第01讲 空间向量及其线性运算（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第01讲 空间向量及其线性运算 【人教A版2019】 模块一 空间向量的概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【题型1 空间向量的有关概念】 【例1】（24-25高二下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．数乘运算中，既决定大小又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有 【变式1.1】（24-25高二下·全国·课后作业）给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则． 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1.2】（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【变式1.3】（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 模块二 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 【题型2 空间向量的加减运算】 【例2】（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·贵州黔西·阶段练习）在空间四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二上·云南昭通·期中）在四面体中，（    ） A． B． C． D． 【题型3 空间向量的线性运算】 【例3】（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·河北保定·阶段练习）如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二·江苏·课后作业）如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 【变式3.3】（24-25高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 【例4】（24-25高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·山东·期中）在四面体中，点满足，若，则（    ） A． B． C． D．1 【变式4.3】（24-25高二·湖南·课后作业）如图，正方体中，点E，F分别是上底面和侧面的中心，分别求满足下列各式的x，y，z的值． (1)； (2)； (3)． 模块三 共线向量定理与共面向量定理 1．共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 2．共面向量定理 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【题型5 空间向量共线的判定及应用】 【例5】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5.2】（24-25高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【变式5.3】（24-25高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【题型6 由空间向量共线求参数或值】 【例6】（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【变式6.1】（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【变式6.2】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 【变式6.3】（24-25高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 向量共面的判定及应用】 【例7】（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【变式7.1】（24-25高二·福建·阶段练习）在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【变式7.3】（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【题型8 由空间向量共面求参数】 【例8】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）为空间任意一点，若，若四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式8.1】（24-25高二上·天津·阶段练习）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【变式8.3】（24-25高二上·广东·期中）已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 2．（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 6．（24-25高二上·天津·期末）如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 7．（24-25高一上·四川·期中）平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 8．（24-25高二上·上海青浦·期末）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 10．（24-25高二上·广西桂林·期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）如图，在三棱柱中，是的中点.下列表达式化简正确的是（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四面体ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则 .    13．（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 14．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 ． 四、解答题 15．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 16．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 17．（24-25高二下·江苏·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 18．（24-25高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 19．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 空间向量及其线性运算 【人教A版2019】 模块一 空间向量的概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【题型1 空间向量的有关概念】 【例1】（24-25高二下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．数乘运算中，既决定大小又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有 【解题思路】对于A，由共线向量的定义分析判断，对于B，举例判断，对于C，根据数乘向量的意义分析判断，对于D，根据向量和加法法则判断. 【解答过程】对于A，空间中共线的向量不一定在同一条直线，有可能两向量所在的直线平行，所以A错误， 对于B，两个向量不相等，有可能方向不同，模相等，如的方向不同，但模相等，所以B错误， 对于C，向量数乘运算中，既决定大小又决定方向，所以C正确， 对于D，在平行四边形ABCD中，才有，所以D错误. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高二下·全国·课后作业）给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则． 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据相等向量的定义易判断①为假命题；对于②借助于正方体图形推理易得；对于③由空间向量的相等定义易得. 【解答过程】对于①，向量相等即模相等和方向相同，故①为假命题； 对于②，如图正方体中，且则得, 故有，,且方向一致，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义可知成立，故③为真命题． 故选：B． 【变式1.2】（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【解题思路】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线向量的定义判断D. 【解答过程】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. 【变式1.3】（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【解答过程】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B. 模块二 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 【题型2 空间向量的加减运算】 【例2】（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量的加法运算，结合平行六面体计算即得. 【解答过程】在平行六面体中，==. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量加减法法则计算． 【解答过程】由题意， 故选：C． 【变式2.2】（24-25高二上·贵州黔西·阶段练习）在空间四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量加减法运算法则，逐项分析判断即可. 【解答过程】在空间四边形中， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C. 【变式2.3】（24-25高二上·云南昭通·期中）在四面体中，（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量的加减运算计算即可. 【解答过程】根据向量的加法、减法法则，得， 故选：B. 【题型3 空间向量的线性运算】 【例3】（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的线性运算求解即可. 【解答过程】由题意， , 故选：A. 【变式3.1】（24-25高二上·河北保定·阶段练习）如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的加减及数乘运算即可求解. 【解答过程】连接， 由题意，得 ． 故选：D. 【变式3.2】（24-25高二·江苏·课后作业）如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）根据向量共线，加法与减法运算求解即可； （2）根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则求解即可； （3）根据化简求值即可. 【解答过程】（1）解：因为为的重心，为边的中点， 所以 ， 所以 （2）解：因为分别为边和的中点， 所以 （3）解： . 【变式3.3】（24-25高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【解题思路】根据空间向量的线性运算依次求解即可. 【解答过程】（1）， 向量如图所示，    （2）； 向量如图所示，    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示， 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 【例4】（24-25高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的运算法则确定，得到答案. 【解答过程】， 故，，，. 故选：A. 【变式4.1】（24-25高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【解题思路】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合题意，列出方程，即可求解. 【解答过程】根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：， 因为，所以，解得. 故选：D. 【变式4.2】（24-25高二上·山东·期中）在四面体中，点满足，若，则（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】根据题意，化简得到，进而求得的值，即可求解. 【解答过程】如图所示，根据空间向量的线性运算法则， 可得， 因为，可得， 所以. 故选：B. 【变式4.3】（24-25高二·湖南·课后作业）如图，正方体中，点E，F分别是上底面和侧面的中心，分别求满足下列各式的x，y，z的值． (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）由向量加法的三角形法则和四边形法则得和，由此即可求出结果； （2）由向量加法的三角形法则和四边形法则得和，由此即可求出结果； （3）因为，由（1），（2）可知，，由此即可求出结果. 【解答过程】（1）解：由向量加法的三角形法则得，， 由平行四边形法则和向量相等得，； 所以， 所以； （2）解：由向量加法的三角形法则得，， 由四边形法则和向量相等得，； 所以， 所以． （3）解： 由（1），（2）可知， ， 所以. 模块三 共线向量定理与共面向量定理 1．共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 2．共面向量定理 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【题型5 空间向量共线的判定及应用】 【例5】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【解答过程】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 【变式5.1】（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【解答过程】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 【变式5.2】（24-25高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【解题思路】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可. 【解答过程】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 【变式5.3】（24-25高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【解题思路】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断. 【解答过程】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 【题型6 由空间向量共线求参数或值】 【例6】（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【解题思路】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【解答过程】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即 ， ∴，，解得． 故选：C． 【变式6.1】（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【解题思路】利用空间向量平行充要条件即可求得实数的值. 【解答过程】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C. 【变式6.2】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 【解题思路】根据题意可得存在，使得，进而列式求解即可. 【解答过程】因为，则存在，使得， 即， 则，解得，， 所以. 故选：B. 【变式6.3】（24-25高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，根据空间向量共线的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得解. 【解答过程】因为、、为空间三个不共面的向量，向量，， 若与共线，设，即， 可得，解得，故. 故选：D. 【题型7 向量共面的判定及应用】 【例7】（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【解题思路】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【解答过程】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 【变式7.1】（24-25高二·福建·阶段练习）在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间四点共面定理和向量共面定理，可以做出各选项的判断. 【解答过程】对于A，由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故A错误； 对于B，由于也是不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故B错误； 对于C，由于可得：，根据向量共面定理结合三向量又有公共点，可知四点一定共面，故C正确； 对于D，由于可得：，同样由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故D错误； 故选：C. 【变式7.2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【解题思路】根据题意，化简得到，得到共面，进而得到四点共面，即可求解. 【解答过程】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 【变式7.3】（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案． 【解答过程】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 【题型8 由空间向量共面求参数】 【例8】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）为空间任意一点，若，若四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】根据空间向量共面的基本定理可得答案. 【解答过程】若四点共面，则， 解得. 故选：C. 【变式8.1】（24-25高二上·天津·阶段练习）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【解答过程】在四面体中，不共面， 而 则 所以 故选：D. 【变式8.2】（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【解题思路】利用向量共面得到线性表示，再化简求值即可. 【解答过程】因为共面，所以存在实数，使得，所以，解得. 故选：A. 【变式8.3】（24-25高二上·广东·期中）已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】先利用已知条件求得，再利用均值定理即可求得的最大值. 【解答过程】由及A，B，C，D四点共面得：， 即，又，， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：B. 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【解题思路】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【解答过程】对于A，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B，只能说明，的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C，向量作为矢量不能比较大小，故C错误； 对于D，相等向量方向相同大小相等，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由空间向量的加减法运算的几何表示和数乘关系即可得到答案. 【解答过程】. 故选：C. 3．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间共面向量定理的推论得到，解得即可. 【解答过程】因为点在平面内，且， 所以，解得. 故选：D. 4．（24-25高二上·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量相等及线性运算法则计算可得. 【解答过程】由向量相等可知: ，故A正确； ，故B正确； ，,则，所以，故C错误； ，故D正确； 故选：C. 5．（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】借助空间向量的线性运算及四点共面的充要条件即可判断选项. 【解答过程】因为为空间任意一点，， 又因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得． 故选：C． 6．（24-25高二上·天津·期末）如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【解答过程】 . 故选：B. 7．（24-25高一上·四川·期中）平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【解题思路】将都用基底表示出来，得到，即可得到. 【解答过程】 ， 所以， 故选：C.    8．（24-25高二上·上海青浦·期末）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由四点共面可知，结合基本不等式的乘“1”法即可求解. 【解答过程】, 因为四点共面，所以， 注意到，从而. 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【解题思路】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【解答过程】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 10．（24-25高二上·广西桂林·期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解. 【解答过程】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：AC. 11．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）如图，在三棱柱中，是的中点.下列表达式化简正确的是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的加减法法则逐个分析判断即可 【解答过程】对于A，由题意得，所以A正确， 对于B，由题意得，所以B错误， 对于C，由题意得，所以C正确， 对于D，由题意得，所以D正确， 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四面体ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则 .    【解题思路】利用空间向量的加减运算法则求解. 【解答过程】因为， 所以， 故答案为：. 13．（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 【解题思路】先根据三点共线得出向量共线，再根据向量共线求参即可. 【解答过程】由已知得， ，B，D三点共线，与共线，即存在，使得． ， ，不共线，，． 故答案为：. 14．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 ①③ ． 【解题思路】根据空间向量的共面定理，逐项判断即可. 【解答过程】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 四、解答题 15．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 【解题思路】（1）根据单位向量的定义写出即可； （2）根据相等向量的定义写出即可； （3）根据相反向量的定义写出即可. 【解答过程】（1）由题意，单位向量有共个； （2）由题意，与相等有； （3）由题意，的相反向量有. 16．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【解题思路】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 17．（24-25高二下·江苏·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 【解题思路】利用空间向量的线性运算，结合共线向量定理，列式计算作答. 【解答过程】因为，，则有， 又A， B， D三点共线，于是，即，而不共线， 因此，解得， 所以实数k的值是. 18．（24-25高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【解题思路】（1）根据空间向量线性运算进行求解； （2）设（不为0），推导出，进而证明出四点共面. 【解答过程】（1）四棱柱中，， 因为， 所以 ； （2）设（不为0）， ， 则共面且有公共点，则四点共面. 19．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【解题思路】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果； （2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果. 【解答过程】（1）由题可得： ， ， 因为，所以， 即解得 所以的值分别为； （2）因为四点共面，所以存在，使得， 即， 于是有 所以， 即的值为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$