前排的盆景之和为： ， 由题意得：， 整理得， 即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 2．小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离） (1)当时，求关于t的函数关系式； (2)求图中a的值； (3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3)7，理由见解析 【分析】（1）设关于t的函数关系式为，根据经过点利用待定系数法即可得到答案； （2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度为，利用小明在4s时第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意找到速度、时间、路程的变化规律，即可得到答案． 【详解】（1）解：设关于t的函数关系式为，把点代入得， ， 解得， ∴关于t的函数关系式为； （2）解：对于球来说，， 小明前a秒的平均速度为，a秒后速度为， 由小明在4s时第一次追上球可得，， 解得， 即图中a的值为； （3）小明第一次踢球已经带球跑了16米，还需要跑米，由（1）知，，假设每次踢球t从0开始计算，因为球在草地上滚动时，速度变化情况相同，则第二次踢球后变化规律为， ，，则， ， 第二次踢后，则，（舍去），，此时又经过了米， ， 第三次踢后，变化规律为， ，，则， ， 第三次追上，则，（舍去），，此时又经过了米， ， 又开始下一个循环， 故第四次踢球所需时间为，经过24米， 故第五次踢球所需时间为，经过48米， 故第六次踢球所需时间为，经过24米， 故第七次踢球所需时间为，经过48米， ∵，， ∴带球走过200米，在第七次踢球时实现，故小明小明踢球次数共有七次， 故答案为：7 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键． 3．如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度． 【答案】小莉房间窗户的宽度为1.5m，则高度为2m． 【详解】分析：设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m．根据“以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元”列出方程，求解即可． 详解：设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m． 根据题意，得（2-1.5）x（x+0.5）×120=180， 解得 x1=-2，x2=1.5． 所以x=1.5，x+0.5=2． 答：小莉房间窗户的宽度为1.5m，则高度为2m． 点睛：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点3大典例） 第七讲 实际问题与一元二次方程（二） 知识点梳理 知识点1 与图形有关的问题 与图形有关的问题通常涉及面积、周长、边长等几何量的计算。这类问题可能需要利用一元二次方程来求解。例如，已知矩形的面积和一边长，求另一边长；或者知道三角形的两边长和第三边的方程，求三角形的周长等。 要点诠释： 面积问题应注意三点： （1）图形的面积公式是基本的等量关系 （2）利用平移的性质把零散的图形拼接在一起 （3）取舍根时注意图形中边长的限制。 知识点2 动态几何问题 动态几何问题涉及图形在运动或变化过程中的性质。这类问题可能需要通过一元二次方程来描述图形的运动轨迹或变化规律。例如，一个点在一个圆上运动，其到圆心的距离与运动时间的关系可能符合一元二次方程。 要点诠释： （1）明确动点的运动方向、速度及终止条件（如到达终点停止），将运动过程分段处理。分阶段计算。 （2）注意时间变量的取值范围 知识点3 图形图表信息问题 一元二次方程实际问题中图表信息问题的解题要点主要包括以下几个步骤‌： ‌分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系‌：首先，需要仔细阅读题目，理解题目中的条件和要求，明确需要求解的未知数。然后，找出题目中给出的条件与未知数之间的关系，通常这种关系可以通过等式来表示。 ‌设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数‌：根据找到的相等关系，设定一个或多个未知数。然后，用这些未知数表示题目中给出的其他数值或条件。 ‌找出相等关系，并用它列出方程‌：根据设定的未知数和找到的相等关系，列出包含这些未知数的等式。这个等式就是一元二次方程。 ‌解方程求出题中未知数的值‌：使用代数方法解这个一元二次方程，求出未知数的值。这一步可能需要使用配方法、公式法等方法。 ‌检验所求的答案是否符合题意‌：最后，将求得的答案代入原问题中进行检验，确保答案符合题目的所有条件。 典例精讲 1 题型1 图形面积问题 【例1】．如图，某校课外生物小组的试验园地是长32米､宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为578平方米，则小道的宽为多少米? 变式训练1 1．某园林公司举行盆景展览，如图所示是用这两种盆景摆成的图案，黑色圆点为六月雪盆景，黑色正方形为九里香盆景．图1中六月雪盆景数量为4，九里香盆景数量为2；图2中六月雪盆景数量为6，九里香盆景数量为6；图3中六月雪盆景数量为8，九里香盆景数量为12；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)图5中，六月雪盆景数量为_______，九里香盆景数量为_______； (2)若园林公司用这两种盆景共132盆按如上规律摆成一个图案，请求出该图案中六月雪和九里香这两种盆景分别多少盆？ 2．某社区计划将一个长12米、宽8米的长方形花坛扩建为公共休息区．扩建方案是在花坛四面修建一条宽度相同的小道，使扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米． (1)求这条小道的宽度； (2)如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要多少米篱笆？ 3．综合与实践． 项目主题：制作新学期的开学手册封面 素材一：小华设计的开学手册的封面是尺寸为长，宽的长方形，正中央有一个长方形边框，其四周是边衬．上下边衬等宽，左右边衬等宽，且上下边衬的宽度是左右边衬宽度的一半．小华设计的边衬面积为172． 素材二：封面边框内需要张贴一张长方形的校园照片．为了使排版规范，照片的长宽比例等于边框的长宽比例．小华设计照片到边框下方的下距为，到边框左右的左距与右距，以及到边框上方的上距都为． 【任务一】设上边衬的宽度为，用含x的代数式表示边框的长和宽． 【任务二】求边框的长和宽． 【任务三】通过计算说明，小华的设计是否规范． 4．根据以下素材，探索完成任务． 探索设计停车场 背景 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，空地四周围墙，需留出通道出行，入口在左上角，出口在右下角．已知，．按照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都相同，且停车位的宽度不小于． 方案 如图，设计四列阴影部分为停车位，且停车位的宽度相同，即，其余部分是等宽的通道． 任务1 若停车位总面积为，请计算停车位的宽度是否符合标准． 任务2 若通道的宽度要求不小于，当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并求出最大停车位总面积． 5．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 典例精讲2 题型2 动态几何问题 【例2】．如图，在中，，，，动点 P从点 A 出发沿边向点B以的速度移动，同时动点Q从点 B 出发沿边向点 C 以的速度移动，当 P 运动到 B 点时 P、Q 两点同时停止运动，设运动时间为． (1) ； ；（用t的代数式表示） (2)D是的中点，连接、，t为何值时的面积为？ 变式训练2 问题 1．如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 2．如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向移动，点从点开始以的速度沿边向点移动．如果、分别从、同时出发，设移动的时间为t． 求： (1)当t为多少时，的面积等于？ (2)当t为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 3．如图，在中，，动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，另一动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，点同时出发，当有一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为，那么经过多长时间，的面积为？ 4．综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 5．如图，菱形中， 交于点 O， ，动点 M 从 A 点出发沿方向以匀速直线运动到 C 点，动点 N 从 B 点出发沿方向以匀速直线运动到 D 点．若 M，N 同时出发，设运动时间为 t 秒：    (1)当时， ， ．（用 t 表示） (2)当秒时， 的面积为多少？ (3)点 M 到达点 C 后立即原路返回，速度保持不变，直到点 N 到达 D 后同时停止运动，那么在整个移 动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，求出运动时间；若不存在，请说 明理由． 典例精讲3 题型3 图表信息问题 【例3】．某商店购进800个旅游纪念品，进价为每个50元，第一周以每个80元的价格售出200个，第二周若按每个80元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品以及清仓处理，以每个40元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利9000元． （1）填表（结果需化简）    时间   第一周     第二周     清仓时 单价（元）    80          40 销售量（件）    200 （2）求第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 变式训练3 1．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 2．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 3．小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图所示，其中月功能费为5元，请你根据统计图的信息完成下列各题： （1）该月小王手机话费共有________元． （2）扇形统计图中，表示短信费的扇形的圆心角______度． （3）请将条形统计图补充完整． （4）电信公司为让利给用户，从下月起每月将对长途话费进行打折优惠，如果小王每月长途电话的通话时间不变，那么两个月后，月长途花费将降至28.8元，那么长途话费的月平均折扣为多少？ 4．已知：p为实数. p k q … … … 3 16×3＋26 2×2×6 4 16×4＋26 2×3×7 5 16×5＋26 2×4×8 6 16×6＋26 2×5×9 7 16×7＋26 2×6×10 … … … 根据上表中的规律，回答下列问题： (1)当p为何值时，k＝38? (2)当p为何值时，k与q的值相等？ 5．某旅行社一则旅游消息如下： 旅游人数 收费标准 不超过人 人均收费元 超过人 每增加一人，人均收费减少元，但人均收费不低于元 (1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社元和元，甲公司员工有__________人． (2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社元，乙公司员工多少人？ 能力提升 创新拓展 1．在数学综合与实践课上，李老师让同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． 【具体操作】如图1，在正方形中，将沿过点的直线翻折，点落在正方形内部的点处，得到，折痕为；再将沿过点的直线翻折，使与重合，得到，折痕为．由以上操作，不难发现，，三点在同一条直线上． 【问题解决】 （1）请直接写出 ； （2）若，，求正方形的边长； 【深入探究】 （3）如图2，再将沿所在直线折叠，点恰好落在线段的点处，得到，线段与相交于点，请写出，，三条线段的数量关系，并说明理由． 2．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（4个知识点4大典例） 第八讲 实际问题与一元二次方程（三） 知识点梳理 知识点1 营销问题 营销问题涉及商品的销售、定价、利润等。这类问题可能需要利用一元二次方程来找出最优的定价策略或预测销售趋势。例如，某商品降价销售，降价后的售价为原价的某个百分比，通过销售量和降价幅度的关系，可以建立一元二次方程来求解。 要点诠释： 混淆成本与售价：在营销问题中，学生容易混淆产品的成本和售价，导致利润计算错误。 未考虑折扣和优惠：如果问题中涉及折扣或优惠活动，学生可能未正确考虑这些因素对最终售价和利润的影响。 知识点2 工程问题 工程问题涉及工程项目的进度、成本、效率等。这类问题可能需要利用一元二次方程来建模，以求解最优的工程进度安排或成本控制策略。例如，某工程队需要完成一段道路建设，每天完成的工程量与天数的关系可能符合一元二次方程。 要点诠释：工程问题主要出现如下错误 工作量与效率关系不清：在工程问题中，学生可能未正确理解工作量、工作时间和工作效率之间的关系，导致方程设置错误。 忽视多阶段工程：如果工程问题涉及多个阶段或多种工种协作，学生可能未充分考虑这些因素对总工作量和时间的影响。 知识点3 行程问题 行程问题涉及物体的运动速度、时间、距离等。这类问题通常需要利用速度、时间和距离的关系来建立一元二次方程。例如，一辆汽车从甲地开往乙地，先以一定速度行驶一段时间后减速行驶，通过总时间和总距离的关系可以建立一元二次方程来求解。 要点诠释：行程问题易出现如下错误 速度、时间和距离关系混淆：行程问题中速度、时间和距离之间的关系是解题的关键，学生容易混淆这些概念或错误地应用它们。 忽视相对运动：在涉及相对运动的行程问题中（如两车相向而行、同向而行等），学生可能未正确考虑相对速度对行程时间的影响。 知识点4 其他问题 除了上述几类问题外，还有一些其他问题也可能涉及一元二次方程的实际应用。例如，物理学中的某些问题（如抛体运动）、经济学中的某些模型（如供需关系）等都可能通过一元二次方程来描述和求解。 要点诠释：其他问题易出现如下错误 方程设立不准确：在将实际问题转化为数学问题时，学生可能未准确设立方程或设立的方程不符合题意。 解方程方法不当：在解方程时，学生可能未根据方程的特点选择合适的解法（如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等），导致计算过程复杂或结果错误。 未进行验证：在得出解后，学生应验证解是否符合原问题的实际情况和约束条件，但部分学生可能忽视了这一步。 典例精讲 1 题型1 营销问题 【例1】．2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（sì）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若A款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售A款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出A款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则A款吉祥物售价应降低多少元？ 变式训练1 1．某超市销售的葡萄，根据市场调查以后发现，每箱售价（单位：元）与每天销量（单位：箱）之间满足如图所示的函数关系． (1)求与之间的函数关系式．（不必写出自变量的取值范围） (2)葡萄的进价是30元/箱，若该超市每天销售葡萄盈利800元，尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是多少元？ 2．当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表： 销售单价（元） 销售量（件） (1)求与之间的函数关系式； (2)该商家每天想获得元的利润，应将销售单价定为多少元？ 3．商场某种商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件；当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件，据此规律请回答： (1)当每件商品售价定为55元时，商场获得的日盈利是多少？ (2)在上述条件不变，商品销售正常的情况下，让顾客能得到实惠，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？ 4．“当你背单词的时候，阿拉斯加的鲟鱼正跃出水面；当你算数学的时候，南太平洋的海鸥掠过海岸；当你晚自习的时候，地球的极圈正五彩斑斓．但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人，和遇不到的风景，都终将在生命里出现……”这是某直播平台推销某本书时的台词，所推销书的成本为每套20元，当售价为每套40元时，每天可销售100套．为了吸引更多的顾客，平台采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天多销售10套．设每套辅导书的售价为x元，每天的销售量为y套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)不忘公益初心，热心教育事业，公司决定从每天利润中捐出200元帮助云南贫困山区的学生，为了保证捐款后每天利润达到1800元，且要最大限度让利消费者，求此时每套书的售价为多少元？ 5．某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克． (1)若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克樱桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种樱桃平均每天获利可以达到2400元吗？如果可以，请求出应降价多少元；如果不可以，请说明理由． 典例精讲2 题型2 工程问题 【例2】．某公司主营铁路建设施工． (1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？ (2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值． 变式训练2 1．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 2．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 3．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 4．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 5．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 典例精讲3 题型3 行程问题 【例3】．如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点A沿数轴向右移动个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．    (1)a的值为 ，c的值为 ； (2)动点 P，Q分别同时从点A，C 出发，点P以每秒3个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A 移动，点P表示的数为x． ①若点P，Q在点B处相遇，求m的值； ②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x 的值． 变式训练3 1．如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； (2)若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 2．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 3．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 4．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 5．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 典例精讲4 题型4 其他问题 【例4】．我校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．已知每瓶硫酸铜溶液的售价比氯化钠溶液的售价多2.5元，花100元用于购买的氯化钠溶液比花400元购买硫酸铜溶液少40瓶． (1)求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ (2)为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现每瓶硫酸铜溶液的成本是元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第二次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商家获利330元，求的值． 变式训练4 1．某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，求停车位的宽． 2．足球被称为“世界第一运动”，精彩赛事让许多球迷回味不已． (1)若球赛以小组为单位进行单循环制，组共比赛了场，则组有多少支球队？ (2)在（1）的条件下，若球赛以积分形式决定球队是否晋级，胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某球队在组目标是积分，则该球队胜、平、负的场数分别可以是多少？请列举说明． 3．某果园原计划种100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种1棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵． (1)如果多种棵桃树，那么每棵桃树的产量会减少______个；此时果园的总产量为______个； (2)如果要使总产量增加，那么应多种多少棵桃树？ 4．其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 5．为了丰富市民的文化生活，我市某湿地自然保护区特推出了如下门票收费标准： 标准一：如果人数不超过20人，门票价格70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元/人． (1)若我校组织28名师生去该湿地自然保护区旅游，购买门票共需费用多少元？ (2)若我校共支付该湿地自然保护区门票费用共计1500元，试求我校这次共有多少名师生去该湿地自然保护区旅游？ 能力提升 创新拓展 1．阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第n行有n个点．容易发现，三角点阵中前5行的点数之和为15． (1)三角点阵中前7行的点数之和为________，前n行的点数之和为________；（用含n的代数式表示） (2)三角点阵中前n行的，点数之和________（填“能”或“不能”）为520； (3)某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用630盆同样规格的花，按照第一排摆3盆，第二排摆6盆，第三排摆9盆，…第n排摆盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 2．小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离） (1)当时，求关于t的函数关系式； (2)求图中a的值； (3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由． 3．如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度． 学科网（北京）股份有限公司 $$