2025年内蒙古自治区初中学业水平考试5行卷·数学(8)-【一战成名新中考·5行卷】内蒙古数学中考复习·2025新方向模考卷

5行卷·内蒙古数学　 8-1 5行卷·内蒙古数学　 8-2 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 　 得分:　 　 　 　 　 　 版权归 29　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 2025年内蒙古自治区初中学业水平考试 5行卷·数学(八) (本试卷共 100分　 考试时间 90分钟) 一、选择题(共 8小题,每小题 3分,共 24分。 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1.在 22, | -32 | ,( -2) 3,3-2 中,最小的正数是 ( 　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 22 B. | -32 | C. ( -2) 3 D. 3-2 2.如图,已知 AB∥CD,点 O在 AB,CD之间,连接 BO,CO,若∠C= 30°,则∠B+∠BOC的度数为 ( 　 D　 ) 第 2题图 A. 120° B. 150° C. 180° D. 210° 3.在平面直角坐标系中,A,B,C,D四盏灯笼的坐标分别是( -1,b),(1,b),(2,b),(3. 5,b),平移一盏灯 笼,使得四盏灯笼关于一条垂直于 x轴的直线成轴对称,则平移的方法可以是 ( 　 A　 ) A.将 A向右平移 0. 5个单位 B.将 B向左平移 3个单位 C.将 C向左平移 3. 5个单位 D.将 D向左平移 4. 5个单位 4.若 a是关于 x的方程 3x2 -x-1 = 0的一个根,则 2 027-6a2 +2a的值是 ( 　 B　 ) A. 2 026 B. 2 025 C. 2 023 D. 2 022 5. 传统文化 如图①是我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘的一种我国古代常用的水利灌溉工 具———筒车,如图②,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆,已知圆心 O在水面的上方,☉O 被水面截得的弦 AB长为 6米,点 C是运行轨道的最低点,点 C到水面的距离为 2米,则☉O的半径长 为 ( 　 A　 ) 图① 　 　 　 图② 第 5题图 A. 13 4 米 B. 5米 C. 4米 D. 11 4 米 6. 传统文化 中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管,用它们分别吹出十二个标准音,称为十二律, 十二根竹管的管长和频率乘积为定值,设管长为 x,频率为 y,选取 5组数对(x,y),在平面直角坐标系 中进行描点,则下列描点正确的是 ( 　 C　 ) 第 6题图 7.对于平面直角坐标系 xOy中的点 P和图形 G,给出如下定义:在图形 G 上若存在两点 M,N,使△PMN 为正三角形,则称图形 G为点 P的 T型线,点 P为图形 G的 T型点,△PMN为图形 G关于点 P的 T型 三角形.若点 H(0,-2)是抛物线 y= x2 +n的 T型点,则 n的取值范围是 ( 　 D　 ) A. n≥-1 B. n≤-1 C. n≥- 5 4 D. n≤- 5 4 8.如图,四边形 ABCD与四边形 AECF 均是菱形,点 E,F 在 BD 上,若∠ABC = 60°,FA⊥AB,则 S四边形AECF ∶ S四边形ABCD 的值为 ( 　 C　 ) 第 8题图 A. 1 2 B. 3 4 C. 1 3 D. 3 6 二、填空题(共 4小题,每小题 3分,共 12分) 9.国际学术期刊《自然》在 2024年 5月 29日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队的研究成果,他们 获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构,局部分辨 率最高达 0. 000 000 000 18米,将 0. 000 000 000 18表示为 a×10n 的形式,n的值为　 -10　 . 10.在数轴上表示 a,0,b三个数的点如图所示,已知 OA=OB,则 |a+b | + | a b | +2|a+1| = 　 -2a-1　 . 第 10题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5行卷·内蒙古数学　 8-3 5行卷·内蒙古数学　 8-4 30　 11.某水果公司以 2. 2元 /千克的成本价购进 10 000 千克苹果,为了解这批苹果的损坏率,公司从中随机 抽取若干进行统计,部分结果如下表. 苹果总质量 n(千克) 100 200 300 400 500 1 000 损坏苹果质量 m(千克) 10. 60 19. 42 30. 63 39. 24 49. 54 101. 10 估计这批苹果损坏率为　 0. 1　 (精确到 0. 1),据此,若公司希望这批苹果能获得利润 23 000元,则销 售时(去掉损坏的苹果)售价应至少定为　 5　 元 /千克. 12.如图,在 Rt△ABC中,∠B= 90°,AB= 6,BC= 8,AE平分∠BAC,F,G分别在 AB,AC上,其中∠FEG>90° 且 EF=EG,则 BF+CG= 　 4　 . 第 12题图 三、解答题(共 6小题,共 64分) 13. (本小题满分 10分) (1)用配方法解方程:2x2 -4x-5 = 0; 解:2x2-4x-5=0, x2-2x+1= 5 2 +1, (2分)……………………………………………………………………………… (x-1) 2 = 7 2 , x-1=± 14 2 , (4分)……………………………………………………………………………… ∴ x1 =1- 14 2 ,x2 =1+ 14 2 ; (5分)………………………………………………………………………… (2)解不等式组: 2x+3≥x+11,① 2x+5 3 -1<2-x. ② ì î í ï ï ïï 解:解不等式①得 x≥8, (7分)…………………………………………………………………………… 解不等式②得 x< 4 5 , (9分)………………………………………………………………………………… ∴此不等式组无解. (10分)……………………………………………………………………………… 14. (本小题满分 10分) 九年级数学兴趣小组在一次综合实践活动中,完成“测量学校路灯的高度”的任务,设计思路及测得数 据如下:如图①,路灯 PM与地面 AB垂直,晚自习的课间,甲,乙两位同学按要求站在路灯两侧,分别 用 EC,FD表示,已知甲同学身高 1. 65 m,影子(AC)长 1. 5 m,乙同学身高 1. 76 m,影子(DB)长 2 m, 两位同学相距10 m. (图中各点在同一平面内) (1)数学兴趣小组根据以上数据绘制了图②,请根据该图求出路灯的高度; (2)该小组的张华同学独立设计了一个方案,如图③,在路灯正对面的一栋建筑物的三楼 T点处,看点 P的仰角为 α,看点 M的俯角为 β,测得点 M到建筑物的距离为 a,请问根据这些数据能否求出路 灯 PM的高度? 如果能,请用 α,β和 a表示 PM;如果不能,请说明理由. 图① 　 　 　 图② 　 　 　 图③ 第 14题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5行卷·内蒙古数学　 8-5 5行卷·内蒙古数学　 8-6 版权归 31　 　 15. (本小题满分 8分) 某校举办了一次成语知识竞赛,满分 10分,学生得分均为整数,成绩达到 6 分及 6 分以上为合格,达 到 9分及 9分以上为优秀,这次竞赛中,甲,乙两组成绩统计分析表和学生成绩分布的折线统计图 如下. 组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 6. 8 a 3. 76 90% c 乙组 b 7. 5 1. 96 80% 20% 第 15题图 (1)直接 ∙∙ 写出成绩统计分析表中 a,b,c的值; (2)小英同学说:“这次竞赛我得了 7分,在我们组中排名属中游略偏上!”观察上面表格,判断小英是 哪个组的学生; (3) 开放性试题 甲组同学说他们组的合格率,优秀率均高于乙组,所以他们组的成绩好于乙组. 但 乙组同学不同意甲组同学的说法,认为他们组的成绩要好于甲组.请你写出一条支持乙组同学观 点的理由. 解:(1)a=6,b=7. 2,c=30%; (3分)……………………………………………………………………… (2)∵甲组成绩的中位数是 6分,乙组成绩的中位数是 7. 5分,小英得了 7分属于中游略偏上, ∴小英是甲组的学生; (6分)……………………………………………………………………………… (3)支持乙组同学观点的理由是乙组成绩的平均分高于甲组(答案不唯一) . (8分)………………… 16. (本小题满分 11分) 如图,AB是☉O的直径,点 E是 OB的中点,过点 E作 AB的垂线交☉O于点 C,D.点M是 AC ( 上一点, 连接 AM并延长交 DC的延长线于点 F,连接 DM,CM. (1)求证:∠AMD= ∠FMC; (2)若点 M恰好是 AB ( 的中点,AB= 20,求 DM的长. 第 16题图 (1)证明:如解图,连接 AD. ∵AB是☉O的直径,CD⊥AB于点 E, ∵CD⊥OB,∴sin∠ODE=OE OD = 1 2 , ∴∠ODE=30°,∴∠DOE=60°, ∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD=30°,∴∠ADC=60°,∠AOD=120°,∴∠AMD=60°. (7分)……… ∵点M是 AB ( 的中点,∴∠MAB=45°,∴∠F=45°, ∴EF=AE=OA+OE=15, 在 Rt△ODE中,DE= OD2-OE2 =5 3 , ∴DF=DE+EF=5 3 +15, (9分)………………………………………………………………………… ∴在 Rt△DNF中,DN=DF·sin45°= 2 2 DF= 5 6 +15 2 2 , ∴在 Rt△DMN中,DM= DN sin60° =5 2 +5 6 . (11分)…………………………………………………… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5行卷·内蒙古数学　 8-7 5行卷·内蒙古数学　 8-8 32　 17. (本小题满分 12分) 强预测 定义:如果四边形的某条对角线平分一组角,那么把这条对角线叫作“美妙线”,该四边形叫 作“美妙四边形” . 【概念理解】 (1)如图①,AD为△ABC的角平分线,点 E在 AB上,AE=AC.求证:四边形 ACDE为“美妙四边形”; 【思考探究】 (2)如图②,在△ABC中,D为 BC上一点,作∠BDE= 60°,DE与 AB相交于 E,且四边形 ACDE是以 AD 为“美妙线”的“美妙四边形” .在 AB上取点 F,使 FB =FC,FC交 AD于点 G.若 DG = 2,CD = 3,求 BD的长; 【拓展延伸】 (3)如图③,在四边形 ABCD中,∠ACB 的平分线交 AB 于 P,且四边形 ADCP 是以 AC 为“美妙线”的 “美妙四边形” .若 BC= 5,CD= 2 5 ,AD= 8 3 ,求 AC的长. 　 　 　 　 第 17题图 (1)证明:∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠CAD, ∵AE=AC,AD=AD,∴△EAD≌△CAD(SAS),∴∠ADE=∠ADC, ∴四边形 ACDE为“美妙四边形”; (3分)……………………………………………………………… (2)解:由(1)可得 DE=CD=3, ∵四边形 ACDE是以 AD为“美妙线”的“美妙四边形”, ∴∠EAD=∠CAD,∠EDA=∠CDA, ∵∠BDE=60°,∴∠BDE=∠EDA=∠CDA=60°, (5分)……………………………………………… ∵FB=FC,∴∠EBD=∠GCD,∴△BDE∽△CDG, ∴ BD CD =DE DG ,即 BD 3 = 3 2 ,∴BD= 9 2 ; (7分)………………………………………………………………… (3)解:∵四边形 ADCP是以 AC为“美妙线”的“美妙四边形”, ∴∠PAC=∠DAC,∠ACP=∠ACD, ∵AC=AC,∴△APC≌△ADC,∴CP=CD=2 5 ,∠APC=∠ADC, (9分)…………………………… 如解图,在 AC上取点 E,使∠EDC=∠B, ∵CP平分∠ACB,∴∠BCP=∠ACP,∴∠BCP=∠ACD, ∴△DCE∽△BCP,∴CD CB =CE CP ,即 2 5 5 = CE 2 5 ,∴CE= (2 5 ) 2 5 =4, (10分)……………………………… ∵∠B+∠BCP=∠EDC+∠DCE,∴∠APC=∠AED=∠ADC, ∵∠EAD=∠DAC,∴△EAD∽△DAC,∴AE AD =AD AC ,即 AD2 =AE·AC, 　 　 　 　 ∴AC= 16 3 (负值已舍) . (12分)………………………………………………………………… 18. (本小题满分 13分) 如图,抛物线 y= -x2 +bx+c与 x轴的两个交点分别为 A(m,0),C(n,0),m,n 分别是方程 x2 -4x-5 = 0 的两个实数根,且 m<n. (1)求抛物线的函数解析式; (2)设抛物线 y= -x2 +bx+c与 y轴的交点为 B,抛物线的顶点为 D,连接 BC,BD,CD.求△BCD的面积; (3)设抛物线 y= -x2 +bx+c在 k≤x≤k+1内的最大值与最小值相差 3,求 k的值及此时函数的最大值. 第 18题图 将 x=2代入 y=-x+5,得 y=3,∴E(2,3),∴DE=9-3=6,∴S△BCD = 1 2 DE·xC = 1 2 ×6×5=15; (8分)……… (3)设在 k≤x≤k+1内函数的最大值为 p,最小值为 q,则 p-q=3.由(2)知抛物线的对称轴为直线 x=2, ①当对称轴在 k≤x≤k+1右侧时,k+1<2,∴ k<1,当 x=k时,y取得最小值,∴ q=-k2+4k+5, 当 x=k+1时,y取得最大值,∴ p=-(k+1) 2+4(k+1)+5=-k2+2k+8, ∴ p-q=-k2+2k+8-(-k2+4k+5)= 3,即-2k+3=3,解得 k=0,此时 y最大 =-k 2+2k+8=8; (10分)…… ②当对称轴在 k≤x≤k+1内时,k≤2且 k+1≥2,即 1≤k≤2,此时 y的最大值 p=9. 当 x=k时,y=-k2+4k+5,当 x=k+1时,y=-(k+1) 2+4(k+1)+5=-k2+2k+8, ∴ -k2+4k+5≤-k2+2k+8, 9-(-k2+4k+5)= 3{ 或 -k2+4k+5>-k2+2k+8, 9-(-k2+2k+8)= 3,{ 解得 k=2- 3 (舍去)或 k=1+ 3 (舍去); (11分)……………………………………………………… ③当对称轴在 k≤x≤k+1左侧时,k>2,则当 x=k时,y取得最大值,∴ p=-k2+4k+5, 当 x=k+1时,y取得最小值,∴ q=-k2+2k+8, 令 p-q=-k2+4k+5-(-k2+2k+8)= 3,解得 k=3,此时 y最大 =-k 2+4k+5=8. (12分)…………………… 综上,k=0或 k=3,此时函数的最大值为 8. (13分)…………………………………………………… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案及重难题解析·内蒙古数学 新 方 向 模 考 卷 ②当 a3 <0时,抛物线开口向下,直线下降,点 M在 对称轴右侧,点 N 在对称轴左侧,二次函数在 MN 段的最小值在点 M处取得,最大值在顶点( -2,c3 - 4a3)处取得, ∴ c3 -4a3 -(12a3 +c3)= 8,解得 a3 = - 1 2 , ∴ N( -6+c3,-2+ c3 2 ),代入 y = - 1 2 x2 -2x+c3,解得 c3 = 1或 c3 = 8, 当 c3 = 1时,M(2,-5),N( -5,- 3 2 ); 当 c3 = 8时,M(2,2),N(2,2),两点重合,舍去. (12分)…………………………………………… 综上所述,点 M 的坐标为(2,-5),点 N 的坐标为 ( -5,-17 2 )或( -5,- 3 2 ) . (13分)………………… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2025年内蒙古自治区初中学业水平考试 5行卷·数学(八) 快速对答案 一、选择题(每小题 3分) 1-5　 DDABA　 6-8　 CDC 二、填空题(每小题 3分) 9. -10　 10. -2a-1　 11. 0. 1,5　 12. 4 三、解答题(共 64分) 13. (10分)(1)x1 = 1- 14 2 ,x2 = 1+ 14 2 ;(2)此不等式组无解 14. (10分)(1)路灯的高度是 6. 6 m;(2)能,PM = atanα+atanβ 15. (8分)(1)a = 6,b = 7. 2,c = 30%;(2)小英是甲组的学生;(3)略 16. (11分)(1)证明略;(2)DM = 5 2 +5 6 17. (12分)(1)证明略;(2)BD = 9 2 ;(3)AC = 16 3 18. (13分)(1)抛物线的函数解析式为 y = -x2 +4x+5;(2) S△BCD = 15;(3) k = 0 或 k = 3,此时函数的最大值 为 8 详解详析 1. D　 2. D　 3. A　 4. B 5. A　 【解析】如解图,连接 OA,OC,OC 交 AB 于点 D, 由题意得 OA = OC = (2 +OD)米,OC⊥AB,∴ OD = (OA-2)米,AD = BD = 1 2 AB = 3 米,∠ADO = 90°,在 Rt△OAD中,OA2 = OD2 +AD2,∴ OA2 = (OA-2) 2 +32, ∴ OA = 13 4 米,即☉O的半径长为13 4 米. 第 5题解图 　 　 第 7题解图 6. C 7. D　 【解析】如解图,设点 A在 x轴正半轴上,点 B在 x轴负半轴上,且△ABH 为等边三角形,∴ ∠AHO = 30°,∵ 点 H 的坐标为( 0, - 2), tan30° = 3 3 = OA OH , ∴ OA = 2× 3 3 = 2 3 3 ,∴ A(2 3 3 ,0),易知直线 HA 的 解析式为 y = 3 x-2,当 x2 +n = 3 x-2 有解时,才有 点 H(0,-2)是抛物线 y = x2 +n 的 T型点,即方程 x2 - 3 x+(n+2)= 0有解,∴ Δ = 3-4(n+2) ≥0,解得 n ≤- 5 4 ,∴ n的取值范围是 n≤- 5 4 . 8. C　 【解析】如解图,连接 AC 交 BD 于点 O,∵ 四边 形 ABCD 是菱形, ∠ABC = 60°, ∴ ∠ABD = 30°, ∵ FA⊥AB,∴ ∠AFB = 60°,∵ 四边形 AECF 是菱形, ∴ AE = AF,∴ △AEF是等边三角形,∴ AE = EF = AF, ∠EAF = 60°, ∴ ∠BAE = 30°, ∴ ∠BAE = ∠ABE, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 22 参考答案及重难题解析·内蒙古数学 新 方 向 模 考 卷 ∴ AE = BE,同理可得 AF = DF, ∴ BE = EF = DF, ∴ S四边形AECF ∶S四边形ABCD = EF ∶BD = 1 3 . 第 8题解图 　 　 第 12题解图 9. -10　 10. -2a-1　 11. 0. 1,5 12. 4　 【解析】∵ 在 Rt△ABC 中,∠B = 90°,AB = 6,BC = 8,∴ AC = 62 +82 = 10,如解图,过点 E 作 EH⊥ AC 于点 H, ∵ AE 平分∠BAC, ∴ 易得△ABE ≌ △AHE,∴ AB = AH = 6,BE = EH,∵ EF = EG,∴ 易得 △BEF≌△HEG,∴ BF = HG,∴ BF+CG = HG+CG = HC = AC-AH = 10-6 = 4. 13.解:(1)2x2 -4x-5 = 0, x2 -2x = 5 2 , (1分)…………………… x2 -2x+1 = 5 2 +1, (2分)………………… (x-1) 2 = 7 2 , x-1 = ± 14 2 , (4分)……………… ∴ x1 = 1- 14 2 ,x2 = 1+ 14 2 ; (5分)……………… (2)解不等式①得 x≥8, (7分)………………… 解不等式②得 x< 4 5 , (9分)……………………… ∴ 此不等式组无解. (10分)…………………… 14.解:(1)设 CM = x m,则 MD = CD-CM = (10-x)m. 在 Rt△AEC中,tanA = EC AC = 1. 65 1. 5 , 在 Rt△APM中,tanA = PM AM = PM 1. 5+x , ∴ 1. 65 1. 5 = PM 1. 5+x , ∴ PM = 1. 1(1. 5+x)m, (3分)…………………… 同理可得 PM = 0. 88(12-x)m, ∴ 1. 1(1. 5+x)= 0. 88(12-x),解得 x = 4. 5, ∴ PM = 1. 1×(1. 5+4. 5)= 6. 6(m), 即路灯的高度是 6. 6 m; (5分)………………… (2)能, (6分)…………………………………… 如解图,过点 T作 TH⊥PM于点 H,则 TH = a, 在 Rt△PHT中,tanα = PH TH , ∴ PH = TH·tanα = atanα, (8分)………………… 同理可得 MH = atanβ, ∴ PM = PH+MH = atanα+atanβ. (10分)………… 第 14题解图 15.解:(1)a = 6,b = 7. 2,c = 30%; (3分)…………… (2)∵ 甲组成绩的中位数是 6 分,乙组成绩的中位 数是 7. 5分,小英得了 7分属于中游略偏上, ∴ 小英是甲组的学生; (6分)…………………… (3)支持乙组同学观点的理由是乙组成绩的平均 分高于甲组(答案不唯一) . (8分)……………… 16. (1)证明:如解图,连接 AD. ∵ AB是☉O的直径,CD⊥AB于点 E, ∴ AC ( = AD ( ,∴ ∠AMD = ∠ADC. (2分)…………… ∵ 四边形 ADCM是☉O的内接四边形, ∴ ∠ADC+∠AMC = 180°, ∵ ∠AMC+∠FMC = 180°,∴ ∠FMC = ∠ADC, ∴ ∠AMD = ∠FMC; (5分)……………………… 第 16题解图 (2)解:如解图,连接 OD,过点 D 作 DN ⊥ AF 于 点 N. ∵ 点 E是 OB的中点, ∴ OE = EB = 1 2 OB = 1 2 OD = 1 4 AB = 5, ∵ CD⊥OB,∴ sin∠ODE = OE OD = 1 2 , ∴ ∠ODE = 30°,∴ ∠DOE = 60°, ∵ OA = OD,∴ ∠ODA = ∠OAD = 30°, ∴ ∠ADC = 60°,∠AOD = 120°, ∴ ∠AMD = 60°. (7分)…………………………… ∵ 点 M是 AB ( 的中点, ∴ ∠MAB = 45°,∴ ∠F = 45°, ∴ EF = AE = OA+OE = 15, 在 Rt△ODE中,DE = OD2 -OE2 = 5 3 , ∴ DF = DE+EF = 5 3 +15, (9分)………………… ∴ 在 Rt △DNF 中, DN = DF · sin45° = 2 2 DF 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 32 参考答案及重难题解析·内蒙古数学 新 方 向 模 考 卷 = 5 6 +15 2 2 , ∴ 在 Rt△DMN中,DM = DN sin60° = 5 2 +5 6 . (11分)…………………………………………… 17. (1)证明:∵ AD平分∠BAC,∴ ∠EAD = ∠CAD, ∵ AE = AC,AD = AD,∴ △EAD≌△CAD(SAS), ∴ ∠ADE = ∠ADC, ∴ 四边形 ACDE为“美妙四边形”; (3分) ……… (2)解:由(1)可得 DE = CD = 3, ∵ 四边形 ACDE是以 AD为“美妙线”的“美妙四边 形”,∴ ∠EAD = ∠CAD,∠EDA = ∠CDA, ∵ ∠BDE = 60°, ∴ ∠BDE = ∠EDA = ∠CDA = 60°, (5分) ………… ∵ FB = FC, ∴ ∠EBD = ∠GCD, ∴ △BDE∽△CDG, ∴ BD CD = DE DG ,即BD 3 = 3 2 ,∴ BD = 9 2 ; (7分) ……… (3)解:∵ 四边形 ADCP 是以 AC 为“美妙线”的 “美妙四边形”, ∴ ∠PAC = ∠DAC,∠ACP = ∠ACD, ∵ AC = AC,∴ △APC≌△ADC, ∴ CP = CD = 2 5 ,∠APC = ∠ADC, (9分) ……… 如解图,在 AC上取点 E,使∠EDC = ∠B, 第 17题解图 ∵ CP平分∠ACB, ∴ ∠BCP = ∠ACP, ∴ ∠BCP = ∠ACD, ∴ △DCE∽△BCP, ∴ CD CB = CE CP ,即2 5 5 = CE 2 5 , ∴ CE = (2 5 ) 2 5 = 4, (10分) ……………………… ∵ ∠B+∠BCP = ∠EDC+∠DCE, ∴ ∠APC = ∠AED = ∠ADC, ∵ ∠EAD = ∠DAC,∴ △EAD∽△DAC, ∴ AE AD = AD AC ,即 AD2 = AE·AC, ∴ ( 8 3 ) 2 = (AC-4)·AC, ∴ AC = 16 3 (负值已舍) . (12分)………………… 18.解:(1)∵ m,n分别是方程 x2 -4x-5 = 0 的两个实 数根,且 m<n,∴ m = -1,n = 5, ∴ A( -1,0),C(5, 0), (2分)…………………… 把( -1,0),(5, 0)代入 y = -x2 +bx+c中, 得 -1-b+c = 0, -25+5b+c = 0,{ 解得 b = 4, c = 5,{ ∴ 抛物线的函数解析式为 y = -x2 +4x+5; (4分)…………………………………………… (2)如解图,过点 D 作 DE∥y 轴,交线段 BC 于 点 E, ∵ y = -x2 +4x+5 = -(x-2) 2 +9, ∴ B(0,5),D(2,9), (5分)……………………… 设直线 BC的函数解析式为 y = tx+5( t 为常数,t≠ 0),将 C(5,0)代入,解得 t = -1, ∴ 直线 BC的函数解析式为 y = -x+5, (6分)…… 将 x = 2代入 y = -x+5,得 y = 3,∴ E(2,3), ∴ DE = 9-3 = 6,∴ S△BCD = 1 2 DE·xC = 1 2 ×6×5 = 15; (8分)…………………………………………… (3)设在 k≤x≤k+1 内函数的最大值为 p,最小值 为 q,则 p-q = 3.由(2)知抛物线的对称轴为直线 x = 2, ①当对称轴在 k≤x≤k+1 右侧时,k+1<2,∴ k<1, 当 x = k时,y取得最小值,∴ q = -k2 +4k+5, 当 x = k+1时,y取得最大值, ∴ p = -(k+1) 2 +4(k+1) +5 = -k2 +2k+8, ∴ p-q = -k2 +2k+8-( -k2 +4k+5) = 3,即-2k+3 = 3, 解得 k = 0,此时 y最大 = -k2 +2k+8 = 8; (10分)…… ②当对称轴在 k≤x≤k+1 内时,k≤2 且 k+1≥2, 即 1≤k≤2,此时 y的最大值 p = 9. 当 x = k时,y = -k2 + 4k+ 5,当 x = k+ 1 时,y = -( k+ 1) 2 +4(k+1) +5 = -k2 +2k+8, ∴ -k2 +4k+5≤-k2 +2k+8, 9-( -k2 +4k+5)= 3{ 或 -k2 +4k+5>-k2 +2k+8, 9-( -k2 +2k+8)= 3,{ 解得 k = 2- 3 (舍去)或 k = 1+ 3 (舍去); (11分)…………………………………………… ③当对称轴在 k≤x≤k+1左侧时,k>2, 则当 x = k时,y取得最大值,∴ p = -k2 +4k+5, 当 x = k+1时,y取得最小值,∴ q = -k2 +2k+8, 令 p-q = -k2 +4k+5-( -k2 +2k+8)= 3,解得 k = 3, 此时 y最大 = -k2 +4k+5 = 8. (12分)……………… 综上,k = 0或 k = 3,此时函数的最大值为 8. (13分)…………………………………………… 第 18题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 42