2025年内蒙古自治区初中学业水平考试5行卷·数学(2)-【一战成名新中考·5行卷】内蒙古数学中考复习·2025新方向模考卷

参考答案及重难题解析·内蒙古数学 新 方 向 模 考 卷 2025年内蒙古自治区初中学业水平考试 5行卷·数学(二) 快速对答案 一、选择题(每小题 3分) 1-5　 CBADD　 6-8　 CAD 二、填空题(每小题 3分) 9. 2 025　 10. 36　 11. ①②③　 12. 16 三、解答题(共 64分) 13. (10分)(1)x = 1是原方程的增根,原分式方程无解;(2)原不等式组的解集为-4<x≤2. 5,解集在数轴上 表示略,该不等式组的整数解为-3,-2,-1,0,1,2 14. (10分)(1)a = 30,b = 5;(2)估计这 200名同学捡拾垃圾的总重量是 780 kg; (3)P(恰好抽选一男一女)= 1 2 15. (8分)(1)y关于 x的函数表达式为 y = - 1 2 x+30;(2)该机器工作了 24分钟 16. (11分)选择数据①③⑤,信号塔顶端 E到地面的距离 EF约为 584 dm(选择测量数据不唯一) 17. (12分)(1)直线 BC与☉O相切,证明略;(2)证明略;(3)证明略 18. (13分)(1)A( -1,0),B(3,0),对称轴为直线 x = 1;(2)点 P的坐标为(1,2); (3)①B″(4,4);②a的取值范围为 a≤- 2 3 或 0<a≤ 4 5 详解详析 1. C　 2. B　 3. A　 4. D 5. D　 【解析】 ∵ AB∥CD,∴ ∠3 +∠6 = 180°,∵ ∠1 = ∠3,∴ ∠6+∠1 = 180°,又∵ ∠6 = ∠8,∴ ∠8+∠1 = 180°,又∵ ∠1+∠2 = 180°,∠1+∠4 = 180°,∴ 图中 与∠1互补的角有∠2,∠4,∠6,∠8,共 4个. 6. C 7. A　 【解析】设“图上”圆的圆心为 O,连接 OA,过点 O作 OD⊥AB 于点 D,延长 OD 交☉O 于点 C,如解 图,∵ AB=16厘米,∴ AD= 1 2 AB = 8厘米,∵ OA = 10 厘 米,∴ OD = OA2 -AD2 = 102 -82 = 6(厘米),OC = OA = 10厘米,∴ 海平线以下部分的高度为 OC+OD = 10+6 = 16(厘米),∵ 太阳从所处位置到完全跳出 海平面的时间为 16 分钟,∴ “图上”太阳升起的速 度为 16÷16 = 1. 0(厘米 /分) . 第 7题解图 8. D　 【解析】当 x = 0 时,y = 1,∴ 抛物线经过点(0, 1),(3,1),∴ 抛物线的对称轴为直线 x = 0 +3 2 = 3 2 , A正确;点( x2,y2 )关于直线 x = 3 2 的对称点是(3- x2,y2),∴ 当 4 <x2 < 5 时,- 2 < 3 -x2 < - 1,∵ 当- 1 < x1 <0,4<x2 <5时,y1y2 <0恒成立,∴ 抛物线与 x 轴的 一个交点坐标为( -1,0),B 正确;将(3,1),( -1,0) 代 入 抛 物 线 解 析 式, 得 9a+3b+1 = 1, a-b+1 = 0,{ 解 得 a = - 1 4 , b = 3 4 , ì î í ï ï ï ï ∴ 抛物线解析式为 y = - 1 4 x2 + 3 4 x+1,开口 向下,C正确;当 x = 3 2 时,y = - 1 4 ×( 3 2 )2 + 3 4 × 3 2 +1 = 25 16 ,∴ 顶点坐标为( 3 2 ,25 16 ),则 D错误. 9. 2 025　 10. 36 11. ①②③　 【解析】 ①小芳在甲地玩了 1. 5 - 0. 5 = 1(小时),此结论正确;②小芳家与甲地距离 10 千 米,此结论正确;③小芳从甲地出发到乙地的平均 速度是(30-10) ÷(2. 5-1. 5)= 20(千米 /时),此结 论正确;④甲、乙两地相距 30-10 = 20(千米),此结 论错误;故其中正确的是①②③. 12. 16　 【解析】∵ 四边形 ABCD是正方形,∴ AB∥CD, ∠ABC = ∠BCD = ∠D = 90°, ∵ EG∥FH, ∴ 易得 ∠BEG = ∠DFH, ∵ E, F 分别是 AB, CD 的中点, ∴ BE = DF,∴ △BEG≌△DFH(ASA), ∴ EG = FH, ∵ 在△PEG 和△PFH 中,EG 边和 FH 边上的高之 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4 参考答案及重难题解析·内蒙古数学 新 方 向 模 考 卷 和等于两平行线 EG、FH间的距离,∴ 不论 P 在线 段 AC 何处,S阴影 = S△PEG +S△PFH 的值为定值,如解 图,当点 P 与点 C 重合时,∵ DF = PF,∴ S△PFH = S△DFH,∵ △BEG≌△DFH,∴ S△PFH = S△BEG,∴ S阴影 = S△PEG +S△PFH = S△PEG +S△BEG = S△PEB = 1 2 BC · BE = 1 2 ×8×4 = 16. 第 12题解图 　 第 16题解图 13.解:(1)去分母,得(x+1) 2 -4 = x2 -1, (1分)…… 去括号,得 x2 +2x+1-4 = x2 -1, (2分)…………… 移项、合并同类项,得 2x = 2, 系数化为 1,得 x = 1, (3分)……………………… 检验:把 x = 1代入 x2 -1 = 1-1 = 0, (4分)……… ∴ x = 1是原方程的增根,原分式方程无解; (5分)…………………………………………… (2)解不等式①,得 x≤2. 5, (6分)……………… 解不等式②,得 x>-4, (7分)…………………… ∴ 原不等式组的解集为-4<x≤2. 5. (8分)…… 解集在数轴上表示如解图, 第 13题解图 (9分)…………………………………………… ∴ 该不等式组的整数解为-3,-2,-1,0,1,2. (10分)…………………………………………… 14.解:(1)a = 30,b = 5; (3分)……………………… (2)∵ 参加 A项活动的 4 名同学捡拾垃圾重量的 平均数是 x = 4. 5 +5. 2+3. 8+2. 1 4 = 3. 9(kg), 200×3. 9 = 780(kg), ∴ 估计这 200名同学捡拾垃圾的总重量是 780 kg; (6分)…………………………………………… (3)根据题意,画树状图如解图, (8分)………… 第 14题解图 由树状图可知,共有 12 种等可能的结果,其中恰 好抽选一男一女的结果有 6种, ∴ P(恰好抽选一男一女)= 6 12 = 1 2 . (10分)…… 15.解:(1)设 y关于 x的函数表达式为 y=kx+b(k≠0), 根据题意,将点(6,27),(50,5)代入, 得 6k+b = 27, 50k+b = 5,{ 解得 k = - 1 2 , b = 30, ì î í ïï ï (3分)……………… ∴ y关于 x的函数表达式为 y=- 1 2 x+30; (4分)… (2)当 x = 0时,y = 30, ∴ 满箱时共有 30升油, (5分)………………… ∴ 60%的油量是 30×60% = 18(升), (6分)…… 令- 1 2 x+30 = 18, (7分)………………………… 解得 x = 24. 答:当油箱中的剩余油量占油箱的 60%时,该机器 工作了 24分钟. (8分)………………………… 16.解:选择数据①③⑤, (2分)…………………… 如解图,延长 BA交 EF于点 H,则 AH⊥EF, ∵ 建筑物 ABCD为矩形,∴ AD⊥CF, ∵ EF⊥CF,∴ 四边形 ADFH是矩形, (5分)…… 由题意可得,∠GEA = 45°,∠GED = 64. 9°, BC = 310, ∴ ∠EAH = ∠GEA = 45°,∠EDF = ∠GED = 64. 9°, ∠EHA = 90°,HF = AD = BC = 310,HA = DF, ∴ EH = HA = DF, 在 Rt△EFD 中,∠EFD = 90°,tan∠EDF = EF DF , ∴ EF = DF·tan∠EDF = DF·tan64. 9°≈2. 13DF, (8分)…………………………………………… ∴ EF = EH+HF = DF+HF≈2. 13DF, ∴ DF+310≈2. 13DF,解得 DF≈274. 3, 即 EH≈274. 3 dm, ∴ EF = EH+HF≈274. 3+310≈584(dm) . 答:信号塔顶端 E 到地面的距离 EF 约为 584 dm. (选择测量数据不唯一) (11分)…………… 17. (1)解:直线 BC与☉O相切, (2分)…………… 证明:∵ AC为☉O的直径,∴ ∠ADC = 90°, ∵ AD·AB = AC2,∴ AD AC = AC AB , 又∵ ∠DAC = ∠CAB,∴ △DAC∽△CAB, ∴ ∠ACB = ∠ADC = 90°,∴ OC⊥BC, 又∵ OC是☉O的半径,∴ 直线 BC与☉O相切; (4分)…………………………………………… (2)证明:由(1)得∠ACB = 90°,∵ AC = BC = 2OC, ∴ 在 Rt△BOC中,tan∠BOC = BC CO = 2, ∵ CE⊥OB,∴ 在 Rt△COE中,tan∠EOC = CE OE = 2, 过点 A作 AM∥CE,交 EO的延长线于点M,如解图①, ∴ ∠ACE = ∠CAM,∠CEO = ∠AMO = 90°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5 参考答案及重难题解析·内蒙古数学 新 方 向 模 考 卷 ∵ AO = CO,∴ △COE≌△AOM(AAS), ∴ CE = AM,OE = OM, (6分)……………………… ∵ CE OE = 2,∴ AM = 2OE = EM, ∴ ∠MEA = ∠MAE = 45°, ∴ ∠AEC = ∠MEA + ∠CEO = 135°,∠AEB = 180° - ∠MEA = 135°,∴ ∠AEB = ∠AEC, ∵ BC = AC,∠BCA = 90°,∴ ∠BAC = 45°, ∴ ∠BAE+∠EAC = ∠CAM+∠EAC = 45°, ∴ ∠BAE = ∠CAM,∴ ∠BAE = ∠ACE, ∴ △AEB∽△CEA,∴ ∠ABE = ∠CAE; (8分)…… 图① 　 图② 第 17题解图 (3)证明:连接 DE,DF,CF,如解图②,∵ AC 是☉O 的直径,∴ ∠ADC = ∠AFC = 90°,AC = 2CO, 又∵ BC = AC,∠BCA = 90°, ∴ AB = 2AD,∠DCA = 45°, 由(2)知,△AEB∽△CEA, ∴ CE AE = AC BA = 2CO 2AD = CO AD ,∠ECO = ∠EAD, ∴ △COE∽△ADE, (10分)……………………… ∴ ∠AED = ∠CEO = 90°,∴ ∠DEF = 90°, ∴ ∠CFA = ∠DEF,∴ CF∥DE, 由(2)知,∠AEC = 135°, ∴ ∠CEF = 180°-∠AEC = 45°, ∵ ∠DFA = ∠DCA = 45°, ∴ ∠DFE = ∠CEF,∴ CE∥DF, ∴ 四边形 CEDF是平行四边形, ∴ 点 N是 CD的中点. (12分)…………………… 18.解:(1)令 y = ax2 -2ax-3a = a(x2 -2x-3)= 0, ∵ a≠0,∴ x1 = -1,x2 = 3,∴ A( -1,0),B(3,0), ∴ 对称轴为直线 x = -1+3 2 = 1; (3分)…………… (2)∵点 C的坐标为(0,3),∴ -3a=3,解得 a=-1, 此时抛物线的解析式为 y = -x2 +2x+3, 在△PAC中,AC 为定值,要使△PAC 周长最小,即 求 PC+PA的最小值, 如解图①,点 A关于对称轴的对称点为点 B,连接 BC,BC与对称轴的交点即为△PAC 周长取最小值 时的点 P, ∵ C(0,3),∴设直线 BC的解析式为 y=kx+3(k≠0), 将点 B(3,0)代入 y = kx+3中, 得 3k+3 = 0,解得 k = -1, ∴ 直线 BC的解析式为 y = -x+3, 当 x=1时,y=2,∴点 P的坐标为(1,2); (6分)… 图① 　 图② 第 18题解图 (3)①如解图②,过点 B′向对称轴作垂线,垂足为 F,设对称轴与 x轴交于点 G, ∵ ∠B′FP = ∠PGB = ∠BPB′= 90°, ∴ ∠FPB′+∠GPB = ∠GBP+∠GPB = 90°, ∴ ∠FPB′=∠GBP,又∵ PB=PB′,∴ △B′FP≌△PGB, ∴ FB′= PG = 2,FP = GB = 2,∴ FG = 4, ∴ B′(3,4),将B′(3,4)向右平移一个单位后得 B″ (4,4); (9分)…………………………………………… ②由(1)可得抛物线 y = ax2 -2ax-3a( a≠0)的对 称轴为直线 x = 1,顶点坐标为(1,-4a), 将 P(1,2)向右平移一个单位后得 P′(2,2), 如解图②,当 a < 0 时,若抛物线经过点 P′(2,2) 时,则 4a-4a-3a = 2,解得 a = - 2 3 , ∵ 当 a<0时,a越小,函数最大值-4a越大, ∴ 当 a≤- 2 3 时,抛物线与线段 P′B″有唯一交点; 如解图③,当 a>0 时,若抛物线经过点 B″(4,4), 则 16a-8a-3a = 4,解得 a = 4 5 , 第 18题解图③ ∵ 当 a>0时,a越大,函数最小值-4a越小, ∴ 当 0<a≤ 4 5 时,抛物线与线段 P′B″有唯一交点. 综上所述,a的取值范围为 a≤- 2 3 或 0<a≤ 4 5 . (13分)…………………………………………… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6 5行卷·内蒙古数学　 2-1 5行卷·内蒙古数学　 2-2 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 　 得分:　 　 　 　 　 　 版权归 5　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 2025年内蒙古自治区初中学业水平考试 5行卷·数学(二) (本试卷共 100分　 考试时间 90分钟) 一、选择题(共 8小题,每小题 3分,共 24分。 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1. -2 025的倒数是 ( 　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 2 025 B. 2 025 C. - 1 2 025 D. -2 025 2.用四舍五入法按要求对 2. 895 37取近似值,其中正确的是 ( 　 B　 ) A. 2. 8(精确到 0. 1) B. 2. 90(精确到百分位) C. 2. 895 3(精确到千分位) D. 2. 900 0(精确到 0. 000 1) 3. 真实情境 如图①是某汽车的标志图案,要在所给的图②中,把 A,B,C 三个菱形通过一种或几种变 换,均可以变为与图①一样的图案,下面可行的变换方法是 ( 　 A　 ) 第 3题图 A.将菱形 B绕点 O旋转 180° B.将菱形 B绕点 O旋转 120° C.将菱形 B绕点 O旋转 60° D.将菱形 B绕点 O旋转 360° 4.估计 3 ( 2 + 3 )的值在 ( 　 D　 ) A. 2到 3之间 B. 3到 4之间 C. 4到 5之间 D. 5到 6之间 5.如图,直线 AB∥CD,直线 EF与 AB,CD相交,图中与∠1互补的角有 ( 　 D　 ) 第 5题图 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6.在 Rt△ABC中,∠ACB= 90°,∠B= 30°,若用圆规和直尺作图,把它分成两个三角形,其中至少有一个三 角形是等腰三角形,则作法错误的是 ( 　 C　 ) 7. 真实情境 如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面,“图上”太阳与海平线交于 A,B 两点,他测得“图上”圆的半径为 10厘米,AB= 16厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面 的时间为 16分钟,则“图上”太阳升起的速度为 ( 　 A　 ) 第 7题图 A. 1. 0厘米 /分 B. 0. 8厘米 /分 C. 1. 2厘米 /分 D. 1. 4厘米 /分 8.已知抛物线 y=ax2 +bx+1(a≠0且 a,b都是常数)经过点(3,1),(x1,y1 ),(x2,y2 ),当-1<x1 <0,4<x2 <5 时,y1y2 <0恒成立,则下列说法错误的是 ( 　 D　 ) A.抛物线的对称轴是直线 x= 3 2 B.抛物线经过点( -1,0) C.抛物线的开口向下 D.抛物线的顶点坐标为( 3 2 ,27 26 ) 二、填空题(共 4小题,每小题 3分,共 12分) 9.若 m2 +m-1 = 0,则 m3 +2m2 +2 024 = 　 2 025　 . 10.如图,正六边形 ABCDEF的边长为 12,AP,BP分别平分∠BAF,∠ABC,则△ABP的周长为　 36　 . 第 10题图 11. 真实情境 周末,小芳骑电动车到郊外游玩,她从家出发先到甲地,玩一段时间后按原速继续前往乙 地,刚到达乙地,就接到家里电话,立即返回.图中 x(时)表示时间,y(千米)表示小芳离家的距离. 根据图中的信息,下列结论: ①小芳在甲地玩了 1小时; ②小芳家与甲地距离 10千米; ③小芳从甲地出发到乙地的平均速度是 20千米 /时; ④甲、乙两地相距 30千米. 其中正确的是　 ①②③　 . (填所有正确结论的序号) 第 11题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5行卷·内蒙古数学　 2-3 5行卷·内蒙古数学　 2-4 6　 12.如图,在边长为 8 的正方形 ABCD 中,E,F 分别为 AB,CD 的中点. 点 G 在 BC 上,点 H 在 AD 上,且 EG∥FH,点 P在 AC上,连接 PE,PG,PF,PH,则阴影部分的面积为　 16　 . 第 12题图 三、解答题(共 6小题,共 64分) 13. (本小题满分 10分) (1)解分式方程:x +1 x-1 - 4 x2 -1 = 1; 解:去分母,得(x+1) 2-4=x2-1, (1分)…………………………………………………………………… 去括号,得 x2+2x+1-4=x2-1, (2分)…………………………………………………………………… 移项、合并同类项,得 2x=2,系数化为 1,得 x=1, (3分)……………………………………………… (2)解不等式组 3x≤x+5①, 2(x-1) <2+3x②,{ 并在数轴上表示它的解集,同时写出该不等式组的整数解. 解:解不等式①,得 x≤2. 5, (6分)………………………………………………………………………… 解不等式②,得 x>-4, (7分)……………………………………………………………………………… ∴原不等式组的解集为-4< x≤2. 5. (8分)……………………………………………………………… 解集在数轴上表示如解图, ∴该不等式组的整数解为-3,-2,-1,0,1,2. (10分)…………………………………………………… 14. (本小题满分 10分) 某校积极响应市政府“创建文明城市,营造美好家园”的号召,组织学生参加志愿活动,活动分为五项: A:捡拾绿化带垃圾;B:维护路口交通秩序;C:清理街头小广告;D:整理乱停乱放的共享单车;E:发放 “创建文明城市倡议书” .活动结束后,九年级一班将本班学生参加各类活动的人数绘制成了扇形统计 图(如图①)和条形统计图(如图②) . 　 　 第 14题图 请根据图中数据,回答下列问题: (1)请直接 ∙∙ 写出图中 a,b的数值; (2)参加 A项活动的 4名同学捡拾垃圾重量(单位:kg)分别是 4. 5,5. 2,3. 8,2. 1,全校有 200 名同学 参加了 A项活动,请估计这 200名同学捡拾垃圾的总重量是多少? (3)参加 A项活动的一男三女四名同学中,抽选两名同学参加学校垃圾分类知识竞赛,请用树状图或 列表法求恰好抽选一男一女的概率. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5行卷·内蒙古数学　 2-5 5行卷·内蒙古数学　 2-6 版权归 7　 　 15. (本小题满分 8分) 真实情境 某加满油的机器在工作过程中,油箱中剩余油量 y(单位:升)是工作时间 x(单位:分钟) 的一次函数,当工作 6 分钟时,油箱中的剩余油量为 27 升,当工作 50 分钟时,油箱中的剩余油量为 5升. (1)求 y关于 x的函数表达式; (2)当油箱中的剩余油量占油箱的 60%时,该机器工作了多长时间? 解:(1)设 y关于 x的函数表达式为 y=kx+b(k≠0), 根据题意,将点(6,27),(50,5)代入, 得 6k+b=27, 50k+b=5,{ 解得 k=- 1 2 , b=30, ì î í ï ï ïï (3分)………………………………………………………………………………………… ∴ y关于 x的函数表达式为 y=- 1 2 x+30; (4分)………………………………………………………… (2)当 x=0时,y=30, 令- 1 2 x+30=18, (7分)…………………………………………………………………………………… 解得 x=24. 答:当油箱中的剩余油量占油箱的 60%时,该机器工作了 24分钟. (8分)…………………………… 16. (本小题满分 11分) 真实情境 某校数学活动小组的同学要借助无人机测量某山坡上信号塔顶端 E到地面的距离 EF. 活动内容 测量信号塔顶端 E到地面的距离 EF 活动目的 运用锐角三角函数知识解决实际问题 测量工具 无人机、测角仪、皮尺等 测量示意图 第 16题图 说明:如图为信号塔和建筑物的侧面 示意图,点 A,B,C,D,E,F,G 在同一 平面内,点 C,D,F 在同一水平线上, 建筑物 ABCD为矩形 测量数据 ①从点 E处观测点 A的俯角(∠GEA) 45° ②从点 E处观测点 B的俯角(∠GEB) 30° ③从点 E处观测点 D的俯角(∠GED) 64. 9° ④建筑物的宽度 AB 200 dm ⑤建筑物的高度 BC 310 dm 参考数据 sin64. 9°≈0. 91,cos64. 9°≈0. 42,tan64. 9°≈2. 13, 3 ≈1. 73 计算信号塔 顶端 E 到地 面的距离 EF 要求:①结果精确到 1 dm; ②先选择合适的测量数据,再进行计算 解:选择数据①③⑤, (2分)……………………………………………………………………………… 如解图,延长 BA交 EF于点 H,则 AH⊥EF, ∵建筑物 ABCD为矩形,∴AD⊥CF, ∵EF⊥CF,∴四边形 ADFH是矩形, (5分)…………………………………………………………… 由题意可得,∠GEA=45°,∠GED=64. 9°,BC=310, ∴∠EAH=∠GEA=45°,∠EDF=∠GED=64. 9°,∠EHA=90°,HF=AD= BC=310,HA=DF,∴EH=HA=DF, 在 Rt△EFD 中,∠EFD=90°,tan∠EDF=EF DF , ∴EF=DF·tan∠EDF=DF·tan64. 9°≈2. 13DF, (8分)……………………………………………… ∴EF=EH+HF=DF+HF≈2. 13DF, ∴DF+310≈2. 13DF,解得 DF≈274. 3, 即 EH≈274. 3 dm, ∴EF=EH+HF≈274. 3+310≈584(dm) . 答:信号塔顶端 E到地面的距离 EF约为 584 dm. (选择测量数据不唯一) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5行卷·内蒙古数学　 2-7 5行卷·内蒙古数学　 2-8 8　 17. (本小题满分 12分) 如图,在△ABC中,以 AC为直径的☉O交 AB 于点 D,AD·AB = AC2,CE⊥OB,垂足为 E,连接 CD,AE 的延长线交 CD于点 N,交☉O于点 F. (1)判断直线 BC与☉O的位置关系,并证明你的结论; (2)若 AC=BC,求证:∠ABE= ∠CAE; (3)在(2)的条件下,求证:点 N是 CD的中点. 　 第 17题图 (2)证明:由(1)得∠ACB=90°,∵AC=BC=2OC, ∴在 Rt△BOC中,tan∠BOC=BC CO =2, ∵CE⊥OB,∴在 Rt△COE中,tan∠EOC=CE OE =2, 过点 A作 AM∥CE,交 EO的延长线于点M,如解图①, ∴∠ACE=∠CAM,∠CEO=∠AMO=90°, ∵AO=CO,∴△COE≌△AOM(AAS),∴CE=AM,OE=OM, (6分)………………………………… ∵ CE OE =2,∴AM=2OE=EM,∴∠MEA=∠MAE=45°, ∴∠AEC=∠MEA+∠CEO=135°,∠AEB=180°-∠MEA=135°, ∴∠AEB=∠AEC, 18. (本小题满分 13分) 强预测 已知抛物线 y=ax2-2ax-3a(a≠0)与 x轴交于 A,B两点(点 A在点 B的左侧),与 y轴交于点 C. (1)求抛物线的对称轴及点 A,B的坐标; (2)若点 C的坐标为(0,3),对称轴上有一动点 P,连接 PA,PC,AC,当△PAC周长最小时,求点 P的坐标; (3)根据(2)中得到的点 P,连接 PB,将线段 PB绕点 P逆时针旋转 90°,得到线段 PB′,将 PB′再向右 平移一个单位,得到线段 P′B″. ①求 B″的坐标; ②若抛物线 y=ax2 -2ax-3a(a≠0)与线段 P′B″有唯一交点,求 a的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋