精品解析：四川省眉山市彭山区第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

高26届 高二下期 期中考试 数学试题 一、单选题 1. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】设的公差为，依题意得到方程组，解得、，从而得解. 【详解】解：设的公差为，依题意可得， 即，解得，所以； 故选：C. 2. 已知函数是函数的导数，则（ ） A. 0 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求导函数代入可求得答案. 【详解】解：因为函数，所以， 又，所以. 故选：D. 3. 等差数列中，若，为方程的两根，则等于（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理求得，然后利用等差数列下标和的性质求解即可. 【详解】∵，为方程的两根，∴， 由等差数列的性质得，即， ∴. 故选：B 4. 2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（ ） A. 900 B. 600 C. 450 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】按1，2，3或2，2，2将6人分成三组，再把分成的三组分到3个村寨即可. 【详解】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生， 所以可以分成1，2，3或2，2，2两类， 当6人分成1，2，3三组，有种分法， 当6人分成2，2，2三组，有种分法， 所以不同的安排方法种数为种， 故选：C 5. 已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据原函数图象与导函数关系，即可得到结果. 【详解】对于不等式对， 当时，，则结合图象，知原不等式的解集为； 当时，，则结合图象，知原不等式的解集为． 综上，原不等式的解集为． 故选：A 6. 的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出展开式前三项的系数，根据题意可得出关于的方程，解出的值，然后利用二项式系数的基本性质可求得结果. 【详解】展开式的通项公式为， 所以，前三项的系数分别为、、且成等差数列， 所以，，即，整理可得， 由题意可知，且，解得， 故解得，二项式系数的最大值为． 故选：. 7. 中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型．现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（ ） A. 384 B. 486 C. 216 D. 208 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，先挂2盏吊灯，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯，最后将宫灯插空挂，结合插空法计算即可求解. 【详解】先挂2盏吊灯有种挂法， 再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有种挂法，最后将宫灯插空挂． 当4盏宫灯分成2，2两份插空时,有种挂法； 当4盏宫灯分成1，1，2三份插空时,有种挂法； 当4盏宫灯分成1，1，1，1四份插空时,有1种挂法， 所以共有种不同的挂法． 故选：C 8. 定义在上的函数，的导函数满足，记，，，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据满足的条件构造函数，求导说明在上单调递减，再由，，可得. 【详解】，， 又，所以， 令，则， 故在上单调递减， ， ，，， 因为在上单调递减，所以， 即，又，所以 ， 故选：A． 二、多选题 9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种 C. 甲乙不相邻的排法种数为70种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】AD 【解析】 【分析】根据选项，结合捆绑法和倍缩法计算即可求解. 【详解】对于A，甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲乙看成一个整体， 与丙，丁，戊全排列，有种排法，故A正确； 对于B，若甲站在最左端，乙和丙，丁，戊全排列，有种排法，故B错误； 对于C，先将丙，丁，戊三人排成一排， 再将甲乙安排在三人的空位中，有种排法，故C错误； 对于D，甲，乙，丙，丁，戊五人全排列有种排法， 甲乙丙全排列有种排法， 则甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确． 故选：AD 10. 已知数列中，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，得到表为等比数列，进而求得数列的通项公式，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由，可得，则， 又由，可得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 由，所以A不正确； 由，即，所以递增数列，所以B正确； 由，所以C错误； 由，，所以，所以D正确. 故选：BD. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数确定的单调性极值及最值情况，就能确定ABC的正误，对于D，恒成立问题，可通过参变分离求最值来解决. 【详解】【解】A选项，，定义域为，，令，解得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 函数在时取得极大值也是最大值，故A对， B选项，时，，，当时，如下图所示： 函数有且只有唯一一个零点，故B错， C选项，当时为单调递减函数，， ，，故C对， D选项，，故，由于函数在上恒成立， ，设，定义域为，则， 设，解得，单调递增，单调递减，，故，故D对. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知、为实数，函数在处的切线方程为，则的值______. 【答案】21 【解析】 【分析】求导，点斜式得到直线方程，对应项相等得. 【详解】由，得， 则，又，则切线方程为， 即 ，得 故答案为：21. 13. 饺子是我国古代传统食物，由东汉末年医学家张仲景发明，最初作为药用．在包饺子时，人们常常将红糖、花生、枣和硬币等包进馅里，红糖代表日子甜美，花生代表健康长寿，枣代表早生贵子，硬币代表财源不断．已知小江一家过年时，在一盘饺子（20个）中，含有红糖、花生的各2个，含枣、硬币的饺子各1个，则小江随机夹的3个饺子中，吃到1个含有硬币的饺子的前提下，吃到2个含有不同特殊馅的饺子的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件概率的计算公式进行求解. 【详解】记事件为“小江随机夹的3个饺子中吃到1个含有硬币的饺子”， 事件为“小江随机夹的3个饺子中吃到2个含有不同特殊馅的饺子”， 所以， 所以． 故答案为：. 14. 已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先讨论时，不等式成立；时，不等式变形为，构造函数，由单调性得到，参变分离后构造函数， 求出最大值即可求解. 【详解】当时，，显然成立，符合题意； 当时，由，，可得，即，， 令，，在上单增，又，故， 即，即，，即使成立，令，则， 当时，单增，当时，单减，故，故； 综上：. 故答案为：. 【点睛】本题关键点在于当时，将不等式变形为，构造函数，借助其单调性得到，再参变分离构造函数，求出其最大值，即可求解. 四、解答题 15. 已知的展开式中的二项式系数之和与各项系数之和的乘积为256. （1）求的值； （2）求展开式中含项的系数. 【答案】（1） （2）-1792 【解析】 【分析】（1）令可得，展开式中各项系数之和，展开式中的二项式系数之和为，由题意列方程求解. （2）根据题意结合二项展开式中的通项公式运算求解. 小问1详解】 令可得，展开式中各项系数之和为， 且展开式中的二项式系数之和为， 由题意可得，解得. 【小问2详解】 的展开式的通项为：， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为. 16. 已知数列的前n项和为. （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）设，是数列的前n项和，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，分别令求解； （2）当时，由求解； （3）利用裂项相消法求解. 【小问1详解】 因为数列的前n项和为， 所以； 【小问2详解】 当时，， 又适合上式，所以； 【小问3详解】 由（2）知：， 所以， . 17. 已知函数在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求函数在最大值和最小值； （3）若方程恰有两个不等的实根，求的取值范围． 【答案】（1） （2）最大值为最小值为 （3） 【解析】 【分析】(1)由函数在点处的切线方程为可得，再进行求导，令解方程可得. （2）令导函数求解分析导函数的符号，可知函数的单调区间，再比较极值和区间端点函数值的大小可得最值. （3）方程恰有两个不等实根，转化为图像和有两个交点，根据的单调性和变化情况，可求得. 【小问1详解】 ,因为在点处的切线方程为 所以有所以解得 【小问2详解】 由(1)可得当或 单调递增 单调递减 单调递增 所以在和上单调递增，上单调递减，又因为计算可得， 所以在的最大值为，最小值为 【小问3详解】 由（2）可知，的极大值为，极小值为 当所以当时，.所以当且仅当时，方程恰有两个不等实根. 18. 已知数列的前项和为，且 （1）求，并证明数列是等差数列； （2）求数列的前项和为 （3）若，求正整数的所有取值． 【答案】（1），证明见解析 （2） （3）可取1，2，3 【解析】 【分析】（1）将代入即可得出.当时，由化简得出，根据定义法即可证明； （2）由（1）得出，利用错位相减法即可得出； （3）由（1）（2）得出，则.代入不等式化简可得出.构造函数，根据函数的单调性以及函数值，即可得出答案. 【小问1详解】 当时，有，解得. 当时，有， ， 作差可得， 所以有， 所以有. 又， 所以数列为以为首项，为公差的等差数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，则. 所以，， 则， 作差可得， ， 所以，. 【小问3详解】 由（1）（2）可知，，. 所以，，. 由可得，， 整理可得. 令， 易知在上单调递增，在上单调递增， 所以，在上单调递增. 又， ，，， 所以，当时，有， 即在时不成立. 所以可取1，2，3. 19. 已知函数，. （1）若，求m的值及函数的极值； （2）讨论函数的单调性： （3）若对定义域内的任意x，都有恒成立，求整数m的最小值. 【答案】（1），极大值，无极小值 （2）答案见解析 （3）1 【解析】 【分析】（1）由可求出，然后对函数求导，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值； （2）对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （3）方法一：将问题转化为在上恒成立，构造函数，求出后得，再构造函数，对其求导判断其单调性，从而可求出的单调区间，求出其最大值，进而可求出整数m的最小值；方法二：由（2）可知，当时，有最大值，则将问题转化为需要即可，构造函数，利用导数求出其最大值即可. 【小问1详解】 的定义域为， 因为，，则， 解得. 当时，，. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 所以在时取得极大值且极大值为，无极小值． 【小问2详解】 因为， 当时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当时， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 【小问3详解】 解法一：若对定义域内的任意x，都有恒成立， 所以，即在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则. 设，则 所以在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即. 当时，， 当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 因为，所以 故整数m的最小值为1 解法二：若对定义域内的任意x，都有恒成立， 由（2）可知，当时，在上单调递增， 因为，显然不符合对定义域内的任意x，都有恒成立 由（2）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以有最大值. 若对定义域内的任意x，都有恒成立，只需要即可. 设，显然在上单调递减， 因为，， 所以要使，只需要整数， 故整数m的最小值为1 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的极值，考查利用导数解决函数的单调性，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是将问题转化为在上恒成立，然后构造函数，利用导数求出其最大值，即可得到的范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高26届 高二下期 期中考试 数学试题 一、单选题 1. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 2. 已知函数是函数的导数，则（ ） A. 0 B. C. D. 3 3. 等差数列中，若，为方程的两根，则等于（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 4. 2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（ ） A. 900 B. 600 C. 450 D. 150 5. 已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 6. 的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型．现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（ ） A. 384 B. 486 C. 216 D. 208 8. 定义在上的函数，的导函数满足，记，，，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种 C. 甲乙不相邻的排法种数为70种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 10. 已知数列中，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 三、填空题 12. 已知、为实数，函数在处的切线方程为，则的值______. 13. 饺子是我国古代传统食物，由东汉末年医学家张仲景发明，最初作为药用．在包饺子时，人们常常将红糖、花生、枣和硬币等包进馅里，红糖代表日子甜美，花生代表健康长寿，枣代表早生贵子，硬币代表财源不断．已知小江一家过年时，在一盘饺子（20个）中，含有红糖、花生的各2个，含枣、硬币的饺子各1个，则小江随机夹的3个饺子中，吃到1个含有硬币的饺子的前提下，吃到2个含有不同特殊馅的饺子的概率为______． 14. 已知e是自然对数底数．若，使，则实数m的取值范围为__________． 四、解答题 15. 已知的展开式中的二项式系数之和与各项系数之和的乘积为256. （1）求的值； （2）求展开式中含项的系数. 16. 已知数列的前n项和为. （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）设，是数列前n项和，求. 17. 已知函数在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求函数在的最大值和最小值； （3）若方程恰有两个不等的实根，求的取值范围． 18. 已知数列的前项和为，且 （1）求，并证明数列等差数列； （2）求数列的前项和为 （3）若，求正整数的所有取值． 19. 已知函数，. （1）若，求m的值及函数的极值； （2）讨论函数的单调性： （3）若对定义域内的任意x，都有恒成立，求整数m的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$