第二讲 解一元二次方程 暑假预习讲义（3个知识点6大典例）2025－2026学年人教版数学九年级上册

2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点6大典例） 第二讲 解一元二次方程 知识点梳理 一元二次方程的解法 知识点1 直接开平方法 1.若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 2.解法步骤： ①将方程化为 ②直接开平方化为两个一元一次方程； ③解两个一元一次方程得到原方程的解。 3. 要点诠释： （1）的解是；（2）的解是；（3）的解是 知识点2. 配方法 1.解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。 2.配方法解一元二次方程的一般步骤： （1） 一移：把方程中含有未知数的项移在方程左边，常数项移在方程右边。 （2） 二除：方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1. （3） 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是含未知数的完全平方式，右边是一个常数。 （4） 开方：如果右边是一个非负数，用直接开平方法求出方程的解，如果右边是负数，则方程无解。 3.要点诠释 （1）配方法解一元二次方程的口诀一移二除三配四开方； （2）配方法的关键一步是“配方”，即方程两边加上一次项系数一半的平方。 （3）配方法的理论依据是完全平方式。 知识点3.配方法的应用 1. 配方法在比较大小的应用 在作差法比较两个式子的大小时，通过最后拆项、添项配成完全平方式，使差大于或小于0，从而比较出两个式子的大小。 2. 配方法在求待定字母的应用 将原等式右边为0，左边配成完全平方式，再运用非负数性质确定待定字母的值。 3. 配方法在求多项式最值中的应用 将原式化为完全平方式，根据完全平方式的非负性确定最值。 4. 配方法在证明中的应用 利用配方法将式子配完全平方式，利用非负数性质证明代数式的相应情况。 典例精讲1 题型1 直接开平方法解方程 【例1】解方程: ． 变式训练1 1．关于的方程的一个根为0，则实数的值是（   ） A．1 B． C．0 D． 2．关于x的一元二次方程中不含x的一次项，则此方程的解为 ． 3．如图，每个表格内包含一个运算，选定一个数后按照相应顺序运算得出结果． 甲 乙 丙 丁 取倒数 平方 取相反数 加2 (1)若选取数字2，按照丙乙丁甲的运算顺序列算式算出结果； (2)如选取一个非负数后，按照丁乙丙的顺序运算后，结果为，求选取的数字． 4．解方程： 5．【观察思考】 【规律发现】第1个图案中“★”的个数为； 第2个图案中“★”的个数为； 第3个图案中“★”的个数为； 第4个图案中“★”的个数为； 第5个图案中“★”的个数为_____；（填最简结果） …． 第个图案中“★”的个数为_____；（用含的式子表示） 【规律应用】若第个图案中有“★”402个，求的值． 典例精讲2 题型2 配方法解一元二次方程 【例2】阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 变式训练2 1．某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．把方程配方成的形式，则m、n的值分别为（   ） A．、2050 B．5、2050 C．5、 D．、2025 3．用配方法解方程时，若将方程变形为，则（    ） A．9 B．17 C．13 D．5 4．用配方法解方程： 5．用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 典例精讲3 题型3 配方法的应用---利用配方法比较大小 【例3】我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数，都有； (2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 变式训练3 1．已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知．若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．【阅读材料】“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)利用作差法比较与1的大小； (2)比较 与大小； (3)已知x，y，m为实数，满足，，比较x与y的大小． 典例精讲4 题型4 配方法的应用---求待定字母的值 【例4】阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 变式训练4 1．已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 3．已知，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．5 D．无法确定 4．已知、、是的三边且满足，则的面积是（ ） A．60 B．30 C．65 D．32.5 典例精讲5 题型5 配方法的应用---利用配方法求最值 【例5】【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】若代数式；当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________； (3)【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 变式训练5 1．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1． 参照以上方法，对于代数式的最值，下列说法正确的是（   ） A．最大值为13 B．最大值为 C．最小值为13 D．最小值为 2．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 3．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 4．阅读材料． 把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大（或最小）值问题．例如：． ，，∴代数式有最小值，最小值是2． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若代数式的最小值为2，求的值； (3)图1是一组邻边长分别为，的长方形，面积为；图2是边长为的正方形，面积为，且，请比较与的大小，并说明理由． 题型6 配方法的应用---利用配方法证明 【例6】用配方法说明：无论x取何值，代数式2x-x2-3的值恒小于0. 变式训练6 1．求证：无论 取何值，代数式的值恒大于． 2．读下面的材料 并解答后面的问题： 小李：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小华：能．求解过程如下： 因为 而，所以的最小值是． 问题： (1)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程． (2)你能否求出的最大值？如果能，写出你的求解过程． 3．已知关于x的一元二次方程（m、k为常数）有两个相等的实数根，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新九年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点6大典例） 第二讲 解一元二次方程（解析版） 知识点梳理 一元二次方程的解法 知识点1 直接开平方法 1.若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 2.解法步骤： ①将方程化为 ②直接开平方化为两个一元一次方程； ③解两个一元一次方程得到原方程的解。 3. 要点诠释： （1）的解是；（2）的解是；（3）的解是 知识点2. 配方法 1.解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。 2.配方法解一元二次方程的一般步骤： （1） 一移：把方程中含有未知数的项移在方程左边，常数项移在方程右边。 （2） 二除：方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1. （3） 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是含未知数的完全平方式，右边是一个常数。 （4） 开方：如果右边是一个非负数，用直接开平方法求出方程的解，如果右边是负数，则方程无解。 3.要点诠释 （1）配方法解一元二次方程的口诀一移二除三配四开方； （2）配方法的关键一步是“配方”，即方程两边加上一次项系数一半的平方。 （3）配方法的理论依据是完全平方式。 知识点3.配方法的应用 1. 配方法在比较大小的应用 在作差法比较两个式子的大小时，通过最后拆项、添项配成完全平方式，使差大于或小于0，从而比较出两个式子的大小。 2. 配方法在求待定字母的应用 将原等式右边为0，左边配成完全平方式，再运用非负数性质确定待定字母的值。 3. 配方法在求多项式最值中的应用 将原式化为完全平方式，根据完全平方式的非负性确定最值。 4. 配方法在证明中的应用 利用配方法将式子配完全平方式，利用非负数性质证明代数式的相应情况。 典例精讲1 题型1 直接开平方法解方程 【例1】解方程: ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即或， 解得，． 变式训练1 1．关于的方程的一个根为0，则实数的值是（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程，方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，根据方程解的定义得到，再解关于a的方程，即可确定a的值． 【详解】解：把代入方程中， 得， 解得， 当时，原方程为，则是方程的根，符合题意； 故选：D． 2．关于x的一元二次方程中不含x的一次项，则此方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程，理解一元二次方程的基本定义是解题关键．根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数，解方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程中不含x的一次项， 即不含x的一次项， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得：， 故答案为：． 3．如图，每个表格内包含一个运算，选定一个数后按照相应顺序运算得出结果． 甲 乙 丙 丁 取倒数 平方 取相反数 加2 (1)若选取数字2，按照丙乙丁甲的运算顺序列算式算出结果； (2)如选取一个非负数后，按照丁乙丙的顺序运算后，结果为，求选取的数字． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题涉及到倒数、平方、相反数等数学概念的运算及解一元二次方程，熟练掌握概念解一元二次方程的解法是解题的关键。 （1）按照给定的运算顺序逐步计算即可。 （2）通过设未知数，根据运算顺序列出一元二次方程来求解。 【详解】（1）解：若选取数字2，按照丙乙丁甲的顺序运算得： ， （2）解;设所选数字为x，根据运算程序所以列出方程： ， ∴， 解得，， ∵所选数为非负数， ∴所选数为0． 4．解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 解得，． 5．【观察思考】 【规律发现】第1个图案中“★”的个数为； 第2个图案中“★”的个数为； 第3个图案中“★”的个数为； 第4个图案中“★”的个数为； 第5个图案中“★”的个数为_____；（填最简结果） …． 第个图案中“★”的个数为_____；（用含的式子表示） 【规律应用】若第个图案中有“★”402个，求的值． 【答案】规律发现：38， （或）；规律应用：n的值为19 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程． 规律发现：根据前几个图案的规律，可得规律：即第个图案中有“★”的个数为个．据此即可求解． 规律应用：根据规律，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：规律发现：第1个图案中“★”的个数为； 第2个图案中“★”的个数为； 第3个图案中“★”的个数为； 第4个图案中“★”的个数为； 第5个图案中“★”的个数为； 综上，第个图案中“★”的个数为（或）； 规律应用：根据题意，得， 解得：，（舍去）， 故n的值为19． 典例精讲2 题型2 配方法解一元二次方程 【例2】阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤． （1）根据配方法解一元二次方程的方法和步骤，即可获得答案； （2）利用配方法解该一元二次方程即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加． 故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； （2）解：， 移项得，， 两边同除以2得，， 配方得，， 即，， ∴或， ∴，． 变式训练2 1．某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把进行移项，再把二次项系数化1，然后配方，再解出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，， 移项得， 整理得， ∴ ∴， ∴ ∴． 观察以及对比，得出错误是从乙同学负责的步骤开始出现的， 故选：B 2．把方程配方成的形式，则m、n的值分别为（   ） A．、2050 B．5、2050 C．5、 D．、2025 【答案】A 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 先移项，再配方，变形后即可求出m、n的值． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 所以，， 故选：A． 3．用配方法解方程时，若将方程变形为，则（    ） A．9 B．17 C．13 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得得值，再代值计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴， ∴． 故选：A． 4．用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 则， ， 直接开平方得， ，． 5．用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 【答案】；；； ；（1）；；（2） ；；（3）此方程无实数根 【分析】利用配方法得，然后分三种情况讨论：（1）当时，（2）当时，（3）当时，分别求解即可． 本题主要考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的过程，并进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ，； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为：，； （3）当时，此方程无实数根． 故答案为：；；； ；（1）；；（2） ；． 典例精讲3 题型3 配方法的应用---利用配方法比较大小 【例3】我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数，都有； (2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，灵活应用完全平方公式是解本题的关系． （1）根据非负数的性质解答； （2）利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）证明：， ； （2）解：， ， ，． ． 变式训练3 1．已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法的应用．先根据已知等式求出，，再利用完全平方公式判断出，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， 解得，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．已知．若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键．根据配方法把的结果写出平方和的形式，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】， ， ， 即， 故选：A 3．【阅读材料】“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)利用作差法比较与1的大小； (2)比较 与大小； (3)已知x，y，m为实数，满足，，比较x与y的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算，结合，比较大小鄂大即可； （2）作差，，分类计算解答即可； （3）根据，， 两式相减，得，整理得，，比较解答即可． 本题考查了实数的作差法比较大小，实数的非负性，熟练掌握作差法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴； （2）解：根据题意，得， ∵， ∴当时即时，， 此时； 当时即时，， 此时； 当时即时，， 此时． （3）解：∵，， 两式相减，得， 整理得，， ∵ ∴， ∴， ∴． 典例精讲4 题型4 配方法的应用---求待定字母的值 【例4】阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了配方法，完全平方公式，代数式求值，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式是解题的关键． （1）应用配方法将方程变形为，解方程得到，，代入计算即可； （2）为等腰三角形，理由：先将方程变形为，解方程得到，，进而得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ，， . （2）解：为等腰三角形. 理由：， ， ， ，， ，， . 为等腰三角形. 变式训练4 1．已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是配方法、平方的非负性及三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握配方法在三角形的三边关系中的应用． 先利用配方法对含的式子和含有的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出和的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为，，， ， ， 又这个三角形的最大边为， ． 故选：． 2．已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质分别求出x，y的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ， ，， ，， ， 故选C． 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 3．已知，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．5 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先把等式变为（x2-4x+4）+（y2+6y+9）=0，然后利用配方法可以变为两个非负数的和的形式，接着利用非负数的性质即可求解． 【详解】∵x2-4x+y2+6y+13=0， ∴（x2-4x+4）+（y2+6y+9）=0， ∴（x-2）2+（y+3）2=0， ∴x-2=0且y+3=0， ∴x=2且y=-3， ∴x-y=5． 故选C． 【点睛】此题考查了学生的配方法的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 4．已知、、是的三边且满足，则的面积是（ ） A．60 B．30 C．65 D．32.5 【答案】B 【分析】将a2+b2+c2=10a+24b+26c﹣338进行配方，求出a，b，c，根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状． 【详解】△ABC是直角三角形．理由是： ∵a2+b2+c2=10a+24b+26c﹣338，∴a2﹣10a+25+b2﹣24b+144+c2﹣26c+169=0，∴（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0，∴a﹣5=0，b﹣12=0，c﹣13=0，即a=5，b=12，c=13． ∵52+122=132，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积是×5×12=30． 故选B． 【点睛】本题考查了配方法的应用及勾股定理逆定理的应用，是基础知识，比较简单． 典例精讲5 题型5 配方法的应用---利用配方法求最值 【例5】【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】若代数式；当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________； (3)【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)当时，的最小值为3 (2)；大；1 (3)当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 【分析】本题考查了配方法求代数式极值中的应用，不等式的性质，实际应用题中几何关系的建模．解题的关键是正确配方，识别完全平方项的非负性，根据不等式的性质求解 ． （1）将原式配方，，根据 ，再根据不等式的性质求解即可 ． （2）对代数式进行配方，，结合，再根据不等式的性质求解即可． （3）设，由长方形与长方形面积比为，得到，根据栅栏总长度和面积比建立方程，通过配方，利用不等式的性质求最大值． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴3， ∴当时，的最小值为3； （2） ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为1， 故答案为：；大；1； （3）设，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大，最大值为48， ∴当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 变式训练5 1．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1． 参照以上方法，对于代数式的最值，下列说法正确的是（   ） A．最大值为13 B．最大值为 C．最小值为13 D．最小值为 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法的应用，仿照题意求出，再根据即可得到，据此可得答案． 【详解】解： ∵ ∴ ∴， ∴对于代数式的最值，最大值为13， 故选：A． 2．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值，把式子变成完全平方与一个常数的和的形式． （1）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答； （2）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值为． （2）解：， ， ， 的最大值为5． 3．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)20 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的面积，解题的关键是掌握配方法． （1）利用“配方法”计算即可； （2）两式相减，差和0比较，确定大小； （3）大三角形面积减去小三角形面积，再把含有t的式子配方，求最小值． 【详解】（1）解：， ， ， 的最大值为； （2） ， ， ； （3），点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动 点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ， S的最小值为20． 4．阅读材料． 把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大（或最小）值问题．例如：． ，，∴代数式有最小值，最小值是2． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若代数式的最小值为2，求的值； (3)图1是一组邻边长分别为，的长方形，面积为；图2是边长为的正方形，面积为，且，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)代数式的最小值为 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解此题的关键． （1）配方得出，结合，即可得解； （2）配方得出，结合题意得出，求解即可； （3）由题意表示出，，计算出即可得解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：， ∵， ∴时，代数式的值最小，为， ∵代数式的最小值为2， ∴， 解得：； （3）解：，理由如下： 由题意可得：，， ∴， ∴．典例精讲6 题型6 配方法的应用---利用配方法证明 【例6】用配方法说明：无论x取何值，代数式2x-x2-3的值恒小于0. 【答案】见详解 【分析】将原式进行配方,利用平方的非负性进行证明即可,见详解. 【详解】解：2x-x2-3 =-（x2-2x）-3 =-[( x2-2x+1)-1]-3 =-(x-1)2-2 ∵, ∴, ∴代数式2x-x2-3的值恒小于0. 【点睛】本题考查了完全平方的非负性,属于简单题,熟悉完全平方的非负性,构造出来完全平方式是解题关键. 变式训练6 1．求证：无论 取何值，代数式的值恒大于． 【答案】见解析 【分析】直接将转化成即可． 【详解】∵， ∴无论 取何值， 的值均大于 ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，正确将转化成是解题的关键． 2．读下面的材料 并解答后面的问题： 小李：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小华：能．求解过程如下： 因为 而，所以的最小值是． 问题： (1)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程． (2)你能否求出的最大值？如果能，写出你的求解过程． 【答案】(1)能，求解过程见解析． (2)能，求解过程见解析． 【分析】（1）本题考查配方法的运用，解题关键在于同时加上且减去一次项系数一半的平方，配成一个完全平方公式，并结合完全平方式的非负性，即可解题． （2）本题同样考查配方法的运用，只是注意二次项系数为负，配方前要先提，再配成完全平方公式． 【详解】（1）解： ． 而，所以的最小值是． （2）解： ． 而，则，所以的最大值是7． 3．已知关于x的一元二次方程（m、k为常数）有两个相等的实数根，求证：． 【答案】见解析 【分析】由方程有两个相等的实数根，可得，解之即可得出结论． 【详解】∵关于x的一元二次方程（m、k为常数）有两个相等的实数根， ∴， 整理得， ∴． 【点睛】本题考查了根的判别式以及配方法的应用，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个相等的实数根”． 学科网（北京）股份有限公司 $$