暑假作业05 轴对称（要点梳理+8大题型+巩固强化）-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（苏科版2024）

限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 轴对称 要点一、轴对称的概念 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴. （2）轴对称包含两层含义：有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合. 要点二、轴对称的基本性质 （1）轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等. （2）由轴对称的性质可得结论：如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴. 【注意】轴对称和全等的关系：轴对称一定是全等图形,但全等图形不一定是轴对称. 要点三、轴对称图形 （1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称. （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条. （3）常见的轴对称图形：等腰三角形，长方形，正方形，等腰梯形，圆等等. 要点四、线段的垂直平分线 （1）线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线. （2）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、轴对称图形的识别 1．剪纸艺术，作为我国最古老的民间手工技艺之一，承载着千年农耕文明的智慧与美学．下列剪纸图案中，轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．2024年11月29日，中央电视台公布了2025年蛇年春晚主题“巳巳如意，生生不息”，设计了“巳巳如意纹”，以下四个如意纹样中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，这是的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是轴对称图形的情况有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 4．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 题型二、根据轴对称图形的特征进行判断 5．如图，和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③.其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 6．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，关于直线进行轴对称变换后得到，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 8．将长方形纸片沿竖直虚线对折，用针尖在上面扎出“L”，然后展平，则可得到（   ） A． B． C． D． 题型三、根据轴对称图形的特征进行求解 9．如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 10．如图，，点M、N分别在射线上，的面积为12，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为．当点P在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．8 B．12 C．16 D．24 11．如图，在直角三角形中，，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为E，F，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B． C．10 D． 12．如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积为 ． 13．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，则线段的长为 ． 题型四、台球桌面上的轴对称问题 14．如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 15．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 16．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    题型五、轴对称中的光线反射问题 17．如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 18．如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 题型六、折叠问题 19．用一张等宽纸条按图示方法折叠，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．如图，是用长方形纸片折纸飞机的操作顺序，最后一个图形中所有线条均在同一平面上时，折痕、与飞机头的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 21．如图，把一张长方形纸片按图中所示方式折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 22．如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若，则的度数为 ． 23．已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，则的度数为 ． (2)如图，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，则的度数为 ． ②若，请求出的度数． 题型七、画轴对称图形 24．如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形最多能画出（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 25．在如图所示的正方形网格中，画出格点，使得与成轴对称，则不同位置的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型八、求对称轴条数 26．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（   ） A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆 27．一般地，一个正六边形有 条对称轴． 28．由三个一样的圆组成图形如图所示，它有 条对称轴． 1．2024年中国体育代表团在巴黎奥运会上夺得40金27银24铜，创造了我国境外奥运参赛的最佳成绩，下列四个运动图标中，轴对称图形是（    ） A． B． C． D． 2．如图，与关于直线对称，连接，其中分别交于点，下列结论：①；②③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图①，已知四边形纸片．按图②、图③的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图④第二条折痕与边交于点，连接、．若，平分，则的度数是（   ） A．40° B．45° C．50° D．60° 4．如图，直线是四边形的对称轴，．若，则 °． 5．如图，若与关于直线对称，则的度数为 ． 6．如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 7．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为 ． 8．如图，在长方形中，，点E、F分别在上，将长方形沿折叠，使点C、D分别落在长方形外部的点处，则整个阴影部分图形的周长为 ． 9．如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 10．【操作探究】 （1）如图① ，四边形是长方形纸片，，点E，F分别在边，上，以为折痕折叠纸片，点A，B的对应点分别是点，，与相交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； （2）如图② ，在（1）中折叠的基础上，再将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别是点，，使得经过点E．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由； 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，若的度数比的度数大，则的度数为多少度 1．如图，和关于直线m对称． (1)结合图形指出对应点； (2)连接，直线m与线段有什么关系？ (3)延长线段与，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律？请叙述出来． 2．折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 轴对称 要点一、轴对称的概念 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴. （2）轴对称包含两层含义：有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合. 要点二、轴对称的基本性质 （1）轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等. （2）由轴对称的性质可得结论：如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴. 【注意】轴对称和全等的关系：轴对称一定是全等图形,但全等图形不一定是轴对称. 要点三、轴对称图形 （1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称. （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条. （3）常见的轴对称图形：等腰三角形，长方形，正方形，等腰梯形，圆等等. 要点四、线段的垂直平分线 （1）线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线. （2）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、轴对称图形的识别 1．剪纸艺术，作为我国最古老的民间手工技艺之一，承载着千年农耕文明的智慧与美学．下列剪纸图案中，轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选B． 2．2024年11月29日，中央电视台公布了2025年蛇年春晚主题“巳巳如意，生生不息”，设计了“巳巳如意纹”，以下四个如意纹样中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意； B、图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意； C、图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意； D、图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 3．如图，这是的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是轴对称图形的情况有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的变换，正确把握轴对称图形的性质是解答本题的关键． 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义求解即可． 【详解】如图所示，有四种情况使之成为轴对称图形∶ ①②③④ 故选：D． 4．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 题型二、根据轴对称图形的特征进行判断 5．如图，和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③.其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称的性质．根据轴对称的定义和性质解答：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）；轴对称图形的对应线段、对应角相等． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴，所以，故③说法正确； ∴直线m是线段的垂直平分线，故①说法正确； ∴直线m也是线段的垂直平分线，不会被线段垂直平分，故②说法错误； 故选：C． 6．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称的性质：轴对称两个图形的对应边相等，对应角相等，熟记性质是解题的关键．根据轴对称的性质解答． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，，但不一定相等， 故选：D． 7．如图，关于直线进行轴对称变换后得到，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．由轴对称的性质即可得出结论． 【详解】解：∵关于直线进行轴对称变换后得到， ∴，，垂直平分，， 故选项A、B、C正确；故选项D不一定正确． 故选：D． 8．将长方形纸片沿竖直虚线对折，用针尖在上面扎出“L”，然后展平，则可得到（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称．根据轴对称的性质判定即可． 【详解】解：根据题意，选项B中的图形关于直线对称， 故选：B． 题型三、根据轴对称图形的特征进行求解 9．如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质．通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积的一半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形与三角形关于对称，面积相等是解决本题的关键．根据和关于直线对称，得出，根据图中阴影部分的面积是求出即可． 【详解】解：关于直线对称， 、关于直线对称， ∴ 和关于直线对称， ， 的面积是：， 图中阴影部分的面积是． 故选：B． 10．如图，，点M、N分别在射线上，的面积为12，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为．当点P在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 故选：A． 11．如图，在直角三角形中，，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为E，F，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质，涉及三角形面积、点到直线的距离等知识，过作于，连接，根据已知，由面积法先求出，根据对称可得，故线段长度最小即是长度最小，求出垂线段的长度即可解答，解题的关键是将求长度的最小值转化为求长度的最小值． 【详解】解：过作于，连接，如图： ， ， 点M关于边，的对称点分别为E，F， ， ， 线段长度最小即是长度最小，此时，即与重合，最小值为． 故选：A． 12．如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称图形的性质可得下方的阴影部分的梯形面积等于上方空白部分的梯形面积，则阴影部分面积等于的面积，据此求解即可． 【详解】解：由轴对称图形的性质可得， 故答案为：； 13．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，则线段的长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由轴对称的性质得到，同理得到，进而根据线段的和差即可解答． 【详解】解：点关于的对称点恰好落在线段上，， ， ， 点关于的对称点落在的延长线上， ， ． 故答案为：15． 题型四、台球桌面上的轴对称问题 14．如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解题意，掌握碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角是解题的关键． 根据黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角，轴对称图形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角， ∴最后进入的球洞的序号是①， 故选：A ． 15．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 16．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    【答案】 【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 题型五、轴对称中的光线反射问题 17．如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：D 18．如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是本题的关键． 先根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即要得出结果． 【详解】解：， ， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行， ； 故选：A． 题型六、折叠问题 19．用一张等宽纸条按图示方法折叠，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质及对顶角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先根据对顶角相等求出，再根据两直线平行同旁内角补角求出，然后根据折叠即可得出答案． 【详解】解：∵纸条的两边平行， ∴， ∵，， ∴， 根据折叠的性质可得：， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 20．如图，是用长方形纸片折纸飞机的操作顺序，最后一个图形中所有线条均在同一平面上时，折痕、与飞机头的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查折叠的性质，通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案．根据翻折变换的性质进行分析从而得到最后答案． 【详解】解：∵折纸飞机的操作过程，对折了2次， ∴， 故选：B． 21．如图，把一张长方形纸片按图中所示方式折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，掌握折叠的不变性是解题的关键． 根据平行得到，再由折叠得即可求解． 【详解】解：如图： 由题意得， ∴， 由折叠得， 故选：C． 22．如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，根据平角的定义可得，由此可以求出的度数即可得到答案． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得， ，， ， ， ． 故答案为：． 23．已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，则的度数为 ． (2)如图，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，则的度数为 ． ②若，请求出的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、折叠的性质（折叠前后对应角相等）、邻补角和为以及平角为 ．解题关键在于准确运用这些性质，通过角之间的等量关系，结合设未知数建立方程等方法来求解角度． （1）本题涉及平行线的性质以及折叠的性质．利用得到角的关系，再结合折叠前后角相等的性质来求解的度数． （2）①根据折叠性质和邻补角的定义求出相关角的度数，再利用平角的度数为来计算的度数．②设未知数，依据折叠性质、平行线性质以及平角定义建立方程，从而求解的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴折叠可知． 又∵， ∴． （2）解：①∴折叠可知， ∴． 又∵，且， ∴． ②设，则． ∵， ∴． ∴折叠可知，． ∵，，，且， ∴，． ∴， 又∵， ∴， 解得． ∴． 题型七、画轴对称图形 24．如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形最多能画出（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，根据轴对称图形的概念，画出图形即可． 【详解】解：在网格中与△成轴对称的格点三角形最多能画出3个． 故选：B． 25．在如图所示的正方形网格中，画出格点，使得与成轴对称，则不同位置的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】此题考查利用轴对称设计图案，解题关键在于掌握作图法则．根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形． 【详解】解：如图所示： 因此共有6个不同位置， 故选：D． 题型八、求对称轴条数 26．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（   ） A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的知识，解答本题的关键是分别得出各选项图形的对称轴的条数． 【详解】解：等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正六边形有6条对称轴，圆有无数条对称轴， ∴对称轴条数最少的是等边三角形， 故选：A． 27．一般地，一个正六边形有 条对称轴． 【答案】6 【分析】本题考查正多边形对称轴的知识，解题的关键是理解对称轴的定义，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这条直线叫做对称轴． 通过分别找出正六边形过对边中点的直线和过对角顶点的直线，确定其对称轴数量． 【详解】正六边形中，过对边中点的直线有3条，过对角顶点的直线也有3条，这些直线都能使正六边形沿着它对折后两部分完全重合，所以正六边形一共有条对称轴． 故答案为：6． 28．由三个一样的圆组成图形如图所示，它有 条对称轴． 【答案】3/三 【分析】本题考查轴对称图形，根据一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此即可得到答案． 【详解】解：由三个一样的圆组成图形如图所示， 它有3条对称轴． 故答案为：3． 1．2024年中国体育代表团在巴黎奥运会上夺得40金27银24铜，创造了我国境外奥运参赛的最佳成绩，下列四个运动图标中，轴对称图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选： C． 2．如图，与关于直线对称，连接，其中分别交于点，下列结论：①；②③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ，故①正确， 和关于直线对称，点与点是关于直线对称的对称点， ，故②正确； 和关于直线对称， 线段被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， 正确的有①②③，共3个 故选：C． 3．如图①，已知四边形纸片．按图②、图③的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图④第二条折痕与边交于点，连接、．若，平分，则的度数是（   ） A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质和图形折叠的性质，关键是熟练掌握轴对称的性质和图形折叠的性质． 根据折叠的性质可得，，可得，得到，根据角平分线的定义即可求出答案． 【详解】解：如图， 根据折叠的性质可得，， ， ， ，平分， ， ， 故选：A． 4．如图，直线是四边形的对称轴，．若，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，平行线的性质，先由平行线的性质求出的度数，再由轴对称图形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵直线是四边形的对称轴， ∴， 故答案为：． 5．如图，若与关于直线对称，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查成轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据成轴对称的两条图形的对应角相等，即可求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴， 故答案为：． 6．如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 【答案】 【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质．先根据翻折性质得出，再得到角的等量关系，求解． 【详解】解：沿翻折到的位置， ． 将沿翻折到的位置， ， ． ， ． 故答案为：． 7．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，平角定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 由折叠性质可知，，又，则，设，然后根据平角定义求出的值即可． 【详解】解：由折叠性质可知，， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 8．如图，在长方形中，，点E、F分别在上，将长方形沿折叠，使点C、D分别落在长方形外部的点处，则整个阴影部分图形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，由折叠的性质可得，再由周长计算公式，以及线段的和差关系，可得阴影部分的周长，即可解题． 【详解】解：由折叠的性质可得，又， ∴阴影部分的周长 ， 故答案为：． 9．如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； 【详解】（1）解：、分别是点关于、的对称点，且、分别在、上， ，， 又， ． （2）解：连接， 、分别是点关于、的对称点， ，， 又， ， ， 又， ． 10．【操作探究】 （1）如图① ，四边形是长方形纸片，，点E，F分别在边，上，以为折痕折叠纸片，点A，B的对应点分别是点，，与相交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； （2）如图② ，在（1）中折叠的基础上，再将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别是点，，使得经过点E．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由； 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，若的度数比的度数大，则的度数为多少度 【答案】（1），理由见解析（2）理由见解析（3） 【分析】本题考查了平行线性质、折叠性质的综合应用，解题关键是利用这些性质找出角之间的等量关系来求解数量关系和位置关系． （1）利用长方形对边平行性质，得到 ，再结合折叠后对应角相等，即 ，通过等量代换得出结论 ． （2）先依据（1）的结论 ，再根据长方形对边平行推出 ，然后结合两次折叠中角的平分关系，得到 ，最后根据内错角相等判定关系． （3）设 ，根据已知条件表示出 ，利用（1）中角的关系及平行线同旁内角互补列出方程求解 ，再根据折叠性质求出 ，最后利用平行线性质得出答案 ． 【详解】（1）．理由： ∵四边形是长方形， ∴． ∴ ． ∵纸片以为折痕折叠， ∴ ． ∴ ， （2） ．理由： 由（1）已证得 ． ∵ ， ∴ ， ∵纸片以为折痕折叠，纸片沿折叠， ∴ ， ． ∴， ∴ （3）设， 的度数比的度数大， ∴． 由（1）可知 ∵． ∴ ． ∵． ∴ 即 解得，即． ∵纸片以为折痕折叠， ∴， ∵， ∴ ． 1．如图，和关于直线m对称． (1)结合图形指出对应点； (2)连接，直线m与线段有什么关系？ (3)延长线段与，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律？请叙述出来． 【答案】(1)对应点：点A和点，点B和点，点C和点 (2)线段被直线m垂直平分 (3)线段与的延长线的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上；规律：若两线段关于一条直线对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点一定在这条直线上 【分析】本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴． （1）根据轴对称的性质即可得出答案； （2）根据轴对称的性质即可得出答案； （3）根据轴对称的性质即可得出答案； 【详解】（1）解：对称点有和，和，和； （2）解：根据对称的性质可得，线段被直线m垂直平分； （3）解：线段与的延长线的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上； 故可得规律：若两线段关于一条直线对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点一定在这条直线上 2．折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 【答案】（1）；（2） ；（3）或；（4） 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，长方形的性质，平角的性质，角度的和差等知识点，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠可得，即可求解； （2）根据折叠可得，进而即可求解； （3）分与不重叠和重叠两种情况讨论，先表示出的度数，然后根据角的和差关系进行求解即可； （4）分点在的左侧，在的右侧和点在的右侧，在的左侧进行分类讨论即可得解． 【详解】解：（1）图2中，由折叠得，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）图3中，由折叠得∶，， ， ， ，即， 故答案为：； （3）分两种情况进行讨论：当与不重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 当与重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， 又， ， ， 故答案为：或； （4）当点在的左侧，在的右侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 综上，的度数为． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$