第四讲 解一元二次方程（三）因式分解法（3个知识点4大典例）暑假预习讲义2025－2026学年人教版数学九年级上册

2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点4大典例） 第四讲 解一元二次方程（三）因式分解法 知识点梳理 知识点1 因式分解法解一元二次方程 1. 因式分解的方法： ①提公因式法： ； ②公式法：平方差公式： ； 完全平方公式： ； ③十字相乘法：分解，若且， 则 (x+m) (x+n) 。 2.因式分解法求解一元二次方程的步骤： （1） 把方程的右边化为0； （2） 把方程左边分解因式成两个一次因式乘积的形式； （3） 令每个因式等于0，化为两个一元一次方程的形式； （4） 解这两个一元一次方程，其解就是一元二次方程的解。 3.要点诠释： （1）能用因式分解法解的一元二次方程的结构特点：方程一边是0，另一边是能够分解成两个一次因式的积。 （2）能用因式分解法解的一元二次方程的依据：积为0的条件。 （3）用因式分解法解一元二次方程时一定注意①必须方程一边是0，方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 知识点2 选择适合（指定）方法解一元二次方程 1.一元二次方程的解法选择 （1） 在一元二次方程四种解法中，一般的选择顺序为：①直接开平方法——②因式分解法——③公式法——④配方法； （2） 对于稍复杂的一元二次方程，要先观察，能否直接用开平方法或因式分解法，不用化为一元二次方程的一般形式； （3）对于可化为一元二次方程的分式方程，一定要验根 2.要点诠释： 解一元二次方程的口诀： 方程没有一次项，直接开方最理想； 如果缺少常数项，因式分解没商量； b、c相等都为0，等根是0不要忘； b、c同时不为0.因式分解或配方； 也可直接套公式，因题而异择良方。 典例精讲1 题型1 利用因式分解法解一元二次方程 【例1】．解方程：． 变式训练1 1．如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是（   ） A．1 B． C．－1 D．1或－1 2．已知实数满足方程，则的值是 ． 3．已知方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为 ． 4．已知关于x的方程，若方程的两个实数根都是整数，则整数k的值为 ． 5．解方程 (1)； (2)． 6．已知关于的方程，其中，为实数． (1)当，时，求方程两根的平方和． (2)当时，若方程有一个根为，判断与的大小关系并说明理由． (3)若对于任何实数，此方程都有实数根，求的取值范围． 典例精讲2 题型2 选择适当方法解方程 【例2】用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） 变式训练2 1．已知方程有M个解，方程有N个解，其中，则（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 2．三角形的两边长为4和7，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 3．根据如图所示的程序计算函数的值．若输入的值为4，则输出的值为7．若输出的值为13，则输入的值为 ． 4．用适当方法解方程： (1)； (2)； (3)． 5．解方程： (1)； (2)；（用配方法解） (3)．（用公式法解） 典例精讲3 题型3 因式分解法在几何中的应用 【例3】如图，平行四边形中，，，，点是边上一动点，连接，，若是直角三角形，则 ． 变式训练3 1．如果一个三角形的两边长分别是方程的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，菱形的两条对角线长分别为和（其中为菱形的短对角线的长度），将这四个直角三角形拼成“赵爽弦图”（如图2）．得到大小两个正方形，若图2中阴影小正方形的面积为，则的值为 ． 3．已知方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为 ． 4．一个三角形的两边长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是 ． 5．如果一元二次方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为 ． 典例精讲4 题型四 换元法解方程 【例4】．阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 变式训练4 1．已知，则的值为 ． 2．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程是 ． 3．【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 4．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 5．阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ___________，___________． 任务： (1)直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________． (2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程． 能力提升 创新拓展 1．材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 2．解方程： 3．对实数，定义运算如下： 当时，；当时，． 若，求的值（表示不超过的最大整数）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点4大典例） 第四讲 解一元二次方程（三）因式分解法（解析版） 知识点梳理 知识点1 因式分解法解一元二次方程 1. 因式分解的方法： ①提公因式法： ； ②公式法：平方差公式： ； 完全平方公式： ； ③十字相乘法：分解，若且， 则 (x+m) (x+n) 。 2.因式分解法求解一元二次方程的步骤： （1） 把方程的右边化为0； （2） 把方程左边分解因式成两个一次因式乘积的形式； （3） 令每个因式等于0，化为两个一元一次方程的形式； （4） 解这两个一元一次方程，其解就是一元二次方程的解。 3.要点诠释： （1）能用因式分解法解的一元二次方程的结构特点：方程一边是0，另一边是能够分解成两个一次因式的积。 （2）能用因式分解法解的一元二次方程的依据：积为0的条件。 （3）用因式分解法解一元二次方程时一定注意①必须方程一边是0，方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 知识点2 选择适合（指定）方法解一元二次方程 1.一元二次方程的解法选择 （1） 在一元二次方程四种解法中，一般的选择顺序为：①直接开平方法——②因式分解法——③公式法——④配方法； （2） 对于稍复杂的一元二次方程，要先观察，能否直接用开平方法或因式分解法，不用化为一元二次方程的一般形式； （3）对于可化为一元二次方程的分式方程，一定要验根 2.要点诠释： 解一元二次方程的口诀： 方程没有一次项，直接开方最理想； 如果缺少常数项，因式分解没商量； b、c相等都为0，等根是0不要忘； b、c同时不为0.因式分解或配方； 也可直接套公式，因题而异择良方。 典例精讲1 题型1 利用因式分解法解一元二次方程 【例1】．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解高次方程，先把原方程两边同时除以，则可把原方程变形为，设，则，则进一步可把原方程化为，解方程求出m的值，进而得到关于x的分式方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴当，原方程左边原方程右边， ∴， 把原方程两边同时除以得， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴或， ∴或， 由判别式可知方程①无解，解方程②得， 经检验，都是原方程的解，且符合题意， ∴原方程的解为． 变式训练1 1．如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是（   ） A．1 B． C．－1 D．1或－1 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解． 【详解】解：设这个数为， 则有 移项得：， 根据完全平方公式， 对进行因式分解可得： ， 根据平方根得性质，若，则， 所以，解得． 故选A． 2．已知实数满足方程，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元二次方程，令，则原式为，解方程即可解答，注意方程无实数根的情况是解题的关键． 【详解】解：令， 则原式为， 解得， 当时，，方程有实数根， 当时，，方程没有实数根， ， 故答案为：3． 3．已知方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为 ． 【答案】13或/13或 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是分类讨论． 解一元二次方程，分类讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】解： 解得， 当为的两直角边时，第三条边长为； 当为的一条直角边和一条斜边时，第三条边长为； 故答案为：13或． 4．已知关于x的方程，若方程的两个实数根都是整数，则整数k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程得到，，根据方程的两个实数根都是整数，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴， 故答案为：． 5．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)． 【分析】本题主要考查的是解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ． 6．已知关于的方程，其中，为实数． (1)当，时，求方程两根的平方和． (2)当时，若方程有一个根为，判断与的大小关系并说明理由． (3)若对于任何实数，此方程都有实数根，求的取值范围． 【答案】(1)50 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）先把，代入，得出，解方程得出，，然后求出结果即可； （2）把方入方程得出，求出，即可得出答案； （3）根据根的判别式得出，整理得出，根据对于任何实数，此方程都有实数根，得出对于任何实数，恒成立，即可得出答案． 【详解】（1）解：当，时，方程为， 解得：，， ∴， 即两根的平方和为50． （2）解：把方入方程得： ， 整理得：， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：由题可知， 整理得：， 即， ∵对于任何实数，此方程都有实数根， ∴对于任何实数，恒成立， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法个根的判别式． 典例精讲2 题型2 选择适当方法解方程 【例2】用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练地掌握一元二次方程的解法特别是因式分解法解一元二次方程，可以大大降低计算量． （1）根据配方法步骤进行配方，得出，再开平方即可； （2）首先求出，再套用公式，即可求解； （3）利用因式分解法解一元二次方程，提取公因式即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ， ，； （3） ，， ，． 变式训练2 1．已知方程有M个解，方程有N个解，其中，则（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】这道题主要考查解一元二次方程的因式分解法以及分类讨论思想，对于方程，根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，可直接求解，方程，同样依据上述原理求解，但需要分，以及且等不同情况讨论，再确定两个方程解的个数M和N之间的关系． 【详解】解：， ∴或， ∴或， ∵， ∴， 当，时，方程变为， 解得，此时， 当，时，方程变为， 解得x，此时， 当，时，方程变为或解得或，此时， ∴当或时，，，； 当且时，，，， ∴或． 故选：C． 2．三角形的两边长为4和7，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，三角形三边的关系．先利用因式分解法解方程得到，再根据三角形三边的关系确定第三边长的长，然后计算三角形的周长． 【详解】解：， ， 或， 解得， 当时，，不符合三角形的三边关系，所以舍去， 当时，，符合三角形的三边关系， 则三角形三边分别为7、4、4，三角形的周长是， 故答案为：． 3．根据如图所示的程序计算函数的值．若输入的值为4，则输出的值为7．若输出的值为13，则输入的值为 ． 【答案】或7/或 【分析】本题考查函数值、解一元二次方程，先根据已知求得b值，再由分别解方程求得x值即可． 【详解】解：∵输入的值为4，则输出的值为7，且， ∴，解得， 若输出的值为13， 则当时，由得； 当时，由得，（舍去）， 综上，若输出的值为13，则输入的x值为或7， 故答案为：或7． 4．用适当方法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 5．解方程： (1)； (2)；（用配方法解） (3)．（用公式法解） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程的方法解答即可； （2）根据配方法解一元二次方程的方法解答即可； （3）先化为一元二次方程的一般式，再利用公式法求解． 【详解】（1）解：， 整理，得． ∴， ∴或， 解得：； （2）解：． ∴， ∴， 即， 所以； （3）解：， 整理，得． ∴， ， ， 即． 典例精讲3 题型3 因式分解法在几何中的应用 【例3】如图，平行四边形中，，，，点是边上一动点，连接，，若是直角三角形，则 ． 【答案】2或4或8 【分析】根据平行四边形性质得，依题意有以下两种情况①当时，过点作交延长线于，过点作于，设，则，在中，先求出，进而得，则，由勾股定理得，同理得，则，由勾股定理得，再由勾股定理得，则，由此解出，则或8；②当时，在中，先求出，则，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ， ， ， ∵点是边上一动点， ∴当是直角三角形时有以下两种情况： ①当时，过点作交延长线于点，过点作于点，如图1所示： 设，则， 在中，， ， 又∵， ， 由勾股定理得：， ， 在中， 由勾股定理得：， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， 在中， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得：， 或； ②当时，如图2所示： ， 在中，， ， 综上所述：若是直角三角形，则或8或． 故答案为：4或2或8． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用勾股定理及含有角的直角三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 变式训练3 1．如果一个三角形的两边长分别是方程的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，构成三角形的条件，三角形中位线定理，先利用因式分解法解方程得到这个三角形的两边长分别为2，9，再由构成三角形的条件得到这个三角形的周长，由三角形中位线定理推出新得到的三角形的周长，据此可得答案． 【详解】解：解方程得或， ∴这个三角形的两边长分别为2，9， ∴这个三角形第三边的长， ∴这个三角形的周长， 由三角形中位线可得，连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的每一边都等于与原三角形平行的边的长的一半，即所得三角形的周长为原三角形周长的一半， ∴新得到的三角形的周长， 故选：B． 2．如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，菱形的两条对角线长分别为和（其中为菱形的短对角线的长度），将这四个直角三角形拼成“赵爽弦图”（如图2）．得到大小两个正方形，若图2中阴影小正方形的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识．由菱形的性质可得直角三角形的直角边分别为，，推出大正方形的面积为，再根据阴影面积大正方形的面积四个三角形的面积，列方程即可求解． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别为和， 直角三角形的直角边分别为，， 大正方形的面积为， 阴影小正方形的面积为， ， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 3．已知方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为 ． 【答案】13或/13或 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是分类讨论． 解一元二次方程，分类讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】解： 解得， 当为的两直角边时，第三条边长为； 当为的一条直角边和一条斜边时，第三条边长为； 故答案为：13或． 4．一个三角形的两边长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是 ． 【答案】20或27 【分析】此题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 已知方程利用因式分解法求出解，得到第三边长，分类讨论求出三角形的周长即可． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 解得：或， 当时，， ∴三角形的周长为：； 当时，， ∴三角形的周长为：； 综上所述，三角形的周长是20或27． 故答案为：20或27． 5．如果一元二次方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】20 【分析】先解一元二次方程，根据根的情况可知有两种方式，用三角形三边关系排除一组后即可得出三角形周长．本题考查等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形三边关系．不要忽略了用三角形三边关系判断能否构成三角形． 【详解】解：∵， ∴ 则， 即， ∵4，4，8不能构成三角形， ∴这个等腰三角形的三边成为8，8，4， ∴ ∴周长为20． 故答案为：20． 典例精讲4 题型四 换元法解方程 【例4】．阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易． （1）设，则原方程可化为，利用因式分解法求出未知数的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解； （2）设，则原方程化为，通过解一元二次方程求出的值，即可得到的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去． 【详解】（1）解： 设， 则原方程可化为， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 原方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 设， 则原方程化为， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，， 当时，(不符合题意，舍去)， ． 变式训练4 1．已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了用换元法与因式分解法解一元二次方程；设，则原方程可化为，再用因式分解法解即可，注意当X为负数时要舍去． 【详解】解：设，则原方程可化为， 分解因式得：， 解得：， 由于， ∴不合题意，舍去， ∴， 即， 故答案为：1． 2．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设，利用换元法将原方程化为关于y的方程，再通过去分母得到整式方程，即可得出答案． 【详解】解：， ，， 原方程可化为， 去分母，得：， 整理得：， 原方程可化为关于y的整式方程是． 故答案为：． 3．【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】(1)降次 (2) (3) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据题意可得换元法达到降次的目的； （2）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解； （3）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想 （2）解：设，则原方程可化为 整理，得 解得， 又∵ （3）解：设，则原方程可化为 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为． 4．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 【答案】 【分析】将视为一个整体，然后设则原方程化为．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可． 此题考查换元法解一元二次方程，掌握整体的代换方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 设， 则原方程化为， 即， ， 解得，， ∵不能是负数， ∴ 5．阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ___________，___________． 任务： (1)直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________． (2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题， （1）根据材料中的方法求出解即可；   （2）设（m为常数），将原方程化为，方程整理，得，令解得，当时，，方程化为，解得，，即可求出答案． 【详解】（1）解：解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ，   故答案为：，； （2）设（m为常数），   将原方程化为①   方程①整理，得 ②   令解得，   当时，，   方程②化为 解得  ，， ，． 能力提升 创新拓展 1．材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程的根为； (2)故原方程的根为． 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程和分式方程等知识点， (1)设，把原方程化为一元二次方程，解方程得到答案； (2)设，把原方程化为简单的分式方程，解方程即可； 熟练掌握通过阅读掌握换元法的一般步骤是解决此题的关键． 【详解】（1）解：设，原方程可化为， 解得, 当时，,即, ∵， ∴方程无解， 当时，,即, 解得，, 故原方程的根为； （2）解：设,原方程可化为，即, 解得, 当时，, 解得,经检验是原方程的解， 当,时，, 解得,经检验是原方程的解， 故原方程的根为． 2．解方程： 【答案】或或 【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程，将等式左边展开后，进行因式分解，将方程去分母，转化为整式方程，再次利用因式分解将方程转化为两个因式的积为0的形式，再进行求解，最后进行检验即可． 【详解】解： ， ， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或或； 经检验或或是原方程的解． ∴原方程的解为：或或． 3．对实数，定义运算如下： 当时，；当时，． 若，求的值（表示不超过的最大整数）． 【答案】17或1 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的应用及一元一次不等式的知识，解决本题的关键是正确的对两种情况进行讨论． 利用新定义的规定得出x值，代入运算得出代数式的值，然后利用的规定计算即可． 【详解】解：当时， ， ∴， ∴ ∴ ∴ 当时， ∴， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 综上：的值为17或1． 学科网（北京）股份有限公司 $$