第五讲 一元二次方程根与系数的关系（2个知识点6大典例）暑假预习讲义2025－2026学年人教版数学九年级上册

2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（2个知识点6大典例） 第五讲 一元二次方程根与系数的关系（解析版） 知识点梳理 知识点1 一元二次方程根与系数的关系 1.对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.数学表达：对于一元二次方程，若，则。 3.要点诠释; (1)若一元二次方程的两个实数根是，当，则 （2）注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0。 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的应用 （1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可检验两个数是不是一元二次方程的两个根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； （3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值。 （4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程； （5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。 要点诠释; 已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围时，特别注意a≠0，Δ≥0这个条件，求值时可以按两种方法进行（1）先求后验定取舍；（2）先由根的判别式确定取值范围，再求值。 典例精讲1 题型1 一元二次方程根与系数的关系 【例1】．若是方程的两个实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．一元二次方程有两根，，则，，然后代入数值进行计算，即可求解， 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ，， 故选：C． 变式训练1 1．已知关于x的方程的两个不相等的实数根分别是p，q，那么的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】．A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系为，是解题的关键．根据题意得到，即可求解． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根分别是p，q， ，， 当时，成立，此时，即，不符合题意， ， 又， ∴， ， 故选：A． 2．关于x的一元二次方程有一个根是，则另一根是（   ） A． B． C． D． 【答案】．A 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程为， ∴此方程的两根之和为2， 又∵此方程的一个根是， ∴方程的另一个根是． 故选：A． 3．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 【答案】．1 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是牢记根与系数的关系并正确代入计算． 先根据一元二次方程的系数确定两根之和与两根之积，再代入式子计算． 【详解】∵一元二次方程的两个实数根分别为和， ， ． 故答案为：1 4．等腰三角形的三边分别是a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则n的值为 ． 【答案】．20 【分析】本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分2为底边长或腰长两种情况解题即可． 【详解】解：∵a，b是关于x的一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∵等腰三角形的三边分别是a，b，2， ∴当2为底边长时，则， ∴． ∵4，4，2能围成三角形， ∴； 当2为腰长时，、中有一个为2，根据可得另一个为6， ∵6，2，2不能围成三角形， ∴此种情况不存在． 故答案为：20． 典例精讲1 题型2 不解方程判定方程根的情况 【例2】不解方程，求下列方程两个根的和与积： （1）；       （2）； （3）；       （4）． 【答案】（1）x1＋x2＝3，x1x2＝－15；（2）x1＋x2＝－，x1x2＝；（3）x1＋x2＝1，x1x2＝－1；（4）x1＋x2＝2，x1x2＝ 【分析】（1）根据如果一元二次方程的两根为和，那么，进行求解即可得到答案； （2）根据如果一元二次方程的两根为和，那么，进行求解即可得到答案； （3）根据如果一元二次方程的两根为和，那么，进行求解即可得到答案； （4）根据如果一元二次方程的两根为和，那么，进行求解即可得到答案． 【详解】解：（1）原方程化为x2－3x－15＝0， ∴，， 设方程的两根分别为x1，x2， ∴x1＋x2，x1x2＝； （2）原方程化为3x2＋4x＋1＝0， ∴，， 设方程的两根分别为x1，x2， ∴x1＋x2，x1x2＝； （3）原方程化为x2－x－1＝0， ∴，， 设方程的两根分别为x1，x2， ∴x1＋x2，x1x2＝； （4）原方程化为2x2－4x＋1＝0， ∴，， 设方程的两根分别为x1，x2， ∴x1＋x2，x1x2＝． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 变式训练 1．已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，错误的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．两根互为相反数 C．两根异号 D．实数根的个数与实数b的取值无关 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，先通过根的判别式可得实数根的个数与实数b的取值无关，再利用根与系数的关系可得，则两根异号，熟练运用相关公式是解题的关键． 【详解】解：， 该方程有两个不相等的实数根，实数根的个数与实数b的取值无关，故A,D正确不符合题意； ， 两根异号，两根不一定互为相反数，故B错误，符合题意，C正确不符合题意， 故选：B． 2．不解方程，的两个根的符号为（    ） A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记“”的公式是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可求出两根之积，即可判断． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项系数，常数项， ∴， ∴一元二次方程的两个根、的符号是异号； 故选：B． 3．甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原方程根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．两根分别是2和5 D．两根分别是和 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．设原方程为，由根与系数的关系得，，得出，，再代入到原方程，解出的值即可得出答案． 【详解】解：设原方程为， 由题意得，，， ，， 原方程为，即， 解得：，， 原方程根的情况是两根分别是2和5． 故选：C． 4．关于的一元二次方程中，．则该方程根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为 D．两根之和为1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键．先求出这个方程根的判别式为，从而可判断选项A错误；再根据一元二次方程根与系数的关系即可判断选项C正确，选项D错误；然后根据两根之积小于0即可判断选项B错误． 【详解】解：由题意得：这个方程根的判别式为， ∵， ∴， ∴， ∴这个方程有两个不相等的实数根，则选项A错误； 由根与系数的关系得：两根之和为，则选项D错误； 两根之积为，则选项C正确； ∴这个方程的两个不相等的实数根异号，则选项B错误； 故选：C． 5．已知关于x的一元二次方程有两个仅符号相同（同为正数或同为负数）的实数根，写出一个符合条件的m的整数值： ． 【答案】2（答案不唯一，2至4的整数均可） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，根据判别式的意义和根与系数的关系得到，解不等式组得到m的范围，然后在此范围内取一个整数解即可． 【详解】解：∵一元二次方程，即有两个仅符号相同（同为正数或同为负数）的实数根，则 ∴， 解得： 又∵是整数 ∴一个符合条件的m的整数值为2（答案不唯一，2至4的整数均可） 故答案为：2（答案不唯一，2至4的整数均可）． 典例精讲 3 题型3 求代数式的值 【例3】．若，是关于x的一元二次方程两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，正确变形、灵活应用整体思想是关键； 根据题意可得，，再把所求式子变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ； 故答案为：2025． 变式训练3 1．已知是方程的两根，则的值为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了根与系数的关系、完全平方公式等知识点，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，再运用完全平方公式可得，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， ∴． 故答案为：24． 2．关于的一元二次方程的两实根满足，则的值为 ． 【答案】或 【分析】此题考查主要了根与系数的关系，解一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：，则k为任意实数，方程恒有两个不等的根， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：，， 故答案为：或． 3．已知方程的两根为，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据根与系数的关系可得，则，根据一元二次方程的解的定义可得，则可把所求式子变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2019 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 结合根与系数的关系可得，即可解决问题． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2019 5．若，是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，因为是方程的根，所以，把整理可得：原式，然后再整体代入求值即可． 【详解】解：，是方程的两个根， ， 是方程的根， ， 整理可得：， ． 故答案为：． 典例精讲4 题型4 由两根的关系求字母的值或取值范围 【例4】．已知一元二次方程有两个根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，满足，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式． （1）利用根的判别式即可解决问题； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得，，再将变形得，即可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个根， ∴， 解得， ∴m的取值范围是； （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴，， 又∵， ∴， 则， 解得或4， 又∵， ∴． 变式训练4 1．已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 2．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为0或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根，熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，，结合题意可列出关于k的等式，解出k即可． 【详解】（1）解：（1）根据题意得， ∴该方程有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ∴的值为0或． 3．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)若方程的一个根为2，求方程的另一个根； (2)当时，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟记相关公式是解题的关键． （1）利用根与系数的关系可得另外一根； （2）把代入，再利用根的判别式，列出不等式，即可解答． 【详解】（1）解：设方程的另一个根为， 则， ∴； （2）解：当时，方程为， 关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得． 4．对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，那么；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：已知一元二次方程两个实数根分别为，，求的值．小明给出了一部分解题思路： 解：（1）一元二次方程的两个实数根分别为，， _____， _____， _____，请填空； （2）一元二次方程的一个根为，则_____，另一个根为_____； （3）关于的一元二次方程：有两个实数根，且这两个实数根的平方和是21，求的值． 【答案】（1）3，，；（2），；（3）2 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系的应用，利用因式分解的方法解一元二次方程． （1）利用根与系数的关系可得，，再把分解因式，再代入求值即可； （2）利用根与系数的关系可得，，从而可得答案； （3）利用根与系数的关系可得，结合，可得，再解方程，结合，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3，，； （2）∵一元二次方程的一个根为， ∴，， 解得：，， 故答案为：，； （3）设关于x的一元二次方程有两个实数根为，， ∴， ∵这两个实数根的平方和是21， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴不符合题意， ∴． 5．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根是负数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键； （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）求出方程的两根，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵方程， ，，， ， ∴无论为何值，该方程总有两个实数根． （2）解：由求根公式，得． ，， ∵方程有一个根为负数， ． ∴． ∴的取值范围是． 典例精讲5 题型5 新定义问题 【例5】．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值； (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)③ (2)或 (3)，见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“邻根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系即可得到，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得：，， ， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得：， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：设的两个根为，， 由韦达定理得，． ∵为“邻根方程”， ∴，可得， 即， 代入得． 变式训练5 1．对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由得：，由根与系数的关系得；再把所求代数式通分，整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵m，n是方程的两个实数根， 即m，n是方程的两个实数根， ∴； ∴； 故选：A． 2．定义新运算：，若方程的解为a、b，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后根据新定义可进行求解． 【详解】解：∵a、b是方程的解， ∴， ∴ ； 故答案为0． 3．定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程是“同步方程”． (1)下列方程是“同步方程”的是________（填序号）； ①，②，③； (2)若方程是“同步方程”，求的值； (3)若方程为“同步方程”，直接写出满足的数量关系． 【答案】(1)①② (2)或 (3) 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握新定义，正确应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据新定义同步方程的概念，逐一验证三个方程，得到结果； （2）根据同步方程的定义，结合一元二次方程根与系数的关系，得到，从而得到a的值； （3）根据同步方程的定义，结合一元二次方程根与系数的关系，得到结果． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∴是“同步方程”； ②∵， ∴， ∴， ∴是“同步方程”； ③∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是“同步方程”， 故答案为：①②； （2）解：∵是“同步方程”， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 故或； （3）解：∵为“同步方程”， ∴，， ∴， ∴． 4．、是一元二次方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差根方程”，根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)方程①；②中，是差根方程的是________________（填序号）； (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键． （1）据“差根方程”定义判断即可； （2）根据是“差根方程”，且，得到，从而得到； 【详解】（1）解：①设，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 方程不是差根方程； ②设，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 方程是差根方程； 故答案为：②； （2）解：， 因式分解得：， 解得：，， 关于的方程是“差根方程”， ，即； 5．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，求m与n的关系； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求之间的关系． 【答案】(1)是 (2)或 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义． （1）根据“倍根方程”的定义即可得出结论； （2）首先求出方程的根，再根据倍根方程的定义即可求出答案； （3）设与是方程的解，然后根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）， ， 解得， 是的2倍， 一元二次方程是倍根方程． （2）， 解得， 是“倍根方程”， 或， 或． （3）设与是方程的解， ，， 即，， ， 整理得． 典例精讲6 题型6 根与系数关系与根的判别式的综合应用 【例6】．关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且 (2)不存在，见解析 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零结合根的判别式，找出关于的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合，列出关于的方程． （1）由二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围； （2）假设存在，设方程的两根分别为、，根据根与系数的关系结合，即可得出关于的方程，解之即可得出的值，再根据（1）的结论即可得出不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0． 【详解】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． （2）解：不存在，理由如下： 假设存在，设方程的两根分别为、，则，． ， ． 且， 不符合题意，舍去． 假设不成立，即不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0． 变式训练6 1．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (3)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)的取值范围是； (3)的值为． 【分析】此题考查了一元二次方程的解， 一元二次方程，一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点的应用及正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程得，然后解一元二次方程即可； （）由题意得，然后解不等式即可； （）由题意可得，，则，解得，， 再通过即可求出的值． 【详解】（1）解：∵该方程有一个根是， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵该方程有两个实数根， ∴， 解得． 即的取值范围是； （3）解：∵该方程的两个实数根，， ∴，， ∴， 化简得， 解得，， 由（）可知，， 所以的值为． 2．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根分别为α，β，且，求k的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可得出结论； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，再根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵的两个实数根分别为α，β， ∴， ∵， ∴， 解得：． 3．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有实数根得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）∵，是该方程的两个根， ∴， ∴， 解得：或； 由（1）可知：， ∴． 4．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若是方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意只需要证明即可； （2）由根与系数的关系得到，，再根据得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）解：∵是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得． 5．关于的一元二次方程 (1)若方程总有两个实数根，求的最小值． (2)若方程的两根为，，，求的值． 【答案】(1)无论取何值，方程总有两个实数根（可能相等），因此，的取值范围是全体实数，没有最小值 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． （1）计算一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，将已知等式变形得出，继而解方程即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 无论取何值，方程总有两个实数根（可能相等），因此，的取值范围是全体实数，没有最小值； （2）解：∵方程两根、， ， ， ， 即，整理得：， 解得：，即． 能力提升 创新拓展 1．已知关于x的方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求p的值． (2)若方程的两个实数根分别为与，若都为正整数，求证为偶数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式等于0求解即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再判断出都为偶数，由此即可得证． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， ∴． （2）证明：∵关于的方程的两个实数根分别为与， ∴， ∵都为正整数， ∴和都是奇数， ∴都为偶数， ∴为偶数． 2．已知三角形的一边，另两边长恰好是关于的方程的两个根，且．求的周长． 【答案】7 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，从而可得，则，再根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵的两边长恰好是关于的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵三角形的一边， ∴的周长为． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)证明：该方程一定有两个不相等的实数根． (2)已知该方程的两根分别是一个直角三角形的两条直角边的长度，当这个直角三角形的斜边长为时，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数之间的关系、勾股定理．掌握一元二次方程根的判别式与根的个数之间的关系以及根与系数之间的关系，是解题的关键． （1）求出根的判别式的符号即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，以及勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴该方程一定有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两个根为， 则：，， ∵该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，且这个直角三角形的斜边长为， ∴， ∴， ∴，即 解得：或， ∵， 当时，，不合题意，舍去． ∴． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（2个知识点6大典例） 第五讲 一元二次方程根与系数的关系 知识点梳理 知识点1 一元二次方程根与系数的关系 1.对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.数学表达：对于一元二次方程，若，则。 3.要点诠释; (1)若一元二次方程的两个实数根是，当，则 （2）注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0。 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的应用 （1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可检验两个数是不是一元二次方程的两个根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； （3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值。 （4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程； （5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。 要点诠释; 已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围时，特别注意a≠0，Δ≥0这个条件，求值时可以按两种方法进行（1）先求后验定取舍；（2）先由根的判别式确定取值范围，再求值。 典例精讲1 题型1 一元二次方程根与系数的关系 【例1】．若是方程的两个实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 变式训练1 1．已知关于x的方程的两个不相等的实数根分别是p，q，那么的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．关于x的一元二次方程有一个根是，则另一根是（   ） A． B． C． D． 3．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 4．等腰三角形的三边分别是a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则n的值为 ． 典例精讲1 题型2 不解方程判定方程根的情况 【例2】不解方程，求下列方程两个根的和与积： （1）；       （2）； （3）；       （4）． 变式训练 1．已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，错误的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．两根互为相反数 C．两根异号 D．实数根的个数与实数b的取值无关 2．不解方程，的两个根的符号为（    ） A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定 3．甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原方程根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．两根分别是2和5 D．两根分别是和 4．关于的一元二次方程中，．则该方程根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为 D．两根之和为1 5．已知关于x的一元二次方程有两个仅符号相同（同为正数或同为负数）的实数根，写出一个符合条件的m的整数值： ． 典例精讲 3 题型3 求代数式的值 【例3】．若，是关于x的一元二次方程两个实数根，则代数式的值为 ． 变式训练3 1．已知是方程的两根，则的值为 ． 2．关于的一元二次方程的两实根满足，则的值为 ． 3．已知方程的两根为，求的值为 ． 4．若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 5．若，是方程的两个根，则的值为 ． 典例精讲4 题型4 由两根的关系求字母的值或取值范围 【例4】．已知一元二次方程有两个根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，满足，求m的值． 变式训练4 1．已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 2．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 3．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)若方程的一个根为2，求方程的另一个根； (2)当时，求实数的取值范围． 4．对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，那么；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：已知一元二次方程两个实数根分别为，，求的值．小明给出了一部分解题思路： 解：（1）一元二次方程的两个实数根分别为，， _____， _____， _____，请填空； （2）一元二次方程的一个根为，则_____，另一个根为_____； （3）关于的一元二次方程：有两个实数根，且这两个实数根的平方和是21，求的值． 5．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根是负数，求的取值范围． 典例精讲5 题型5 新定义问题 【例5】．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值； (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 变式训练5 1．对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．定义新运算：，若方程的解为a、b，则的值为 ． 3．定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程是“同步方程”． (1)下列方程是“同步方程”的是________（填序号）； ①，②，③； (2)若方程是“同步方程”，求的值； (3)若方程为“同步方程”，直接写出满足的数量关系． 4．、是一元二次方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差根方程”，根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)方程①；②中，是差根方程的是________________（填序号）； (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． 5．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，求m与n的关系； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求之间的关系． 题型6 根与系数关系与根的判别式的综合应用 【例6】．关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 变式训练6 1．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (3)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 2．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根分别为α，β，且，求k的值． 3．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 4．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若是方程的两根，且，求的值． 5．关于的一元二次方程 (1)若方程总有两个实数根，求的最小值． (2)若方程的两根为，，，求的值． 能力提升 创新拓展 1．已知关于x的方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求p的值． (2)若方程的两个实数根分别为与，若都为正整数，求证为偶数． 2．已知三角形的一边，另两边长恰好是关于的方程的两个根，且．求的周长． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)证明：该方程一定有两个不相等的实数根． (2)已知该方程的两根分别是一个直角三角形的两条直角边的长度，当这个直角三角形的斜边长为时，求m的值． 试卷第1页，共3页 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