20.1 数据的集中趋势（精讲）2024-2025学年人教版数学八年级下册

20.1 数据的集中趋势 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】算术平均数 4 【题型2】加权平均数 6 【题型3】确定中位数和众数 8 【题型4】利用统计图中的数据确定平均数、中位数和众数 10 【题型5】平均数、中位数和众数与统计图的综合应用 13 1．平均数的概念 （1）平均数：一般地，如果有n个数，，…，，那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”． （2）加权平均数：如果n个数中，出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权． 2．平均数的计算方法 （1）定义法 当所给数据，，…，比较分散时，一般选用定义公式：． （2）加权平均数法 当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中． （3）新数据法 当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：． 其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，x′1=x1-a，x′2=x2-a，…，x′n=xn-a． 是新数据的平均数（通常把，，…，叫做原数据，x′1，x′2，…，x′n叫做新数据）． 3．用样本平均数估计总体平均数 （1）组中值：数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数叫做这个小组的组中值． （2）用样本平均数估计总体平均数 用样本估计总体是统计中最常用的方法，也就是用样本的特征去估计总体的相应特征，常用的是用样本的平均数估计总体的平均数． （3）用样本估计总体的准确性 用样本估计总体时，可能会产生误差，一般样本容量越大，估计的值就越准确． 4．众数 （1）定义 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数．如：1，2，3，3，3，2的众数为3． （2）求一组数据的众数的方法：找出出现频数最大的那个数据，若几个数据频数都是最多的且频数相同，则这几个数据都是众数． 5．中位数 将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数． 平均数、中位数和众数的联系与区别 联系 都是数据的代表，都可以反映一组数据的集中趋势，能从不同的角度提供信息． 区别 平均数 反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数据都有关 优点 所有数据都参加运算，能充分地利用数据所提供的信息，在现实生活中较为常用 缺点 易受极端值的影响 中位数 反映一组数据的中等水平 优点 计算简单，受极端值影响较小 缺点 不能充分利用所有数据的信息 众数 只与数据出现的次数有关 优点 是人们尤为关心的一个量，因为它是组数据中重复出现次数最多的那个数 缺点 当各个数据的重复次数大致相等时，众数就没有特别意义了 【题型1】算术平均数 例1 （2025•淮安一模）一组数据1，3，5，2，4的平均数是　　 A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】 【分析】根据算术平均数的定义列式计算即可． 【解答】解：数据1，3，5，2，4的平均数是， 故选：． ◄ 点拨 ► 牢记平均数的概念：一般地，如果有n个数，，…，，那么，叫做这n个数的平均数． 【变式练1】　（2025春•宁海县期中）样本数据3，，4，5的平均数是4，则的值是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式练2】　（2025•栾城区校级模拟）若数据，2，5，7，1，4，的平均数为4，则，的平均数为　　 A．7.5 B．5.5 C．2.5 D．4.5 【变式练3】　（2025春•温州校级月考）已知五个数据：2，2，，5，8的平均数是4，则的值为　　 A．3 B．8 C．4 D．5 1．【答案】 【分析】根据数据3，，4，5的平均数为4，得出，再解方程即可． 【解答】解：数据3，，4，5的平均数为4， ， 解得， 故选：． 2．【答案】 【分析】求出、的和，然后求出其平均数． 【解答】解：， ， 故选：． 3．【答案】 【分析】根据算术平均数的计算公式计算即可求解． 【解答】解：由条件可知， 解得， 故选：． 【题型2】加权平均数 例2 （2024秋•福田区期末）某校举行校园十佳歌手大赛，小颖同学的初赛成绩为90分，复赛成绩为80分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小颖同学的总成绩为　　 A．83分 B．80分 C．75分 D．70分 【答案】 【分析】根据加权平均数计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【解答】解：小颖同学的总成绩为（分． 故选：． ◄ 点拨 ► 当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中． 【变式练4】　（2025春•鹿城区校级期中）学校举行“水火箭制作”科技大赛，选手综合成绩分为两项：创新设计占，现场展示占．小温的创新设计得80分，现场展示得90分，则他的综合成绩是　　 A．80分 B．84分 C．85分 D．90分 【变式练5】　（2025•临安区一模）某学生的数学总评成绩由作业，期中考试和期末考试组成．该生作业得90分，期中考试得80分，期末考试得80分，则他的总评成绩是　　 A．80分 B．81分 C．82分 D．83分 【变式练6】　（2025•姜堰区一模）某校举行“珍爱生命”演讲比赛，已知某位选手的“演讲内容”、“语言表达”和“形象风度”这三项得分分别为90分，85分，80分，若按的比例计算平均得分，则该选手的平均得分是　　 A．85分 B．86分 C．87分 D．88分 4．【答案】 【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可． 【解答】解：根据题意可得，他的综合成绩是（分． 故选：． 5．【答案】 【分析】由加权平均数的定义即可得出答案． 【解答】解：根据加权平均数的定义， 他的总评成绩是：（分， 故选：． 6．【答案】 【分析】根据加权平均数的定义进行计算即可得到答案． 【解答】解：（分， 该选手的平均得分是86分． 故选：． 【题型3】确定中位数和众数 例3 （2025•海珠区一模）在一次引体向上的测试中，小明等5位同学引体向上的次数分别为：8，7，9，8，9，关于这组数据，下列说法正确的是　　 A．平均数是8.5 B．中位数是8.5 C．众数是8.5 D．众数是8和9 【答案】 【分析】根据众数、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可． 【解答】解：将数据重新排列为7，8，8，9，9， 则这组数的众数是8和9， 中位数为8， 平均数为， 故选：． ◄ 点拨 ► 1．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，一组数据中有可能有多个众数． 2．中位数：如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【变式练7】　（2025•罗湖区二模）若一组数据3，4，5，，6，7的众数是6，则中位数是　　 A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【变式练8】　（2025•庆元县一模）体育中考某班5名同学1分钟跳绳成绩（单位：次）分别是178，150，193，181，166，这组数据的中位数是　　 A．166 B．178 C．181 D．193 【变式练9】　（2025•光明区二模）某次演讲比赛中，进入决赛的7位同学得分由低到高依次为88，90，90，92，97，97，98．这组得分的众数是　　 A．90和97 B．92 C．97 D．90 7．【答案】 【分析】根据中位数、众数的定义即可判断． 【解答】解：数据的众数是6， 故， 数据排序后为：3，4，5，6，6，7． 中位数为， 故选：． 8．【答案】 【分析】先将上述数据按照从小到大的顺序排列，根据中位数的定义可知：第3位的数据是中位数． 【解答】解：先将上述数据按照从小到大的顺序排列：150，166，178，181，193， 这组数据的中位数是178， 故选：． 9．【答案】 【分析】根据众数的定义求解即可． 【解答】解：由表格数据知，数据90和97分别出现2次，次数最多， 所以这组数据的众数为90和97， 故选：． 【题型4】利用统计图中的数据确定平均数、中位数和众数 例4 （2025•南安市模拟）某校为落实五项管理工作的有关要求，随机抽查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，制作如下统计图，则所抽查的学生每天睡眠时间的众数、中位数分别是　　 A．7，8 B．7，10 C．8，8 D．8，8.5 【答案】 【分析】根据中位数和众数的定义求解即可． 【解答】解：调查学生的总人数为（人， 第17个数和第18个数的平均数是中位数，中位数是， 出现次数最多的是， 众数是． 故选：． ◄ 点拨 ► 结合统计图获取信息，利用直观想象素养，可以确定一组数据的平均数、中位数、众数，解决问题． （1）条形统计图中频数最大的数是众数，要先计算总体数据个数，然后确定中位数． （2）根据扇形统计图可以直观得出众数，同时可以确定中位数的大致范围． 【变式练10】　（2025•官渡区校级模拟）祖冲之是中国数学史上伟大的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．数学活动课上，同学们对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为　　 A．4.5 B．5 C．9 D．14 【变式练11】　（2025•双柏县一模）某中学举办了以“智能时代智赢未来”为主题的科普知识竞答比赛（共10道题，每题1分）．已知选取了10名学生的成绩，但在记录时遗漏了一名学生的成绩．如图，这是参赛9名学生的成绩，则这10名学生成绩的众数不可能是　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【变式练12】　（2025•永春县模拟）保险公司汽车保险中，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数有关，该公司随机调查了该险种的300名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计图：则出险次数的中位数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 10．【答案】 【分析】根据众数的定义进行解答即可． 【解答】解：圆周率的小数点后100位数字之中，出现次数最多的是9，共出现14次，因此的众数为9， 故选：． 11．【答案】 【分析】根据众数的定义分情况讨论即可． 【解答】解：由图可知，9名学生的成绩为：7，9，6，8，10，7，9，8，9， 按大小排序：10，9，9，9，8，8，7，7，6， 这10名学生成绩的众数不可能是6和10， 故选：． 12．【答案】 【分析】根据中位数的定义进行计算即可． 【解答】解：将数据按从小到大排列后， 位于第150和第151的两个数为：1，1． 中位数为：． 故选：． 【题型5】平均数、中位数和众数与统计图的综合应用 例5 （2025•大渡口区模拟）有关人员开展了，两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，下面给出了部分信息：（单位：分） 抽取的对款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89； 抽取的对款聊天机器人的评分数据： 67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100； 抽取的对，款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 88 96 88 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 　15　 ， 　　 ， 　　 ； （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有300人对款聊天机器人进行评分、320人对款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人“不满意”的共有多少人？ 【答案】（1）15，88.5，96； （2）款聊天机器人更好，理由见解析； （3）78人． 【分析】（1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）通过比较，款的评分统计表的数据解答即可； （3）由、两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得：，即， 款的评分非常满意有（个， “满意”的数据为84、86、86、87、88、89， 把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， 中位数， 在款的评分数据中，96出现的次数最多， 众数； 故答案为：15，88.5，96和87； （2）款聊天机器人更好，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但款评分数据的中位数为88.5比款的中位数88高，所以款聊天机器人更好（答案不唯一）； （3）（人， 答：估计此次测验中对聊天机器人“不满意”的共有78人． ◄ 点拨 ► 在平均数与统计图相结合的题目中，准确理解统计图表示的意义是解题的关键，条形统计图能清楚地表示事物的具体数量，折线统计图反映了数据的变化情况，扇形统计图能清楚地表示各部分在总体中的占比情况． 【变式练13】　（2025•雁塔区校级模拟）端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，并对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级中各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制成统计图表： 七年级10名学生活动成绩统计表 成绩分 6 7 8 9 10 人数 2 1 2 已知七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1） 　　 ， 　　 ； （2）样本中，八年级活动成绩为7分的学生有 　　 名，八年级活动成绩的众数为 　　 分； （3）若活动成绩不低于9分为“优秀”，请根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【变式练14】　（2025•铜梁区模拟）某校开展了“关于安全教育知识竞赛”活动，并从七、八年级中各抽取了20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，总分为100分，共分成五个等级：，，，，． 下面给出了部分信息： 七年级所抽学生成绩在等级的情况分别为80，81，81，82，85，85，85，85，85，88； 八年级所抽学生成绩在等级的情况分别为80，81，82，82，83，84，86，86，86． 七、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数，中位数，众数，等级情况如下表： 年级 平均数 众数 中位数 等级 七年级 83 八年级 83 86 82 根据以上信息解答下列问题： （1）上述表中 　　 ， 　　 ， 　　 ； （2）根据以上数据，你认为哪个年级对安全知识掌握得更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）若该校七年级学生有700人，八年级学生有800人，请估计七、八年级竞赛成绩为等级的学生共有多少人？ 【变式练15】　（2025•广东一模）神舟十九号航天员乘组于2024年12月17日完成首次出舱活动，用时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．某中学开展“航空航天知识竞赛”活动，九年级有甲、乙两组各10名学生参加比赛．（比赛成绩均为整数，满分为10分）． 甲组学生的比赛成绩：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 乙组学生的比赛成绩条形统计图如图所示．甲、乙两组学生的比赛成绩统计表如表所示． 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 6.8 6 3.76 乙 　　 7 1.16 （1）补全条形统计图，统计表中　　 ，　　 ； （2）求乙组学生比赛成绩的平均数； （3）根据以上数据，你认为甲、乙两组学生在比赛活动中，哪组学生的比赛成绩更好？请说明理由． 13．【答案】（1）2，3；（2）2，8；（3）本次活动中优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由见解答． 【分析】（1）分别求得成绩为8分，9分，10分的人数，再结合总人数为10人列式计算即可求得成绩为7分的学生数； （2）将七年级活动成绩为7分的比例乘以10即可得到成绩为7分的学生数，根据众数的定义可得八年级活动成绩的众数； （3）分别求出七，八年级的平均分和优秀率，再比较即可． 【解答】解：（1）七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，成绩由低到高排列第5位的成绩为8分，第6位的成绩为9分， 即，． 故答案为：2，3； （2）样本中，八年级活动成绩为7分的学生有：（人， 八年级活动成绩的众数为8分． 故答案为：2，8； （3）本次活动中优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下： 结合（1）（2）中所求可得七年级的优秀率为：； 八年级的优秀率为：； 七年级的平均成绩为：（分， 八年级的平均成绩为：（分， 因为七年级的优秀率高于八年级，但七年级的平均成绩低于八年级，所以本次活动中优秀率高的年级不是平均成绩也高． 14．【答案】（1）85，81.5，20；（2）八年级对安全知识掌握得更好，理由见解答；（3）265人． 【分析】（1）根据众数的定义、中位数的定义即可找到、的值，求出八年级组的百分比，即可得的值； （2）根据众数、中位数的意义进行判断即可； （3）根据样本中七、八年级竞赛成绩为等级所占百分比解答即可． 【解答】解：（1）在七年级成绩中，85分出现的次数最多，故众数为85分，即； 把七年级成绩从小到大排列，排在第十和第十一个数分别是81，82，故中位数为； 由题意得，，即． 故答案为：85，81.5，20； （2）八年级对安全知识掌握得更好，理由如下： 因为八年级竞赛成绩的中位数和众数均比七年级的大，所以八年级对安全知识掌握得更好； （3）（人， 答：估计七、八年级竞赛成绩为等级的学生共有265人． 15．【答案】（1）6，7； （2）6.8分； （3）乙组学生的比赛成绩更好，理由见解析．（答案不唯一）． 【分析】（1）求出7分的人数即可补全条形统计图，根据众数和中位数定义即可求出和的值； （2）根据加权平均数公式计算即可； （3）根据平均数和方差的意义分析即可． 【解答】解：（1）乙组得7分的人数为（人， 补全条形统计图如下： 由甲组10名学生的成绩可知，众数， 乙组的成绩分别为5，6，6，6，7，7，7，7，8，9， 乙组的中位数， 故答案为：6，7； （2）（分， 答：乙组所抽取学生的比赛成绩的平均数为6.8分； （3）乙组学生的比赛成绩更好，理由如下： 因为两个组的平均数相同，乙组的方差小于甲组的方差，所以乙组的成绩更稳定，所以乙组学生的比赛成绩更好．（答案不唯一）． 学科网（北京）股份有限公司 $$