19.3 课题学习 选择方案 教学设计 2024-2025学年人教版数学八年级下册

19.2 一次函数 19.3 课题学习 选择方案 教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 本节课主要内容包括一次函数的图象与性质的实际应用，以及如何利用一次函数模型解决生活中的方案选择问题，如上网收费方式优化、租车费用最小化等。重点涉及分段函数的建立、函数图象的分析、变量关系的数学建模及最优决策方法。 2. 内容解析 本节是在学习一次函数定义、图象和性质的基础上，通过实际问题建立函数模型，综合运用方程、不等式和函数图象分析变量关系，解决多条件下的最优方案选择问题。培养学生将现实问题抽象为数学问题的能力，为后续学习函数综合应用奠定基础。 二、目标和目标解析 1. 目标 (1) 能根据实际问题建立分段函数模型，理解函数图象与实际问题的对应关系。 (2) 经历“问题分析→建立模型→求解验证”的过程，发展数学建模和逻辑推理能力。 (3) 通过方案优化问题，提升数据分析和决策能力，体会数学的应用价值。 2. 目标解析 通过本节课的学习，学生应能独立分析含变量的实际场景，准确构建分段函数解析式，并利用函数性质、方程与不等式确定最优解。这一过程强化了数学抽象和模型思想，为高中函数与优化问题的深入学习提供思维支撑。同时，通过小组合作探究，增强解决复杂问题的信心和协作能力。 三、教学问题诊断分析 1. 分段函数建模困难：学生对不同条件下分段函数的定义域划分及表达式构建易混淆。 1. 变量关系分析不足：难以从多变量问题中提取关键约束条件（如租车问题中的载客量、费用限制）。 1. 数形结合能力薄弱：无法将函数图象与实际问题中的数量关系有效关联。 1. 最优解决策片面：易忽略边界条件或特殊情况的讨论（如上网收费中的时间临界点）。 四、教学过程设计 (一) 情景引入 问题1 某宽带运营商提供三种套餐： · 套餐A：月费30元，包25小时，超时每分钟0.05元； · 套餐B：月费50元，包50小时； · 套餐C：月费120元，不限时。 小明每月上网时间约40小时，他应选哪种套餐最省钱？ 问题2 若小红每月上网时间不确定，如何建立通用模型帮助任何人选择最优套餐？ 问题3 学校组织234名学生和6名教师外出，租用甲种客车（载客45人/辆，租金400元/辆）和乙种客车（载客30人/辆，租金280元/辆），总费用不超过2300元，每辆车需至少1名教师。如何租车最省钱？ 设计意图： 通过阶梯式生活问题，引导学生感知函数在决策中的应用，培养问题抽象能力（对应目标1）。问题3的复杂约束条件为后续探究做铺垫。 (二) 合作探究1 探究1：上网收费方案建模 · 问题：设月上网时间为 小时，分别写出套餐A、B的费用函数 。 · 答： 化简得 · 化简得 · 常量 追问：如何通过函数关系比较三种套餐的省钱条件？ (三) 巩固练习1 1. 练习1：当 时，计算 的值并比较。 答： ； ； ； 最省钱的套餐是B。 1. 练习2：求套餐A和B费用相等的上网时间。 答： 解 得 小时。 (四) 合作探究2 探究2：函数图象与决策分析 · 问题：如何通过函数图象确定最优方案区间？ · 猜想：图象交点对应的 值是决策临界点。 · 验证：通过表格分析函数值： (小时) (元) (元) (元) 最优方案 30 50 120 A 40 75 50 120 B 60 135 80 120 C 探究3：一般化决策方法 · 结论： · 当 时，选A； · 当 时，选B； · 当 时，选C。 设计意图： 通过代数与表格结合的方式替代图象分析，强化分段函数与不等式的应用（对应目标2），培养分类讨论思想。 (五) 典例分析 例1：租车方案优化 某校240人（含教师6人）租车，甲种车载客45人/辆（租金400元），乙种车载客30人/辆（租金280元），总费用 ≤ 2300元，每车至少1名教师。求最省钱的租车方案。 解： 1. 确定车辆数 ： · 载客要求： → 至少需6辆车； · 教师约束：6辆车每车1名教师 → 。 1. 建立费用函数： 设租甲种车 辆，则乙种车 辆。 1. 约束条件： · 载客量： → ； · 费用限制： → ； · 综合得 或 。 1. 方案比较： · 若 ：（元）； · 若 ：（元）； 最省钱方案为租甲种车4辆，乙种车2辆。 设计意图： 通过多约束条件的综合应用，提升数学建模能力（对应目标3），强调边界值验证的重要性。 (六) 巩固练习 1. 练习1：若上网套餐A超时费降至0.04元/分钟，求 时的最优选择。 答： ； → 仍选B。 1. 练习2：租车问题中若教师增至8人，车辆数变为7辆，求此时最省方案。 解： ； 约束： → ； → ； 取 → 租甲种车2辆，乙种车5辆，费用 元。 1. 练习3：某快递公司配送方案如下，求配送30件物品的最优方式。 方式 基础费(元) 单价(元/件) 上限(件) A 20 3 15 B 50 2 不限 答： （超过部分按B计算）； ； 组合方案：A送15件（65元），B送15件（）→ 总费用145元 > 纯B方案110元 → 选B。 设计意图： 通过变式训练强化分类建模能力，体会不同场景下函数模型的灵活性（对应目标2,3）。 (七) 归纳总结 问题类型 关键步骤 数学工具 决策依据 单一方案优化 建立分段函数 函数解析式 比较函数值 多方案选择 求函数交点 方程与不等式 区间划分 多约束条件问题 提取约束条件，确定变量范围 不等式组 边界值验证 (八) 感受中考 1. (2023·北京) 某图书馆借书收费：会员年费60元，每次借书免费；非会员每次收费5元。小强年借书量 次，会员与非会员费用差为 元，则（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析：会员费 ，非会员费 ，费用差 。 1. (2024·浙江) 某打车平台计费规则：起步价10元（3公里内），之后每公里2元。设行程 公里（)，费用 元，则 ______。 答案： 解析：。 1. (2022·江苏) 学校采购笔记本，商店A：每本5元，买4送1；商店B：每本4.5元。至少买50本时，哪家更省钱？ 解： · A店：实际单价 元； · B店：单价4.5元； ∵ ，∴ 选A店。 1. (2023·广东) 某工厂租用A型机器（日租金200元，每小时处理20件）和B型机器（日租金150元，每小时处理15件）。需每日处理600件，租金最少为______元。 解： 设租A型机 台，B型机 台，则： · 边界点： → ； → ； → 。 最少租金6000元。 设计意图：通过中考真题练习，明确考试方向，熟悉题型，检验学习成果，提升应考能力与学习动力。 (九) 小结梳理 核心知识点 关联问题 思想方法 分段函数建模 上网收费 分类讨论 函数图象分析 方案比较 数形结合 约束条件提取 租车问题 优化决策 边界值验证 费用最小化 特殊到一般 (十) 布置作业 必做题 1. 教材习题19.3第1题（上网收费方案比较）。 1. 某健身房收费：A卡年费2000元，每次2元；B卡无年费，每次10元。若小华计划去 次，何时选A卡省钱？ 选做题 1. 快递公司配送方案： · 方案A：首重10元（1kg），续重2元/kg； · 方案B：首重8元（1kg），续重3元/kg。 求寄送 kg物品时 () 的最优选择。 1. 研究不同包裹重量下两方案的费用差函数，并给出决策表。 五、教学反思 （课后填写） 学科网（北京）股份有限公司 $$