3.1.1椭圆及其标准方程导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆及其标准方程（导学案） 1、 学习目标 1、理解椭圆的定义及其标准方程。理解椭圆的几何定义，明确椭圆的标准方程形式，掌握通过定义法和待定系数法推导椭圆标准方程的过程和方法。 2、了解椭圆标准方程的推导过程。学习并掌握椭圆标准方程的推导步骤，重点理解椭圆的焦点、半长轴、半短轴的几何含义，并能根据椭圆的定义求得其标准方程。 3、应用椭圆的标准方程解决实际问题。学会利用椭圆的标准方程解决几何问题，包括求解椭圆的相关参数（如焦距、长短轴）及其他相关计算。能够通过方程来分析和理解椭圆的形态和特性。 2、 重难点 重点：椭圆的几何定义以及标准方程的形式，特别是如何通过定义法和待定系数法推导标准方程。 难点：如何运用椭圆的标准方程解决实际问题，特别是如何结合椭圆的几何特性来分析并解答问题。对于一些复杂的几何问题，如何从方程出发，提取出有用的几何信息。 三、知识梳理 1．椭圆的定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______________的点的轨迹叫做椭圆，这_______叫做椭圆的焦点，______________叫做椭圆的焦距，焦距的____称为半焦距． 思考： (1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？ (2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 2.椭圆的标准方程   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 图形 焦点 坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2 a,b,c的关系 焦点位置的判断 四、学习过程 1、情境导学 椭圆作为一种特殊的圆锥曲线，拥有众多独特的几何性质，它不仅在纯数学领域中有着重要地位，而且在科学研究、工程设计及日常生活中也有广泛应用。例如，椭圆的应用可以从天文学中的行星轨道到工程中的反射镜等多个领域中找到。在我们这一节课中，目标是理解椭圆的几何特征，并通过这些特征推导出椭圆的标准方程，为深入学习椭圆的性质打下基础。那么，椭圆究竟有哪些几何性质？我们该如何利用这些特征来建立椭圆的方程？这些问题将引导我们今天的学习。 2、探索新知 实验一：圆的构造 首先，想象你有一条长度固定的细线。把这条细线的两端固定在同一个点，另一端系上铅笔。你拉紧这条线，固定铅笔后开始移动，结果我们看到，铅笔的笔尖画出的轨迹是一条圆。这是因为，在这个过程中，所有的点到固定点的距离都相等。 实验二：椭圆的构造 把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1,F2 ， 套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？画出的轨迹是什么曲线？ 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 一般地，如果椭圆的焦点为，焦距为2，而且椭圆上的动点P满足， =2其中>>0. 以 所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴， 建立平面直角坐标系，如图所示，此时,椭圆的焦点分别为（ ,0） 的标准方程 . 观察图，你能从中找出表示，的线段吗？ 设椭圆，焦距为2，而且椭圆上的动点P满足=2 其中>>0. 以 所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时： （1）椭圆焦点的坐标分别是什么？ （2）能否通过 (>>0) 来得到此时椭圆方程的形式？ 3、巩固练习 题型一 求椭圆的标准方程 题型二 轨迹方程 五、达标检测 1．若方程＋＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是________． 2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　) A．5　　　　B．6　　　　C．7　　　　D．8 4. 椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是(　　) A.(±,0) B.(0,±) C. D. 5. a=6,c=1的椭圆的标准方程是(　　) A.=1　 B.=1 C.=1 D.=1或=1 6．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标． 六、课后反思 在椭圆标准方程的应用中，哪些步骤比较困难？是否能够顺利将几何信息转化为代数形式？在解决实际问题时，如何准确识别题目中的焦点、长短轴等关键要素，正确应用椭圆的标准方程进行计算？ 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$