第01讲 相似形与比例线段（4知识点+8大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第01讲 相似形与比例线段 （4知识点+8大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01相似形的概念及性质 1、相似形的概念 相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形． 重点剖析： （1） 相似图形不仅有平面图形，还有立体图形，在初中阶段主要研究平面图形的相似。 （2） 在两个大小不相等的相似图形中，我们可以认为大的图形是由小的图形经过放大而成的，也可以认为小的图形是由大的图形经过缩小而成的。 学法指导： 两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关。 2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1． 注意！！！ 判断两个多边形是否相似时，既要考虑对应角是否相等，又要考虑对应边长度的比是否相等，二者缺一不可。 学法指导： 在判断两个多边形是否为相似多边形时，边数相同、角分别相等容易判断，而边是否成比例则需要通过计算来确定，即分别计算长边与长边的比，短边与短边的比，在判断时应注意对应关系。 知识点02比例的性质 1、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）； 如果（或），那么就说、、、成比例． 2、比例的性质 （1）基本性质： 如果，那么； 如果，那么，，． （2）合比性质： 如果，那么； 如果，那么． （3）等比性质： 如果，那么． 重点剖析： （1）利用比例的基本性质可以在比例式和等积式之间互相转化。将比例式化为等积式是有条件的，并不是比例式中的四个字母中的任意两个字母的乘积就等于另外两个字母的乘积，而是比例的外项之积等于内项之积。 （2）使用等比性质时，要注意b+d≠0这个条件，否则这个性质不成立。 知识点03比例线段 1、比例线段的概念 对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 2、黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 注意！！！ 一条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P是线段AB的黄金分割点时，需加注 或AP＜ BP，否则在已知AB的长度求AP（或BP）的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论。 知识点04三角形一边的平行线性质定理 1、三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么． 2、三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，点、分别在的边、上， ，那么． 3、三角形的重心 定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心． 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 知识点05三角形一边的平行线判定定理及推论 1、三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 2、三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果那么//． 知识点06平行线分线段成比例定理 1、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么． 2、平行线等分线段定理 两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等． 平行线分线段成比例速记口诀！！！ 平行线分线段，成比例是关键。 先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。 易错分析！！！ 易错点1在求两条线段的比时忽略了要统一单位 易错点2判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错 易错点3解题时漏掉一个黄金分割点 易错点4判断三角形中线段平行时，判断线段成比例时，比例式中不能有要证明的平行线 【题型1 相似图形】 【例1】（24-25九年级上·上海静安·期中）下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【变式1-1】（24-25九年级上·上海松江·期中）下列图形一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 【变式1-2】（24-25九年级上·上海闵行·期中）下列命题正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．矩形都是相似图形 C．菱形都是相似图形 D．圆都是相似图形 【变式1-3】（24-25九年级上·上海闵行·期中）下列命题中，假命题是（　　） A．两个正方形一定相似 B．两个菱形一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 【变式1-4】（23-24九年级上·上海松江·期中）下列说法正确的个数有（  ） ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 相似多边形的性质】 【例2】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）上海人民广场占地面积约为，若按比例尺缩小后，其面积大约相当于 A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积 C．《中学生报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 【变式2-1】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知两个矩形相似，其中一个矩形相邻两边的长分别为1和2，另一矩形相邻两边的长分别为3和，那么的值可能是：①4；②6；③；④．这四个结论中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】（24-25九年级上·上海·期中）矩形中，E、F分别为中点，如果矩形与矩形相似，那么它们的相似比为 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·上海·期中）将矩形沿它的一条对称轴对折，如果对折后得到的新矩形与矩形相似，那么对折后得到的新矩形与矩形的相似比是 ． 【题型3 比例的性质】 【例3-1】（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知，且，求、、值． 【例3-2】如图，已知在四边形中，点、分别在、上，． 求证：（1）；（2）． 【例3-3】设线段、、满足，求、、的值． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海·期中）已知，那么下列四个选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海·期中）如果，那么 ． 【变式3-3】（24-25九年级上·上海·期中）已知，则 ． 【变式3-4】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知  则 ． 【变式3-5】（24-25九年级上·上海·期中）若，且，则 ． 【变式3-6】在中，点、分别在边、上，且，则 ，若的周长为厘米，则的周长为 厘米． 【变式3-7】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知：，且，求、、的值． 【变式3-8】设，求的值． 【题型4 比例线段】 【例4-1】（24-25九年级上·上海·期中）在比例尺为的地图上，相距10厘米的两地实际距离为 千米． 【例4-2】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）下列各组线段中，能成比例线段的一组是（      ） A．2，3，4，6 B．1，2，3，4 C．2，3，5，6 D．3，4，5，6 【变式4-1】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知线段、、、是成比例线段，如果，，，那么的值是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如果地图上、两处的图距是，表示这两地实际的距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是 ． 【变式4-3】（22-23九年级上·上海徐汇·期中）已知点C在线段上，满足，如果，那么 cm． 【变式5-4】（24-25九年级上·上海宝山·期中）线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 【题型5 黄金分割】 【例5-1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 【例5-2】（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长； （2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值． 【变式5-1】（24-25九年级上·上海·期中）P是线段的黄金分割点，厘米，那么线段 厘米． 【变式5-2】已知点P是线段的黄金分割点，且，，那么 ． 【变式5-3】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）今年为庆祝建平西校建校周年，学校举办了一场大型的“”文艺汇演活动，汇演舞台的形状为矩形，宽度为米，如果主持人站立的位置是宽度的黄金分割点，那么主持人从台侧点沿方向走到主持的位置至少需走 米 【变式5-4】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中、、各部分长度的比满足，则 ． 【变式5-5】如图，乐器上的一根弦厘米，两个端点、固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，求的长． 【题型6 由平行判断成比例的线段】 【例6】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形ABCD中，，求证：． 【变式6-1】（24-25九年级上·上海静安·期中）已知线段，求作线段使，下列作法（图中虚线均为平行线）中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，点、分别在边、上，下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25九年级上·上海·期中）如果点D、点E分别在的边和边上，那么下列能判定的比例式是（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-5】（24-25九年级上·上海·期中）下列两个命题中： ①在四边形中，若，则． ②在四边形中，若且，则．则下列说法正确的是（   ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 【题型7 由平行截线求相关线段的长或比值】 【例7】（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，在中，平分交于点，交于点，，，，求和的长． 【变式7-1】（24-25九年级上·上海·期中）如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点都在横线上，如果线段的长2，那么的长是（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 【变式7-2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，点D、E和F分别在边、和上，，，如果，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知，如果，，那么k的值为 ． 【变式7-4】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D，E，F．若，，则的长为 ． 【变式7-4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，直线，则 ． 【变式7-6】（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，点和分别在直线和上，且，如果，，那么的长等于 ． 【变式7-7】（23-24九年级上·上海·期中）如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    【题型8 重心的有关性质】 【例8-1】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知线段是的中线，点是重心，作，交边于点，那么 ． 【例8-2】如图，、是的中线，交于点．求证：． 【变式8-1】在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长是 ． 【变式8-2】（23-24九年级上·上海长宁·期中）在中．，，如果点为重心，那么的长等于 ． 【变式8-3】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）在中，，点G是的重心，如果，那么 ． 【变式8-4】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，点G是等边的重心，连接，如果，那么 ． 【变式8-5】（24-25九年级上·上海·期中）在中， 如果，那么的重心到顶点A的距离为 ． 【变式8-6】如图，在中，，是的重心，过作边的平行线交于 点，求的长． 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海松江·期中）下列各组线段中，能组成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．1，2，4，8 C．3，4，5，6 D．0.1，0.2，0.3，0.4 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如果，那么下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果点是线段的黄金分割点，那么下列线段的值不可能是的为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图所示，在中，点E是上的一点，，F是上的中点，则的值（   ） A．1∶4 B．2∶5 C．1∶5 D．3∶5 二、填空题 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知点是线段的黄金分割点（），如果，那么线段 ． 8．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，已知，它们依次交直线于点，交直线于点，已知，，那么的值是 ．    9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果，那么 ． 10．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，线段厘米，厘米，则线段的比例中项是 厘米． 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在B的黄金分割点处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 12．（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，已知直线，直线分别交直线、、于、、三点，直线分别交直线、、于、、三点，如果，，，那么长为 ．    13．（24-25九年级上·上海·阶段练习）为庆祝中华人民共和国成立75周年，我校开展了以“奋进新征程，歌声献给党”为主题的红歌大合唱比赛活动，如图，汇演舞台的形状为矩形，宽度为10米，如果主持人站立的位置是宽度AB的黄金分割点，那么主持人从台测点沿方向走到主持人的位置至少需走 米． 14．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又叫做位似比，这个点叫做位似中心．如图，已知点A、B、C的坐标分别为，，，点P坐标为．以点P为位似中心，与△ABC位似，且位似比为，那么点B的对应点的坐标为 ． 三、解答题 15．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）已知：． (1)求代数式的值； (2)当时，求a、b的值． 16．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知线段a、b、c．求作线段x，使． 17．（22-23九年级上·上海·开学考试）如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 18．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，点D、E分别在的边、上，．如果，．求． 19．（22-23九年级上·上海宝山·阶段练习）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义． (1)如图1已知小明的身高是1.6米，他在路灯AB下的影子长为2米，此时小明距路灯灯杆的底部3米，求灯杆AB的高度； (2)如图2现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 相似形与比例线段 （4知识点+8大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01相似形的概念及性质 1、相似形的概念 相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形． 重点剖析： （1） 相似图形不仅有平面图形，还有立体图形，在初中阶段主要研究平面图形的相似。 （2） 在两个大小不相等的相似图形中，我们可以认为大的图形是由小的图形经过放大而成的，也可以认为小的图形是由大的图形经过缩小而成的。 学法指导： 两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关。 2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1． 注意！！！ 判断两个多边形是否相似时，既要考虑对应角是否相等，又要考虑对应边长度的比是否相等，二者缺一不可。 学法指导： 在判断两个多边形是否为相似多边形时，边数相同、角分别相等容易判断，而边是否成比例则需要通过计算来确定，即分别计算长边与长边的比，短边与短边的比，在判断时应注意对应关系。 知识点02比例的性质 1、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）； 如果（或），那么就说、、、成比例． 2、比例的性质 （1）基本性质： 如果，那么； 如果，那么，，． （2）合比性质： 如果，那么； 如果，那么． （3）等比性质： 如果，那么． 重点剖析： （1）利用比例的基本性质可以在比例式和等积式之间互相转化。将比例式化为等积式是有条件的，并不是比例式中的四个字母中的任意两个字母的乘积就等于另外两个字母的乘积，而是比例的外项之积等于内项之积。 （2）使用等比性质时，要注意b+d≠0这个条件，否则这个性质不成立。 知识点03比例线段 1、比例线段的概念 对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 2、黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 注意！！！ 一条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P是线段AB的黄金分割点时，需加注 或AP＜ BP，否则在已知AB的长度求AP（或BP）的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论。 知识点04三角形一边的平行线性质定理 1、三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么． 2、三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，点、分别在的边、上， ，那么． 3、三角形的重心 定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心． 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 知识点05三角形一边的平行线判定定理及推论 1、三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 2、三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果那么//． 知识点06平行线分线段成比例定理 1、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么． 2、平行线等分线段定理 两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等． 平行线分线段成比例速记口诀！！！ 平行线分线段，成比例是关键。 先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。 易错分析！！！ 易错点1在求两条线段的比时忽略了要统一单位 易错点2判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错 易错点3解题时漏掉一个黄金分割点 易错点4判断三角形中线段平行时，判断线段成比例时，比例式中不能有要证明的平行线 【题型1 相似图形】 【例1】（24-25九年级上·上海静安·期中）下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【答案】B 【知识点】相似图形 【分析】本题考查了相似图形的识别，熟练掌握相似图形的定义：对应边成比例，对应角相等的图形叫相似图形是解题的关键．根据相似图形的定义，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、两个平行四边形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； B、两个正方形对应边成比例，对应角相等，故一定相似，符合题意； C、两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； D、两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海松江·期中）下列图形一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 【答案】C 【知识点】相似图形 【分析】本题主要考查了相似图形，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键． 根据相似图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； B、两个面积相等的三角形不一定相似，不符合题意； C、两个正方形一定相似，符合题意； D、两个菱形不一定相似，不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海闵行·期中）下列命题正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．矩形都是相似图形 C．菱形都是相似图形 D．圆都是相似图形 【答案】D 【知识点】相似图形 【分析】本题考查相似图形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，熟练掌握相似图形的定义是解题关键. 根据相似图形的定义，对各选项逐一判断即可得答案. 【详解】解：A.等腰三角形的底角与顶角均不能确定，边长也不确定，不一定相似，故该选项错误，不符合题意； B. 矩形的长和宽不能确定，不一定相似，故该选项错误，不符合题意； C. 菱形各角不能确定，不一定相似，故该选项错误，不符合题意； D. 圆都是相似图形，故该选项符合题意； 故选D. 【变式1-3】（24-25九年级上·上海闵行·期中）下列命题中，假命题是（　　） A．两个正方形一定相似 B．两个菱形一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 【答案】B 【知识点】相似图形、判断命题真假 【分析】本题考查了相似形的判定及命题的真假判断，根据相似图形的定义逐项判断即可求解，掌握正方形、菱形、等腰直角三角形和等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故选项是真命题； 、两个菱形的边成比例，但角不一定相等，所以不一定相似，故选项是假命题； 、两个等腰直角三角形的底角都是一定相等，所以一定相似，故选项是真命题； 、两个等边三角形的角都是一定相等，所以一定相似，故选项是真命题； 故选：B． 【变式1-4】（23-24九年级上·上海松江·期中）下列说法正确的个数有（  ） ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】相似图形 【分析】本题考查了相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等的两个图形相似，根据相似图形的定义，对各小题分析判断后利用排除法求解即可得出答案． 【详解】解：①所有正方形对应角相等，对应边一定成比例，所以一定都相似，故①符合题意， ②矩形的每个角都等于，即对应角相等，但对应边不一定成比例，故②不符合题意， ③菱形的四条边相等，即对应边成比例，但对应角不一定相等，故③不符合题意， ④等腰三角形的对应角不一定相等，故④不符合题意， 综上所述，符合题意的只有一个， 故选：． 【题型2 相似多边形的性质】 【例2】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）上海人民广场占地面积约为，若按比例尺缩小后，其面积大约相当于 A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积 C．《中学生报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由题意知，按比例尺缩小后，其面积大约为，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，上海人民广场占地面积约为，按比例尺缩小后，其面积大约为，相当于《中学生报》的一个版面的面积， 故选：C． 【变式2-1】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知两个矩形相似，其中一个矩形相邻两边的长分别为1和2，另一矩形相邻两边的长分别为3和，那么的值可能是：①4；②6；③；④．这四个结论中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了图形的相似；根据图形相似的性质，分两种情况考虑：与，即可求得x的值． 【详解】解：由于两个矩形相似， 则有或， 解得：或； 故选：B． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海·期中）矩形中，E、F分别为中点，如果矩形与矩形相似，那么它们的相似比为 ． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解作答即可． 【详解】解：∵E、F分别为中点， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴相似比， 解得， 或（舍去）， ∴相似比为， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·上海·期中）将矩形沿它的一条对称轴对折，如果对折后得到的新矩形与矩形相似，那么对折后得到的新矩形与矩形的相似比是 ． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质和矩形的性质，根据相似多边形的性质得出比例式，求出，代入求出即可，能根据相似多边形的性质求出是解此题的关键． 【详解】解：如图， 是矩形的一条对称轴， 、分别为，的中点， ，， 四边形是矩形， ，， 矩形与相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型3 比例的性质】 【例3-1】（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知，且，求、、值． 【答案】，， 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，掌握用同一字母表示各未知数是解答关键． 根据已知设，，，然后代入进行求解． 【详解】解：因为， 所以设，，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，． 【例3-2】如图，已知在四边形中，点、分别在、上，． 求证：（1）；（2）． 【解析】证明：（1）， ． 根据比例的合比性质，，． 根据比例的合比性质，，即． 根据比例的合比性质，． 【总结】考查比例的合比性质的应用． 【例3-3】设线段、、满足，求、、的值． 【答案】． 【解析】由（1）可得，再结合（2），可得：，由此可得到，结合（2）式可解得． 【总结】考查比例的等比性质的应用． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海·期中）已知，那么下列四个选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质逐项判断即可，解题的关键是掌握比例的性质和等式的基本性质． 【详解】解：由可设， 则，故A正确，符合题意； ，故B错误，不符合题意； 则不一定等于，故C错误，不符合题意； 则，故D错误，不符合题意； 故选：A． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海·期中）如果，那么 ． 【答案】/ 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意先设，则，再代入求值即可. 【详解】解：∵， ∴设，则， 那么． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 由可得，进而可得，于是得解． 【详解】解：， ， ， 即：， 故答案为：． 【变式3-4】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知  则 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，设，然后代入化简即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-5】（24-25九年级上·上海·期中）若，且，则 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查比例的基本性质，能够熟练掌握整体代入思想是解决本题的关键．根据题意可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为： 【变式3-6】在中，点、分别在边、上，且，则 ，若的周长为厘米，则的周长为 厘米． 【答案】（1）3；（2）120． 【解析】（1）由，可得，即， 故，； （2）根据比例的等比性，， 即， 代入求得． 【总结】考查比例的合比性和等比性的综合应用． 【变式3-7】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知：，且，求、、的值． 【答案】，，， 【知识点】比例的性质、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查比例的性质，以及一元一次方程的运用，根据题意设，则，，再结合建立方程求解，即可解题． 【详解】解：， 设，则，， ， ， 解得， ，，． 【变式3-8】设，求的值． 【答案】0． 【解析】根据分式基本性质，得， 令，则有，，，三式相加，即得． 【总结】考查比例的性质的综合应用． 【题型4 比例线段】 【例4-1】（24-25九年级上·上海·期中）在比例尺为的地图上，相距10厘米的两地实际距离为 千米． 【答案】1 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了比例线段，根据比例尺正确进行计算并注意单位的转换是解题的关键． 根据比例尺图上距离实际距离，列出关系式即可得出实际的距离． 【详解】解：设两地实际距离为x厘米，得：， 所以相距10厘米的两地的实际距离是厘米千米， 故答案为：1． 【例4-2】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）下列各组线段中，能成比例线段的一组是（      ） A．2，3，4，6 B．1，2，3，4 C．2，3，5，6 D．3，4，5，6 【答案】A 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 【详解】解：A、，故本选项正确； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选：A． 【变式4-1】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知线段、、、是成比例线段，如果，，，那么的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查比例线段，掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段是解题关键．利用成比例线段的定义得到，再代入数据，即可求解． 【详解】解：根据题意得，即， 解得：． 故选B． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如果地图上、两处的图距是，表示这两地实际的距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是 ． 【答案】 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了比例线段，先设这个图距是，根据图上距离比上实际距离等于比例尺，可得关于的方程，即可求解，解题的关键是根据比例尺不变列出方程． 【详解】解：设这个图距是， 则， 解得， 故答案为：． 【变式4-3】（22-23九年级上·上海徐汇·期中）已知点C在线段上，满足，如果，那么 cm． 【答案】/ 【知识点】比例线段、比例的性质、公式法解一元二次方程 【分析】设，则，根据可得，代入求解即可． 【详解】解：∵点C在线段上， ∴设，则， ∵， ∴， 即， 解得：，（舍）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，读懂题意，得出是解本题的关键． 【变式5-4】（24-25九年级上·上海宝山·期中）线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到，然后利用比例性质计算即可，解题的关键是理解四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当时，线段是线段和的比例中项． 【详解】解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵线段厘米，厘米， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 【题型5 黄金分割】 【例5-1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：， 点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故答案为：． 【例5-2】（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长； （2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】（1）根据黄金分割点定义，且，可知，此时 ； （2） 线段的黄金分割点有两个，与原线段比例分别为和， 故或． 【总结】注意黄金分割点和黄金分割的区别，一条线段的黄金分割点有两个，满足黄金分割黄金比的只有一个． 【变式5-1】（24-25九年级上·上海·期中）P是线段的黄金分割点，厘米，那么线段 厘米． 【答案】 【知识点】黄金分割、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查黄金分割点、解一元二次方程，根据黄金分割点的定义列出一元二次方程是解题的关键．根据黄金分割点的定义可知，由此列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ，即， 设厘米，则 即， ， （舍去），， 线段的长是厘米． 故答案为：． 【变式5-2】已知点P是线段的黄金分割点，且，，那么 ． 【答案】/ 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟记黄金分割点分成的两线段和原线段之间关系是解决问题的关键，根据黄金分割可得，即可得解． 【详解】解：点P是线段的黄金分割点，且， ． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）今年为庆祝建平西校建校周年，学校举办了一场大型的“”文艺汇演活动，汇演舞台的形状为矩形，宽度为米，如果主持人站立的位置是宽度的黄金分割点，那么主持人从台侧点沿方向走到主持的位置至少需走 米 【答案】/ 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．设主持的位置为点，根据黄金分割点的定义求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：设主持的位置为点， 由题意可知，点为线段米的黄金分割点，且， 米， 米， 故答案为： 【变式5-4】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中、、各部分长度的比满足，则 ． 【答案】 【知识点】黄金分割、解分式方程（化为一元一次）、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确建立方程是解题关键．设，则，根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， ∴， 故答案为：． 【变式5-5】如图，乐器上的一根弦厘米，两个端点、固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，求的长． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】根据黄金分割点定义，知，故， ，得． 【总结】考查线段的黄金分割点有两个． 【题型6 由平行判断成比例的线段】 【例6】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形ABCD中，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例得到，，再根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据等量代换得到，于是有． 【详解】证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式6-1】（24-25九年级上·上海静安·期中）已知线段，求作线段使，下列作法（图中虚线均为平行线）中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质画图的方法，根据平行线的性质一一分析． 【详解】解：A、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； B、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； C、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； D、根据平行线的性质得，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式6-2】（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，点、分别在边、上，下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，不能判定，故该选项不符合题意； B、由，能判定，故该选项符合题意； C、由，不能判定，故该选项不符合题意； D、∵，不能判定，故该选项不符合题意， 故选：B． 【变式6-3】（24-25九年级上·上海·期中）如果点D、点E分别在的边和边上，那么下列能判定的比例式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的定义是解题的关键，由题意画出图形，根据平行线分线段成比例定理得到，，，再逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由题可画图如下： 若，可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴C可以判定， 故选：C． 【变式6-4】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，理解平行线分线段成比例是解答关键． 根据平行线分线段成比例来逐一进行判定求解． 【详解】解：∵， ∴，故A不合题意； ∵， ∴，故B不合题意； ∵， ∴，故C不合题意； ∵， 不能判断与平行，故D符合题意． 故选：D． 【变式6-5】（24-25九年级上·上海·期中）下列两个命题中： ①在四边形中，若，则． ②在四边形中，若且，则．则下列说法正确的是（   ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 【答案】B 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线成线段成比例，逐一进行判断即可． 【详解】解：在四边形中，若，则，故①错误； 在四边形中，若且，则：，故②正确， 证明如下： 连接并延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【题型7 由平行截线求相关线段的长或比值】 【例7】（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，在中，平分交于点，交于点，，，，求和的长． 【答案】， 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质 【分析】根据平行线分线段成比例，可得，求出，从而得到的长．根据等腰三角形的性质得到，再由平行线分线段成比例，可得，得到的长． 【详解】解：， ， 又，，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是找准对应关系，避免错误． 【变式7-1】（24-25九年级上·上海·期中）如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点都在横线上，如果线段的长2，那么的长是（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点，根据题意设，利用平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点， ∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴设， ∴． 解得． 故选：B． 【变式7-2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，点D、E和F分别在边、和上，，，如果，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例结合平行四边形逐个判断即可． 【详解】解：∵，设，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， A、由可得，，故选项A错误，不符合题意； B、由可得，故选项B错误，不符合题意； C、由可得，故选项C正确，符合题意； D、由可得，，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式7-3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知，如果，，那么k的值为 ． 【答案】/ 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理等式的性质、解一元一次方程等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 由平行线分线段成比例定理可得，进而可得；由可得，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴，解得：． 故答案为：． 【变式7-4】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D，E，F．若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理．直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，直线，则 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题意可得，代入数据，即可求解． 【详解】解：∵ ∴，则， 解得： 故答案为：． 【变式7-6】（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，点和分别在直线和上，且，如果，，那么的长等于 ． 【答案】15或35 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例，分在边和上，以及在边和的延长线上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当在边和上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在边和的延长线上时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15或35． 【变式7-7】（23-24九年级上·上海·期中）如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    【答案】4米 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是过A点作，交、于点G、H，根据题意得出米，根据，得出，即，求出米，即可得出答案． 【详解】解：过A点作，交、于点G、H，如图所示：    由题意，米，米，米， ∴米， ∵， ∴， 即， 解得：米， ∴（米）， 答：路灯离地面的高度为4米． 【题型8 重心的有关性质】 【例8-1】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知线段是的中线，点是重心，作，交边于点，那么 ． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了重心的性质，平行线分线段成比例定理及中线的性质；由重心性质知；由得，由中线知，即可求得结果． 【详解】解：∵点G是重心， ∴； ∴， ∴； ∵是的中线， ∴， ∴； 故答案为：． 【例8-2】如图，、是的中线，交于点．求证：． D 【解析】证明：过点作交于点． 是中点， 是中点，故， 又是中点，，，， 即，整理得：． 【总结】考查三角形重心性质的证明，通过一个中点作对边的平行线即可． 【变式8-1】在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长是 ． 【答案】 【知识点】重心的有关性质 【分析】是重心，是边上的中线，则点在中线上，根据重心的性质“重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为”即可求解． 【详解】解：根据题意，如图所示， 是重心，是边上的中线， ∴点在中线上， 根据三角形重心的性质得，，， ∴，即． ∴线段的长是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形重心的性质，掌握三角形重心的性质是解题的关键． 【变式8-2】（23-24九年级上·上海长宁·期中）在中．，，如果点为重心，那么的长等于 ． 【答案】/ 【知识点】重心的有关性质、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查学生对三角形重心的理解和掌握，根据等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一，利用勾股定理求出的长，再利用重心的性质即可求出的长． 【详解】解：根据题意可画图如下， ，，点G为重心， ，， ， ∵点G为重心， 故答案为：． 【变式8-3】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）在中，，点G是的重心，如果，那么 ． 【答案】12 【知识点】重心的有关性质、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了重心的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握重心的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 如图，是的中线，由G是重心，，可求，，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，    ∵G是重心，， ∴是的中线，， ∴， 解得，， ∴， ∵，是的中线， ∴， 故答案为：12． 【变式8-4】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，点G是等边的重心，连接，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点．延长交于点E，连接并延长，交于点F，由等腰三角形三线合一证明，，，进而可得，在求出，即可解答． 【详解】解：延长交于点E，连接并延长，交于点F， ∵点G是等边的重心， ∴，是中线，,， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式8-5】（24-25九年级上·上海·期中）在中， 如果，那么的重心到顶点A的距离为 ． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，重心的性质，过点作，根据余弦的定义，得到，勾股定理求出，根据重心的性质，进行求解即可． 【详解】解：过点作，设重心为点，如图，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为4． 【变式8-6】如图，在中，，是的重心，过作边的平行线交于 点，求的长． D 【答案】2． 【解析】连结并延长交于点，根据重心的定义， 可知为中点，则， 根据重心的性质，又， 可得：，求得． 【总结】考查三角形重心的性质． 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海松江·期中）下列各组线段中，能组成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．1，2，4，8 C．3，4，5，6 D．0.1，0.2，0.3，0.4 【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】此题考查了比例线段．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如果，那么下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中几个量用所设的未知数表示出来，进行约分． 根据比例的基本性质，设，，分别代入各选项进行计算即可得出答案． 【详解】解：设，（）， A. ，式子成立，故选项不符合题意； B. ，式子成立，故选项不符合题意； C. ，式子成立，故选项不符合题意； D. ，式子不成立，故选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果点是线段的黄金分割点，那么下列线段的值不可能是的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】黄金分割 【分析】此题主要考查了黄金分割比的概念，根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比作出判断．找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， 则； 或， 则． 故只有的值不可能是． 故选：D． 4．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，正确理解平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理分别列出比例式，可求得x的值，即可判断答案． 【详解】解：A、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故A选项错误，不符合题意； B、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故B选项正确，符合题意； C、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故C选项错误，不符合题意； D，根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故D选项错误，不符合题意． 故选B． 5．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，由，根据平行线分线段成比例定理逐项进行分析判断即可得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴，而与不一定相等，与不一定相等， 故A正确，C不正确，D不正确； 由得， 假设成立，则， ∴， ∴，与已知条件不符， ∴不成立， 故B不正确， 故选：A． 6．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图所示，在中，点E是上的一点，，F是上的中点，则的值（   ） A．1∶4 B．2∶5 C．1∶5 D．3∶5 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理等知识．过点F作交于点G，得到，进一步得到，由得到即可． 【详解】解：∵F是上的中点， ∴， 过点F作交于点G， ∴， ∴ ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， 故选：C 二、填空题 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知点是线段的黄金分割点（），如果，那么线段 ． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了线段的黄金分割点，理解并掌握黄金分割点的计算方法是解题的关键． 根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：点是线段的黄金分割点（），如果， ∴， ∴， 故答案为： ． 8．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，已知，它们依次交直线于点，交直线于点，已知，，那么的值是 ．    【答案】/0.7 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果，那么 ． 【答案】/0.2 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，理解比例的意义，用含k的式子分别表示a、b是解题关键． 设，，代入化简即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∴． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，线段厘米，厘米，则线段的比例中项是 厘米． 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查了比例中项，理解并掌握比例中项的定义是解题关键．如果三个量成连比例即，则叫做和的比例中项．设线段的比例中项是厘米，根据比例中项的定义可得，代入数值并求解即可． 【详解】解：设线段的比例中项是厘米， 则有， 解得， 又∵线段的长度为正数， ∴厘米． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在B的黄金分割点处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，已知直线，直线分别交直线、、于、、三点，直线分别交直线、、于、、三点，如果，，，那么长为 ．    【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例，列出比例式，再将已知数据代入求解，即可解题． 【详解】解：直线， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·上海·阶段练习）为庆祝中华人民共和国成立75周年，我校开展了以“奋进新征程，歌声献给党”为主题的红歌大合唱比赛活动，如图，汇演舞台的形状为矩形，宽度为10米，如果主持人站立的位置是宽度AB的黄金分割点，那么主持人从台测点沿方向走到主持人的位置至少需走 米． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意主持人至少走的距离为（米） 故答案为： ． 14．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又叫做位似比，这个点叫做位似中心．如图，已知点A、B、C的坐标分别为，，，点P坐标为．以点P为位似中心，与△ABC位似，且位似比为，那么点B的对应点的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】他两种情况：①当与△ABC，在点P同侧时，②当与△ABC，在点P两 侧时，分别求解即可． 【详解】解：分两种情况：如图，①当与△ABC，在点P同侧时，连接过点，在上取点使， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ②当与△ABC，在点P两 侧时，连接过点，在延长线上取点使， ∵，， ∴，， ∴， ∴点横坐标为1-2=-1， ∴； 综上，的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查求位似变换点的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 三、解答题 15．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）已知：． (1)求代数式的值； (2)当时，求a、b的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、比例的性质 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．令即可求解． （1）把代入即可求值； （2）把代入求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 令， 原式； （2）解：， 令， 故， 解得， 16．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知线段a、b、c．求作线段x，使． 【答案】见解析 【知识点】由平行判断成比例的线段、过直线外一点作已知直线的平行线 【分析】本题考查尺规作图—作成比例线段，平行线分线段成比例．利用数形结合的思想是解题关键．根据，得出，结合尺规作图，作出成比例线段即可． 【详解】解：如图，线段x即为所作． 17．（22-23九年级上·上海·开学考试）如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列式计算即可； （2）根据平行线分线段成比例定理列式计算即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴.   将，，代入，得. 解得 ． （2）解：∵， ∴. ∵， ∴.    将，代入，得. 解得. 18．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，点D、E分别在的边、上，．如果，．求． 【答案】3 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、解一元二次方程——配方法 【分析】设,则可得出，的面积之比，再将的值代入，即可得出答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，又，， ∴， ∴，（舍）， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解一元二次方程，结合同高的三角形面积比等于底边的比，解题关键结合图形正确写出对应线段． 19．（22-23九年级上·上海宝山·阶段练习）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义． (1)如图1已知小明的身高是1.6米，他在路灯AB下的影子长为2米，此时小明距路灯灯杆的底部3米，求灯杆AB的高度； (2)如图2现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度． 【答案】(1)灯杆AB的高度为4米 (2)灯杆AB的高度为米 【知识点】相似三角形实际应用、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）利用平行线分线段成比例的推论可知，代入求解即可； （2）同（1）可得，，先求出BC，进而求出AB． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∴， 由题意，， ∴，即， 解得， ∴灯杆AB的高度为4米； （2）解：由题意可知，，，， ∵中，， ∴，即， 同理，中，， ∴，即， ∴ 解得， ∴， ∴， ∴灯杆AB的高度为米． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的实际应用，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$