第三讲 解一元二次方程（二）公式法（4个知识点5大典例）暑假预习讲义2025－2026学年人教版数学九年级上册

2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（4个知识点5大典例） 第三讲 解一元二次方程（二）公式法（解析版） 知识点梳理 知识点1 求根公式 1.一般地，对于一元二次方程， 当 2. 要点诠释： （1） 求根公式只适用一元二次方程，即必须确认a≠0. （2） 只有b2-4ac ≥0时，才能用求根公式求一元二次方程的解。 知识点2 公式法求解一元二次方程 1、 公式法的定义：用求根公式求解一元二次方程的方法叫公式法。 2、 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 公式法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 的值。 ②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 3. 要点诠释： 必须首先把一元二次方程化为一般形式，再确定a、b、c的值 知识点3 一元二次方程根的判别式 ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ； 。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 0 。 ③时，一元二次方程没有实数根。 2. 要点诠释： （1） 任何一个一元二次方程如果有根，一定是两个， （2） b2-4ac<0,方程没有实数根，是指在实数范围内，方程无解，不能说b2-4ac<0,方程无解。 知识点4 一元二次方程根的判别式的应用 （1）不解方程，判定方程根的情况 （2）与方程根的情况确定参数的值 （3）根据方程根的情况证明 典例精讲1 题型1 公式法解一元二次方程 【例1】．用公式法解方程． 【答案】， 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程．根据一元二次方程的一般形式得到，，，计算得到，代入求根公式进行计算即可． 【详解】解： ∵，，， ∴， ∴， 解得，． 变式训练1 1．用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，把原方程化为形如（其中a、b、c是常数，）的形式即可得到答案． 【详解】解：， ， 则，，， 故选：C． 2．下列一元二次方程的根是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若其有实数根，那么其实数根为．据此结合题意得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴该一元二次方程可以为， 故选：D． 3．若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握公式法求一元二次方程的方法是解题的关键． 根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答即可． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：D． 5．小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 根据求根公式中的意义求解． 【详解】解：． 故答案为：． 典例精讲2 题型2 实数范围内因式分解 【例2】若一元二次方程ax2+bx+c=0两个根为x1，x2，则多项式ax2+bx+e可以分解因式为a(x-x1)(x-x2），例如因为方程3x2-4x+1=0的两根为，，则．请根据以上结论在实数范围内因式分解． （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用公式法求出方程的根，再利用已知分解因式即可； （2）利用公式法求出方程的根，再利用已知分解因式即可． 【详解】（1） 这里a=2，b=-3，c=1， ∴△=b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1＞0， 由=0，得方程的解为：，； ∴ （2） 由方程=0，得方程的解为：， 所以， 【点睛】此题考查了用解一元二次方程的方法对二次三项式进行因式分解．正确求出方程的根是解决问题的关键． 变式训练2 1．在实数范围内因式分解，下列四个答案中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从题中可以看出多项式非一般方法可以解出，可以将式子变成关于x的一元二次方程进行求解，之后再代入因式分解的形式中即可． 【详解】解：令，解得，， 所以， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． 2．若在实数范围内定义一种运算“*”，使，则方程的根为(  ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据运算“*”的规则，可将所求的方程化为：（x+2+1）2-5（x+2）=0，然后解这个一元二次方程即可． 【详解】解：依题意，可将所求方程转化为：（x+2+1）2-5（x+2）=0， 化简得：x2+x-1=0 解得x1= ，x2= ． 故选D． 【点睛】本题考查解一元二次方程--公式法，是一个阅读型的问题，弄清新运算的规则是解答此类题的关键． 3．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解及一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解及一元二次方程的解法是解题的关键；可令，然后根据求根公式可得出方程的根，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可令， 则， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 4．在实数范围内因式分解： 【答案】 【分析】令，则式子可化为，令，求解即可． 【详解】解：令，则式子可化为， 令 则，， 则， 故答案为： 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了换元法和一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的根． 典例精讲3 【例3】已知整式． (1)化简该整式； (2)若该整式的值为正数，判断关于的方程的根的情况，并说明理由． 【答案】(1) (2)有两个不相等的实数根；理由见解析 【分析】该题考查了一元二次方程根判别式和整式混合运算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据多项式乘多项式乘法法则和单项式乘多项式乘法法则去括号，再运算加减法即可； （2）根据该整式的值为正数，得出，求出，再根据一元二次方程根判别式解答即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：由题可得， 解得：． 对于关于的方程， ． 因为， 所以． 所以该方程有两个不相等的实数根． 变式训练3 1．一元二次方程根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．先将原方程化为一般式，再根据根的判别式求解即可． 【详解】解：原方程化为， 则， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 2．当时，关于x的方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．由可得出，根据方程的系数结合根的判别式可得出，由偶次方的非负性可得出，即，由此即可得出关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．定义新运算：，例如：．则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的情况是解题的关键，根据题中新定义的运算方法，得到关于x的一元二次方程，再利用判断根的情况，即可得到答案． 【详解】解：由题可得：， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 4．m，n在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据数轴确定，再由根的判别式得到，即可确定符号． 【详解】解：由数轴得， ∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：C． 5．关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述，其中表述正确的是（    ） A．当，，时，方程一定有两个不相等的实数根； B．当，，时，方程一定没有实数根； C．当，时，方程一定没有实数根； D．当，，时，方程一定有实数根． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据“若方程，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根”进行排除选项即可． 【详解】解：A、由，可得：，，所以，则方程有两个相等的实数根，故不符合题意； B、当时，满足，，，此时，即方程有两个不相等的实数根，故该选项错误，不符合题意； C、当时，满足，，此时，即方程有两个不相等的实数根，故该选项错误，不符合题意； D、∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即方程一定有实数根；故该选项正确，符合题意； 故选D． 典例精讲4 【例4】已知关于x的一元二次方程有实数根．若m是符合条件的最大整数，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据关于x的一元二次方程有实数根，得出，，求出结果即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，， 解得：且， ∵m是符合条件的最大整数， ∴． 变式训练4 1．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．分情况讨论：当时，求出方程的解；当时根据根的判别式的意义可得，然后解不等式即可． 【详解】解：当时， 原方程为， 解得，符合题意； 当时， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴且， 综上，， 故选：B． 2．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键． （1）根据根的判别式解答即可；． （2）首先求出一元二次方程的两根，一根为1，一根为，只需要求出是正整数时m的值即可． 【详解】（1）证明：∵ ． ∴该方程有两个实数根． （2）解：存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，理由如下： 由求根公式，得：， 即，， ∵为整数，且该方程的两个实数根均为正整数， ∴必为正整数， ∴或， 即当或时，该方程的两个实数根均为正整数． 3．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根． (1)求的值． (2)求此时方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用根的判别式为0，即可得出的值； （2）将代入方程，然后利用完全平方公式即可得解 此题主要考查根的判别式以及完全平方公式的运用，熟练掌握，即可解题． 【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根 ∴ 解得：； （2）当时，代入原方程得， 解得． 4．计算题 (1)解方程（公式法） (2)已知关于x的一元二次方程有实数根，求出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题的关键． （1）先将方程化为一般式，再用公式法求解即可； （2）根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）解： 移项：， ，，， ∵ ∴， 解得：，； （2）解：因为关于x的一元二次方程有实数根， 所以， 解得． 又因为是一元二次方程， 所以， 所以 综合知，m的取值范围是且． 5．我们规定：对于任意实数、、、有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值． (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)23 (2)且 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算、一元二次方程根的判别式和定义，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义列出运算式子，再计算有理数的四则混合运算即可得； （2）先根据新运算的定义可得一个关于的方程，再根据一元二次方程根的判别式和定义求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得： ． （2）解：由题意得： ， ∵， ∴， ∵关于的方程有两个实数根，即关于的方程有两个实数根， ∴这个方程根的判别式，且， 解得且． 典例精讲5 【例5】已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求证：为非负数； (2)若，，均为奇数，该一元二次方程是否有整数解？说明你的理由． 【答案】(1)见解析； (2)该一元二次方程没有整数解，理由见解析． 【分析】（）根据题意可得，从而求证； （）设关于的一元二次方程的整数解为，则也为奇数，然后分为奇数，为偶数两种情况分析即可求解； 此题考查了根的判别式和方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】（1）证明：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴为非负数； （2）解：该一元二次方程没有整数解，理由， 设关于的一元二次方程的整数解为， ∴，则， ∵为奇数， ∴也为奇数，故也为奇数， 若为奇数，则也为奇数， ∵为奇数，为奇数， ∴为奇数，为奇数， ∴为偶数， ∴与为奇数相矛盾，不符合题意； 若为偶数，则也为偶数， ∵为奇数，为奇数， ∴为偶数，为偶数， ∴为偶数， ∴与为奇数相矛盾，不符合题意； 综上可知：无论为奇数或偶数都相矛盾， 故该一元二次方程没有整数解． 变式训练5 1．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明； （2）设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求得的取值范围． 【详解】（1）证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由（1）知，，，，， 解方程得， ，． 由题意可知，， ． 2．已知关于的方程，其中分别为三边的长． (1)若是方程的根，试判断的形状； (2)若方程有两个相等的实数根，试判断的形状． 【答案】(1)为等腰三角形； (2)为直角三角形． 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握根的判别式，等腰三角形的定义，勾股定理判定直角三角形的计算是关键． （1）把代入方程得到，结合等腰三角形的定义即可求解； （2）根据根的判别式列式得，结合勾股定理判定直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴． ∴， ∴为直角三角形． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； (2)若方程有一根不小于2，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，利用根的情况求参数范围等． （1）计算，即可证明出本题答案； （2）利用求根公式得出，再由根的关系可得，计算出结果即为本题答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴无论m取何值，原方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵方程有一根不小于2， ∴， 解得：， ∴m的取值范围：． 4．已知关于的方程：． (1)若该方程有一个根是2，求的值； (2)证明：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，解题的关键是掌握学会用转化的思想解决问题． （1）根据方程解的定义，将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程求解即可； （2）证明即可． 【详解】（1）解：∵方程：的一个根为2， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∵， ∴， ∴该方程总有两个不相等的实数根． 5．已知：关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值（），方程总有一个固定的根． 【答案】(1)且 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）由方程有两个不相等的根，可得，由一元二次方程的定义可得，由此即可求得m的取值范围； （2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证． 【详解】（1）解：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围是且； （2）证明：∵， ∴由求根公式得 ， ∴， ， ∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ． 能力提升 创新拓展 1．某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值． 【答案】任务1：；任务2： 【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式，解一元一次不等式及解一元二次方程，解题的关键是理解题目给定的求解方式，并利用解不等式和解方程的思想进行作答． 任务 1：根据材料设，利用判别式解答即可； 任务 2：根据材料令，利用判别式解答即可 【详解】解：任务1：令， ． ． 解得：， ∴的最小值为． 任务2：由题意，令， ． ． 解得：， 又最小值为， ∴， 解得：． 2．阅读下列材料： 若设关于x的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数关系得：， ∵， ∴． 于是二次三项式可分解为．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)请用上面方法分解二次三项式； (2)如果关于x的二次三项式能用上面方法分解因式，求m的取值范围； (3)若关于x的方程的两个根为c，d，请直接写出关于x的方程的两个根（用含a，b的代数式表示）． 【答案】(1) (2)且 (3)， 【分析】此题考查了分解因式，根的判别式及根与系数的关系，理解题意，掌握求根法是解题的关键． ()令多项式等于，得到一个一元二次方程，利用公式法求出方程的两解，代入 中即可把多项式分解因式； ()因为此二次三项式在实数范围内能利用上面的方法分解因式，所以令此二次三项式等于，得到的方程有解，即大于等于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围； ()根据()的方法求得两根，再用换元法即可得到结论； 【详解】（1）解：令， ∵，，， ， ∴， ∴，， ∴； （2）解：令 ， 由二次三项式能用上面的方法分解因式，则可得方程有解， ∴， 整理得，， 解得， 又∵且， ∴且； （3）解：∵方程的两根是， ∴， ∴， ∵当时，代入上式，得， ∴是方程的一个根， 同理，也是方程 的一个根， ∴方程的两个根为 或， 在方程中，设， 得， ∴或， ∴或， 解得， ， ∴方程的根是，． 3．已知方程的根都是整数．求整数k的值及方程的根． 【答案】，0，2，3，，0，3，4 【分析】此题主要考查了一元二次方程的整数根的求法，以及根的判别式和完全平方数等知识，题目较简单． 先用利用已知条件得出，求出参数的范围，由特殊值法确定与的取值． 【详解】解： ∴ ∴ 整数，0，1，2，3． 由求根公式知，故 当时，，； 当时，，或3； 当时，不是完全平方数，整根不存在； 当时，，或4； 当时，，． 因此，，0，2，3，，0，3，4． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（4个知识点5大典例） 第三讲 解一元二次方程（二）公式法 知识点梳理 知识点1 求根公式 1.一般地，对于一元二次方程， 当 2. 要点诠释： （1） 求根公式只适用一元二次方程，即必须确认a≠0. （2） 只有b2-4ac ≥0时，才能用求根公式求一元二次方程的解。 知识点2 公式法求解一元二次方程 1、 公式法的定义：用求根公式求解一元二次方程的方法叫公式法。 2、 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 公式法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 的值。 ②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 3. 要点诠释： 必须首先把一元二次方程化为一般形式，再确定a、b、c的值 知识点3 一元二次方程根的判别式 ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ； 。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 0 。 ③时，一元二次方程没有实数根。 2. 要点诠释： （1） 任何一个一元二次方程如果有根，一定是两个， （2） b2-4ac<0,方程没有实数根，是指在实数范围内，方程无解，不能说b2-4ac<0,方程无解。 知识点4 一元二次方程根的判别式的应用 （1）不解方程，判定方程根的情况 （2）与方程根的情况确定参数的值 （3）根据方程根的情况证明 典例精讲1 题型1 公式法解一元二次方程 【例1】．用公式法解方程．变式训练1 1．用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（     ） A． B． C． D． 2．下列一元二次方程的根是的是（    ） A． B． C． D． 3．若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A． B． C． D． 4．用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（   ） A． B． C． D． 5．小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， ． 典例精讲2 题型2 实数范围内因式分解 【例2】若一元二次方程ax2+bx+c=0两个根为x1，x2，则多项式ax2+bx+e可以分解因式为a(x-x1)(x-x2），例如因为方程3x2-4x+1=0的两根为，，则．请根据以上结论在实数范围内因式分解． （1） （2） 变式训练2 1．在实数范围内因式分解，下列四个答案中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若在实数范围内定义一种运算“*”，使，则方程的根为(  ) A． B． C． D． 3．在实数范围内因式分解： ． 4．在实数范围内因式分解： 典例精讲3 【例3】已知整式． (1)化简该整式； (2)若该整式的值为正数，判断关于的方程的根的情况，并说明理由． 变式训练3 1．一元二次方程根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根 2．当时，关于x的方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．定义新运算：，例如：．则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 4．m，n在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 5．关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述，其中表述正确的是（    ） A．当，，时，方程一定有两个不相等的实数根； B．当，，时，方程一定没有实数根； C．当，时，方程一定没有实数根； D．当，，时，方程一定有实数根． 典例精讲4 【例4】已知关于x的一元二次方程有实数根．若m是符合条件的最大整数，求m的值． 变式训练4 1．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 3．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根． (1)求的值． (2)求此时方程的根． 4．计算题 (1)解方程（公式法） (2)已知关于x的一元二次方程有实数根，求出m的取值范围． 5．我们规定：对于任意实数、、、有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值． (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 典例精讲5 【例5】已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求证：为非负数； (2)若，，均为奇数，该一元二次方程是否有整数解？说明你的理由． 变式训练5 1．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 2．已知关于的方程，其中分别为三边的长． (1)若是方程的根，试判断的形状； (2)若方程有两个相等的实数根，试判断的形状． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； (2)若方程有一根不小于2，求m的取值范围． 4．已知关于的方程：． (1)若该方程有一个根是2，求的值； (2)证明：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 5．已知：关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值（），方程总有一个固定的根． 能力提升 创新拓展 1．某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值． 2．阅读下列材料： 若设关于x的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数关系得：， ∵， ∴． 于是二次三项式可分解为．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)请用上面方法分解二次三项式； (2)如果关于x的二次三项式能用上面方法分解因式，求m的取值范围； (3)若关于x的方程的两个根为c，d，请直接写出关于x的方程的两个根（用含a，b的代数式表示）． 3．已知方程的根都是整数．求整数k的值及方程的根． 学科网（北京）股份有限公司 $$